2022北京初三一模数学汇编锐角三角函数一、填空题1．（2022·北京平谷·一模）如图，正方形ABCD中，将线段BC绕点C顺时针旋转60°得
到线段CE，连接BE、DE，若正方形边长为2，则图中阴影部分的面积是 _____．2．（2022·北京门头沟·一模）京西某游乐园的
摩天轮采用了国内首创的横梁结构，是市民周末休闲的好去处．如图，如果该摩天轮的直径为88米，最高点距地面100米，匀速运行一圈所需的
时间是18分钟．但受周边建筑物影响，如果乘客与地面距离不低于34米时为最佳观景期，那么在摩天轮运行的一圈中最佳观景的时长为____
____分钟．? 二、解答题3．（2022·北京平谷·一模）计算：．4．（2022·北京通州·一模）计算：．5．（2022·北京房
山·一模）计算：．6．（2022·北京朝阳·一模）计算：．7．（2022·北京海淀·一模）计算：．8．（2022·北京顺义·一模）
计算：．9．（2022·北京平谷·一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直
线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF．(1)求证：四边形AEBF是菱形；(2)若cos∠EBF＝，BF＝5，连接C
D，求CD的长．10．（2022·北京朝阳·一模）如图，在矩形中，，相交于点O，，．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求四边形的
面积．11．（2022·北京西城·一模）如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD
的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若BA⊥AF，AD=4，，求BD和A
E的长．12．（2022·北京顺义·一模）如图，在四边形ABCD中，，，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．(1)求
证：四边形ACED是平行四边形；(2)若AC=4，AD=2，，求BC的长．13．（2022·北京房山·一模）如图，在平行四边形AB
CD中，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，过点C作CFEB交AB的延长线于点F．(1)求证：四边形BFCE是矩形；(2)连接
AC，若AB=BE=2，，求AC的长14．（2022·北京房山·一模）如图，BE是⊙O直径，点A是⊙O外一点：OA⊥OB，AP切⊙
O于点P，连接BP交AO于点C．(1)求证：∠PAO=2∠PBO；(2)若⊙O的半径为5，，求BP的长．15．（2022·北京平谷
·一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC、BC，过O作OF∥AC，交BC于G
，交DC于F．(1)求证：∠DCB＝∠DOF；(2)若tan∠A＝，BC＝4，求OF、DF的长．16．（2022·北京朝阳·一模）
如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．(1)求证：平分；(2)若，，求的长．17．（2022·北京海淀·一
模）如图，是的外接圆，AB是的直径，点D为的中点，的切线DE交OC延长线于点E．(1)求证：；(2)连接BD交AC于点P，若，，求
DE和BP的长．18．（2022·北京西城·一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧BC上，AF与CD交于点G，
点H在DC的延长线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M．(1)求证：HF是⊙O的切线；(2)若，BM=1，求AF的长．1
9．（2022·北京房山·一模）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P，Q两点（Q在P，H之间）
．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ·PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．(1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，
点E的坐标为（0，4），半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A，B，C，D．①过点E作垂直于y轴的直线m﹐则⊙O关于直线m的“远点”是点
__________________（填“A”，“B”，“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_____________；
②若直线n的函数表达式为，求⊙O关于直线n的“特征数”；(2)在平面直角坐标系xOy、中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面
内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（–1，0）是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是，
直接写出直线l的函数解析式．20．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两
个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”．(1)如图1，的半径为1，当时，直接写出直线关于的“圆截距”；(2)点M的坐标为，①
如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求k的取值范围；②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线关
于的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值．21．（2022·北京门头沟·一模）我们规定：在平面直角坐标系中，如果点到原点的距离为
，点到点的距离是的整数倍，那么点就是点的倍关联点．(1)当点的坐标为时，①如果点的2倍关联点在轴上，那么点的坐标是 ；②如果点是点
的倍关联点，且满足，．那么的最大值为________；(2)如果点的坐标为，且在函数的图象上存在的2倍关联点，求的取值范围．22．
（2022·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2．对于直线和线段BC，给出如下定义：若将线段BC沿直线l翻折可以得到的弦
（，分别是B，C的对应点），则称线段BC是以直线l为轴的的“关联线段”．例如：在图1中，线段BC的是以直线l为轴的的“关联线段”．
(1)如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，以直线l为轴的的“关联线段”是______；(2)△ABC是边长为a
的等边三角形，点，若BC是以直线l为轴的的“关联线段”，求a的值；(3)如果经过点的直线上存在以直线l为轴的的“关联线段”，直接写
出这条直线与y轴交点的纵坐标m的取值范围．参考答案1．【解析】【分析】由旋转的性质可知 ，，，，到边上的高；到边上的高，根据，计算
求解即可．【详解】解：由题意知 ，∵∴∴到边上的高；到边上的高∴故答案为：?．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，正弦等知
识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．2．12【解析】【分析】先计算出圆的底端距离地面的距离为12，从而得到圆的底部到弦的
距离为22，从而计算出弦所对的圆心角，用弧长公式计算劣弧的长，周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长，除以运动速度即可．【详解】解：如
下图所示， 根据题意，得OC=44，CD=AD-AC=100-88=12，ED=34，∴CE=ED-CD=34-12=22，∴OE
=OC-CE=44-22=22，在直角三角形OEF中，sin∠OFE==，∴∠OFE=30°，∴∠FOE=60°，∴∠FOB=12
0°，∴，∵圆转动的速度为， ∴最佳观赏时长为÷=12（分钟），故答案为：12．【点睛】本题考查了垂径定理，弧长公式，特殊角的三角
函数，解题的关键是熟练掌握弧长公式，灵活运用特殊角的三角函数．3．【解析】【分析】根据特殊角三角函数值，负整数指数幂，绝对值，以及
二次根式的性质进行求解即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，负整数指数幂，绝对值，以及二次根式的性质，实数的
运算，熟知相关计算法则是解题的关键．4．5【解析】【分析】先根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂及二次根式的性质进行
化简计算，再按照从左到右的运算顺序计算即可．【详解】原式 【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及绝对值的性质、特殊角的三角函数值、
负整数指数幂及二次根式的性质，熟练掌握运算法则及顺序是解题的关键．5．【解析】【分析】根据特殊三角函数值、负整数指数幂、零指数幂的
法则、二次根式的化简进行计算即可．【详解】解：＝2×－4 ＋1－ ＝－4 ＋1－【点睛】本题考查了特殊三角函数值、负整数指数幂、零
指数幂的法则、二次根式的运算等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．6．-1【解析】【分析】根据实数的计算，把各个部分的值求出来进行
计算即可．【详解】解：原式= = =-1．【点睛】本题考查了实数的混合运算，准确记忆特殊角的锐角三角函数值、绝对值化简、零指数幂、
二次根式的化简是解题的关键．7．【解析】【分析】先分别根据特殊角的三角函数值、二次根式的化简、绝对值的性质及0指数幂的计算法则，计
算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的计算
法则、特殊角的三角函数值及绝对值的性质是解答此题的关键．8．3【解析】【分析】直接利用二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函
数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值、实数运算，正确化简各数是解题关
键．9．(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）根据菱形的判定条件：对角线互相垂直平分的四边形是菱形进行证明即可；（2）先证明∠A
EC=∠EBF，从而求出CE=3，，BC =8，利用勾股定理求出AB的长，即可利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD的长
．(1)解：∵D是AB的中点，∴AD=BD，∵DE=DF，∴四边形AEBF是平行四边形，∵EF⊥AB，∴四边形AEBF是菱形；(2
)解：∵四边形AEBF是菱形，∴，AE=BF=BE=5，∴∠AEC=∠EBF，∵∠ACB=90°，∴，∴CE=3，∴，BC=CE+
BE=8，∴，∵D是AB的中点，∠ACB=90°，∴．【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，直角三角形斜
边上的中线，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键．10．(1)见解析(2)【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得出OA=OB，进而
利用菱形的判定解答即可；(2)根据菱形的性质及面积公式，解直角三角形即可求得．(1)证明：，四边形AEBO是平行四边形又四边形AB
CD是矩形，， 四边形AEBO是菱形(2)解：如图：连接EO，交AB于点F四边形ABCD是矩形，， 又是等边三角形， 四边形A
EBO是菱形， 四边形的面积为：【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，作出辅助线
是解决本题的关键．11．(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得到，再由菱形的判定定理即可得到结论；（2）先求
出 ，由勾股定理得出BD的长度，解直角三角形求出AF的长度，再由菱形的性质即可求解．(1) BA=BC，BD平分∠ABC DE=
DF四边形AECF是菱形；(2)，BA⊥AF ，BA=BC AD=4 在 中， 四边形AECF是菱形【点睛】本题考查了等腰三
角形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理及利用同角的三角函数关系求值，熟练掌握知识点是解题的关键．12．(1)证明见解析(2)BC的
长为【解析】【分析】（1）先判定，再根据题中所给的条件即可利用平行四边形判定定理证出；（2）根据三角函数值设，，利用平行四边形性质
得到平行及线段相等，从而根据确定的相似比代值求解即可．(1)证明：，，，，在四边形ABCD中，，四边形ACED是平行四边形；(2)
解：在中，，设，，在中，，，，，，即，解得（舍弃）或，．【点睛】本题考查了平行线的判定、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与
性质、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．13．(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）先证明四边
形BFCE是平行四边形，再根据即可求证；（2）利用矩形的性质得到，根据得到，根据勾股定理求解即可．(1)证明：∵四边形是平行四边形
，∴，∵，∴四边形是平行四边形∵∴∴四边形是矩形．(2)解：∵四边形是矩形∴，，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，．【点睛】此题考查了平
行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理以及三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．14．(1)见解析(2)【解析】【
分析】（1）连接，由切线的性质及垂直条件可得，再由等腰三角形的性质即可证得结果；（2）过点作于点，，设，则可求得OB，从而可得k的
值，则在中由勾股定理即可求得PB的长．(1)证明：连接∵切⊙O于点∴∴∵∴∴∵OP=OB∴∠OPB=∠PBO ∴∴(2)解：过点作
于点∵∴∴设∴由勾股定理得：∵⊙O半径为5∴∴∴∴∴在中，【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及正切函数的定义
等知识，连接半径是关键．15．(1)见解析(2)，【解析】【分析】（1）如图所示，连接OC，先证明∠DCB=∠OCA，由OC=OA
，可证∠OAC=∠OCA=∠DCB，再由，可证∠DOF=∠OAC，即可证明∠DOF=∠DCB；（2）先证△OBG∽△ABC，∠BG
O=∠ACB=90°得到，则CG=2，再由∠BCD=∠OAC，，求出，则，，即可得到，可证△OFD∽△ACD，得到，则．(1)解：
如图所示，连接OC，∵CD是圆O的切线，AB是圆O的直径，∴∠OCD=∠ACB=90°，∴∠DCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB，
∴∠DCB=∠OCA，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA=∠DCB，∵，∴∠DOF=∠OAC，∴∠DOF=∠DCB；(2)解：设O
F与BC交于点G，∵，∴△OBG∽△ABC，∠BGO=∠ACB=90°∴，∠CGF=90°∴，∴CG=2，∵∠BCD=∠OAC，，
∴，∴，∴，，∴，同理可证△OFD∽△ACD，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆切线的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形
，平行线的性质，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角等等，正确作出辅助线是解题的关键．16．(1)证明见详解(2)【解析】【分
析】（1）连接OC，可证明，推导出，又因为，可得，即可证明，即平分；（2）连接BC，由为的直径可证明，由（1）可知，利用三角函数分
别解、，解得AC、AD长度，再由勾股定理计算CD的长即可．(1)证明：如图1，连接OC，∵CD为切线，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴
，即平分；(2)解：如图2，连接BC，∵为的直径，∴，∵，∴，即，解得，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、
三角函数解直角三角形以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．17．(1)见解析(2)，【解析】【分析】（1）连接OD，用垂径
定理的推论和切线性质定理证明；（2）设OD与AC交点为F，连接AD，根据∠BAC的余弦值和勾股定理求出AB，BC的长，证明∠E=∠
BAC，∠EDO=∠ACB，得到△ABC∽△EOD，根据相似比求出DE的长；根据三角形中位线定理求出OF的长，得到DF的长，用勾股
定理求出AD的长，最后用∠CAD=∠CBD的余弦值求出BP的长(1)连接OD，∵点D是的中点，∴OD⊥AC，∵DE是⊙O切线，∴D
E⊥OD，∴DE∥AC(2)设OD与AC交点为F，连接AD，则∠CAD=∠CBD，∵DE∥AC，∴∠E=∠OCA，∵OA=OC，∴
∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠E，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠EDO=90°，∴△ABC∽△EOD，
∴，∵，AC=8，∴AB=10，∴，OD=5，∴∴，∵，∴DF=OD-OF=5-3=2，∵，∴，∴，∴，∴【点睛】本题主要考查了垂
径定理，切线性质定理，平行线的判定，圆周角定理推论，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是
连接OD，AD，熟练运用上述性质和判定定理解答18．(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）连接OF，根据CD⊥AB，可得∠A+∠
AGE=90°，再由HG=HF，可得∠HFG =∠AGE，然后根据OA=OF，可得∠A=∠OFA，即可求证；（2）连接BF，先证得
△BFM∽△FAM，可得，再由，可得OM=5，AM=9，AB=8，FM=3，从而得到，然后由勾股定理，即可求解．(1)证明：连接O
F，∵CD⊥AB，∴∠AEG=90°，∴∠A+∠AGE=90°，∵HG=HF，∴∠HFG=∠HGF，∵∠HGF=∠AGE，∴∠HF
G =∠AGE，∵OA=OF，∴∠A=∠OFA，∴∠OFA+∠HFG=90°，即∠OFH=90°，∴HF是⊙O的切线；(2)解：如
图，连接BF，由（1）得：∠OFM=90°，∴∠BFO+∠BFM=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠A+∠ABF
=90°，∵OB=OF，∴∠ABF=∠BFO，∴∠BFM=∠A，∵∠M=∠M，∴△BFM∽△FAM，∴，∵， ∴，∵BM=1，OB
=OF，∴，解得：OF=4，∴OM=5，AM=9，AB=8，∴FM=，∴，∴，∵，∴，解得： ．【点睛】本题主要考查了圆的综合题，
熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，理解锐角三角函数是解题的关键．19．(1)①D；10；② ⊙O关于直线n的“特征数”为
6；(2)或【解析】【分析】（1）①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；②过圆心O作OH⊥直线n，垂足为点H，交⊙O
于点P、Q，首先判断直线n也经过点E（0，4），在中，利用三角函数求出∠EFO=60°，进而求出PH的长，再根据“特征数”的定义计
算即可；（2）连接NF并延长，设直线l的解析式为y=kx+b1,用待定系数法得到，再根据两条直线互相垂直，两个一次函数解析式的系数
k互为负倒数的关系可设直线NF的解析式为y=x+b2,用待定系数法同理可得，消去b1和b2，得到关于m、n的方程组；根据⊙F关于直
线l的“特征数”是，得出NA=，再利用两点之间的距离公式列出方程(m+1)2+n2=，把代入，求出k的值，便得到m、n的值即点A的
坐标，再根据待定系数法求直线l的函数表达式．注意有两种情况，不要遗漏．(1)解：（1）①⊙O关于直线m的“远点”是点D，⊙O关于直
线m的“特征数”为=2×5=10；②如下图：过圆心O作OH⊥直线n，垂足为点H，交⊙O于点P、Q，∵直线n的函数表达式为，当x=0
时，y=4；当y=0时，x=，∴直线n经过点E（0，4），点F（，0），在中，∵===，∴∠FEO=30°，∴∠EFO=60°，在
中，∵，∴HO=·FO=2，∴PH=HO+OP=3，∴PQ·PH=2×3=6，∴⊙O关于直线n的“特征数”为6；(2)如下图，∵点
F是圆心，点是“远点”，∴连接NF并延长，则直线NF⊥直线l，设NF与直线l的交点为点A（m，n），设直线l的解析式为y=kx+b
1（k≠0）,将点与A（m，n）代入y=kx+b1中，②-①得：n-4=mk-k，③又∵直线NF⊥直线l，∴设直线NF的解析式为y
=x+b2（k≠0）,将点与A（m，n）代入y=x+b2中，④-⑤得：-n=+，⑥联立方程③与方程⑥，得：解得：，∴点A的坐标为（
，）；又∵⊙F关于直线l的“特征数”是，⊙F的半径为，∴NB·NA=，即2·NA=，解得：NA=，∴[m-(-1)]2+(n-0)
2=()2，即(m+1)2+n2=18，把代入，解得k=-1或k=；当k=-1时，m=2，n=3，∴点A的坐标为（2，3），把点A
（2，3）与点代入y=kx+b1中，解得直线l的解析式为；当k=时，m=，n=，∴点A的坐标为（，），把点A（，）与点代入y=kx
+b1中，解得直线l的解析式为．∴直线l的解析式为或．【点睛】本题是一次函数与圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系、一次函数的图象
和性质、解直角三角形等，理解“远点”和“特征数”的意义，熟练掌握一次函数的图象和性质、两点之间距离公式、两条直线互相垂直的两个一次
函数解析式中系数k互为负倒数的关系是解题的关键．20．(1)(2)①或?②-≤b≤【解析】【分析】(1)直线与圆的交点分别为A(0
，1)和B(-1，0)，则OA=OB=1，根据勾股定理计算即可．(2) ① 根据圆的垂径定理，确定弦长为时，弦的位置，注意分类，确
定直线的解析式，根据直线的增减性，确定k的范围．②分最短弦长2的弦在x轴上方和下方，两种情形求解．(1)解：如图1，∵，∴直线的解
析式为y=x+1，∴直线与y轴的交点为A(0，1)，与x轴的交点为B(-1，0)，∵的半径为1，∴圆O与y轴的正半轴交点为A(0，
1)，与x轴的负半轴交点为B(-1，0)，∴直线关于该圆的“圆截距”为AB，∵OA=OB=1，∴AB=．(2)①如图2，设直线与y
轴正半轴交点为A，且A(0，1)∵点M的坐标为，的半径为1，∴圆与x轴正半轴交点为B(2，0)，当时，直线的解析式为y=kx+1，
当直线经过点B时，2k+1=0，解得k=；过点M作MF⊥AB，垂足为F，∵OA=1，OB=2，∴AB=，∴sin∠ABO=，∵MB
=1，sin∠ABO=，∴，，设直线AB与圆M的另一个交点为C，则BC=2BF=，∵关于的“圆截距”小于，∴k的取值范围是；设直线
AM与圆的一个交点为N，∵点A(0，1)，点M的坐标为，∴OA=OM，∴∠AMO=45°，∴∠BMN=45°，根据圆的对称性，直线
AB和直线AD关于直线AN对称，此时ED=CB，∴∠DMN=45°，∴∠DMB=90°，∴D的坐标为(1，-1)，∴k+1=-1，
解得k=-2，直线AD的解析式为y=-2x+1，∵关于的“圆截距”小于，∴k的取值范围是；综上所述，k的取值范围是或．②如图3，设
圆M与x轴的正半轴交点为A,当AF=2时，作直线AB交y轴的正半轴于点B，此时b的值最大，过点M作MD⊥AB，垂足为D，∵AF=2
，∴AD=1，∵MA=2，∴∠DMA=30°，∠BAO=60°，∵OA=3，tan∠BAO=，∴OB=OAtan60°=，此时b的
最大值为；设圆M与x轴的正半轴交点为A,当AF=2时，作直线AC交y轴的负半轴于点C，此时b的值最小，过点M作ME⊥AC，垂足为E
，∵AG=2，∴AE=1，∵MA=2，∴∠EMA=30°，∠CAO=60°，∵OA=3，tan∠CAO=，∴OC=OAtan60°
=，此时b的最小值为-；故b的取值范围-≤b≤．【点睛】本题考查了了垂径定理，一次函数的解析式和性质，特殊角的三角函数值，勾股定理
，熟练掌握圆的性质，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键．21．(1)①（1.5，0）或（﹣4.5 ，0），② 3(2)1－≤b
≤1＋【解析】【分析】（1）①根据点的坐标为，点的2倍关联点在轴上，利用关联点的定义即可求解；②根据点是点的倍关联点，且满足，，列
出不等式，即可求解；（2）根据当直线与⊙相切时，即直线和，b分别取最大值b1和最小值b2，分两种情况解答即可．(1)解：①∵点的坐
标为，∴ 点到原点的距离为1.5，∴ a＝1.5，∵点的2倍关联点在轴上∴2a＝3∴点M的横坐标为-1.5＋3＝1.5或﹣1.5－
3＝﹣4.5∴点M的坐标是（1.5，0）或（﹣4.5 ，0）故答案为：（1.5，0）或（﹣4.5 ，0）②∵点是点的倍关联点，且满
足，∴a＝1.5∴点M的坐标是（-1.5，1.5k）当时，即，解得，当时，即，解得，∴ k的取值范围为，∵ k是整数，∴k的最大值
是3故答案为：3(2)解：∵点的坐标为∴a＝1，∴的2倍关联点在以点为圆心，半径为2 的圆上∵在函数的图象上存在的2倍关联点，∴当
直线与⊙相切时，即直线和，b分别取最大值b1和最小值b2，如图所示，在Rt△AB中，∠AB＝90°，∠AB＝45°，A＝2∴sin
∠AB＝ ∴ ∴点B的坐标是（1＋，0）代入得﹣（1＋）＋b1＝0解得b1＝1＋∴直线AB为在Rt△CD中，∠DC＝90°，∠DC＝45°，D＝2∴sin∠DC＝ ∴ ∴点C的坐标是（1－，0）代入得﹣（1－）＋b2＝0解得b2＝1－∴直线CD为∴1－≤b≤1＋【点睛】本题主要考查了坐标系中的点之间的距离，一次函数的图像和性质，圆的切线、解直角三角形等知识，数形结合是解决此题的关键．22．(1)，，(2)(3)或【解析】【分析】（1）根据定义作关于的对称点，若线段是的弦，则再次对称（依题意定义）即为的弦，据此求解即可；（2）根据（1）的方法，根据等边三角形的对称性，可知轴，设交轴于点，交于点，解进而求得的长，即的值；（3）根据题意，作的切线，，求得直线解析式，即可求得的取值范围．(1)根据定义作关于的对称点，若线段是的弦，则再次对称（依题意定义）即为的弦，如图，是的弦，与关于轴对称，则是以直线l为轴的的“关联线段”故答案为：(2)如图，设1交轴于点，交于点，的半径为2,，则在中，∴所在直线是等边三角形的对称轴，则，在中，(3)如图，过点作的切线，与交于点，取的中点,连接，,的半径为2，是与的交点是等边三角形同理也是等边三角形是等边三角形设直线的解析式为，的解析式为解得直线的解析式为，的解析式为根据定义可知，经过点的直线上存在以直线l为轴的的“关联线段”，则直线与相交，或【点睛】本题考查了新定义问题，轴对称的性质，解直角三角形，圆的性质，待定系数法求解析式，等边三角形的性质，勾股定理，切线的性质，理解定义，将圆心对称是解题的关键． |
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