弹性力学平面问题的有限元法 一、 平面问题的基本方程 平面问题是指弹性体内一点的应力、应变或位移状态只与两个坐标方向的变量有关的二维问题。 1. 平面应力和平面应变 应力分量:
应变分量:
应力分量与应变分量间的关系:
或
式中:[D]—弹性矩阵 对于平面应力问题
对于平面应变问题(E换成,μ换成)
2. 平面问题的基本方程 平面问题的总位能表达式 当δΠ=0,可以得到用位移u和v表示的基本方程
如采用应力函数
用有限元法求解平面问题的思路: ① 剖分和插值 把整个平面区域S用三角形板单元或矩形板单元等进行剖分并在单元内进行位移函数(形状函数)的插值。
② 单元分析 把形状函数代入位能泛函式Πi,并按单元进行计算。
③ 单元组集 把各单元重新组集起来。
说明:{q}是单元各节点的位移列阵;[K]是单元刚阵;{F}是单元的广义载荷列阵;q是整个区域上各单元节点的位移总和的列阵;K是总刚阵;F是整个区域上的广义载荷列阵,S是单元总数。 二、 位移函数 ① 设定的位移函数是泛函的极限条件,即控制方程的近似解。 ② 选择位移函数的阶次应考虑下列因素: ⅰ、满足完备性和协调性。一般采用一个由低阶算起完全的多项式表示位移函数。如u=a1+a2x+a3y+a4x2+a5xy+a6y2…… ⅱ、对称性即该多项式位移函数与局部坐标系的方位无关。 ⅲ、多项式的项数与节点自由度相等。 ⅳ、收敛性 ③ 设定位移函数时应符合 ⅰ、在单元内部和边界上(包括节点处)处处都能满足力的平衡条件和变形协调条件。 ⅱ、在单元内部要求应变或应力最少应是常值(或线性变化的)。 ⅲ、包含有代表刚体运动的项。 一个单元内各点的位移实际上包含着两部分,一是单元本身变形引起的部分;二是刚体位移部分。位移函数必须能反映这两种位移。 三、 三角形单元分析 1. 位移函数{d} 图3-1 三角形板单元 设三角形板单元单元内某一点的位移函数为 代数形式: 矩阵形式: 那么单元的三个节点i、j、k可以写成
由式3-12解得,
式中: 为了不使A为负值,i、j、k的顺序必须是逆时针方向,如图3-1。 将
式中:[N]形状函数
2. 应变{ε} 由
式中:[B] 应变矩阵
3. 应力{σ} 根据虎克定律,得
式中:[R] 应力矩阵 对于平面应力问题
对于平面应变问题
4. 刚阵[K] 根据虚位移原理,可推得
式中:[K] 刚度矩阵
式中: 对于平面应力问题
对于平面应变问题
四、 矩形单元分析 1. 位移函数{d} 图3-2 矩形板单元 设矩形板单元单元内某一点的位移函数为
根据矩形板四个坐标值,求得α1、α2、α3、α4、α5、α6、α7、α8,并回带式4-1中,可以得到新的位移函数
2. 应变{ε}
式中: 3. 应力{σ}
式中:对于平面应力问题 对于平面应变问题 4. 刚阵[K] 对于平面应力问题
五、 形状函数 对于平面梁位移,可以用下述形状函数来表示 v(x)=[N]{q}=N1v1+N2v2+N3v3+N4v4 对于平面问题三角形单元,可以用下述形状函数来表示 u=Niui+Njuj+Nkuk+Nlul v=Nivi+Njvj+Nkvk+Nlvl 形状函数的几何意义反映了单元体的变形情况,即位移分布状态。 形状函数的两个重要性质: 1、 2、在单元任一点上三个形状函数之和等于1。 六、 三角形面积坐标 面积坐标就是用面积的比例关系来表示三角形单元中任意一点P(x,y)的位置。 其中: 图3-3 当采用面积坐标时,三角形单元内某点的位移函数为
面积坐标与直角坐标之间的关系
七、 载荷的转移 1、三角形单元上载荷的转移 图3-3 图3-4 图3-5 图3-6 载荷1:作用在单元i-j边上的一个沿着x方向的集中载荷P(图3-3)。 载荷2:作用在三角形单元i-j-k内的一个沿着x方向的集中载荷P(图3-4)。 载荷3:作用在三角形单元i-j-k的i-j边上为一个按三角形分布的分布载荷p(图3-5)。 载荷4:作用在三角形单元i-j-k的i-j边上为一个按梯形分布的载荷p1、p2(图3-6)。 ①单元i-j-k的任意一点受集中载荷P,则单元等效节点载荷{F} ②单元i-j-k的任意一面受体力F,则单元等效节点载荷{F}V ③单元i-j边上受分布表面力F,则单元等效节点载荷{F}V 2、矩形单元上载荷的转移 ①矩形单元自重作用 图3-4 ②矩形单元内某点作用集中力 图3-5 用上述方法也可以计算简支梁的等效节点载荷值。 八、 平面问题的有限元解法 平面问题的有限元解一般方法和步骤: 1、根据单元的性质和精度要求,写出表示单元体内任意点的位移函数,其矩阵形式
式中: 2、对表达式(式4-8)应用节点处的边界条件,写出以{α}表示的节点位移u1、v1、w1、u2、v2、w2、。。。。。。,其矩阵形式
式中:
式中: 3、用表达式(式4-11)计算单元的应变
4、根据应力应变关系,计算单元的应力,
式中: 5、作用在单元上的外力
6、根据虚位移原理(或应变能),可以得到单元刚阵
7、由总位能泛函式的极值条件δΠ=0(或虚位移原理),可以得到力刚阵
8、把各单元进行组集,即
9、对K进行边界条件处理,并求解方程组 10、根据节点位移,应用 题1:题图1-a为一个对角受压的正方形薄板,载荷沿厚度t均匀分布,其值为20MPa,为简单起见取μ=0,t=1 m,求变形和应力。 解:由于对称,可取板的四分之一来分析,如题图1-b所示。 1、单元剖分 把计算部分(见题图1-b)分为四个单元①、②、③、④,并对四个单元分别编出节点号码i、j、k,如题图1-c和题图1-d。 2、单元分析 由于单元①与单元②、单元④具有相同的性质。所以只需单元①和单元③进行分析。 对于单元①,由于xi=1,yi=1;xj=0,yj=2;xk=0,yk=1,则 而 对于单元③,由于xi=0,yi=1;xj=1,yj=0;xk=1,yk=1,则 而 根据上列数值及μ=0,t=1,可得各单元的刚阵(此时 3、单元组集 按节点位移序号组成全结构的总刚阵 4、边界条件约束处理 由于u1 = u2 = u4 = 0,v4 = v5 = v6 =0,所以只需考虑v1、v2、v3、u3、u5、u6六个位移,因此缩减的刚阵是 节点力列阵是 与缩减的刚阵对应的缩减节点力列阵是 5、线性方程组建立与求解 将Fr、Kr之值代入Fr=Kr·qr中,得 解方程组,可得 6、单元应力分量的计算 由题可知,正方形薄板属于平面应力问题。各单元①、②、③、④的应力矩阵分别为 则各单元的应力是 单元①: 单元②: 单元③: 单元④: 题2:题图2-a为一个悬臂深梁,在右端作用着均布的剪力,其合力为P,采用图示的简单网格。设泊松比μ=1/3,t=1,试求结点位移量。 解: 1、单元剖分 把悬臂深梁剖分二个单元①,②,并分别编出单元节点号码i,j。如题图2(b)所示。 2、单元分析 对于单元①,由于xi=2,yi=0,xj=0,yj=1,xk=0,yk=0,则 而 对于单元②,由于xi=0,yi=1,xj=2,yj=0,xk=2,yk=1,则 而 根据上列数值及μ=1/3,可得各单元的刚阵(此时 3、单元组集 按节点位移序号组成全结构的总刚阵为 4、边界条件约束处理 由于u1=v1=u4=v4=0,所以只需考虑u2,v2,u3,v3四个位移。因此,减缩刚阵为 节点力列阵是 与缩减的刚阵对应的缩减节点力列阵是 5、线性方程组建立与求解 将Fr、Kr之值代入Fr=Kr·qr中,得 解方程组,可得 |
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