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抽象函数问题，是高中数学的一个热点和难点问题。 其中的一个典型的题型是：首先，题设给出在定义域内的任意两个实数都满足一个抽象的等式，其次，还满足其它若个条件，然后在此条件下求函数值，证明或判断单调性奇偶性，解抽象函数不等式或方程及恒成立或能成立等相关问题。 下面我们举几个例子来详细分析。 对抽象函数有问题的小同学，一定要仔细看，在了解了解法后，可以自己在草稿纸上不看答案做一遍，看看自己理解了多少。  解析答案    [解析分析] 解法2得到的式子f(y)+f(-y)=2具体一般性，但与法1相比解法似乎有一点舍近求远。 第1问最为简单用赋值法很快求得函数值，第2问最为基础中等难度用函数单调性证明的“五步法”（取值——作差——变形——定号——下结论）结合简单赋值就可轻松搞定。 第3 问能力立意综合性强有点难度，从解法来看，第3问的解决要用到前面两问的结果，前面两问是为最后一问服务的，这实际上命题人为解题者设置的台阶，所以解题者要充分利用好前面两问题的结果。 利用f(0)=1和抽象函数等式f(x-y)=f(x)-f(y)+1及其变式f(x)-f(y)= f(x-y)-1，进行穿衣f和脱衣f消除差异，最后将抽象函数恒成立问题转化为含有参数的二次函数恒成立问题求解，继而转化为最值问题使问题获得最终解决。 适合题设所条件的一个模特函数是f(x)=kx+1(k>0),若取k=1即得一个更为特殊的函数f(x)=x+1，在此具体函数情形下再来解决题目中的3个问题，则问题难度明显降低，变得简单容易多了，其中有些问题变得显然易见，而无需证明。 例2  解析答案     [解析分析] 上面两题一题3问题，由易到难，往往后面的解答需要把前面小问当结果来用，即前面问题的解决为后续问题的解决作铺垫，这样解题者就旬上台阶一样，一级一级的往上上，而对于没有设置台阶的抽象函数试题，由于解题没有导向性其难度明显较大，往往不知从哪里入手，不知向何去处，两面我们来做几道没有台阶只有终极一问的抽象函数试题。 例3  解析答案  例4 解析答案 【解析分析】 满足题设条件的一个特殊的函数是f(x)=x-1. f(x+y)=x+y-1,f(x)+f(y)+1=(x-1)+(y-1)+1=x+y-1,满足f(x+y)=f(x)+f(y)+1，而f(x)+1=x是奇函数。 |
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