|
|
| 上海市2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷含解析 |
|
|
|
|
上海市2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考
号：___________一、填空题1．已知集合，集合，且，则=_______2．已知函数的图象恒过定点P，则点P坐标是_____
______3．定义在R上的奇函数满足，则___________．4．方程的解___________．5．若关于的方程有负实根，则
实数的取值范围是___________6．若函数的图象按向量平移后得到函数的图象，则向量的坐标为________.7．在如今这个5
G时代，6G研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G速率有望达到1T
bps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到
亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道宽带，信道内信号
的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变宽带，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率会提升到原来
的_________倍．（结果保留一位小数）8．设是实数，若是的一个充分条件，则的取值范围是__________.9．设无穷等比数
列的公比为，且，则该数列的各项和的最小值为__________．10．已知，且，则的最小值为___________.11．已知a为
奇数且，则关于x的不等式的解集为___________．12．设，若，则的取值范围为___________．二、单选题13．设、、
表示三条互不重合的直线，、表示两个不重合的平面，则使得“”成立的一个充分条件为（?）A．，B．，C．，，D．，，14．设集合，，那
么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（?）A．①②③④B．①②③C．②③D．②15．设，则下列说法中正确的是（?）A．
B．C．D．16．设{复数}，{实数}，{纯虚数}，全集，则下列结论中正确的是（?）A．B．C．D．三、解答题17．设全集为，已知
，．(1)若，求；(2)若，求实数a的取值范围．18．若不等式对恒成立，求的取值范围.19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生
的注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当时，曲线是二次函数图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分，当学生
的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”
的时间有多长？（精确到1分钟）20．已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立．（1）函数是否属于集合？说明理由
；（2）设函数求的取值范围；（3）设函数图像与函数的图像有交点且横坐标为，证明：函数，并求出对应的（结果用表示出来）．21．设非空
集合，求集合A中所有元素的和．参考答案：1．【分析】根据A＝B，得到两个集合的元素相同，然后根据集合元素的特点建立方程即可．【详解
】解：因为集合A：{x，y}，B：{2x，2x2}，且A＝B，当x＝2x时，x＝0，此时A＝{0，0}，B＝{0，0}，不成立，舍
去．所以x＝2x2，y＝2x解得x或x＝0（舍）．当x时，A＝{，1}，B＝{1，}满足条件．所以A＝{，1}．故答案为：【点睛】
本题主要考查集合相等的应用，集合相等，对应元素完全相同．注意进行检验．2．【分析】根据指数函数的指数为，求出函数过定点坐标；【详解
】解：因为，令，即，所以，即函数恒过点；故答案为：3．【分析】利用奇函数的性质有，结合已知即可求值.【详解】由题意且，则，则.故答
案为：.4．4【分析】根据对数的定义可得．【详解】由得，所以．故答案为：4．5．【分析】设方程有负实根为，根据指数函数的性质，得到
，进而得到，即可求解.【详解】设关于的方程有负实根为，根据指数函数的性质，可得，所以，可得，即实数的取值范围是.故答案为：.6．【
分析】把函数式配方后，根据图象变换知可得．【详解】，因此把它向左平移1个单位，再下平移3个单位可得的图象．∴．故答案为：．【点睛】
本题考查函数图象平移，考查向量的概念．属于基础题．7．2.5##【分析】设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，再根据题
意求，利用指数、对数的运算性质化简即可求解.【详解】设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，则由题意可知，，，所以倍.所
以最大信息传递率C会提升到原来的倍.故答案为：2.58．【分析】利用充分条件的定义，将问题转化为，由子集的定义求解即可.【详解】解
：因为是的一个充分条件，则，所以，则的取值范围是.故答案为：.9．【分析】先写出无穷等比数列各项和的表达式，然后利用基本不等式求解
即可.【详解】是公比为的无穷等比数列，数列的各项和为，其中，又且，且，，当且仅当，即时取等号，数列的各项和的最小值为.故答案为：1
0．8【分析】根据，且，将转化为，利用基本不等式求解.【详解】因为，且，所以，，,，当且仅当,即时，等号成立，所以的最小值为8，故
答案为：811．或【分析】讨论、、分别求对应解集，最后取并即得结果.【详解】由题设，又a为奇数且，则，当时，，，则不满足题设；当时
，成立；当时，不等式等价于，若时， ，即与题设矛盾；若时，，满足；综上，不等式解集为或.故答案为：或12．【分析】利用绝对值三角不
等式可得，即，，利用中与有公共点，讨论或、研究m的范围即可.【详解】，当时等号成立，，当时等号成立，所以，而，故，此时，，令中，与
所表示的区域有公共点，当或时，而，故满足；当时，由得：，而，若时，此时，故；若时，此时，故；综上，.故答案为：【点睛】关键点点睛：
利用绝对值三角不等式得确定x、y的范围，再将问题转化为中与有公共点求m的范围即可.13．C【分析】由线线垂直的性质可判断A，由线面
平行的性质可判断B，由线面平行的性质可判断C，由线面平行垂直的性质可判断D．【详解】选项A：当，时，则或与相交或异面，∴A错误，选
项B：当，时，则或与相交或异面，∴B错误，选项C：由线面平行的性质定理，当，，时，则，∴C正确，选项D：当，时，∴，∵，则或与相交
或异面，∴D错误故选：C14．C【分析】根据函数的定义，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，对于①中，函数的定义域
不是集合，所以不能构成集合到集合的函数关系；对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系；对于③中，
函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系；对于④中，根据函数的定义，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不
符合函数的定义，所以不正确.故选：C15．A【分析】令，判断函数的单调性，即可判断A，再根据不等式的性质即可判断BC，再利用基本不
等式即可判断D.【详解】解：令，因为在上递增，且，所以函数在在上递减，所以，即，所以，故A正确，B错误；因为，所以，故C错误；因为
，当且仅当，即时，取等号，又，所以，故D错误.故选：A.16．D【分析】注意复数域的构成，对选项逐一分析，可得结果.【详解】因为对
于任意复数，当时为实数，当时为虚数，当时为纯虚数，所以复数包括实数和虚数，纯虚数是特殊的虚数，所以对于A项，并集中还少不是纯虚数的
虚数，对于B项，交集应该为R，对于C项，结果应该为虚数集，只有D项是满足条件的，故选：D.【点睛】该题考查的是有关复数域的问题，涉
及到的知识点有复数的分类，集合的运算，数域简单题目.17．(1)；(2).【分析】(1)解分式不等式可得集合A，并求出，由得集合B
，再利用交集的定义直接计算作答.(2)由可得，再借助集合的包含关系列式计算作答.(1)解不等式：，即，解得：或，则或，因全集为，于
是得，当时，，所以.(2)由(1)知，，因，因此有：，于是得，解得，所以实数a的取值范围是：.18．【分析】本题需要对和两种情况分
别讨论. 当时结论恒成立; 当时，使用二次函数的性质分析求解; 最后综合两种情况的结论即可.【详解】由已知可得，当时，成立;当时，
要使不等式对恒成立,则二次函数开口向下, 即,且最大值要小于, 即和轴没有交点, 所以, 解得;综上, 的取值范围为.19．（1）
；（2）14分钟.【解析】（1）根据题意，分别求得和上的解析式，即可求解；（2）当和时，令，求得不等式的解集，即可求解.【详解】（
1）当时，设函数，因为，所以，所以，当时，，由，解得，所以，综上，函数的解析式为.（2）当时，令，即，解得或（舍去），所以，当时，
令，得，所以，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为分钟.20．（1），答案见解析；（2）；（3）证明见解析；．【分析】（1）集合
M中元素的性质，即有成立，代入函数解析式列出方程，进行求解即可；（2）根据和对数的运算，求出关于a的方程，再根据方程有解的条件求出
a的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的情况；（3）利用和，整理出关于的式子，利用图象与函数的图象有交点，即对应方程
有根，与求出的式子进行比较和证明.【详解】（1）若在定义域内存在，则方程无解，所以（2）由题意得当时，；当时，由，得，解的综上，；
（3）函数又函数图像与函数的图像有交点且横坐标为则，其中即．【点睛】此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，
根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.21．答案见解析【分析】分一元二次方程有相等实根与两个不相等实根讨论，当有相等实根时，直接求解，当有不相等实根时由根与系数关系求解.【详解】当时，解得，，所以A中所有元素之和为，当时，，方程有两个不等的实根，由根与系数的关系知，即A中所有元素之和为，【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，分类讨论的思想，集合的描述法，属于中档题.试卷第1页，共3页答案第1页，共2页试卷第1页，共3页答案第1页，共2页 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
