九年级数学中考复习专题：三角形综合（考查全等证明、长度与面积计算等）（四）1．已知：如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），AB＝
6，点P从点O出发沿线段OA向终点A运动，点P的运动速度是每秒2个单位长度，点D是线段OA的中点．（1）求点B的坐标；（2）设点P
的运动时间为点t秒，△BDP的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当点P与点D重合时，连接BP，点E在线段AB上，连接PE，当∠
BPE＝2∠OBP时，求点E的坐标．2．如图，在△ABC中，点E在AC边上运动（不含端点），BE平分∠DBC交DA于点P，且DB＝
BC．（1）试说明：∠PEA＝∠DEB；（2）过点B作BF⊥AD交于点F，若∠P＝∠ABC＝60°，试说明：AB＝BC；（3）在（
2）的条件下，试探究PA、PD、PB满足怎样的数量关系？说明理由．3．在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，b）在y轴正半
轴上，连接AB，在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，连接OC．（1）求△OAC的面积；（2）过C作CD⊥
x轴于点D，在CD上截取CE＝AD，连接OE，求证：OE∥BC；（3）在（2）的条件下，连接AE，∠AED＝∠BOC，求OB+OC
的值．4．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，4），且满足（a+5）2+＝0，过C作CB⊥x轴于B．（1）a＝
，b＝ ，三角形ABC的面积＝ ；（2）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠
AED的度数；（3）在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC和三角形ACP的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．5
．【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．【经验发展】面积比和线段比的联系：（1）如图1，M为△ABC的AB
上一点，且BM＝2AM，．若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S＝ （用含a的代数式表示）．【结论应用】如图2，已知
△CDE的面积为1，，，求△ABC的面积．【迁移应用】如图3，在△ABC中，M是AB的三等分点（AM＝AB），N是BC的中点，若△
ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积为 ．6．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“
灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也
是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段O
B于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．（1）∠ABO的度数为 °，△AOB ．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（2
）若∠BAC＝70°，则△AOC （填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
7．如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，且∠ADE＝90°，∠DEF＝90°，点P是FC上一点，直线
DP交直线EF于点G，试探究∠BDP与∠EGP之间的数量关系．（1）请你完成这道思考题；（2）若将题中的条件“∠ADE＝90°，∠
DEF＝90°，点P是FC上一点”改为“∠AED＝∠C，∠B＝∠DEF，点P是线段BC上一点（点P不与点F重合）”，其他条件均不变
，则（1）中的结论是否仍然成立？请在备用图上画出图形，并说明理由．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC与∠BAC的角
平分线相交于点P，连接CP，过点P作DE⊥CP分别交AC、BC于点D、E，（1）若∠BAC＝40°，求∠APB与∠ADP度数；（2
）探究：通过（1）的计算，小明猜测∠APB＝∠ADP，请你说明小明猜测的正确性（要求写出过程）．9．如图所示，已知在△ABC中，A
B＝AC＝10cm，BC＝8cm，D为AB中点．点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，点Q在线段CA上以cm/s的速
度由C点向A点运动，P、Q两点同时出发．（1）设运动时间为t，则BP的距离可表示为 ；CQ的距离可表示为 ；（2）在点P、
Q的运动过程中，存在某一时刻，使得△BPD≌△CPQ吗？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（3）若点P、Q均以原来的速
度按逆时针方向沿△ABC的三边循环运动，经过多长时间点P与点Q第一次相遇？此时它们在哪条边上？10．在矩形ABCD中，E是AD延长
线上一点，F、G分别为EC、AD的中点，连接BG、CG、BE、FG．（1）如图1，①求证：BG＝CG；②若GF＝3，求BE的长；（
2）如图2，若ED＝CD，过点C作CH⊥BE于点H，若BC＝4，∠EBC＝30°，求EH的长．参考答案1．解：（1）∵A（6，0）
，∴OA＝6，在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，AB＝6，OA＝6，∴OB＝＝＝6，∴B（0，6）．（2）①当0＜t＜3时，S
＝?PD?BO＝?（3﹣2t）×6＝9﹣6t，当3＜t≤6时，S＝?DP?OB＝（2t﹣3）×6＝6t﹣9．（3）如图，作PJ∥O
B交AB于J，过点E作EK⊥OA于K．∵PJ∥OB，∴∠OBP＝∠BPJ，∵∠BPE＝2∠OBP，∴∠JPE＝∠OBP，∵EK∥P
J，∴∠PEK＝∠JPE＝∠OBP，∴tan∠PEK＝tan∠OBE＝，∴＝，设PK＝m，则EK＝2m，∵OA＝OB＝6，∠AOB
＝90°，∴∠EAK＝45°，∵EK⊥OA，∴∠EKA＝90°，∴∠EAK＝∠KEA＝45°，∴EK＝AK＝2m，∴PA＝3m＝3
，∴m＝1，∴OK＝4，EK＝2，∴E（4，2）．2．（1）证明：∵BE平分∠DBC，∴∠EBD＝∠EBC，∵EB＝EB，DB＝C
B，∴△EBD≌△EBC（SAS），∴∠DEB＝∠CEB，∵∠PEA＝∠CEB，∴∠PEA＝∠DEB．（2）证明：∵∠P＝∠ABC
＝60°，BF⊥DP于F，∴∠FBP＝30°，∴∠EBC＝∠EBD，∠ABE+∠EBC＝∠ABE+∠DBE＝60°，∴2∠ABE+
∠ABF+∠FBD＝60°，∴∠ABE+∠FBD＝∠ABE+∠ABF＝30°，∴∠DBF＝∠ABF，∵∠DBF+∠BDF＝90°，
∠ABF+∠BAF＝90°，∴∠BDF＝∠BAF，∴BD＝BA，∵BD＝BC，∴BA＝BC．（3）结论：PA+PD＝PB．理由：由
（2）可知，BD＝BA，∵BF⊥AD，∴AF＝DF，∵∠BFP＝90°，∠FBP＝30°，∴PB＝2PF＝2（PA+AF）＝PA+
PA+2AF＝PA+PA+AD＝PA+PD．即PA+PD＝PB．3．解：（1）如图1中，过点C作CH⊥x轴于H．∵A（3，0），∴
OA＝3，∵∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，∴∠OAB+∠CAH＝90°，∠CAH+∠ACH＝90°，∴∠OAB＝∠ACH，
∵AB＝AC，∴△AOB≌△CHA（AAS），∴OA＝CH＝3，∴S△AOC＝?OA?CH＝．（2）如图2中，连接OE．∵△AOB
≌△CDA，∴OB＝AD，∵CE＝AD，∴OB＝CE，∵OB∥CD，∴四边形OECB是平行四边形，∴OE∥BC．（3）如图3中，作
∠BOC的角平分线OJ交DC的延长线于J．连接OC，AJ，OE，AE．∵OJ平分∠BOC，∴∠BOJ＝∠JOC，∵DJ∥OB，∴∠
OJC＝∠BOJ，∴∠OCJ＝∠CJO，∴OC＝CJ，∵∠AED＝∠OBC，∴∠AED＝∠OJC，∴AE∥OJ，∴S△ACJ＝S△
OAC，∴＝，∴＝，∵EC＝OB＝AD＝b，OA＝CD＝3，∴OC＝CJ＝，DE＝3﹣b，∴＝，∴＝﹣3﹣b，∴9+9+6b+b2
＝+9+b2﹣+6b﹣18，整理得，3（）2﹣﹣1＝0，解得＝1或﹣（舍弃），∴b＝1，经检验b＝1是方程的解，∴OB＝1，OC＝
5，∴OB+OC＝6．4．解：（1）∵（a+5）2+＝0，又∵（a+5）2≥0，≥0，∴a＝﹣5，b＝5，∵CB⊥x轴，∴点A坐标
（﹣5，0），点B坐标（5，0），点C坐标（5，4），∴S△ABC＝×10×4＝20．故答案为：﹣5，5，20；（2）∵BD∥AC
，∴∠CAB＝∠ABD，过E作EF∥AC，如图2，∵BD∥AC，∴BD∥AC∥EF，∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，∴∠C
AE＝∠CAB＝＝∠AEF，∠DEF＝∠BDE＝∠ODB，∴∠AED＝∠AEF+∠DEF＝（∠CAB+∠ODB）＝＝45°；（3）
存在，设P（0，t），分两种情况：①当P在y轴正半轴上时，如图3，过P作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，∵S△APC＝S梯形M
NAC﹣S△ANP﹣S△CMP＝S△ABC＝20，∴，解得t＝6，②当P在y轴负半轴上时，如图4，过P作MN∥x轴，AN∥y轴，B
M∥y轴，∵S△APC＝S梯形MNAC﹣S△ANP﹣S△CMP＝20∴，解得t＝﹣2，∴P（0，6）或（0，﹣2）．5．解：（1）
∵M为△ABC的AB上一点，且BM＝2AM，∴S＝a，故答案为a；（2）连接BD，∵△CDE的面积为1，，∴S△BDC＝3S△DE
C＝3，∵，∴S△ABC＝4S△BDC＝12；（3）连接BD，设S△ADM＝a，∵M是AB的三等分点（AM＝AB），∴S△ABD＝
3a，S△BDM＝2a，∵N是BC的中点，∴S△ABN＝S△ACN，S△BDN＝S△CDN，∴S△ADC＝S△ADB＝3a，∴S△
ACM＝4a，∵AM＝AB，∴S△CBM＝2S△ACM＝8a，∴S△CDB＝6a，S△ABC＝12a，∴S△BDN＝3a，∴S四边
形BMDN＝5a，∴S四边形BMDN＝S△ABC＝×1＝，故答案为．6．解：（1）∵AB⊥OM，∴∠BAO＝90°，∵∠AOB＝6
0°，∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∵90°＝3×30°，∴△AOB是“灵动三角形”．故答案为：30，是．（2）∵∠OAB＝
90°，∠BAC＝70°，∴∠OAC＝20°，∵∠AOC＝60°＝3×20°，∴△AOC是“灵动三角形”．故答案为：是．（3）①当
∠CAB＝3∠ABC，时，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°．②当∠ABC＝3∠CAB时，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°．③∠
ACB＝3∠CAB时，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°，综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．7．解：
（1）结论：∠BDP+∠EGP＝180°．理由：∵∠ADE＝∠DEF＝90°，∴AB∥EF，∴∠BDG＝∠DGE，∵∠DGE+∠E
GP＝180°，∴∠BDP+∠EGP＝180°．（2）结论不变．∵∠AED＝∠C，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠B＝∠DEF
，∴∠ADE＝∠DEF，∴AB∥EF，∴∠BDG＝∠DGE，∵∠DGE+∠EGP＝180°，∴∠BDP+∠EGP＝180°．8．解
：（1）∵∠ABC与∠BAC的角平分线相交于点P，∴PC平分∠ACB，∴∠PCD＝∠PCE＝∠ACB＝×90°＝45°，∵PC⊥D
E，∴∠CPD＝90°，∴∠CDE＝45°，∴∠ADP＝135°，∵∠BAC＝40°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣40°
＝50°，∵∠PBA＝∠ABC＝25°，∠PAB＝∠BAC＝20°，∴∠APB＝180°﹣25°﹣20°＝135°．（2）结论：∠
APB＝∠ADP．理由：∵PB，PA分别是∠ABC，∠BAC的角平分线，∴∠PBA＝∠ABC，∠PAB＝∠BAC，∴∠APB＝18
0°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（180°﹣90°）＝135°，∵∠ADP＝135°，∴∠APB＝∠ADP．9．解：（1）
∵点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，点Q在线段CA上以cm/s的速度由C点向A点运动，∴BP＝2t，CQ＝t，故
答案为：2t，t；（2）存在，此时t＝2，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴当BP＝CP，CQ＝BD时，△BPD≌△CPQ，∴2t＝8
﹣2t，×10，∴t＝2，∴t＝2时，△BPD≌△CPQ；（3）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意得，x＝2x+2×10，解
得x＝40，∴点P共运动了40×2＝80cm，∴80＝56+24＝2×28+24，∴点P，点Q在AB边上相遇，∴经过40秒，点P与
点Q第一次相遇，此时它们在边AB上．10．（1）①证明：∵G为AD的中点，∴AG＝DG，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A
＝∠CDG＝90°，在△ABG和△DCG中，，∴△ABG≌△DCG（SAS），∴BG＝CG；②证明：延长GF、BC交于点Q，如图1
所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AGB＝∠CBG，∠EGF＝∠Q，∵F为EC的中点，∴EF＝CF，在△GFE和△Q
FC中，，∴△GFE≌△QFC（AAS），∴GE＝CQ，GF＝QF，由（1）得：BG＝CG，∴∠CBG＝∠BCG，∴∠AGB＝∠BCG，∴∠BGE＝∠GCQ，在△BGE和△GCQ中，，∴△BGE≌△GCQ（SAS），∴BE＝GQ＝2FG＝6；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDA＝90°，AD∥BC，∴∠CDE＝90°，∠AEB＝∠EBC＝30°，∵ED＝CD，∴△CDE是等腰直角三角形，∴∠DCE＝∠DEC＝45°，∴∠CEB＝45°﹣30°＝15°，在BE上截取EG＝CG，如图2所示：则∠GCE＝∠CEB＝15°，∴∠CGB＝∠GCE+∠CEB＝30°，∴∠EBC＝∠CGB，∴CG＝BC＝4，∴EG＝4，∵CH⊥BE，∴GH＝BH，∠CHB＝90°，∵∠EBC＝30°，∴CH＝BC＝2，GH＝BH＝CH＝2，∴EH＝GH+EG＝2+4． |
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