第八章 §8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系学习目标XUE XI MU BIAO1.了解空
间中两直线间的位置关系.2.理解空间中直线与平面的位置关系.3.掌握空间中平面与平面的位置关系.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课
时对点练1知识梳理PART ONE1.异面直线(1)定义：不同在 平面内的两条直线.(2)异面直
线的画法(衬托平面法)如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.(3)判断两直线为异面直线
的方法①定义法；②两直线既不平行也不相交.知识点一 空间中两直线的位置关系任何一个2.空间两条直线的三种位置关系共面直线
：在同一平面内，有且只有___________ ：在同一平面内，___
________异面直线：不同在任何一个平面内，___________相交直线平行直线一个公共点没有公共点没有公共点知识点二 直线
与平面的位置关系无数个有且只有一个没有知识点三 平面与平面的位置关系思考 平面平行有传递性吗？答案 有 若α，β，γ为三个不重合的
平面，且α∥β，β∥γ，则α∥γ.没有无数α∥βα∩β＝l思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN Z
HENG WU1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.( )2.两条直线无公共点，则这两条直线平行.( )3.若直线l上
有无数个点不在平面α内，则l∥α.( )4.若两条直线都平行于同一个平面，则这两条直线平行.( )××××2题型探究PART
TWO例1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是______；一、两直线的位置关系
平行解析 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C
.(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是______；异面解析 直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.(3)直线D1D与直
线D1C的位置关系是______；相交解析 直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C的位置关系是______
.异面解析 直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.判断空间两条直线位置关系的决窍(1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和
异面三种位置关系，特别关注异面直线.(2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.跟踪训练1 若a
和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是A.平行 B.异面C.相交 D.平行、相交或异面√解析 可借助长
方体来判断.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面
直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面.二、直线与平面的位置关
系例2 (1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是A.直线上所有的点都在平面外B.直线上有无数多个点都在平面外C.直线上有无
数多个点都在平面内D.直线上至少有一个点在平面内√解析 直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外.(2
)(多选)若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中假命题是A.若a∥b，b?α，则a∥αB.若a∥α，b∥α，则a∥bC.若a∥
b，b∥α，则a∥αD.若a∥α，b?α，则a∥b或a与b异面√√√解析 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥A
B，AB?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，故A错误；A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，但A1B1与B1
C1相交，故B错误；AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，故C错误；因为a∥α，所以a与α无公共点，又b在α
内，所以a与b无公共点，所以a∥b或a与b异面.在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借
助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断.跟踪训练2 下列命题中正确的个数
是①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线
平行；③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α.A.0 B.1 C.2
D.3√解析 如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，
故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC?平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；假设b与α相交，因为a∥b
，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即命题③正确.故选B.三、平面与平面的位置关系例3 (多选)以下四个命题中，正确的有A
.在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行B.在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行C.平面α内△AB
C的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且 不为0，那么这两个平面平行D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为
0，那么这两个平面 平行或相交√√解析 当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以AB
错误.利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出
矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法.跟踪训练3 如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关
系一定是A.平行 B.相交C.平行或相交 D.无法确定√解析 根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面
的位置关系，如图所示.3随堂演练PART THREE1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是A.共面 B.平
行C.异面 D.平行或异面12345√解析 若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直
线.123452.若直线l∥平面α，直线a?α，则A.l∥a B.l与a异面C.l与a相交 D.l与a没有公共点√
解析 若直线l∥平面α，直线a?α，则l∥a或l与a异面，故l与a没有公共点，故选D.123453.(多选)两平面α，β平行，a?
α，则下列四个命题正确的是A.a与β内的所有直线平行 B.a与β内无数条直线平行C.a与β至少有一个公共点 D.a与β
没有公共点√√解析 a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面，A错误，B正确；根据定义，a与β没有公共
点，C错误，D正确.4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AA1异面的棱有____条，正方体ABCD－A1B1C1D1
的六个表面与六个对角面(面AA1C1C，面ABC1D1，面ADC1B1，面BB1D1D，面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面
中，与棱AA1平行的平面有____个.1234543解析 与AA1异面的棱有CD，BC，C1D1，B1C1，共4条；与AA1平行的
面有平面BCC1B1，平面CC1D1D，平面BB1D1D，共3个.5.m与n是异面直线，m∥a，n∥b，则a与b的位置关系是___
________.12345相交或异面课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：(1)两直线的位置关系.(2)直线与平
面的位置关系.(3)平面与平面的位置关系.2.方法归纳：举反例、特例.3.常见误区：异面直线的判断.4课时对点练PART FOUR
基础巩固1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是A.平行或异面 B.相交或异面C.异面 D.相交√
解析 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，
DD1与BC是异面直线，故选B.123456789101112131415162.与同一平面平行的两条直线A.平行 B.相交
C.异面 D.平行、相交或异面√12345678910111213141516解析 与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种
情况：平行、相交或异面.3.过平面外两点作该平面的平行平面，可以作A.0个 B.1个C.0个或1个
D.1个或2个12345678910111213141516√解析 平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况：①直线与
平面相交，可以作0个平行平面；②直线与平面平行，可以作1个平行平面.4.若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是A.三
条交线为异面直线B.三条交线两两平行C.三条交线交于一点D.三条交线两两平行或交于一点√解析 三个平面两两相交，有两种情况：一是如
三棱柱的三个侧面，三条交线两两平行；二是如三棱锥的三个侧面，三条交线相交于一点.123456789101112131415165.
长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有A.2对 B.3对 C.6对 D
.12对√解析 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中没有与体对角线AC1平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在
的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，
∴长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对.123456789101112131415161234567891011
12131415166.不重合的两个平面把空间分成________部分.3或4解析 若两个平面平行，则把空间分成3部分；若两个平面
相交，则把空间分成4部分.7.若点A∈α，B?α，C?α，则平面ABC与平面α的位置关系是_______.123456789101
11213141516相交解析 ∵点A∈α，B?α，C?α，∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，∴平面ABC与平面α的位置关系
是相交.123456789101112131415168.在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有_____对.8解析
以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成
2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线.9.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线B1D1与长方体的六个面之
间的位置关系如何？12345678910111213141516解 B1D1在平面A1C1内，B1D1与平面BC1，平面AB1，平
面AD1，平面CD1都相交，B1D1与平面AC平行.10.如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b，a与
β的位置关系并证明你的结论.解 a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a?α且a?γ，由β∩γ＝b知b?β且b?γ，∵α∥β，a
?α，b?β，又∵a?γ且b?γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点.又a?α，∴a与β无公共点，∴a∥β.∴a，b无公共点.1
2345678910111213141516综合运用11.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是A.相交
B.平行C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内√12345678910111213141516解析 延长各侧棱可恢复成棱锥
的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.12.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是A.α内的所有直线均与
a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线均与a相交D.直线a与平面α有公共点√1234567891011121314151
6解析 若直线a不平行于平面α，则a∩α＝A或a?α，故D项正确.13.(多选)以下四个命题中正确的有A.三个平面最多可以把空间分
成八部分B.若直线a?平面α，直线b?平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价C.若α∩β＝l，直线a?平面α，直线b?平面β
，且a∩b＝P，则P∈lD.若n条直线中任意两条共面，则它们共面√√解析 对于A，正确；对于B，逆推“α与β相交”推不出“a与b相
交”，也可能a∥b，故B错误；对于C，正确；对于D，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故D错误.123456
789101112131415161234567891011121314151614.在以下三个命题中，正确的命题是①平面α内有两
条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③在平面α，β内分别有一条直线，这两条直
线互相平行，那么这两个平面平行或相交.A.①② B.②③C.③ D.①③√1234567891011121314151
6对于②，平面AA1D1D中，与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于
直线A1D1，故命题②错.命题③是正确的.解析 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①，平面AA1D1D中，AD∥
平面A1B1C1D1，分别取AA1，DD1的中点E，F，连接EF，则EF∥平面A1B1C1D1，但平面AA1D1D与平面A1B1C
1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错；拓广探究15.如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中A.AB∥CD B.AD
∥EFC.CD∥GH D.AB∥GH√解析 把正方体的展开图还原成正方体，得到如图所示的正方体，由正方体性质得，AB与CD
相交，AD与EF异面，CD与GH平行，AB与GH异面.1234567891011121314151616.如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A?l，B?l，C?l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.1234567891011121314151612345678910111213141516解 平面ABC与平面β的交线与l相交.证明如下：∵AB与l不平行，且AB?α，l?α，∴AB与l是相交直线.设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l.又∵AB?平面ABC，l?β，∴P∈平面ABC且P∈平面β，即点P是平面ABC与平面β的一个公共点，而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，12345678910111213141516又∵P，C不重合，∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，即平面ABC∩平面β＝直线PC，而直线PC∩l＝P，∴平面ABC与平面β的交线与l相交.本课结束 |
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