作者：张天蓉

最近，网上热传美籍华裔数学家张益唐可能已经攻克了与黎曼猜想相关的朗道-西格尔零点猜想，这个消息引起了数学界的震动。早前，笔者曾经介绍过黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及张益唐对孪生素数猜想所做的工作，现结合朗道-西格尔猜想，再简要总结一下这几个“数论”猜想的来龙去脉以及它们之间的关系。

素数指的是只能被1和它自身整除的大于1的自然数，它是数论的研究对象。素数是否无限多？它在自然数中是如何分布的？对数学家而言，这些貌似简单的素数问题却魅力无穷。这些简单问题牵涉甚广，研究时会涉及到许多领域，推动着数学研究多方面的发展。

1. 素数无限多吗？

首先列出几个后面要用到的、与素数有关的简单结论或概念。

有关素数的第一个猜想应该是2300多年前的欧几里得提出的“素数无限多”的命题。并且，欧几里得用反证法给出了最简单的证明。除此之外，古希腊还有一个在n不大情况下的实用的埃氏素数筛法，即可以简单地把不大于√n的所有素数的倍数剔除，从而“筛出”自然数n以内的全部素数（见下图）。

图1：a）证明“素数无穷多”的反证法；b）埃氏筛法（n=18）

欧几里得之后差不多过了两千年，伟大的数学家欧拉（1707-1783）对素数问题作了很多工作，包括证明素数无限多，研究与素数分布相关的种种问题。例如，欧拉曾经研究如下的无穷级数：

                                                                 （1）

这个级数实际上是s的函数，后来被称为ζ函数。欧拉一开始自然先考虑s为正整数。当s=1时，就是我们熟悉的不收敛的调和级数；若s>1，该级数收敛，比如s=2时称为巴塞尔级数，欧拉发现巴塞尔级数的无限项求和结果是π²/6。

欧拉将调和级数的发散性与“素数无限多”的问题联系起来，得到了一个惊人的结论：所有素数的倒数之和类似于调和级数一样地发散。

                                                （2）

欧拉证明了上面的结果，也就证明了“素数无限多”，因为有限的序列之和不可能是发散的。由此开始，欧拉又通过研究ζ函数来研究质数，竟得到两者的神奇关系：ζ函数等于一个与所有质数相关的乘积！即下面这个看起来有点奇怪的“欧拉乘积公式”：

                                                                 （3）

等式左边是所有自然数n的幂次倒数的无穷求和，而右边是遍历所有素数p的一个无穷乘积。这个公式通过复数s，将自然数n（n=1,2,3,4,5,...）与素数p（p=2,3,5,7,11,...）联系起来。所以从欧拉乘积公式也可以间接地证实存在无穷多个素数。

如上所述，已有多种方法证明素数有无穷多个。但是，素数的出现规律却一直是数学家的困惑。如果一个个看素数，它们在自然数中的出现没有什么规律，若总体地看，素数的个数竟然有规可循。

对付素数，最笨的办法就是把它们一个一个列出来。如上图所示，列出了比100小的所有素数，虽然看不出素数之间什么规律，但我们可以采取一个笨办法：数素数的个数，看看小于某一个数的素数有多少个。如小于10的素数有4个，小于20的素数有8个，小于50的素数有15个，……。于是，数学家为此定义了一个函数，叫做素数计数函数，记作π(x)，所以π(10)=4，π(20)=8，等等。更进一步，可以把函数的图像画出来：

图2：素数计数函数

根据π(x)的函数图，数学家发现了素数个数增长的整体规律，称为“素数定理”：

                                                                （4）

(4)式是素数定理的粗略表达式，其中 ln x 为 x 的自然对数。素数定理的意味着当x 趋向无限时，π(x)与x/ln x的比值趋近于1，但这并不表示它们的数值随着 x 增大而真正接近。

素数分布近似符合lnx倒数形式首先是欧拉猜想的，由勒让德最后得到素数定理。50年后，高斯在一封信中说他在少年时代就猜出了这个结果，所以素数定理也叫勒让德-高斯定理。

       2. 黎曼猜想

高斯要比欧拉晚生70年，黎曼（1826－1866）则是高斯的学生，可惜黎曼早逝于39岁。黎曼数学思想深刻，成果累累，据说当年高斯想试试黎曼到底有多聪明，便让他从分析转做几何，没想到黎曼一上手便出人意料地创立了黎曼几何。黎曼猜想则是他后来继续欧拉没有完成的ζ函数研究所提出的。黎曼首先将欧拉的ζ函数（1）解析延拓到几乎整个复平面（除s=1）。解析延拓就是将函数的定义域解析地扩大到原来不能应用的数域，即扩大到所有的复数s，ζ函数都有定义，但在s等于1的地方有一个不解析的、留数等于1的简单极点。解析延拓后的ζ函数叫做“黎曼ζ函数”。

黎曼ζ函数与素数有直接联系。根据欧拉乘积公式（3），当s的实部大于1时，它是一系列自然数幂次的倒数和，同时又是与所有素数有关的某种乘积。因此，通过对黎曼ζ函数的研究会得到很多素数方面的信息，例如素数定理（4）就是在1896年通过对黎曼ζ函数的研究而第一次被证明的（注：之后1949年有人给出了不用黎曼ζ函数的初等证明）。很多数学家意思到，关于素数更精确的信息应该在于进一步对黎曼ζ函数零点的研究。

黎曼发现素数出现的频率与ζ函数的零点分布紧密相关。

1859年，黎曼当选为柏林科学院通讯院士，他值此提交了8页纸的论文报告《论小于某给定值的素数个数》。在论文中，他提出了黎曼猜想。这个猜想是数论中与素数相关的至今未解的重要难题。

图3：黎曼ζ函数，将欧拉ζ函数解析延拓到整个复数平面

解析延拓后的黎曼ζ函数，不能完全由公式（1）描述，例如，在某些区域，可以用下式来表达：

                                                 （5）

黎曼注意到ζ函数的零点有两种。s=-2,-4,-6,-8,…，ζ函数为零，黎曼把这些称之为平凡零点。黎曼称其它的零点为非平凡零点，素数频率与非平凡零点有关。非平凡零点到底在哪里？这个问题显得复杂，黎曼也没有准确的结论，因此他提出了如下尚证明的“黎曼猜想”：

            所有的非平凡零点都在实部等于1/2的那条垂直线上!

貌似轻松平淡的一个猜想，令无数数学家们努力到如今，已经163年过去仍未获得解决。当然，也有所进展，而且从进展过程能看出这个问题的重要性，同时也能看出黎曼的深厚功夫和超凡的能力。

黎曼论文有三个命题。1. 非平凡零点的实部大于0但小于1； 2. 所有非平凡零点几乎都位于实部为1/2的直线上； 3. 黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于实部为1/2的直线上。

数学家在46年后才对黎曼认为是显而易见的第一命题给出证明；黎曼表示自己证明了第二命题，但没有简化到可以发表，迄今为止第二第三命题都没有被证明出来。人们也试图寻找具体的非平凡零点同样是十分困难，在猜想公布44年后，数学家才第一次算出了前15个非平凡零点，又过了20年，算出了前138个零点。数学家西格尔在黎曼手稿中发现了73年前黎曼计算非平凡零点的一个公式（后来称黎曼-西格尔公式），西格尔找到这个公式后，4年内算出了1000多个非平凡零点。现在，数学家们用这公式借助计算机，验证了超过200亿个非平凡零点，这些找到的所有零点，其实部全部都是0.5，无一例外。

3. 张益唐和孪生素数猜想

张益唐最近宣称的进展正是与上述黎曼猜想密切相关。此前，他在研究另一个素数问题“孪生素数猜想”做出了突破性的工作。

什么叫孪生素数？就是两个素数相差2，例如3和5，5和7，等等。两千年前，欧几里得在证明素数的个数是无穷多的同时，欧几里得也思考：孪生素数是否也是无穷多呢，但他没有给出证明。这就是孪生素数猜想：

“有无穷个素数对(p₁, p₂)，满足p₁-p₂=2”

图4：孪生素数猜想

张益唐是曾在中国受数学教育的美籍华人，他迷恋素数卓尔不群、横空出世一鸣惊人。张益唐的坎坷学术道路成为传奇。他在美博士毕业后未得教职，打工七年历经艰辛，送过外卖，端过盘子，也做过会计，后来在一个小学校教数学，然而唯有他那满脑袋的奇思妙想不忘初心探索孪生素数问题。58岁时终于大器晚成，一举成名天下知。

张益唐其实并没有完全解决孪生素数猜想。他证明了什么呢？按理应该证明“存在无穷多个差值等于 2  的素数对”，而张益唐证明的是：“存在无穷多个差值小于7000万的素数对”。也就是说，张益唐证明的是比原来猜想更 “弱”一点的命题。原来命题中的差距是2，但这个差距可以放宽，张益唐的工作意味着：如果将间隔放宽到7000万，他就证明出来了。然后呢？然后可以再减小间隔缩小包围圈，如果能一直缩到2，就证明了原来的猜想！

读者可能感觉到7000万 vs 2还差十万八千里！但在张益唐这个结论之前，这个问题是没有上限的，即上限为无限大，张益唐将无限大用有限的7000万 代替，这是里程碑式的进步。后来，陶哲轩等将此上限不断降低，张益唐提交证明之后，上限已降至246。

4. 狄利克雷L函数

研究自然数中的素数分布，也有数学家研究算术（等差）级数中所包含的素数。因为大于 2 的素数都是奇数，所以，等差数列 {1+2k，k=1, 2, 3…} 中包括了除2之外的所有素数，或者说这样的等差数列中包含了无穷多个素数。德国数学家狄利克雷（1805—1859）的“狄利克雷定理”，说的就是关于算术级数中的素数问题。狄利克雷最早将解析的方法用于解决数论问题，称为解析数论。狄利克雷等在解析数论领域发展了一整套工具去研究某些函数的零点问题，包刮应用于哥德巴赫猜想、孪生素数猜想等，也用于关于素数分布等问题上。为了证明“狄利克雷定理”，狄利克雷1837年引进了狄利克雷L函数。

狄利克雷L函数可以看作是黎曼ζ函数的推广：

相较于黎曼ζ函数而言，狄利克雷L函数将求和中的每一项都乘了一个c (n)，称为狄利克雷特征。狄利克雷特征c (n)有下列性质：

1. 存在正整数k使得对于任意n都有χ(n) = χ(n+k)；

2. 对于任意m,n，χ(mn) = χ(m) χ(n)

3. χ(1)=1

其中第1条说明c (n)是以k为周期循环的；第2条说明它是积性函数；第3条给出了c (1)=1时狄利克雷L函数成为黎曼ζ函数，这就保证了L函数的确是ζ函数的推广。通俗的说：满足这三条性质的狄利克雷特征是一组函数c (n)，函数的定义域是自然数，值域可以被限制在只有三种可能：0, 1和-1。

狄利克雷L函数与黎曼ζ函数不同的是，后者是一个函数，前者是一组（可以有无穷多个）函数，只有当狄利克雷特征全为1时，才简化为黎曼ζ函数。所以黎曼ζ函数是狄利克雷L函数的特殊情况，也是最简单的一个情形。

狄利克雷L函数与黎曼ζ函数有许多方面相似，可以互相对应。比如，狄利克雷L函数的零点也有平凡与非平凡之分，非平凡零点也全都位于0＜Re（s）＜1的带状区域（即临界带）内。对应于黎曼ζ函数的黎曼猜想，相应地便有狄利克雷L函数的广义黎曼猜想。

5. 广义黎曼猜想

由于狄利克雷L函数是黎曼ζ函数的推广，所以广义黎曼猜想同样是黎曼猜想的推广。

黎曼猜想：黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s) =1/2的直线上。

广义黎曼猜想：狄利克雷L函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s) =1/2 的直线上。

如果证明了广义黎曼猜想，也就证明了黎曼猜想，但反过来不成立，即否定了广义黎曼猜想，不能肯定黎曼猜想不成立。

原来对ζ函数的欧拉乘积公式（3）：

对应的狄利克雷L函数应该写成：

                                       （6）

研究狄利克雷L函数的零点分布，不仅对于破解广义黎曼猜想和黎曼猜想有用，也可能对解决哥德巴赫猜想和孪生素数猜想等都有所帮助。

       6. 朗道-西格尔零点问题

       黎曼猜想和广义黎曼猜想都尚未被证明，但大多数的数论学家都认为猜想是成立的，即ζ函数或L函数的所有非平凡零点都位于复平面上实部等于 ½的直线上。朗道（1877-1938）和西格尔（1896-1981），是两位德国数学家，朗道是西格尔的导师。他们对狄利克雷L函数的非平凡零点进行了深入的研究，发现满足特殊性质时其对应的L函数可能出现位置异常的零点，难以避免。位置异常的意思是说，这种可能的零点不是位于实部1/2的那条直线上，而是在非常靠近1的地方。这种零点就被称为朗道-西格尔零点（或西格尔零点）。不过，他们也证明了对于狄利克雷L函数，这样的零点顶多只有一个，实部很接近1。

       也就是说，“朗道-西格尔零点”被定义为广义黎曼猜想的反例，而断言此类零点不存在的猜测就被称为朗道-西格尔猜想。

       如果这个朗道-西格尔零点真存在的话，广义黎曼假设就错了，所以事实上，数学家们努力探索西格尔零点问题，就是企图证明这样一个零点不存在。

       目前，张益唐的论文尚未上线，不知道他是证明了西格尔零点存在还是不存在？一般估计应该是不存在，否则就否定了广义黎曼猜测，实在太难以想象！当然，即使论文发表了，正确与否，能否得到同行的接受，还需要长长的审核时间。但不管结果朝向哪个方面，都将是令人兴奋值得期待的重大突破。