八上数学期末复习 第一章：勾股定理一：勾股定理直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方．（即：）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间
的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角
三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图
、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）常见的证明方法有以下三种： 勾股定理的适用范围：仅限于直角三
角形二：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：、、，则有关系，那么这个三角形是直角三角形．要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形
是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：；（2）验证与是否具有相等关系，若，则是以为直角的直角三角形（若，
则是以为钝角的钝角三角形；若，则为锐角三角形）．三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其
逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关．规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形
面积与代数恒等式的关系相互转化证明的．2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目．3
．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误．4．勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边
长、、，有下列关系：，那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．5．应用勾股定理的逆定理
判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．四：勾股数满足的三个正整数，称为勾股数．
（勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数，即：如果为正整数，、、是一组勾股数（最大）
，那么、、也是一组勾股数）常见勾股数如下：3，4，56，8，109，12，1512，16，2015，20，255，12，137，2
4，259，40，4110，24，268，15，17规律：（1）短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短
直角边的平方．即当为奇数且时，如果那么、、就是一组勾股数．如（3，4，5）（5，12，13）（7，24，25）（9，40，41）…
…（2）大于2的任意偶数，都可构成一组勾股数分别是：；；如：（6，8，10）（8，15，17）（10，24，26）……五：常见题型
应用（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积……（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的
长度/斜边上的高线/周长/面积……（3）判定三角形形状（4）构建直角三角形解题&实际应用：风吹树倒、墙角梯子、最短路径、折叠问题…
三角形的边长之比为：①；②；③；④．其中可以构成直角三角形的有 A．1个B．2个C．3个D．4个已知在中，，若，，则的面积是
B．C．D．如图，在矩形中，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上处，则的长是 A．3B．C．5D．小红想知道我校旗杆的高度，她发现旗
杆顶端的绳子垂直到地面上还多1米，当她把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度是 米．如图所示，所有的四边形都是
正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形、、、的面积的和是 ．一架方梯长13米，如图，斜靠在一面墙
上，梯子底端离墙为5米，(1) 这个梯子的顶端距地面有多高？(2) 如果梯子的顶端下滑了3米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
第二章：实数一：实数的概念及分类 实数的分类 2．无理数：无限不循环小数叫做无理数．在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一
时之，归纳起来有四类：开方开不尽的数，如；等（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如等（3）有特定结构的数，如……等（
4）某些三角函数值，如等（了解）二：实数的倒数、相反数和绝对值1．相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反
数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果与互为相反数，则有，，反之亦成立．2．绝对值在数轴
上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值（）．零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若，则；若，则．3．倒数如果与互为
倒数，则有，反之亦成立．倒数等于本身的数是1和．零没有倒数．4．数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上
述规定的三要素缺一不可）．解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用．5．估算三：平方根、算数平
方根和立方根1．算术平方根：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根．特别地，0的算术平方根是0．表示方
法：记作“”，读作根号．性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零．2．平方根：一般地，如果一个数的平方等于，即，那
么这个正数就叫做的平方根（或二次方根）．表示方法：正数的平方根记做“”，读作“正、负根号”．性质：一个正数有两个平方根，它们互为相
反数；零的平方根是零；负数没有平方根．开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．注意的双重非负性： 3．立方根一般地，如果一个
数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（或三次方根）．表示方法：记作性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零．注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面．常见的平方数：；；；；； ；；；；；；；；；；；；；．常见的立方数
： ； ； ； ； ．四：实数大小的比较1．实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，
右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小．2．实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左
边的数大．（2）求差比较：设、是实数，．（3）求商比较法：设、是两正实数，．（4）绝对值比较法：设、是两负实数，则．（5）平方法：
设、是两负实数，则．五：算术平方根有关计算（二次根式）1．含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数．2．性质：（1） （2） （3
） （）（4） （）3．运算结果若含有“”形式，必须满足（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因
数或因式．六：实数的运算（1）实数的运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的．（2）运算律：加
法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 下列说法错误的是（ ）A．5是25的算术平方根B．1
的立方根是C．没有平方根D．0的平方根与算术平方根都是0 数字，，，，，中是无理数的个数有（ ）个．A．1B．2C．3D．4
已知，如图，，那么数轴上的点所表示的数是（ ）A．B．C．D． 某个正数的平方根是与，的立方根是2，则这个正数是 ． (1
) 比较大小： 3(2) 与的大小关系 (3) 用“”或“”填空： 实数在数轴上的位置如图所示，化简：． (1) (2) 第三章
：位置与坐标一：确定位置在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据．二：平面直角坐标系及有关概念1．平面直角坐标系在平面内，两条互相
垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系．其中，水平的数轴叫做轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做轴或纵轴，取向上为正方向；
轴和轴统称坐标轴．它们的公共原点称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面．2．为了便于描述坐标平面内点的位置，把
坐标平面被轴和轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限． 注意：轴和轴上的点（坐标轴上的点），不属于任
何一个象限．3．点的坐标的概念对于平面内任意一点，过点分别轴、轴向作垂线，垂足在上轴、轴对应的数、分别叫做点的横坐标、纵坐标，有序
数对叫做点的坐标．点的坐标用表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒．平面内点的坐标是有序
实数对，当时，和是两个不同点的坐标．平面内点的与有序实数对是一一对应的．4．不同位置的点的坐标的特征（1）各象限内点的坐标的特征
点在第一象限 点在第二象限点在第三象限 点在第四象限（2）坐标轴上的点的特征点在轴上，为任意实数点在轴上，为任意实数点既在轴上，又
在轴上，同时为零，即点坐标为即原点（3）两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点在第一、三象限夹角平分线（直线）上与相等点在第二、四
象限夹角平分线上与互为相反数（4）和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于轴的直线上的各点的纵坐标相同．位于平行于轴的直线上的
各点的横坐标相同．（5）关于轴、轴或原点对称的点的坐标的特征点与点关于轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点关于轴的对称点为；点
与点关于轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点关于y轴的对称点为；点与点关于原点对称横、纵坐标均互为相反数，即点关于原点的对称点
为；（6）点到坐标轴及原点的距离点到坐标轴及原点的距离：①点到轴的距离等于②点到轴的距离等于③点到原点的距离等于三：坐标变化与图形
变化的规律坐标的变化 图形的变化 或被横向或纵向拉长（压缩）为原来的倍 ， 放大（缩小）为原来的倍 或 关于轴或轴对称 ， 关于
原点成中心对称 或 沿轴或轴平移个单位 ，沿轴平移个单位，再沿轴平移个单位 (1) 点关于轴的对称点的坐标是（ ）A．B．C
．D．(2) 平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是（ ）A．B．C．D． 将点沿轴方向向左平移3个单位，再沿轴方向向上平
移2个单位，所得的点的坐标是（ ）A．B．C．D． 在直角坐标系中，的顶点，，，将平移得到△，点、、分别对应、、，若点，则点
的坐标（ ）A．B．C．D． (1) 如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知黑棋（甲的坐标为黑棋（乙的坐标为，则白棋（甲
的坐标是（ ）第4题（1）图第4题（2）图A．B．C．D．(2) 如图，、两点的坐标分别为、，在同一坐标系内点的坐标为 ．
(1) 点到轴的距离为 ．(2) 在平面直角坐标系中，点到轴距离是 ．(3) 在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到
轴的距离是4，则点 坐标为 ． 在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所示的两个标志点、，已知两点到“宝藏”点的距离都是，则“
宝藏”点的坐标是 ．第四章：一次函数一：函数一般地，在某一变化过程中有两个变量与，如果给定一个值，相应地就确定了一个值，那么我们称
是的函数，其中是自变量，是因变量．二：自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围．一般从整式（取全体实数
），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑．三：函数的三种表示法及其优缺点（1）关系式（解析）法两个
变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法．（2）列表法把自变量的一系
列值和函数的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法．（3）图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法．四：由函数关系式
画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连
线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来．五：正比例函数和一次函数正比例函数和一次函数的概念：一般地，若两个变
量，间的关系可以表示成（，为常数，）的形式，则称是的一次函数（为自变量，为因变量）．特别地，当一次函数中的时（即）（为常数，），称
是的正比例函数．一次函数的图像：所有一次函数的图像都是一条直线，由于一次函数的图像是直线，所以只要确定两个点就能画出它，一般选取直
线与轴，轴的交点．3．一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数的图像是经过点的直线；正比例函数的图像是经过原点的直线． 经过第
一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，随的增大而增大经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二
、四象限图象从左到右下降，随的增大而减小注：当时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例．六： 用待定系数法求一次函数
解析式（1）待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．（2）用待
定系数法求函数解析式的一般步骤：①据已知条件写出含有待定系数的解析式；②将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到
以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程（组），得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式
．七： 求一次函数的交点1．正比例函数与轴，轴的交点都是．2．一次函数与坐标轴交点：一次函数与轴交点，令，则，交点坐标为；一次函数
与轴交点，令，则，交点坐标为．3．求两个一次函数交点坐标：联立两直线的解析式组成方程组，方程组的解就是交点的纵横坐标．4．直线与坐
标轴围成的三角形面积为：．八： 一次函数与一元一次方程的关系 任何一个一元一次方程都可转化为：（，为常数，）的形式．而一次函数解析
式形式正是（，为常数，）．当函数值为0时，即就与一元一次方程完全相同．结论：由于任何一元一次方程都可转化为（，为常数，）的形式．
所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标． 如图，
在同一平面直角坐标系中，表示一次函数与正比例函数，是常数，且图象的是（ ）A．B．C．D． 如图①是某公共汽车线路收支差额（
票价总收入减去运营成本）与乘客量的函数图象，目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会，乘客代表认为：公交公司应降低
运营成本，实现扭亏，公交公司认为：运营成本难以下降，提高票价才能扭亏根据这两种意见，把图①分别改画成图②和图③．则下列判断不合理的
是（ ）A．图①中点的实际意义是公交公司运营后亏损1万元B．图①中点的实际意义是乘客量为1.5万时公交公司收支平衡C．图②能
反映公交公司意见D．图③能反映乘客意见 如图，在平面直角坐标系中有直线和点，小明进行如下操作：过点作轴，交直线于点，过点作，交轴于
点；再过作轴，交直线于点，过点作，交轴于点；以次类推，则的坐标为 ． 为准备学校读书节活动的奖品，小丽同学查询了学校附近甲、乙两个
商店笔记本的价格，已知两商店的标价都是每本5元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的八折卖；乙商店的优惠条
件是：从第一本开始就按标价的九折卖．设购买本笔记本时，甲商店收费为（元，乙商店的收费为（元．(1) 当时，分别写出、与的函数关系式
．(2) 如果小丽要买30本时，到哪个商店购买较省钱？(3) 如果这次活动的奖品经费只有270元，在这两个商店里，最多可买多少本？
在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线 交于点．(1) 求点的坐标．(2) 若是轴上的一个动点，直接写出当是等腰
三角形时的坐标．(3) 在直线上是否存在点，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 如图，，是直线
与坐标轴的交点，直线过点，与轴交于点．(1) 求，，三点的坐标；(2) 当点是的中点时，在轴上找一点，使的和最小，画出点的位置，并
求点的坐标．(3) 若点是折线上一动点，是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．第五章：二元一
次方程组一：二元一次方程概念及解法1．二元一次方程二元一次方程定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二
元一次方程．注意：二元一次方程必须满足以下四个条件：①二元：含有两个未知数；②一次：所含未知数的项的次数都是1（未知项次数而不是常
数项次数是1）．例： 中次数是1，次数是1，所以是二次，属于二元二次方程．③方程：一个整式方程，含有未知数的式子都是整式（分母不能
出现未知数）．考题特点：给定字母方程，要求满足二元一次方程，求给定方程相关问题．2．二元一次方程的解： 适合二元一次方程的一组未知
数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．注意：①二元一次方程有两个未知数，所以二元一次方程的解包括两个值，是一对值而不是一个值．②二
元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解．求二元一次方程的解的方法：①先用含有其中一个未知数的代数式
表示另一个未知数；②给出的一个值，就能对应地求出一个的值；这样得到的每一对与的对应值都是这个二元一次方程的解．注意：①移项的时候符
号问题 ②求解的结果加“”二：二元一次方程组概念及解法1．二元一次方程组的定义：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫
做二元一次方程组．辨误区 二元一次方程组的特点①二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程
不必同时含有两个未知数，如也是二元一次方程组；这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须一共含有两个未知数．②方程
组中的各个方程中，相同字母必须代表同一数量．③判断二元一次方程组要化简，最简形式符合二元一次方程组概念．2．二元一次方程组的解：一
般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．常见的二元一次方程组有两种：①两个二元一次方程组成的二元一次方程组
；②一个一元一次方程和一个二元一次方程组成的方程组．无论哪一种情形，方程组的解都指组成方程组的两个方程的公共解，一般常见的二元一次
方程组有唯一解．注意：有个别方程组有无数多个解，如：；有的方程组无解，如：．3．求解二元一次方程组：①选项直接代入：将这对数值分别
代入方程组中的每一个方程中，只有当这对数值满足所有的方程时，才能说它是方程组的解，若这对数值不满足其中一个方程，则它不是方程组的解
．注意：二元一次方程组的解一定是方程组中的任何一个方程的解，而二元一次方程的解不一定是方程组的解．②解方程组【化二元变一元】（1）
代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程
组的解．这个方法叫做代入消元法，简称代入法．基本思路：未知数由多变少．消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程．步骤：
①变： ②代： ③解： ④回：即“回代” ⑤联：把、的值用“”联立起来（2）加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的
系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
步骤： ①乘： ②加减： ③解： ④回： ⑤联：注意：加减消元法运用“乘”时，等式两边都要同时乘以这个数；运用“减”时
注意是否变号的问题．（3）换元法例 令，原方程可写为 解得： 所以 解得： 特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的，之类，
换元后可简化方程．（4）另类换元 例 令，原方程可写为：，则，解得：所以 （5）整体思想解方程组． ①整体代入．解方程组方程①的左
边可化为，把②中的看作一个整体代入③中，可简化计算过程，求得．从而求出方程组的解． ②整体加减因为方程①和②的未知数、的系数正好对
调，所以可采用两个方程整体相加减求解．利用，得，利用，得，可使③、④组成简单的方程组求得、．三：二元一次方程组应用题1．列方程组解
应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化成“已知”的重要方法．它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一
般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：（1）方程两边表示的是同类量；（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的
数值要相等．2．常用的数量关系有：（1）路程＝速度×时间；（2）工作量＝工作效率×工作时间；（3）商品的销售额＝商品销售价×商品销
售量；（4）商品的总销售利润＝（销售价－成本价）×销售量；（5）商品售价＝标价×折数；（6）商品的利润率＝×100%．还要正确理解
一些关键词表达的同类量之间的特殊的等量关系，如“提前”“超过”“早到”“迟到”“几倍”“增加了”“相向而行”“同向而行”等．（7）
个位数字为十位数字为的两位数为； 较大的两位数为较小的两位数，将较大的写在左边的四位数是．四：用二元一次方程确定一次函数（1）二元
一次方程与一次函数的关系若，表示常数且，则为二元一次方程，有无数个解；将其变形可得，将，看作自变量、因变量，则是一次函数．事实上，
以方程的解为坐标的点组成的图象与一次函数的图象相同．以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的函数图象上；一次函数的图象上的点的坐标都
适合对应的二元一次方程．（2）二元一次方程与对应两条直线的关系①方程组的解是对应的两条直线的交点坐标；②两条直线的交点坐标是对应的
方程组的解．特别的：两平行直线的相等；方程组中两方程未知数的系数对应成比例方程组无解，对应的两直线平行（了解）．（3）用图象法求二
元一次方程组的近似解用图象法求二元一次方程组的近似解的一般步骤：①先把方程组中两个二元一次方程转化为一次函数的形式：和；②建立平面
直角坐标系，画出两个一次函数的图象；③写出这两条直线的交点的横纵坐标，这两个数的值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是，纵
坐标是．（4）利用二元一次方程组确定一次函数的表达式每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解
方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标；因此
一次函数与二元一次方程组有密切联系．利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的一般步骤如下：①写出函数表达式：一次函数；②把已知条件
代入，得到关于，的方程组；③解方程组，求出，的值，写出其表达式． 已知关于、的方程组的解是，则的值为（ ）A．3B．2C．1
D．0 如图，已知一次函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是 ．如图，在平面直角坐标系内，一次函数与正比例函数的图象相交于点，
且与轴交于点，点的纵坐标为2，则根据图象可得二元一次方程组的解是 ． 解方程组：(1) (2) 为方便市民出行，减轻城市中心交通压
力，佛山市掀起新一轮城市基础设施建设高潮，动工修建贯穿东西、南北的地铁2、3号线，已知修建地铁2号线32千米和3号线66千米共投资
581.6亿元；且3号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.2亿元．(1) 求2号线、3号线每千米的平均造价分别是多少亿
元？(2) 除地铁1、2、3号线外，佛山市政府规划未来五年，还要再建168千米的地铁线网．据预算，这168千米地铁线网每千米的平均
造价是3号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？ 某公司在手机网络平台推出的一种新型打车方式受到大众的欢迎．该打车方式
的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按元千米计算，耗时费按元分钟计算．小聪、小明两人用该打车方式出行，按上述计价规则，他们打车
行驶里程数、所用时间及支付车费如下表：里程数（千米）时间（分钟）车费（元小聪3109小明61817.4(1) 求，的值；(2) 该
公司现推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元千米的里程费，小强使用该方式从三水荷花世界打车到
大旗头古村，总里程为23千米，耗时30分钟，求小强需支付多少车费．第六章：数据的分析一：平均数1．加权平均数： 若个数的权分别是，
则有：叫这个数的加权平均数．2．当权为1时，就是我们小学学的算术平均数： 若个数的权，则有：叫这个数的算术平均数．注：实际上小学学
的就是加权平均数，只不过权都是1．3．权的表现形式： 百分数、频数、频率、个数、人数、比例等都代表权．4．一个小组的组中值=（两
端点数的平均数）；小组中的极差=最大值-最小值．5．若数据的平均数是，则新数据的平均数是．6．权可反映数据的相对“重要程度”，要突
出某个数据，只需赋予较大的权，权的差异对结果产生直接影响．7．比赛打分情况：求平均数，需要去掉最高分和最低分，再求平均数，才是平均
分．8．常用样本平均数估计总体平均数．主要是：利用已知的数据求出平均数，再根据题要求，按月、总数等类似于权一样的数据，就可以得出整
体平均数，即可继续依题意解题．9．平均数和加权平均数： ①都反映一组数据的集中趋势的“特征数” ②因权不同，加权平均数更能反映数据
真实性．10．平均数描述的是一组数据平均水平，受极端值影响很大，数据中任何一个数据变动都会影响平均数的变动．二：中位数1．求法：
①将个数由小到大（由大到小）排序，相同数排在一起，不可算作一个数据． ②当为奇数时，第个为中位数，当为偶数时，第个和第个数的平均数
为中位数．2．中位数描述数据集中趋势，代表数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不可利用所有数据信息．三：众数 反应一组数据中
出现次数最多的数据．注意：①共同点：三者都反映数据的集中趋势的特征数．平均数反映整体数集中，中位数反映中间数，众数反映最多数．②一
组数据中，判断好坏，一般看平均分高低，当平均分相同时，看中位数，中位数相同时，看众数．四：数据的波动程度1．方差：若有个数，各个数
据与它们的平均数的差的平方是，它们的平均数就是方差：．①求方差步骤：先求平均数，再求差，然后求平方，最后再求平均数即可，简记：方差
等于差方的平均数．②▲切记权不可平方．③一般小题中，可演算求差，直接写答案，以防繁琐．④▲若出现相同数据，则数出个数作为权，并乘以
差方数，这样可以简化过程．2．方差越大，波动越大，方差越小，波动越小，越稳定．图像波动越大方差越大，波动越小方差越小，越稳定．3．
一组数据中每个数都相等，方差为04．方差是用来描述数据波动情况的特征数；▲平均数与数据的差越小，差的平方就小，方差就小，反之亦然．
5．在两组数据平均数相等或比较接近时，才用方差来比较两组数据的波动大小．（▲因其他情况方差越小不一定稳定）6．标准差：7．原来方差
为,每个数据都乘以或除以，平均数也乘以或除以，则方差变为或8．原数据每个数据都加或减去数，平均数也相应的加或减去数，但方差不会改变
． 佛山广告公司根据实际需要，将专业知识、工作经验、仪表形象三项测试得分按比例确定应聘者的测试成绩，若某人专业知识、工作经验、仪表
形象的三项得分分别为80分、74分、76分，此人的测试成绩为（ ）分．A．80B．76.7C．78D．76 如表记录了甲、乙
、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数375350375350方差12.513.52.45.4要从中选择一
名成绩好又发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁 关于一组数据：1，3，6，5，5，下列说法错误
的是（ ）A．平均数是4B．众数是5C．中位数是6D．方差是3.2 某地教育局拟招聘一批数学教师，现有一名应聘者笔试成绩88
分、面试成绩90分，综合成绩按照笔试占、面试占进行计算，该应聘者的综合成绩为 分． 国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1
小时”，某市就“你每天在校体育活动时间是多少？”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示
，其中分组情况是：组：；组：；组：；组：．请根据上述信息解答下列问题(1) 补全条形统计图；(2) 某市约有25000名初中学生，
请你结合以上数据进行分析：① 估计达到国家规定体育活动时间的人数是多少？② 如果要估算本市初中生每天在校体育活动时间是多少，你认为
选择众数、中位数和平均数三个量中的哪个更合适？ 甲、乙两名运动员参加射击训练，成绩分别制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数
据如下：平均成绩环中位数环众数环方差甲74.2乙78(1) 写出表格中、、的值；(2) 求的值（写出计算过程）(3) 运用上表中的
四个统计量，分析这两名队员的射击训练成绩，若派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？第七章：平行线的证明一：定义、命题及证明1．定义：
一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义．2．命题：判断一件事情的句子，叫做命题． 要点诠释：（1）每个命题都由题
设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题． （3）公认
的真命题叫做公理． （4）经过证明的真命题称为定理．3．互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样
的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4．证明: 在很多情况
下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明． 要点诠释：（1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都
正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基
本事实、定理等．（3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．二：平行线的判定与性质
1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点
诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直
线平行．（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）．（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平
行．（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等．性质2：两直线
平行，内错角相等．性质3：两直线平行，同旁内角互补．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线
平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．三：三角形
的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．要点诠释：（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论．
（2）推论可以当做定理使用．三角形的外角等于不相邻两内角和． 下列命题是假命题的是（ ）A．数（每相邻两个5之间的8的个数逐
次加是无理数B．三角形的最大内角可能少于C．直角坐标系中，与轴平行的一条直线上任意两点的纵坐标相等D．将直角三角形的三边长同时扩大
相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形 如图1，已知，直线，被所截，点在上，若，，则（ ）A．B．C．D． 将一矩形纸条，按
如图2所示方式折叠，则 ． 如图3，在中，平分，平分，，则的度数是 ．图1 图2
图3 如图所示，线段、分别与相交于点、．如果，．求证：． 阅读下面的材料，并解决问题．(1
) 已知在中，，图的的内角平分线或外角平分线交于点，请直接求出下列角度的度数．如图1， ；如图2， ；如图3， ；如图4，，的三等
分线交于点，，连接，则 ．(2) 如图5，点是两条内角平分线的交点，求证：．(3) 如图6，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，
若，，求的度数．练一练答案第一章勾股定理1、C 2、D 3、C 4、12 5、6、解：（1），，（2），，，，梯子的底端在水平方向
滑动了米．第二章实数B 2、C 3、C 4、4 5、(1) ＜ (2) ＞ (3) ＜6、解：原式，，原式．7、(1) (2
) 第三章位置与坐标1、(1) D (2) D 2、B 3、C 4、(1) D (2) 5、(1) 12 (2) 2 (3)
6、或第四章一次函数1、A 2、A 3、，4、(1) 由题意可得，当时，，，即当时，、与的函数关系式分别是：，；(2) 当时，，
，，如果小丽要买30本时，到甲商店购买较省钱；(3) 令，得，当购买20本时，两家商店一样，当大于20本时，在甲商店比较合算，令，
则，得，答：如果这次活动的奖品经费只有270元，在这两个商店里，最多可买65本．5、(1) 联立两直线解析式成方程组，得：，解得：
，点的坐标为；(2) 设点，而点，点；，，；当时，，解得：；当时，同理可得：（舍去）或8；当时，同理可得：；故点的坐标为：或或，或，；当时，有，解得：，点的坐标为，，．设当在轴下方时，的面积是面积的2倍，的面积等于的面积，当时，，，，当在轴上方时，的面积是面积的2倍，的面积等于的面积的3倍，；解得：，所以．当时，，，，综上所述，或．6、解：(1) 在中，令，得，令，得，，．把代入，，得直线为：．在中，令，得，点的坐标为；（2）如图点为所求点是的中点，，．．点关于轴的对称点的坐标为．设直线的解析式为．把，代入一次函数表达式并解得：故该直线方程为：．令，得点的坐标为，．（3）存在，点的坐标为或．①当点在上时，由得到：，由等腰直角三角形求得点的坐标为；②当点在上时，如图，设交轴于点．在与中，，，，．，点的坐标为，易得直线的解析式为，与组成方程组并解得：，交点的坐标为．第五章二元一次方程组1、A 2、 3、 4、(1) (2) 5、解：（1）设2号线每千米的平均造价是亿元，3号线每千米的平均造价是亿元，由题意得出：，解得：，答：2号线每千米的平均造价是5.8亿元，3号线每千米的平均造价是6亿元；（2）由（1）得出：（亿元），答：还需投资1209.6亿元．6、(1) 根据题意得：，解得：．答：，的值分别为：2；0.3．(2) （元．答：小强需支付64元车费．第六章数据的分析1、C 2、C 3、C 4、89.15、（1）组的人数为（人，补全条形图如下：（2）①估计达到国家规定体育活动时间的人数是（人；②如果要估算本市初中生每天在校体育活动时间是多少，选择平均数更合适．6、（1）乙运动员射击成绩的平均数（环，甲运动员射击成绩按从小到大顺序排列为：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，中位数；众数；（2）乙运动员射击成绩的方差；（3）这两名队员的射击训练成绩的平均成绩相同，而乙运动员的成绩的方差比甲运动员的成绩的方差小，选择乙运动员参赛．第七章平行线的证明1、B 2、D 3、 4、5、证明：，，，又，，，．6、解；（1）如图1，平分，平分，；如图2，平分，平分，如图3，平分，平分， 如图4，，的三等分线交于点，，，平分，平分，平分；（2）证明：平分，平分，，，．（3），或由题意，设，，，，，．zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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