专题7 锐角三角比的应用【知识精讲】1、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．在Rt△ABC中，如
果∠C=90°，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系：(1)三边之间的关系： (2)锐角之间的关系：(3)边角之间的关系：，
，2、仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角
，视线在水平线下方的角叫做俯角．仰角视线水平线视线俯角铅垂线3、方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．
北北偏东30°南偏西45°北偏西70°南偏东50°30°70°45°50°如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西4
5°．4、坡度在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡
比），记作i，即．坡度通常写成1 : m的形式，如（必须写成这样）．hl坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作．坡度i与坡角之间的关系：
．【历年真题】【考点1】锐角三角比的应用1．（2021秋?普陀区期末）如图，在△ABC中，∠A =90°，斜边BC的垂直平分线分别
交AB、BC交于点D、E，如果，AB＝7，那么CD的长等于 ．2．（2021秋?青浦区期末）如图，在边长相同的小正方形组成的网格
中，点A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠AOB的值为 ．3．（2021秋?黄浦区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A
CB＝90°，CD是AB边上的中线，若CD＝5，BC＝6，则cos∠ACD的值是 ．4．（2021秋?杨浦区期末）新定义：已
知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt△AB
C为“格线三角形”，且∠BAC＝90°，那么直线BC与直线c的夹角α的余切值为 ．5．（2021秋?崇明区期末）定义：有一组
对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做“对等四边形”．如图，在Rt△PBC中，∠PCB＝90°，点A在边BP上，点D在边CP上，
如果BC＝11，tan∠PBC＝，AB＝13，四边形ABCD为“对等四边形”，那么CD的长为 ．6．（2021秋?松江区期末
）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12，cosB＝，AP⊥AB，交BC于点P．（1）求CP的长；（2）求∠PAC的正弦值．7．（
2021秋?杨浦区期末）（2021秋?杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tan∠B＝
，点E是边BC的中点．（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正弦值．8．（2021秋?宝山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝
5，BC＝6．（1）求tanB的值；（2）延长BC至点D，联结AD，如果∠ADB＝30°，求CD的长．9．（2021秋?青浦区期末
）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，BD=4，AB=AD，．（1）求AB的长；（2）求点C到直线AB的距离．10．（
2021秋?静安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CH分别是AB边上的中线和高，，，求AB、CH的长．11．
（2021秋?浦东新区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cosA＝．D是AB边的中点，过点D作直线CD的垂
线，与边BC相交于点E．（1）求线段CE的长；（2）求sin∠BDE的值．12．（2021秋?金山区期末）如图，Rt△ABC中，∠
ACB＝90°，D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E，tan∠EBC＝，求∠ABE的正切值．13．（2021秋?崇明区期末）如图
，在△ABC中，，．（1）求边BC的长度；（2）求cosA的值．【考点2】锐角三角比的应用综合题1．（2021秋?杨浦区期末）如图
，为了测量建筑物AB的高度，先从与建筑物AB的底部B点水平相距100米的点C处出发，沿斜坡CD行走至坡顶D处，斜坡CD的坡度i＝1
：3，坡顶D到BC的距离DE＝20米，在点D处测得建筑物顶端A点的仰角为50°，点A、B、C、D、E在同一平面内，根据测量数据，请
计算建筑物AB的高度（结果精确到1米）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）2．（2
021秋?徐汇区期末）图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长AB＝4米，宽BC＝2米，初始时点A、B、F
在同一水平线上，车厢底部AB离地面的高度为1.3米．卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A旋转，箱体底部AB形成不同角度的斜坡．（1）
当斜坡AB的坡角为37°时，求车厢最高点C离地面的距离；（2）点A处的转轴与后车轮转轴（点E处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的
安全轴距为0.7m．货厢对角线AC、BD的交点G是货厢侧面的重心，卸货时如果A、G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全
事故．当斜坡AB的坡角为45°时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考
值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75，≈1.4142）3．（2021秋?长宁区期末）如图，某种
路灯灯柱BC垂直于地面，与灯杆AB相连．已知直线AB与直线BC的夹角是76°，在地面点D处测得点A的仰角是53°，点B仰角是45°
，点A与点D之间的距离为3.5米．求：（1）点A到地面的距离；（2）AB的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin53°≈0.8
，cos53°≈0.6，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）4．（2021秋?松江区期末）某货站沿斜坡AB将货物传送到
平台BC．一个正方体木箱沿着斜坡移动，当木箱的底部到达点B时的平面示意图如图所示．已知斜坡AB的坡度为1：2.4，点B到地面的距离
BE＝1.5米，正方体木箱的棱长BF＝0.65米，求点F到地面的距离．5．（2021秋?普陀区期末）图（1）为钓鱼竿安置于湖边的示
意图，钓鱼竿有两部分组成，一部分为支架，另一部分为钓竿，图（2）是钓鱼竿装置的平面图，NF∥MB，NF⊥MN，支架中的MN＝AM＝
20厘米，AC＝50厘米，∠CAB＝37°，AB可以伸缩，长度调节范围为65cm≤AB≤180cm，钓竿EF放在支架的支点B、C上
，并使钓竿的一个端点F恰好碰到水面．（1）当AB的长度越 （填“长”或“短”）时，钓竿的端点F与点N之间的距离越远；（2）冬
季的鱼喜欢远离岸边活动，为了提高钓鱼的成功率，可适当调节AB的长度，使钓竿的端点F与点N之间的距离最远，请直接写出你选择的AB的长
度，并求出此时钓竿的端点F与点N之间的距离（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）6．（2
021秋?宝山区期末）如图，小杰在湖边高出水面MN约10m的平台A处发现一架无人机停留在湖面上空的点A处，该无人机在湖中的倒影为点
P’，小杰在A处测得点P的仰角为45°，点P’的俯角为60°，求该无人机离开湖面的高度（结果保留根号）．7．（2021秋?奉贤区期
末）如图8﹣1是位于奉贤南桥镇解放东路866号的“奉贤电视发射塔”，它建于1996年，在长达二十几年的时间里它一直是奉贤区最高建筑
物，该记录一直保持到2017年，历了25年风雨的电视塔铎刻了一代奉贤人的记忆．某数学活动小组在学习了“解直角三角形的应用”后，开展
了测量“奉贤电视发射塔的高度”的实践活动．测量方案：如图8﹣2，在电视塔附近的高楼楼顶C处测量塔顶A处的仰角和塔底B处的俯角．数据
收集：这幢高楼共12层，每层高约2.8米，在高楼楼顶C处测得塔顶A处的仰角为58°，塔底B处的俯角为22°．问题解决：求奉贤电视发
射塔AB的高度（结果精确到1米）．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin58°≈
0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．根据上述测量方案及数据，请你完成求解过程．8．（2021秋?青浦区期末）
如图，某校的实验楼对面是一幢教学楼，小张在实验楼的窗口C（AC∥BD）处测得教学楼顶部D的仰角为27°，教学楼底部B的俯角为13°
，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝20米．求教学楼BD（BD⊥AB）的高度．（精确到0.1米）（参考数据：sin13°≈0.22
，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）9．（2
021秋?嘉定区期末）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为AC＝3千米，灯塔B到航线l的距离为BD＝4
千米，灯塔B位于灯塔A南偏东60°方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西53°方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10
分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（1）求两个灯塔A和B之间的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1
千米/小时）．（参考数据：，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）10．（2021秋?静安区期末
）据说，在距今2500多年前，古希腊数学家就已经较准确地测出了埃及金字塔的高度，操作过程大致如下：如图所示，设AB是金字塔的高，在
某一时刻，阳光照射下的金字塔在地面上投下了一个清晰的阴影，塔顶A的影子落在地面上的点C处．金字塔底部可看作方正形FGHI，测得正方
形边长FG长为160米，点B在正方形的中心，BC与金字塔底部一边垂直于点K．与此同时，直立地面上的一根标杆DO留下的影子是OE．射
向地面的太阳光线可看作平行线（AC∥DE）．此时测得标杆DO长为1.2米，影子OE长为2.7米，KC长为250米．求金字塔的高度A
B及斜坡AK的坡度（结果均保留四个有效数字）．11．（2021秋?浦东新区期末）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保
护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC
＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树
CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.1
1）12．（2021秋?闵行区期末）为了维护南海的主权，我国对相关区域进行海空常态化立体巡航．如图，在一次巡航中，预警机沿AE方向
飞行，驱护舰沿BP方向航行，且航向相同（AE∥BP）．当预警机飞行到A处时，测得航行到B处的驱护舰的俯角为45°，此时B距离相关岛
屿P恰为60千米；当预警机飞行到C处时，驱护舰恰好航行到预警机正下方D处，此时CD＝10千米，当预警机继续飞行到E处时，驱护舰到达
相关岛屿P，且测得E处的预警机的仰角为22°，求预警机的飞行距离AE．（结果保留整数）（参考数据：sin22°≈0.37，cos2
2°≈0.93，tan22°≈0.40．）13．（2021秋?金山区期末）如图，某校无人机兴趣小组利用无人机测量旗杆的高度，无人机
在位于C点时距离地面MN的高度CH为30米，测得旗杆顶部A点的俯角为30°，测得旗杆底部B点的俯角为45°，求旗杆的高度．14．（
2021秋?崇明区期末）如图，小明同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用无人机测量他所住小区的楼房BC的高度．当无人机
在地面A点处时，测得小区楼房BC顶端点C处的仰角为30°，当无人机垂直向上飞行到距地面60米的D点处时，测得小区楼房BC顶端点C处
的俯角为45°．（1）求小区楼房BC的高度；（2）若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：
经过多少秒后，无人机无法观察到地面上点A的位置．（计算结果保留根号）15．（2021秋?黄浦区期末）如图，在东西方向的海岸线l上有
一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60
千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．（
1）求AB两地的距离；（结果保留根号）（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：s
in37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75．）【考点3】坡度、方位角1．（2021秋?徐汇区期末）无人机在
空中点A处观察地面上的小丽所在位置点B处的俯角是50°，那么小丽在地面点B处观察空中点A处的仰角是（ B ）A．40°B．50°C
．60°D．70°2．（2021秋?浦东新区期末）在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆顶的仰角为，如测角仪的高为1.5米，那么
旗杆的高为（ C ）米．A．B．C．D．3．（2021秋?徐汇区期末）小明同学逛书城，从地面一楼乘自动扶梯，该扶梯移动了13米，到
达距离地面5米高的二楼，则该自动扶梯的坡度i= ．4．（2021秋?虹口区期末）如果一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角为 度．5
．（2021秋?宝山区期末）如图，一段铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的上底宽AD为3米，路基高为1米，斜坡AB的坡度=1:1.5
，那么路基的下底宽BC是 米．6．（2021秋?青浦区期末）如图，如果小华沿坡度为的坡面由A到B行走了8米，那么他实际上升的高度
为 米．7．（2021秋?黄浦区期末）已知某小山坡的坡长为400米，山坡的高度为200米，那么该山坡的坡度i＝ ．8．（20
21秋?闵行区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为 ．9．（2021秋?金
山区期末）如图，某传送带与地面所成斜坡的坡度为i＝1：2.4，它把物品从地面A送到离地面5米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为
米．10．（2021秋?崇明区期末）某滑雪运动员沿着坡比为1：的斜坡向下滑行了100米，则运动员下降的垂直高度为 米．
11．（2021秋?长宁区期末）如图，小明沿着坡度i＝1：2.4的坡面由B到A直行走了13米时，他上升的高度AC＝ 米．12．
（2021秋?静安区期末）如果在A点处观察B点的仰角为，那么在B点处观察A点的俯角为 ．（用含的式子表示）13．（2021秋?嘉
定区期末）如图，飞机在目标B的正上方A处，飞行员测得地面目标C的俯角，如果地面目标B、C之间的距离为6千米，那么飞机离地面的高度A
B等于 千米．（结果保留根号）14．（2021秋?松江区期末）如图，码头A在码头B的正东方向，它们之间的距离为10海里．一货船由
码头A出发，沿北偏东45°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西60°方向，那么码头A与小岛C的距离是 海里（结果保留
根号）．15．（2021秋?杨浦区期末）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60°方向上，
航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于 海里．专题7 锐角三角比的应用
【历年真题】【考点1】锐角三角比的应用1．（2021秋?普陀区期末）如图，在△ABC中，∠A =90°，斜边BC的垂直平分线分别交
AB、BC交于点D、E，如果，AB＝7，那么CD的长等于 ．【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质．版权所有【专题】解直角
三角形及其应用；应用意识．【分析】根据，AB＝7，求出BC＝8，则BE＝4，BD＝，再根据CD＝BD，即可求出CD．【解答】解：在
△ABC中，∠A＝90°，，AB＝7，∴BC＝AB÷cosB＝7＝8，∵斜边BC的垂直平分线分别交AB、BC交于点D、E，∴BE＝
BC＝4，∴CD＝BD＝BE÷cosB＝4＝，故答案为：．【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．2
．（2021秋?青浦区期末）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠AOB的值为
．【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质．版权所有【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】要求sin∠AOB的值
，想到把∠AOB放在直角三角形中，所以过点B作BD⊥AO，垂足为D，然后利用等面积法求出BD即可解答．【解答】解：过点B作BD⊥A
O，垂足为D，由题意得：AB＝2，，，∵△ABO的面积＝AO?BD＝×2×2，∴BD＝，在Rt△BOD中，，故答案为：．【点评】本
题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．（2021秋?黄浦区期末）如图，在Rt△ABC
中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若CD＝5，BC＝6，则cos∠ACD的值是 ．【考点】解直角三角形； 【专题】
解直角三角形及其应用【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD=10，CD=AD，然后根据余弦函数的定义列式
求出∠A的余弦值，即为cos∠ACD的值．【解答】解：∵CD是AB边上的中线，∠ACB=90°，∴AB=2CD=10，CD=AD，
∴∠ACD=∠A，AC==8，∴cos∠ACD=coa∠A=，∴cos∠ACD的值为．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的
定义，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，求出∠A=∠ACD是解本题的关键．4．（2021秋?
杨浦区期末）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如
图，已知等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC＝90°，那么直线BC与直线c的夹角α的余切值为 ．【考点】解直角三角形
；平行线之间的距离；等腰直角三角形．版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能
力．【分析】过B作BE⊥直线a于E，延长EB交直线c于F，过C作CD⊥直线a于D，根据全等三角形的判定得出△CDA≌△AEB，根据
全等三角形的性质得出AE＝CD＝2d，AD＝BE＝d，求出CF＝DE＝AE+AD＝3d，再解直角三角形求出答案即可．【解答】解：过
B作BE⊥直线a于E，延长EB交直线c于F，过C作CD⊥直线a于D，则∠CDA＝∠AEB＝90°，∵直线a∥直线b∥直线c，相邻两
条平行线间的距离相等（设为d），∴BF⊥直线c，CD＝2d，∴BE＝BF＝d，∵∠CAB＝90°，∠CDA＝90°，∴∠DCA+∠
DAC＝90°，∠EAB+∠DAC＝90°，∴∠DCA＝∠EAB，在△CDA和△AEB中，，∴△CDA≌△AEB（AAS），∴AE
＝CD＝2d，AD＝BE＝d，∴CF＝DE＝AE+AD＝2d+d＝3d，∵BF＝d，，故答案为：3．【点评】本题考查了解直角三角形
，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线间的距离等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．5．（2021秋?崇明区期
末）定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做“对等四边形”．如图，在Rt△PBC中，∠PCB＝90°，点A在边BP上，
点D在边CP上，如果BC＝11，tan∠PBC＝，AB＝13，四边形ABCD为“对等四边形”，那么CD的长为 ．【考点】解直
角三角形．版权所有【专题】新定义；分类讨论；等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】根据对等四边形的定义，分两种情况：①若CD＝
AB，此时点D在D1的位置，CD1＝AB＝13；②若AD＝BC＝11，此时点D在D2、D3的位置，AD2＝AD3＝BC＝11；利用
勾股定理和矩形的性质，求出相关相关线段的长度，即可解答．【解答】解：如图，点D的位置如图所示：①若CD＝AB，此时点D在D1的位置
，CD1＝AB＝13；②若AD＝BC＝11，此时点D在D2、D3的位置，AD2＝AD3＝BC＝11，过点A分别作AE⊥BC，AF⊥
PC，垂足为E，F，设BE＝x，，，在中，，即，解得：x1＝5，x2＝﹣5（舍去），∴BE＝5，AE＝12，∴CE＝BC﹣BE＝6
，由四边形AECF为矩形，可得AF＝CE＝6，CF＝AE＝12，在Rt△AFD2中，，，．综上所述，CD的长度为13、或．故答案为
：13、或．【点评】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是理解并能运用“等对角四边形”这个概念．注意分类讨论思想的应用、勾股定理
的应用．6．（2021秋?松江区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12，cosB＝，AP⊥AB，交BC于点P．（1）求CP的
长；（2）求∠PAC的正弦值．【考点】解直角三角形．版权所有【专题】解直角三角形；几何直观．【考点】解直角三角形【专题】计算题；运
算能力；解直角三角形及其应用【分析】（1）通过作底边上的高AD，在直角三角形ABD和直角三角形ABP中分别求出BD、BP，由等腰三
角形的性质求出BC，进而求出PC的长；（2）作高构造直角三角形，求出AE、PE后，由锐角三角函数的定义进行计算即可．（1）过点A作
AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，AB＝12，，∴BD＝cosB?AB＝9，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝9，∠B＝∠C，∵AP⊥A
B，∴∠PAB＝90°，在Rt△ABP中，AB＝12，，∴，∴PC＝BC﹣BP＝9×2﹣16＝2；（2）过点P作PE⊥AC于E，在
Rt△PCE中，PC＝2，，∴，∴PE＝＝，AP＝＝＝＝4，∴．【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形，掌握直角三角形的边角关系
以及等腰三角形的性质是正确解答的前提．7．（2021秋?杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD
＝6，tan∠B＝，点E是边BC的中点．（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正弦值．【考点】解直角三角形【专题】计算题；运算能力
；解直角三角形及其应用【分析】（1）由求出CD＝4，在Rt△ADC中由勾股定理可求出AC的长；（2）过点E作EF⊥AB于点F，证明
△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质求出EF，DF的长，根据勾股定理求出AE的长，再根据正弦的定义求解即可．（1）∵CD⊥AB
∴△ACD和△BCD均为直角三角形，∵∴ ∵BD＝6∴ ∵AD＝2 由勾股定理得，（2）过点E作EF⊥AB于点F，如图，∵CD⊥A
B， ∴EF //CD ∴△BEF∽△BCD∴ ∵点E是边BC的中点∴ ∴∵CD＝4，BD＝6∴EF＝2，BF＝3 ∴DF＝3 ∴
AF＝AD+ DF=5 在Rt△EAF中，∵ ∴ ∴【点评】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，正
确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．8．（2021秋?宝山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．（1）求t
anB的值；（2）延长BC至点D，联结AD，如果∠ADB＝30°，求CD的长．【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形【专
题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E．∵AB＝AC＝5，BC＝6，．在Rt△A
BE中， =4，；（2）在Rt△ADE中，∵∠ADB＝30°，AE＝4，，．∴CD＝DE﹣CE＝﹣3．【点评】本题考查了解直角三角
形，掌握直角三角形的边角间关系及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．9．（2021秋?青浦区期末）如图，在△ABC中，点D是BC的
中点，联结AD，BD=4，AB=AD，．（1）求AB的长；（2）求点C到直线AB的距离．【考点】点到直线的距离；解直角三角形【专题
】计算题；运算能力；解直角三角形及其应用【分析】（1）过点A作AH⊥BD，垂足为点H．先算HD、AH，再算AB；（2）过点C作CG
⊥BA，交BA的延长线于点G．可利用sinB计算CG．【解答】解：（1）∵过点A作AH⊥BD，垂足为点H．∵AB＝AD，．∵点D是
BC的中点，∴BD＝CD＝4．∴HC＝HD+CD＝6．∵，∴．∵．（2）过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G．∵，∴．∴．∴点
C到直线AB的距离为．【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．另（2）亦可通过计算的面积求解．
10．（2021秋?静安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CH分别是AB边上的中线和高，，，求AB、CH的长
．【考点】解直角三角形【专题】计算题；运算能力；解直角三角形及其应用【分析】过D作DE⊥AC于E，求出AE＝CE，求出DE解直角三
角形求出CE，求出AC，再根据勾股定理求出AB，再根据三角形的面积公式求出CH即可．【解答】解：过D作DE⊥AC于E，则∠AED＝
∠CED＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠AED＝∠ACB，∵DE∥BC，∵CD是△ABC的中线，∴AD＝BD，∴CE＝AE，，，
，∴设，，由勾股定理得：，即，解得：，，即，由勾股定理得：，，∴，解得：，即，．【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的面积，勾股
定理等知识点，能求出AC的长是解此题的关键．11．（2021秋?浦东新区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，
cosA＝．D是AB边的中点，过点D作直线CD的垂线，与边BC相交于点E．（1）求线段CE的长；（2）求sin∠BDE的值．【考点
】解直角三角形【专题】计算题；运算能力；解直角三角形及其应用【分析】（1）根据三角函数求出AB的长，然后根据直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半求出CD的长即可；（2）先运用勾股定理求出BC，再由于D为AB上的中点可得AD=BD=CD=25，设DE=x、EB=
y，利用勾股定理列方程组即可求出x的值，最后运用正弦的定义即可解答．（1）解：∵在Rt△ABC中，AC=30，∴cosA=，解得：
AB=50.∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，∴CD==25．（2）解：在Rt△ABC中，.又∵AD=BD=CD=25，设
DE=x，EB=y，则在Rt△BDE中，①，在Rt△BCE中，②，联立①②，解得x=7∴．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、
三角函数、勾股定理等知识点，根据勾股定理列方程求解是解答本题的关键12．（2021秋?金山区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝
90°，D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E，tan∠EBC＝，求∠ABE的正切值．【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质．
版权所有【专题】计算题；解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】利用∠EBC的正切先设出CE、BC，利用勾股定理求出BE．再说明∠
ABE＝∠BAE、计算AC，最后利用直角三角形的边角间关系求出∠CAB的正切．【解答】解：Rt△EBC中，∠ECB＝90°，∴ta
n∠EBC＝=．设CE＝3k，BC＝4k，则BE＝5k．∵D是BC的中点，ED⊥BC，∴AE＝BE＝5k．∴∠ABE＝∠BAE，A
C＝AE+CE＝8k．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，．∴∠ABE的正切值为．【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形
的边角间关系是解决本题的关键．13．（2021秋?崇明区期末）如图，在△ABC中，，．（1）求边BC的长度；（2）求cosA的值．
【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质．版权所有【专题】面积法；解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】（1）根据等腰三角形的三线
合一性质，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，然后在Rt△ABD中求出AD，最后利用勾股定理求出BD即可解答；（2）要求cosA的值
，就要把∠BAC放在直角三角形中，所以过点C作CE⊥AB，垂足为E，利用等面积法求出CE即可解答．【解答】解：（1）过点A作AD⊥
BC，垂足为D，在Rt△ABD中，，，，，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD＝2；（2）过点C作CE⊥AB，垂足为E，∵△A
BC的面积＝，∴，，，在Rt△AEC中，．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件添加适当的辅助线是解
题的关键．【考点2】锐角三角比的应用综合题1．（2021秋?杨浦区期末）如图，为了测量建筑物AB的高度，先从与建筑物AB的底部B点
水平相距100米的点C处出发，沿斜坡CD行走至坡顶D处，斜坡CD的坡度i＝1：3，坡顶D到BC的距离DE＝20米，在点D处测得建筑
物顶端A点的仰角为50°，点A、B、C、D、E在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB的高度（结果精确到1米）（参考数据：si
n50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【专题】运算能力；解直
角三角形及其应用；应用意识【分析】利用斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：3，求出CE的长，从而得出BE，再利用tan50°即可求出
AB的长．【解答】解：∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：3，∴DE：CE=1:3，∵DE=20米 ∴CE=60米，∵BC＝100
米， ∴BE＝100-60=40米≈68（米）答：建筑物AB的高度为68米．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是
明确坡度、仰角、俯角是解题的关键．2．（2021秋?徐汇区期末）图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长A
B＝4米，宽BC＝2米，初始时点A、B、F在同一水平线上，车厢底部AB离地面的高度为1.3米．卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A旋
转，箱体底部AB形成不同角度的斜坡．（1）当斜坡AB的坡角为37°时，求车厢最高点C离地面的距离；（2）点A处的转轴与后车轮转轴（
点E处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为0.7m．货厢对角线AC、BD的交点G是货厢侧面的重心，卸货时如果A、G两点的
水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡AB的坡角为45°时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故
吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75，≈1.4142
）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；三角形的重心；旋转的性质．版权所有【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】（1
）要求车厢最高点C离地面的距离，所以过点C作CH⊥AF，垂足为H，再过点B作BP⊥AF，垂足为P，过点B作BQ⊥CH，垂足为Q，这
样构造一个矩形BPHQ，两个直角三角形△BPA和△BQC，然后进行计算即可；（2）要求A、G两点的水平距离，所以过点G作GO⊥AF
，垂足为O，再过点C作CM⊥AF，垂足为M，交AB于点I，过点B作BN⊥AF，垂足为N，过点B作BK⊥CM，垂足为K，这样构造一个
矩形BNMK，四个直角三角形，分别为Rt△ABN，Rt△BCK，Rt△BKI，Rt△AMI，然后进行计算即可．【解答】解：过点C作
CH⊥AF，垂足为H，过点B作BP⊥AF，垂足为P，过点B作BQ⊥CH，垂足为Q，则四边形BPHQ为矩形，∴BP＝QH，在Rt△A
BP中，BP＝ABsin37°＝4×0.6＝2.4（m），∴BP＝QH＝2.4（m），∵BQ∥AP，∴∠BAF＝∠QBA＝37°，
∴∠CBQ＝∠CBA﹣∠QBA＝90°﹣37°＝53°，∵∠BQC＝90°，∴∠BCQ＝90°﹣∠CBQ＝37°，在Rt△BCQ中
，CQ＝BCcos37°＝2×0.8＝1.6（m），∴1.6+2.4+1.3＝5.3（m），答：车厢最高点C离地面的距离是5.3米
；（2）不会发生安全事故，理由是：过点G作GO⊥AF，垂足为O，过点C作CM⊥AF，垂足为M，交AB于点I，过点B作BN⊥AF，垂
足为N，过点B作BK⊥CM，垂足为K，则四边形BNMK为矩形，∴BN＝KM，在Rt△ABN中，BN＝ABsin45°＝4×＝（m）
，∴BN＝KM＝（m），∵BK∥AN，∴∠BAN＝∠KBA＝45°，∴∠CBK＝∠CBA﹣∠KBA＝90°﹣45°＝45°，在Rt
△BCK中，BK＝BCcos45°＝2×＝（m），∴BK＝CK＝（m），在Rt△BKI中，∵∠KBA＝45°，∴BK＝KI＝（m）
，∴IM＝KM﹣KI＝（m），在Rt△AMI中，∵∠BAF＝45°，∴IM＝AM＝（m），∵CM∥GO，∴，∵AG＝CG，，∵0.
71＞0.7，∴不会发生安全事故．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的重心，旋转的性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的
关键．3．（2021秋?长宁区期末）如图，某种路灯灯柱BC垂直于地面，与灯杆AB相连．已知直线AB与直线BC的夹角是76°，在地面
点D处测得点A的仰角是53°，点B仰角是45°，点A与点D之间的距离为3.5米．求：（1）点A到地面的距离；（2）AB的长度．（精
确到0.1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）【考点】解直
角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】（1）要求点A到地面的距离，所以过点A作AF
⊥CD，垂足为F，然后放在直角三角形AFD中即可解答；（2）要求AB的长度，需要把AB放在直角三角形中，所以过点A作AG⊥EC，垂
足为G，在Rt△AFD中，求出DF的长，然后设CF为x，用x表示AG，BG的长，再用76°的正切值求出x，最后求出AB即可．【解答
】解：（1）过点A作AF⊥CD，垂足为F，在Rt△AFD中，AF＝ADsin53°＝3.5×0.8＝2.8米，答：点A到地面的距离
为2.8米；（2）过点A作AG⊥EC，垂足为G，则AF＝GC，AG＝CF，在Rt△AFD中，DF＝ADcos53°＝3.5×0.6
＝2.1米，设CF为x米，则CD为（2.1+x）米，在Rt△BCD中，BC＝CDtan45°＝（2.1+x）米，∴GB＝GC﹣BC
＝2.8﹣（2.1+x）＝（0.7﹣x）米，在Rt△AGB中，，，∴，解得：x≈0.56，∴CF＝AG＝0.56米，．【点评】本题
考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．4．（2021秋?松江区期末）某货站沿斜坡AB将货物
传送到平台BC．一个正方体木箱沿着斜坡移动，当木箱的底部到达点B时的平面示意图如图所示．已知斜坡AB的坡度为1：2.4，点B到地面
的距离BE＝1.5米，正方体木箱的棱长BF＝0.65米，求点F到地面的距离．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有【专
题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】过点F作FG⊥AD于G，延长CB交FG于H，根据坡度的概念、勾股定理求出BH，进而求出
FH，计算即可．【解答】解：过点F作FG⊥AD于G，延长CB交FG于H，则四边形HGEB为矩形，∴HG＝BE＝1.5米，∠HBE＝
90°，∵∠EBA＝90°，∴∠BFH＝∠HBA＝∠A，∴BH：FH＝1：2.4，由勾股定理得：BF2＝BH2+FH2，即0.65
2＝BH2+（2.4BH）2，解得：BH＝0.25，∴FH＝0.25×2.4＝0.6（米），∴FG＝FH+HG＝2.1（米），答：
点F到地面的距离为2.1米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关
键．5．（2021秋?普陀区期末）图（1）为钓鱼竿安置于湖边的示意图，钓鱼竿有两部分组成，一部分为支架，另一部分为钓竿，图（2）是
钓鱼竿装置的平面图，NF∥MB，NF⊥MN，支架中的MN＝AM＝20厘米，AC＝50厘米，∠CAB＝37°，AB可以伸缩，长度调节
范围为65cm≤AB≤180cm，钓竿EF放在支架的支点B、C上，并使钓竿的一个端点F恰好碰到水面．（1）当AB的长度越 （
填“长”或“短”）时，钓竿的端点F与点N之间的距离越远；（2）冬季的鱼喜欢远离岸边活动，为了提高钓鱼的成功率，可适当调节AB的长度
，使钓竿的端点F与点N之间的距离最远，请直接写出你选择的AB的长度，并求出此时钓竿的端点F与点N之间的距离（参考数据：sin37°
≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）【考点】解直角三角形的应用．版权所有【专题】解直角三角形及其应用；推理能力
；应用意识．【分析】（1）观察图象可知，当AB的长度越长时，钓竿的端点F与点N之间的距离越远，（2）如图（2）中，过点C作CK⊥A
B于点K，过点A作AH⊥FN于点H，过点B作BJ⊥FN于点J，则四边形MNHA，四边形AHJB都是矩形．分别求出NH，NJ，JF，
可得结论．【解答】解：（1）观察图象可知，当AB的长度越长时，钓竿的端点F与点N之间的距离越远，故答案为：长；（2）如图（2）中，
过点C作CK⊥AB于点K，过点A作AH⊥FN于点H，过点B作BJ⊥FN于点J，则四边形MNHA，四边形AHJB都是矩形．∴MN＝A
H＝BJ＝20厘米，AM＝NH＝20厘米，AB＝HJ＝180厘米，在Rt△ACK中，CK＝AC?sin37°≈30（厘米），AK＝
AC?cos37°≈40（厘米），∴BK＝AB﹣AK＝180﹣40＝140（厘米），∵BM∥FN，∴∠CBK＝∠F，∴tan∠CB
K＝tanF，∴，∴，∴FJ≈93（厘米），∴FN＝NH+NJ+FJ＝20+180+93＝293（厘米），答：AB的长度是180厘
米，此时钓竿的端点F与点N之间的距离约为293厘米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，
构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（2021秋?宝山区期末）如图，小杰在湖边高出水面MN约10m的平台A处发现一架无人
机停留在湖面上空的点A处，该无人机在湖中的倒影为点P’，小杰在A处测得点P的仰角为45°，点P’的俯角为60°，求该无人机离开湖面
的高度（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【专题】运算能力；解直角三角形及其应用；应用意识【分析】作点P关于
湖面MN的对称点P′，通过作垂线构造直角三角形，在两个直角三角形中，由边角关系求出AB，进而求出CP即可．【解答】解：如图，作点P
关于湖面MN的对称点P′，过点A作AB∥MN交PP′于点B，连接AP，AP′，则∠BAP＝45°，∠BAP′＝60°，AM＝10m
，在Rt△ABP中，∠BAP＝45°，∠ABP＝90°，∴AB＝BP，在Rt△ABP′中，∠BAP′＝60°，∠ABP′＝90°，
，由对称可知，PC＝P′C，即BP+BC＝BP′﹣BC，设AB＝x，则BP＝x，，解得，∴PC＝BP+BC＝，答：该无人机离开湖
面的高度为．【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．7．（2
021秋?奉贤区期末）如图8﹣1是位于奉贤南桥镇解放东路866号的“奉贤电视发射塔”，它建于1996年，在长达二十几年的时间里它一
直是奉贤区最高建筑物，该记录一直保持到2017年，历了25年风雨的电视塔铎刻了一代奉贤人的记忆．某数学活动小组在学习了“解直角三角
形的应用”后，开展了测量“奉贤电视发射塔的高度”的实践活动．测量方案：如图8﹣2，在电视塔附近的高楼楼顶C处测量塔顶A处的仰角和塔
底B处的俯角．数据收集：这幢高楼共12层，每层高约2.8米，在高楼楼顶C处测得塔顶A处的仰角为58°，塔底B处的俯角为22°．问题
解决：求奉贤电视发射塔AB的高度（结果精确到1米）．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.4
0，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．根据上述测量方案及数据，请你完成求解过程．【分析】过点
C作CE⊥AB于点E，根据题意可得四边形DCBE是矩形，CD＝2.8米×12＝33.6米，∠ACE＝58°，∠CBD＝22°，在R
t△BCD中，再根据锐角三角函数可得BD的长，在Rt△ACE中，再根据锐角三角函数可得AE的长，进而可得AB的值．【解答】解：过点
C作CE⊥AB于点E，根据题意可得四边形CDBE是矩形，CD＝2.8米×12＝33.6米，∠ACE＝58°，∠CBD＝22°，∴C
E＝BD，BE＝DC＝33.6米，在Rt△BCD中，，，∴CE＝84，在Rt△ACE中，，∴AE＝84tan58°≈84×1.60
＝134.4，∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝134.4+33.6＝168（米）．答：奉贤电视发射塔AB的高度约为168米．【点评
】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，能够借助仰角俯角构造直角三角形是解决问题的关键．8．（2021秋?青浦区期末）如图，
某校的实验楼对面是一幢教学楼，小张在实验楼的窗口C（AC∥BD）处测得教学楼顶部D的仰角为27°，教学楼底部B的俯角为13°，量得
实验楼与教学楼之间的距离AB＝20米．求教学楼BD（BD⊥AB）的高度．（精确到0.1米）（参考数据：sin13°≈0.22，co
s13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）【分析】过点C
作CH⊥BD，垂足为点H，根据锐角三角函数即可求解．【解答】解：如图，过点C作CH⊥BD，垂足为点H，由题意，得∠DCH＝27°，
∠HCB＝13°，AB＝CH＝20（米）．在Rt△DHC中，∵，∴DH＝tan27°×20≈10.2（米），在Rt△HCB中，∵，
∴BH＝tan13°×20≈4.6（米），∴BD＝HD+HB≈10.2+4.6＝14.8（米）．答：教学楼BD的高度约为14.8米
．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．9．（2021秋?嘉定区期末）如图，在航线
l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为AC＝3千米，灯塔B到航线l的距离为BD＝4千米，灯塔B位于灯塔A南偏东60°
方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西53°方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点
C（在航线l上）处．（1）求两个灯塔A和B之间的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．（参考数据：，sin
53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【专题】解直角三角形及其应
用；应用意识；应用题【分析】（1）根据特殊角三角函数即可解决问题；（2）根据三角函数定义可得CN的长，进而可以求该轮船航行的速度．
【解答】解：（1）得由题意，得∠ACM＝∠BDM＝90°，AC＝3，BD＝4，∠CAM＝∠DBM＝60°，在Rt△ACM中，，，∴
AM＝6，在Rt△BDM中，，，∴BM＝8，∴AB＝AM+BM＝14千米．答：两个灯塔A和B之间的距离为14千米．（2）在中，，∴
，∴，在中，，∴，∴，∴，在Rt△BDM中，，由题意，得∴，∴DN＝4tan53°，∴，设该轮船航行的速度是V千米/小时，由题意，
得，∴V≈40.7（千米/小时 ），答：该轮船航行的速度是40.7千米/小时．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题
、矩形的判定与性质等知识；掌握仰角俯角定义是解题的关键．10．（2021秋?静安区期末）据说，在距今2500多年前，古希腊数学家就
已经较准确地测出了埃及金字塔的高度，操作过程大致如下：如图所示，设AB是金字塔的高，在某一时刻，阳光照射下的金字塔在地面上投下了一
个清晰的阴影，塔顶A的影子落在地面上的点C处．金字塔底部可看作方正形FGHI，测得正方形边长FG长为160米，点B在正方形的中心，
BC与金字塔底部一边垂直于点K．与此同时，直立地面上的一根标杆DO留下的影子是OE．射向地面的太阳光线可看作平行线（AC∥DE）．
此时测得标杆DO长为1.2米，影子OE长为2.7米，KC长为250米．求金字塔的高度AB及斜坡AK的坡度（结果均保留四个有效数字）
．【分析】根据题意求出BK，进而求出BC，根据平行投影列出比例式计算求出AB，根据坡度的概念求出斜坡AK的坡度．【解答】解：由题意
得：（米），∴BC＝BK+KC＝80+250＝330（米），∵射向地面的太阳光线看作平行线，∴，即，解得：，∴斜坡AK的坡度，答：
高度AB约为146.7米，斜坡AK的坡度约为1.833．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题、平行投影，掌握坡度的
概念是解题的关键．11．（2021秋?浦东新区期末）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图
，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距
离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树
CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）【考点】解直角三角形的应
用【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．【分析】延长DC交EA的延长线于点F，则CF
⊥EF，令CF＝k，则AF＝2.4k，根据勾股定理求出k=10，得到AF＝24m，CF＝10m，EF＝30m，再根据锐角三角函数求
出DF即可得到答案．【解答】解：延长DC交EA的延长线于点F，则CF⊥EF，∵山坡AC上坡度i＝1：2.4， ∴令CF＝k，则AF
＝2.4k，在Rt△ACF中，由勾股定理得，CF2+AF2＝AC2，∴k2+（2.4k）2＝262，解得k＝10，∴AF＝24m，
CF＝10m，∴EF＝30m，在Rt△DEF中，tanE＝， ∴DF＝EF?tanE＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3
m，∴CD＝DF﹣CF＝23.3m≈23m，∴古树CD的高度约为23m．【点评】此题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确理
解题意，构建直角三角形利用锐角三角函数解决问题是解题的关键．12．（2021秋?闵行区期末）为了维护南海的主权，我国对相关区域进行
海空常态化立体巡航．如图，在一次巡航中，预警机沿AE方向飞行，驱护舰沿BP方向航行，且航向相同（AE∥BP）．当预警机飞行到A处时
，测得航行到B处的驱护舰的俯角为45°，此时B距离相关岛屿P恰为60千米；当预警机飞行到C处时，驱护舰恰好航行到预警机正下方D处，
此时CD＝10千米，当预警机继续飞行到E处时，驱护舰到达相关岛屿P，且测得E处的预警机的仰角为22°，求预警机的飞行距离AE．（结
果保留整数）（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40．）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角
俯角问题．版权所有【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．【分析】过B作BF⊥AE于F
，过P作PG⊥AE于G，证AF＝BF＝10千米，再由平行线的性质得∠E＝∠EPH＝22°，然后由锐角三角函数定义求出EG的长，即可
解决问题．【解答】解：过B作BF⊥AE于F，过P作PG⊥AE于G，由题意得：BF＝PG＝CD＝10千米，FG＝BP＝60千米，在R
t△AFB中，∠A＝45°，∴∠ABF＝90°﹣∠A＝45°，∴∠ABF＝∠A，∴AF＝BF＝10千米，∵AE∥BP，∴∠E＝∠E
PH＝22°，在Rt△PGE中，，（千米），则AE＝AF+FG+EG≈10+60+25＝95（千米）．答：预警机的飞行距离AE约为
95千米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．13．（2021秋?金山区
期末）如图，某校无人机兴趣小组利用无人机测量旗杆的高度，无人机在位于C点时距离地面MN的高度CH为30米，测得旗杆顶部A点的俯角为
30°，测得旗杆底部B点的俯角为45°，求旗杆的高度．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有【专题】应用题；解直角三角
形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】作AD⊥CH，垂足为点D．证明四边形ABHD是矩形，然后利用锐角三角函数即可求解．【解答】
解：如图，作AD⊥CH，垂足为点D．根据题意得，∠CBH＝45°，∠CAD＝30°，在Rt△BHC中，∠BHC＝90°，∠CBH＝
∠BCH＝45°，∴BH＝30米，∵∠ABH＝∠BHD＝∠ADH＝90°，∴四边形ABHD是矩形，∴BH＝AD＝30米，AB＝DH
，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，∴CD＝AD?tan∠CAD＝米，，答：旗杆高度为米．【点评】本题考查了解
直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．14．（2021秋?崇明区期末）如图，小明同学在学习了解直角三角
形及其应用的知识后，尝试利用无人机测量他所住小区的楼房BC的高度．当无人机在地面A点处时，测得小区楼房BC顶端点C处的仰角为30°
，当无人机垂直向上飞行到距地面60米的D点处时，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．（1）求小区楼房BC的高度；（2）若无人
机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒后，无人机无法观察到地面上点A的位置．（计算结
果保留根号）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有【专题】应用题；解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】（1）过点C
作CE⊥AD于点E，得矩形ABCE，根据含30度角的直角三角形即可解决问题；（2）直线DM交AC的延长线于点F，根据含30度角的直
角三角形求出DF的长，进而可以解决问题．【解答】解：（1）过点C作CE⊥AD于点E，得矩形ABCE，∴BC＝AE，由题意可知：∠C
AE＝∠CAB＝30°∠DCE＝45°，AD＝60米，∴CE＝AE，DE＝60﹣AE，∵DE＝CE，∴60﹣AE＝AE，∴AE＝3
0（﹣1）米，∴小区楼房BC的高度30（﹣1）米；（2）如图，直线DM交AC的延长线于点F，∵DF∥AB，∴∠DFA＝∠CAB＝3
0°，∴DF＝AD＝60（米），∴60÷5＝12（秒）．答：经过12秒后，无人机无法观察到地面上点A的位置．【点评】本题考查了解直
角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定与性质等知识；掌握仰角俯角定义是解题的关键．15．（2021秋?黄浦区期末）如图，在东西
方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且
与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距
30千米的B处．（1）求AB两地的距离；（结果保留根号）（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理
由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75．）【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．版
权所有【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C．可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答．
（2）延长AB交l于D，比较OD与OM+MN的大小即可得出结论．【解答】解：（1）过点A作AC⊥OB于点C．由题意，得OA＝60千
米，OB＝30千米，∠AOC＝37°．∴AC＝OAsin37°≈60×0.60＝36（千米）．在Rt△AOC中，OC＝OA?cos
∠AOC≈60×0.8＝48（千米）．∴BC＝OC﹣OB＝48﹣30＝18（千米）．在Rt△ABC中，．（2）如果该轮船不改变航向
继续航行，不能行至码头MN靠岸．理由：延长AB交l于点D．∵∠ABC＝∠OBD，∠ACB＝∠BOD＝90°．∴△ABC∽△DBO，
∴，∴，∴OD＝60（千米）．∵60＞58+1，∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．【点评】本题考查了解直角三角形的
应用，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．【考点3】坡
度、方位角1．（2021秋?徐汇区期末）无人机在空中点A处观察地面上的小丽所在位置点B处的俯角是50°，那么小丽在地面点B处观察空
中点A处的仰角是（ B ）A．40°B．50°C．60°D．70°【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有【专题】解直角
三角形及其应用；推理能力．【分析】根据两点之间的仰角与俯角正好是两条水平线夹角的内错角，应相等即可得结论．【解答】解：因为从点A看
点B的俯角与从点B看点A的仰角互为内错角，大小相等．所以无人机在空中点A处观察地面上的小丽所在位置点B处的俯角是50°，小丽在地面
点B处观察空中点A处的仰角是50°．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角与俯角的
定义．2．（2021秋?浦东新区期末）在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆顶的仰角为，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为（
C ）米．A．B．C．D．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【专题】应用意识；解直角三角形及其应用【分析】由题意得，在直角
三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．【解答】解：根据题意可得：旗杆比仪器高，测角仪高为1.5米，故旗杆的高为米．
故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．3．（2021秋?徐汇区期末）小
明同学逛书城，从地面一楼乘自动扶梯，该扶梯移动了13米，到达距离地面5米高的二楼，则该自动扶梯的坡度i= 1：2.4 ．【考点】解
直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】根据勾股定理求出小明移动的水平距离，根据坡
度的概念计算即可．【解答】解：由勾股定理得：小明移动的水平距离为：＝12（米），则该自动扶梯的坡度i＝5：12＝1：2.4，故答案
为：1：2.4．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．4．
（2021秋?虹口区期末）如果一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角为 60 度．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有【
专题】常规题型；解直角三角形及其应用．【分析】坡度＝坡角的正切值，据此直接解答．【解答】解：∵tanα＝，∴∠α＝60°，故答案为
：60．【点评】此题考查的是坡度和坡角的关系，坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．5．（2021秋?宝山区期末）如
图，一段铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的上底宽为3米，路基高为1米，斜坡AB的坡度，那么路基的下底宽是 米．【考点】解直角三角
形的应用﹣坡度坡角问题【专题】应用意识；解直角三角形及其应用【分析】过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，根据矩形的性质
求出EF，根据坡度的概念求出BE、FC，计算即可．【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，则四边形AEFD为矩
形，∴EF＝AD＝3米，AE＝DF＝1米，∵坡AB的坡度＝1：1.5，∴BE＝1.5米，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴FC＝BE＝
1.5米，∴BC＝BE+EF+FC＝1.5+3+1.5＝6（米），故答案为：6．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问
题，掌握坡度的概念是解题的关键．6．（2021秋?青浦区期末）如图，如果小华沿坡度为的坡面由A到B行走了8米，那么他实际上升的高度
为 米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【专题】解直角三角形及其应用；应用意识【分析】根据斜坡AB的坡度求出坡角，根据含
30°角的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：设斜坡AB的坡角为α，∵斜坡AB的坡度为，，∴α＝30°，∴他实际上升的高度故答案
为：4．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、坡度与坡角之间的关系是解题的关键．7．（2021秋?
黄浦区期末）已知某小山坡的坡长为400米，山坡的高度为200米，那么该山坡的坡度i＝ 1： ．【考点】解直角三角形的应用-坡度
坡角问题【专题】解直角三角形及其应用；应用意识【分析】根据坡度的定义，求出水平距离，求山坡的高度与水平距离的比即可．【解答】解：由
勾股定理可知山坡的水平距离为：＝200米，∴坡度i＝＝1：．故答案为：1：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是
熟练运用勾股定理，明确坡度是山坡的高度与水平距离的比．8．（2021秋?闵行区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，
宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为 ．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【专题】解直角三角形及其应用；应用意识【分析】
根据坡度的概念计算，得到答案．【解答】解：∵，∴斜面AB的坡度为2：3=1：1.5，故答案为：1：1.5．【点评】本题考查的是解直
角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．9．（2021秋?金山区期末）如图，某传送带
与地面所成斜坡的坡度为i＝1：2.4，它把物品从地面A送到离地面5米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为 13 米．【考
点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【专题】解直角三角形及其应用；应用意识【分析】根据坡度的概念求出AF，然后根据勾股定理计算即可
．【解答】解：如图，过B作BF⊥AF于F，由题意得，BF＝5米，∵斜坡的坡度i＝1∶2.4，∴＝，即，解得：AF＝12（米），由勾
股定理得，AB＝（米）．故答案是：13米．【点评】本题主要考查了解直角三角形、坡比的计算、勾股定理等知识点，将坡度问题转化为解直角
三角形的问题成为解答本题的关键．10．（2021秋?崇明区期末）某滑雪运动员沿着坡比为1：的斜坡向下滑行了100米，则运动员下降的
垂直高度为 米．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：设垂直高度下降了x米，则水平前进了x米．根据勾股定理可得：x2+（ x）2＝1002．解得：x＝50，即它距离地面的垂
直高度下降了50米．故答案为：50．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，此题的关键是用同一未知数表示出下降高度和水平前进距离．1
1．（2021秋?长宁区期末）如图，小明沿着坡度i＝1：2.4的坡面由B到A直行走了13米时，他上升的高度AC＝ 米．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】由坡度易得AC与BC的比为1：2.4，设出相应未知数，利用勾股定理可得AC的长度．【解答】解：∵坡度i＝1：2.4，∴AC与BC的比为1：2.4，设AC＝x米，则BC＝2.4x米，由勾股定理，得x2+（2.4x）2＝132．解得x＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了解直角三角形及勾股定理；理解坡度的意义是解决本题的关键．12．（2021秋?静安区期末）如果在A点处观察B点的仰角为α，那么在B点处观察A点的俯角为 ．（用含α的式子表示）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力【分析】根据题目的已知条件画出图形即可解答．【解答】解：如图：A、B两点的水平线分别为AM、BN，由题意得：AM∥BN，∠BAM＝α，∴∠ABN＝∠BAM＝α，∴如果在A点处观察B点的仰角为α，那么在B点处观察A点的俯角为α，故答案为：α．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件画出图形去分析是解题的关键．13．（2021秋?嘉定区期末）如图，飞机在目标B的正上方A处，飞行员测得地面目标C的俯角α=30°，如果地面目标B、C之间的距离为6千米，那么飞机离地面的高度AB等于 千米．（结果保留根号）【分析】根据平行线的性质可求出∠C的度数，再由特殊角的直角三角形的性质即可解答．【解答】解：如图所示：∵AD∥BC，∴∠C＝∠DAC＝30°，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，，即飞机离地面的高度AB等于米，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解答此题的关键．14．（2021秋?松江区期末）如图，码头A在码头B的正东方向，它们之间的距离为10海里．一货船由码头A出发，沿北偏东45°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西60°方向，那么码头A与小岛C的距离是 5+5 海里（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．版权所有【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．【分析】过C作CD⊥BA于D，证△ACD是等腰直角三角形，得CD＝AD，AC＝ CD，设CD＝AD＝x海里，则AC＝ x海里，再由锐角三角函数定义得BD＝ CD＝x（海里），然后由BD＝AD+AB得 x＝x+10，解得：x＝5 +5，即可解决问题．【解答】解：过C作CD⊥BA于D，如图：则∠CDB＝90°，由题意得：∠BCD＝60°，∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AD，AC＝ CD，设CD＝AD＝x海里，则AC＝ x海里，在Rt△BCD中，tan∠BCD＝＝tan60°＝，∴BD＝CD＝x（海里），∵BD＝AD+AB，∴x＝x+10，解得：x＝5 +5，∴ x＝×（5 +5）＝5 +5，即AC＝（5+5）海里，故答案为：（5+5）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关15．（2021秋?杨浦区期末）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于 海里．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．版权所有【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．【分析】过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，由三角形的外角性质得∠BAC＝∠ABC，再由等腰三角形的判定得AC＝BC，锐角由锐角三角函数定义求出AE的长即可．【解答】解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，由题意得：BC＝12海里，∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC＝12海里，在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，∴AE＝AC?sin∠ACE＝12×＝6（海里），即小岛A到航线BC的距离是6海里，故答案为：6． |
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