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有限元分析中的误差 现在软件操作界面越来越人性化，只要用点心，初学者很容易上手，花上三五天，对着教程就能搞出花花绿绿的结果，然后很自豪地告诉领导，SoEasy。可是他不知道，有限元分析的坑还很深，而他，刚刚入坑。 在十几年的数值仿真工作中，遇到过无数专家提问，你的分析结果准确吗?有没有误差?误差是多少?说实话，自认为见(jing)过(di)世(之)面(wa)的我，无法回答这个问题。有时候只是微微一笑，请相信我。可是，别人真的相信你的分析结果么?你自己相信么? 要想做到心里有底，就得知道有限元分析究竟在哪些地方可能给你挖坑，如何去填平这些坑，让你的分析结果变得有可信度。以下就简单谈谈可能坑到你的一个问题—有限元分析误差。 有限元分析的误差主要来源于两方面，一是理论假设导致的误差，二是有限元分析过程中产生的误差。 01 理论假设导致的误差 有限元分析方法是为了解决诸如弹性力学、振动力学等学科中各种微分方程、偏微分方程等难以求解的问题而诞生的一种数值方法，无论采用哪一款软件和什么样的求解器，它本身还是基于各种理论假设进行的。以弹性力学问题的有限元分析为例，它包含了以下几大假设： (1) 连续性假设 假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙，这样的材料称之为连续介质，连续介质内所有点(数学意义上的点)都有物质，所有点的力学量都有意义，在整个物体上就可以用数学的连续函数来描述。 需要注意的是，材料内的微粒尺寸以及微粒之间的距离，都比所研究的物体尺寸小得多时，连续性基本假设才是合理的，否则就不能采用这一基本假设。例如，晶体、原子、分子与它们组成的材料相比，其尺寸为微量，这时就可以忽略微粒间的空隙，认为它们是连续的。对于混凝土材料，一般由水泥、粗骨料(碎石或卵石)、细骨料(砂)、外加剂和水搅拌而成，其间存在着大量宏观空隙，如果是一块很小的混凝土，应用连续性假设可能就存在问题，但是对于利用混凝土建造的楼房、大桥、水库大坝等，就可以采用连续性假设进行分析。因此，连续性基本假设中“微粒大小、空隙大小”是相对概念而非一个绝对概念。 (2) 均匀性假设 假定整个物体是由同一种材料组成的。这是因为，如果物体由不同的材料组成，不同的材料具有不同弹性模量和泊松比，这将给分析带来很大的困难。例如混凝土材料中，砂砾、水泥、外加剂，当它们的弹性模量和泊松比不同时，理论上就需要针对于不同的材料写胡克定律，这将成为一种不可能的任务。 (3) 小变形假设 假定位移和变形是微小的，物体受力后，整个物体上所有各点的位移都远小于物体尺寸，在建立平衡方程时，就可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸。这样，力学方程才可能简化为线性方程。 (4) 完全弹性假设 假设物体完全服从胡克定律(即应变与引起应变的那个应力分量成比例，反应这种比例关系的常数称作弹性常数，它不随应力分量或应变大小和符号改变而改变)。 实际中，材料并不是完全弹性，比如塑性材料在超过比例极限后就与完全弹性假设不符。 (5) 各项同性假设 假设物体内一点的弹性在各个方向上都相同，物体的弹性常数不随方向改变。显然，诸如木材等具有纹理性的材料，不符合这一假设。即便是钢材，在微观上也不一定是各项同性的，但在不考虑微观的情况下，我们在足够大的宏观范围内还是可以将它看成各项同性的。 根据分析类型和求解器的不同，理论假设不止于以上几条。既然是假设，就和实际有差别，这些差别也会给有限元分析的最终结果带来误差。因此，在实际操作中，要弄清你所选择的分析类型和求解器所对应的理论假设是否适用于当前的问题，以及各理论假设带来的误差是否在接受范围之内。  02 有限元计算分析过程中的误差 除了理论假设导致有限元分析与实际问题之间的误差，有限分析的各个环节也会带来误差。 (1) 几何模型简化 有限元分析的第一步就是如何将物理问题简化为有限元模型，模型的好坏，直接关系到有限元分析结果与实际问题之间的仿真度。 建模的时候不可能将所有相连的结构件都考虑进去，如何取舍?模型截取边界是否影响所关心区域的分析结果?是否考虑了诸如小倒角、小孔等结构特征?使用轴对称、壳单元等模型是否合适……。 (2) 材料属性 输入材料属性时，输入数据与实际问题可能也有差别。我们所得到的材料数据基本上都是在理想的试验条件下得到的大量数据的平均值，试验本身也是有条件限制的。实际工程中，诸如焊接、热处理等工艺也会影响材料的组织。采用同样工艺的不同批号的材料，其属性也会有差异。要意识一点，材料属性的误差是不可避免的，在有限元分析中，尽可能选用符合实际问题的材料数据，同时，在结果处理的时候，要在安全裕量中加以考虑。 (3) 工况及边界条件设置 个人认为，有限元分析最能体现经验的地方，除了几何模型的简化，就是工况及边界条件设置了。从实际物理问题到有限元模型，工况及边界条件设置起着最关键的作用。 工况组合是否符合后续采用的标准规范的要求?工况中载荷考虑是否全面?约束边界和施加载荷是否满足圣维南原理?是否考虑接触边界?…… 另外，每个软件中提供的边界施加类型是有限的，不可能涵盖工程中所遇到的所有问题，必须选用软件给定的边界或边界组合，此时施加的边界就不可避免带来误差。 (4) 网格划分 有限元的核心思想是将连续的问题离散化，离散化的关键就在于将模型划分为各种单元组成的网格模型。在网格划分时，可能带来如下误差： 单元类型选择：不同的单元类型有着不同的适用范围和精度，比如壳单元适用于厚度方向的尺寸远小于其他方向尺寸的情况，如果是大厚度的结构，壳单元分析得出的结果就会与实际误差较大。同样的1D单元，杆单元和梁单元的适用范围是不同的。 单元尺寸：理论上，单元尺寸越小，精度越高。但限于计算机软、硬件的限制，要权衡计算精度与计算代价，不可能无限制地加密网格。我们需要进行网格适应性分析后选择合适的网格尺寸，同时可以运用局部加密等手段来提高精度。 单元质量：由于几何模型会有各种特征，划分出来的单元为了适应几何特征，可能出现单元扭曲、偏斜、细长等问题，这会直接降低分析结果的精度。在划分好单元后，最好要进行单元质量检查，查看其偏斜度、长宽比、雅可比等是否在合适的范围内。 (5) 分析类型选择与求解器设置 针对不同的问题，需要选择不同的分析类型。这一点再智能的软件也无法替我们做决定，因此我们需要根据所关注的问题选择合适的分析类型和求解器。 不同的分析类型和求解器对于模型和计算硬件的要求是不同的，比如进行整体模态分析可能并不需要特别精细的网格模型，进行动力分析和瞬态分析需要的计算机资源更多等…… 由于算法不同，不同的求解器系统精度也是不一样的，比如显式分析和隐式分析的精度有差别，这一点我们是没法改变的。我们能做的是做出合适的选择，在求解器参数设置时，对诸如时间步长、载荷步等选项进行更好的控制，以提高计算精度。 (6) 结果后处理 软件计算完成后，它所提供的应力、位移等结果需要进行评判，这时候可能需要用到各种标准规范。这里面也存在着误差风险。 我们查看的应力是积分点应力，还是单元平均应力?体与体之间是否进行平均处理?等效应力是采用第三强度还是第四强度?这些选择的不同，都会导致结果显示不同，它们之间是有相对误差的。 各类标准规范所使用的评判方法也可能带来误差。比如压力容器的分析设计，选择弹性应力分析法时，应力线性化时路径选择会带来误差，软件本身的线性化后处理方法也有误差。另外，选择线弹性还是弹塑性方法，同样的模型可能带来的评判结果是有差异的。 03 总结 通过以上分析可以看出，有限元分析误差无时不在。合理的操作会降低误差，但不能杜绝误差，有些操作如果不恰当，带来的就不是误差而叫错误了。因此，我们在平时的工作中要多对比、多总结，对各类问题做到心中有数，才能正确驾驭有限元分析误差的范围，才能对自己的分析结果有信心。 |
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