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多年来，机器结构的设计计算一直沿用材料力学、结构力学以及弹性力学等提供的计算方法。依据结构强度方面的理论，并辅以试验方法和测试技术的研究得出的，有一定的科学依据和可靠性。但对于机器结构比较复杂，在计算时其计算模型要进行很多简化，而导致计算冗繁，计算精度较差，同时即耗时又耗力。由于有了电脑这种现代化计算工具，又发展了像有限元法这样全新的解决力学问题的通用计算方法，即使很复杂的结构，在计算时也不要作很多的简化，而且计算速度也加快，计算精度也提高。这对加快新产品设计和制造的速度，缩短研制周期，提高产品的竞争能力具有实际意义。 什么是有限元法？有限元法是一套求微分方程的系统化数值计算方法，它比传统解法具有理论完整可靠，物理意义明确，解题效能强等优点。随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。从物理或几何概念来说，有限元法是结构分析的一种计算方法，是矩阵方法在结构力学和弹性力学等领域中的发展和应用；从数学角度来说，数值法适用于微分方程的有限差方法，也适用于离散模型的有限元法。 有限元法的基本思想是“化整为零”（即一分一合，先分后合或拆了再联）。分——首先将整体结构剖分（即离散）成有限个单元，进行单元分析，建立力与位移之间的关系；合——将各单元通过节点再联结起来，建立与结构相似的计算模型。单元间的力通过节点进行传递，并根据力学性质建立整体结构的力与位移之间的关系式。然后求解，得出各节点的位移。由此可见有限元“化整为零”的思想十分简单明了。但更重要的是，有限元可以建立在严格的数学基础上，成为求解微分方程的标准方法之一，从而它不仅能够解决结构分析问题，也能解决工程中如电磁场、流体力学、热传导、渗流等领域的诸多问题。 有限元法的基本任务之一：组成构件的刚阵K。 建立刚度矩阵或柔度矩阵可用下列方法： 1. 直接法（结构力学方法） 2. 变分法（能量泛函的极值） 3. 加权残值法（基本微分方程的近似值） 变分法：①建立所讨论问题的能量泛函式 ②求泛函的极值问题 ③得到单元的力和变形之间的关系 ④给出刚度矩阵或柔度矩阵 学习有限元应具备如下知识技能： 1、 线性代数 2、 弹性力学中的变分原理和能量原理 3、 数学运算软件，如MATLAB、MAPLE 弹性力学基本方程及变分知识和能量原理 一、 弹性力学基本方程 1) 应力分量（正应力σ，剪应力τ）
规定：正应力（σx，σy，σz）拉伸时为正，压缩时为负。如果正应力的正方向与坐标轴的正方向相同（反），则正的剪应力（τxy，τxz，τyx，τyz，τzx，τzy）方向与另外两个坐标轴的方向相同（反）。 2) 位移分量（x方向位移u，y方向位移v，z方向位移w） 规定：沿坐标轴的正向为正，反向为负。 3) 应变分量（线应变ε，剪应变γ） εx，εy，εz，γxy，γyz，γzx 说明：γxy表示沿x和y两个方向的线段之间的应变（xoy平面内）。 规定：正应变（ε=）以伸长为正，缩短为负。剪应变以角度变小为正，增大为负。 4) 体力 X，Y，Z 规定：沿坐标轴的正方向为正，反方向为负。 5) 面力 －X，－Y，－Z 规定：沿坐标轴的正方向为正，反方向为负。 1. 力的平衡方程
剪应力互等关系：τxy＝τyx，τxz＝τz，τyz＝τzy 由剪应力互等关系，应力分量可表示为
[σ]是一个对称矩阵 或 边界条件
2. 几何方程
或 当各应变分量为零时，可得到无形变（即刚体位移）下的位移
u0，v0，w0表示物体的移动 α，β，γ表示物体绕各坐标轴的转动 变形协调条件（变形连续条件）
3. 物理方程 虎克定律ε= 式1-9 E弹性模量（大部分工程材料的拉伸弹性模量和压缩弹性模量相等） G剪切模量 μ泊松比 G和E之间的关系G= 对于各向同性的材料，有
通过上述代换，可得到用应变分量表达应力分量的关系式
应力分量的矩阵形式 ｛σ｝=[D]｛ε｝ 式1-12 式中
｛ε｝=[φ]｛σ｝ 式1-13 式中
二、 能量原理 在讨论弹性系统的能量时，不仅要考虑外力所做的功（外力位能），还要考虑和变形相对应的应力（内力）所做的功（应变能）。所以系统的总位能等于外力位能与应变能的之和。 贮存于整个变形弹性体中的总应变能
或 用应力表述的应变能
用应变表述的应变能
作用在弹性体上的外力位能（体积力+表面力）
或 式中 {Fi}T=[Fx Fy Fz]—作用在结构上的外力分量，可以是体积力，表面力 {F}—相应的外力矩阵 {qi}T=[u v w]—位移分量，可以是挠度，转角 {q}—相应的位移矩阵 弹性系统的总位能
或 Π=U(u,v,w)-{F}T{q} 式1-17 上式表述了弹性体变形时的能量关系。 三、 最小位能原理 1. 变分法 （一）泛函的变分 函数与泛函的比较
（二）变分的运算 泛函Π=Π[y(x)]的变分就是以α为参数，根据拉格朗日变分定义进行运算。即
泛函Π[y(x)]的尤拉方程（控制方程）
或
题1：试求 解：利用泛函Π[y(x)]的尤拉方程，因
所以有
积分上式
整理上式，得
再对y’积分一次有
这显然就是一个直线方程，其中C1，C2可由边界条件y1=y(x1)，y2=y(x2)确定。求得C1，C2并代入上式整理后，得
由此可知该泛函的极限曲线是一条直线段。 题2：试建立如图1所示的简支梁的泛函方程，并求其的极值曲线。
图1
对于平面直梁，其
则
因
外载荷的位能为
则系统的总位能为
对泛函Π的变分，有
对第一项进行分部积分，得
根据极值条件δΠ=0，则有
因为在边界处， 对于自由端有： 对于简支端有： 对于固支端有：v=定值和δv=0 所以对于任何支承情况，在边界x=0和x=L处，上述方程的第二项括号内的值等于零。 那么对于梁的所有截面，δv是任意的，所以只有在
时，才能有
上式就是直梁的基本微分方程式（或称直梁的控制方程） 若p(x)=0，可得到直梁的基本微分方程式
于是，直梁的问题可归结为在给定的边界条件下解上式方程，求v=v(x)。 （三）泛函变分的近似计算 变分问题的微分方程（尤拉方程）在许多情况下用积分进行求解是比较困难，而常采用近似的数值计算。 1.里兹法 方法步骤：⑴把所求泛函Π[y(x)]的极值问题表达成一系列可能近似解的线性组合 这种方法的精确度取决于假定函数中αi的数目。一般情况αi的数目增加，精度就比较高。 题3：对图2所示的悬臂梁。若不考虑剪切变形，试求l及2l长度处的挠度和弯矩。 解：梁的能量泛函式
边界条件：x=0时，w(x)=0， 假定w=α1x2+α2x3+α3x4+…+αnxn+1,如取w的第一项计算，则
取 如取w的第前二项计算，则
因
解上述联立方程，得
Matlab解 >>syms E I L p; >>Y1='8*E*I*a+24*E*I*L*b-5*p*L=0' >>Y2='24*E*I*a+96*E*I*L*b-9*p*L=0' >>[X1,X2]=solve(Y1,Y2,'a,b') X1 =11/8/E/I*p*L X2 =-1/4/E/I*p 弯矩计算公式
计算结果如下表，
从计算结果看出，计算项目愈多，精度愈精确。 2.有限元法 有限元法的数学基础是根据变分原理，将给定的微分方程边值问题转化为与之等价的变分问题，即求能量积分的极值问题；再利用分割插值的方法，将能量积分极值问题离散化，离散为一个求普通多元函数极值的问题，得到一个大型线性代数方程组，最后求解此方程组。 有限元法的分析过程：⑴结构的离散化。所谓离散化简单地说，就是将要分析的结构物分割成有限个单元体，并在单元体的指定点设置结点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，并构成一个单元的集合体，以它代替原来的结构。但是如果分析的对象是连续体，那么为了有效地逼近实际的连续体，就需要考虑选择单元的形状和分割方案以及确定单元和结点的数目等问题；⑵选择位移模式。在完成结构的离散之后，就可以对典型单元进行特性分析。此时，为了能用结点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体问题时，必须对单元中位移的分布作出一定的假设，也就是假定位移是坐标的某种简单的函数，这种函数称为位移模式或插值函数。选择适当的位移函数是有限单元法分析中的关键。通常选择多项式作为位移模式。其原因是因为多项式的数学运算（微分和积分）比较方便，并且由于所有光滑函数的局部，都可以用多项式逼近。至于多项式的项数和阶次的选择，则要考虑到单元的自由度和解的收敛性。一般来说，多项式的项数应等于单元的自由度数，它的阶次应包含常数项和线性项等。这里所谓单元的自由度是指单元结点独立位移的个数。 方法步骤：⑴剖分和插值；⑵单元分析；⑶单元组集。 （四）最小位能原理 最小位能原理就是使总位能达到极小值的位移函数满足平衡方程和几何边界条件。即
或
上式的物理含义就是若物体在给定的体积力和边界处的表面力作用下处于平衡状态，则当物体产生偏离这个状态的任意小的可能允许位移δu，δv，δw时，其应变能的增量等于外力位能增量。 题4：证明关于积分
的Enler方程是
证：把积分
变成以α为参数的积分，即
它的变分是
根据拉格朗日变分定义，对α的导数取在α=0时的值，则
因为
所以
其中
对于不动边界问题，y(a)＝ y(b)＝0，δy＝0，δy’＝0 因此，有
取极值条件，即δΠ＝0的条件是
由于函数δy是一个很小的任意值，所以
证毕。 |
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