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NJU202301 求中由四点 构成的三棱锥体积. 解 由题意可知 于是 NJU202302 设是的线性子空间,若中任意非零矩阵都是可逆的,证明: . 证法1 令 可验证是的线性子空间,且 同时一定是不可能矩阵,故只能是零矩阵,于是故.证法2 反证.若,则任取中的个矩阵,考虑线性组合 我们来说明 记矩阵的第一列为,则线性方程组 必有非零解.取非零解为,此时对任取的中的个元素,都存在这样的 与题意矛盾,故. NJU202303 设,且的特征值为,求矩阵 的特征值. 解 由第四版复旦高代白皮书例2.76可知 故原分块矩阵的特征值为 NJU202304 设,求一个正定矩阵,使得. 解 由第四版复旦高代白皮书例8.51可知取 NJU202305 设,证明:存在矩阵使得 为阶可逆矩阵,且. 证明 由第四版复旦高代白皮书例3.101可知的行向量张成的线性空间是的解空间的正交补空间,故 为阶可逆矩阵. NJU202306 求元实二次型 的负惯性指数.解 记该二次型相伴的实对称阵为,对作对称初等变换可得 于是原二次型的标准型为负惯性指数为. NJU202307 证明:多项式 在上不可约.证明 反证.若,其中满足,则,其中.这意味着.不妨设 取使得,则而均不可以写成个不同正整数的乘积,即为零次多项式或,矛盾.故多项式在上不可约.NJU202308 设 考虑上的映射证明: 不是满射.证明 由第四版复旦高代白皮书例6.91可得. NJU202309 设为欧氏空间的一组标准正交基,且满足对所有的成立 证明: 是的一组基.证法1 设,即证明,若不然则存在非零的,使得, 由Cauchy不等式得 矛盾,于是是的一组基.证法2 设,下证明过渡矩阵可逆.有 故由Cauchy不等式可知即由第四版复旦高代白皮书例3.83可得是可逆矩阵,故可逆,即是的一组基. |
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