3.2 函数的基本性质3.2.1 单调性与最大（小）值（第一课时）慈溪市慈中书院—董嵩柏【引例】请大家观察下面的三幅函数图象．思考：每幅函数
图象从左往右看有什么特征？【问题1】研究二次函数的单调性．【思考1】从左往右图象有什么特征？ 两
个变量的变化有什么关系？图象特征：轴左侧部分从左到右是下降的轴右侧部分从左到右是上升的变量关系：当时，随的增大而减小当时，随的增大
而增大【问题1】研究二次函数的单调性．【思考2】如何用符号语言刻画“当时， 随的增大而减小”
？【思考3】如何用符号语言刻画自变量的增大？取，且【思考4】如何用符号语言刻画函数值的变化？找出，比较出与大小怎么说明与大小呢？作
差法！【问题1】研究二次函数的单调性．【思考5】这里对有什么要求？任取【思考6】只取上的某些数是否可以？
能否举例说明？不可以！如图【问题1】研究二次函数的单调性．【思考7】如何用符号语言表述更加严谨？任取，得到，当时，都有
，则称函数在上是单调递减的．【思考8】“当时，随的增大而增大”符号语言的刻画：任取，得到，当时，都有，则称函数在上是单调递增的．【
问题2】函数各有怎样的单调性？函数在区间上是单调递减的；在区间上是单调递增的．函数在区间上是单调递增的；在区间上是单调递减的．一般
地，设函数的定义域为，区间；如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增；如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减．
如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．特别地：当函数在它的
定义域上单调递增时，我们就称它是增函数； 当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．【问题3】
判断下列说法是否正确(1)若为上的增函数，则． ( )(2)若为上的减函数，且，则．
( )√×【总结】若函数的定义域为，区间；，②当时，函数在区间上单调递增，就有；③函数在区间上单调递增，若，则；Ⅱ.Ⅲ
.Ⅰ.在上单调递增“知二求一”①当时，都有，称函数在区间上单调递增；【例题1】根据定义，研究函数的单调性．任取作差变形判号结论证明
：函数的定义域为R． 且，则
，（1）当时， ，即， 所以函数是R上的增函数．（2）当时
，，即， 所以函数是R上的减函数．用定义证明函数的单调性的步骤： 【例题2】物理学中的玻意耳定律（为正常数）告诉
我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大．试对此用函数的单调性证明．证明：函数的定义域为． ，且，
则 ，， ，
又，，即 ．函数是减函数．也就是说，当其体积减小时，压强将增大．任取作差变形判号结论1、函数单调性的定义： 设函数
的定义域为，区间,且， 如果都有，那么就说函数在区间上单调递增; 如果都有，那么就说函数在区间上单调递减.2、定义法证明函数单调性
的步骤：①任取；4、课后作业：《新课标新精编》P57-58页 基础精练5 函数的单调性3、数学核心素养：①数学抽象；②逻辑推理；③数学运算．②作差；③变形；④判号；⑤结论． |
|
