2022年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24分）相反数的是A. B. C. D. 年北京
冬奥会期间通过实施余项低碳措施，减少二氧化碳排放量接近吨．其中这个数用科学记数法表示为A. B. C. D. 如图是由个相同的正方
体堆成的物体，它的俯视图是A. B. C. D. 下列运算正确的是A. B. C. D. 如图．将一个形状的楔子从木桩的底端点处沿
水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前移如箭头所示，则木桩上升了单位：A. B. C.
D. 如图，是的直径，是的切线，交于点，连结，若，则的大小为A. B. C. D. 如图，已知在中，，，是边上的中线按下列步骤作图
：分别以点，为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，；过点，作直线，分别交，于点，；连接，则下列结论错误的是A. B.
C. D. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连结若点为的
中点，的面积为，则的值为A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共18分）分解因式：______．不等式组的解集为__
____．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，
，，则的大小为______度．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点
，则图中阴影部分的面积为______．在平面直角坐标系中，二次函数过点，着当时，有最大值，最小值，则的取值范围是______．三、
解答题（本大题共10小题，共78分）计算：．现有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋里装有个红球，个黄球；乙袋里装有个红球，个白球．这些球
除颜色外其余完全相同．从甲袋里随机摸出一个球，则摸到红球的概率为______从甲袋里随机摸出一个球，再从乙袋里随机摸出一个球，请用
画树状图或列表的方法，求摸出的两个球颜色相同的概率．年冬奥会吉祥物冰墩墩一夜之间火遍全球，各种冰墩墩的玩偶、挂件、灯饰等应话而生．
某超市决定购进玩偶和挂件两种冰墩墩饰品．已知玩偶比挂件每件进价多元，预算资金为元，其中元购买玩偶，其余资金全部购买挂件，且购买到的
挂件的数量是玩偶数量的倍．求每件玩偶的进价为多少元？如图，在?中，过点作于点，点在边上，，连接，．求证：四边形是矩形；已知，是的平
分线，若，求?的面积．本学期开学初，某校初三年级进行了数学学科假期作业验收测试满分为分，随机抽取了甲、乙两班各名同学的成绩，并对数
据成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：，甲、乙两班各名同学测试成绩的频数分布统计表如下：成绩分班级甲乙乙班成绩在这一组
的数据是：，，，，，，，，，，，甲、乙两班成绩的平均分、中位数、众数如下：班级平均数中位数众数甲乙根据以上信息，回答下列问题：表中
的值为______．在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属班级排在前名，由表中数据可知该学生是______班的学生填“甲”或“乙
”，理由是______．若成绩分及以上为优秀，按上述统计结果，估计该校初三年级名学生成绩优秀的学生人数．图、图、图均是的正方形网格
，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留
适当的画图痕迹．在图中画出边上的中线．在图中画出边上的高线．在图中，若点、分别为线段、上的动点，连结、，当取得最小值时，画出点、点
的位置．已知一辆快车与一辆慢车同时由地沿一条笔直的公路向地匀速行驶，慢车的速度为千米时．两车之间的距离千米与慢车行驶时间时之间的函
数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：快车的速度为______千米时，、两地之间的距离是______千米．求当快车到达地后，与之
间的函数关系式写出自变量的取值范围．若快车到达地休息分钟后，以原路原速返回地．直接写出慢车在行驶过程中，与快车相距千米时行驶的时间
．问题原型如图，在中，是边的中线，．求证：．结论应用如图，中，点是的中点，将沿翻折得到，连结．求证：．应用拓展如图，在?中，，点是
边的中点，将沿翻折得到，连结并延长，交于点若，，，则的长为______．如图，在中，，，点为边的中点．动点从点出发，沿折线向点运动
，在、上的速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度．当点不与点重合时，连结，以、为邻边作?设点的运动时间为秒．线段的长为_____
_；用含的代数式表示线段的长．当点在内部时，求的取值范围．当?是菱形时，求的值．作点关于直线的对称点，连结，当时，直接写出的值．在
平面直角坐标系中，抛物线为常数的图象记为．当时，求图象最低点的坐标．当图象与轴有且只有一个公共点时，求的取值范围．当图象的最低点到
直线的距离为时，求的值．图象上点的横坐标为，点的坐标为，当不与坐标轴平行时，以为对角线作矩形，使矩形的边与坐标轴平行，当图象与矩形
的边有两个公共点时，直接写出的取值范围．答案和解析1.【答案】【解析】解：的相反数是．故选：．根据相反数的定义即可得出答案．本题考
查了相反数，解题的关键是掌握只有符号不同的两个数互为相反数．2.【答案】【解析】解：．故选：．科学记数法的表示形式为的形式，其中，
为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值
时，是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．3.【答
案】【解析】解：这个组合体的三视图如下： 故选：．画出该组合体的三视图即可．本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图
的画法是得出正确答案的前提．4.【答案】【解析】解：，选项A不符合题意；，选项B不符合题意；，选项C不符合题意；，选项D符合题意；
故选：．利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法法则对每个选项进行分析，即可得出答案．本题考查了同底数幂的
乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，掌握同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法法则是解决问题的关键．5
.【答案】【解析】解：设木桩上升了米，由已知图形可得：，木桩上升的高度．故选：．根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为
：．此题考查的是解直角三角形的应用，关键是由已知得直角三角形，根据三角函数求解．6.【答案】【解析】解：是的直径，是的切线，，，，
，，故选：．利用切线的性质求出，由圆周角定理求出，根据三角形内角和定理即可求出．本题考查切线的性质、圆周角定理等知识，三角形内角和
定理，根据切线的性质求出，根据圆周角定理求出是解决问题的关键．7.【答案】【解析】【分析】 本题考查了作图 基本作图：熟练掌握
种基本作图 作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线
也考查了三角形中位线性质． 利用基本作图得到 垂直平分 ，根据线段垂直平分线的性质得到 ， ， ，则可对 选项进行判断
，根据等腰三角形的“三线合一”可对 选项进行判断；根据三角形中位线的性质对 选项进行判断；由于 ， ， ，则可对 选项
进行判断． 【解答】 解：由作法得 垂直平分 ， ， ， ，所以 选项正确； 平分 ， ，所以 选项正确；
， ， 为 的中位线， ，所以 选项正确； ， 而 ， ， ，所以 选项错误． 故选 D ．?8.【答案】【解
析】解：如图： 设，，，，是矩形对角线的中点，，在双曲线上，，．，，作于，则．，．故选：．先用表示的面积，再求．本题考查反比例函数
图象上点的坐标特征，将的面积用表示是求解本题的关键．9.【答案】【解析】解：．故答案为：．直接用平方差公式进行分解．平方差公式：．
本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．10.【答案】【解析】解：，由得，，由得，，故此不等式组的解集为：．
故答案为：．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．此题考查的是解一元一此不等式组，熟知“同大取较大，同小去较小，大小小大中
间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键．11.【答案】【解析】解：，，，，解得：．故答案为．关于的方程有两个不相等的实数根，
即判别式即可得到关于的不等式，从而求得的范围．本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相
等的实数根；方程没有实数根．12.【答案】【解析】解：如图，，交于点， ，，，，，，，，，．故答案为：．由三角形的内角和定理可求解
，利用平行线的性质可求解的度数，结合平角的定义可求解的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．本题主要考查平行线的性质，三角形额内角
和定理，求出的度数是解题的关键．13.【答案】【解析】解：根据题意可知，则，设，，，，即，，故答案为：．先根据勾股定理求得，再将求
不规则的阴影部分面积转化为求规则图形的面积：，将相关量代入求解即可．本题考查扇形面积的计算及勾股定理，通常需要将不规则图形的面积转
化为规则图形的面积来进行求解．14.【答案】【解析】解：二次函数过点，，，，，抛物线开口向下，对称轴是，顶点为，函数有最大值，把代
入得，解得或，当时，有最大值，最小值，．故答案为：．先求得抛物线的解析式，根据二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征即可得到
的取值范围．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．15.【答案】
解： ．【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算
是解题的关键．16.【答案】【解析】解：甲袋里装有个红球，个黄球，共有个球，摸到红球的概率为；故答案为：；根据题意画图如下： 共有
种等可能的结果，摸出的两个球颜色相同的结果有种，则摸出的两个球颜色相同的概率为．直接由概率公式求解即可；画树状图，共有种等可能的结
果，摸出的两个球颜色相同的结果有种，再由概率公式求解即可．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可
能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概
率所求情况数与总情况数之比．17.【答案】解：设每件玩偶的进价为元，则每件挂件的进价为元，依题意得：，解得：，经检验，是原方程的解
，且符合题意．答：每件玩偶的进价为元．【解析】设每件玩偶的进价为元，则每件挂件的进价为元，利用数量总价单价，结合购买到的挂件的数量
是玩偶数量的倍．即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的
关键．18.【答案】证明：四边形是平行四边形，，，，，且，四边形是平行四边形，又，，平行四边形是矩形；解：，，，，，，由得：四边形
是矩形，，，平分，，，?的面积．【解析】先证四边形是平行四边形，再由，可得结论；由含角的直角三角形的性质得，，再由矩形的性质得，，
然后求出，即可求解．本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和含
角的直角三角形的性质是解题的关键．19.【答案】 乙 这名学生的成绩为分，小于甲班样本数据的中位数分，大于乙班样本数据的中位数分，
说明这名学生是乙班的学生【解析】解：这组数据的中位数是第、个数据的平均数，所以中位数，故答案为：；这名学生的成绩为分，小于甲班样本
数据的中位数分，大于乙班样本数据的中位数分，说明这名学生是乙班的学生，故答案为：乙；这名学生的成绩为分，小于甲班样本数据的中位数分
，大于乙班样本数据的中位数分，说明这名学生是乙班的学生；人，答：学校名学生中成绩优秀的大约有人．根据中位数的定义求解可得；根据这名
学生的成绩为分，小于甲班样本数据的中位数分，大于乙班样本数据的中位数分可得；利用样本估计总体思想求解可得．本题主要考查频数分布表、
中位数及样本估计总体，解题的关键是根据表格得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．20.【答案】解：如图中，
线段即为所求；如图中，线段即为所求； 如图中，点，即为所求．【解析】利用网格特征作出的中点，连接即可；利用数形结合的思想作出高即可
；取格点，，连接，交于点，交于点，取格点，连接交于点，点，即为所求．本题考查作图应用与设计作图，三角形的高，中线，轴对称最短问题等
知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】 【解析】解：由图象知，出发小时后两车之间的距离
是千米，快车的速度为千米小时，A、两地之间的距离是千米，故答案为：，；由已知得慢车到达所需时间为小时，，设当快车到达地后，与之间的
函数关系式为，将，代入得：，解得，当快车到达地后，与之间的函数关系式为；当快车由地出发去地时，，解得，当快车返回与慢车未相遇时，，
解得，当快车返回与慢车相遇后，，解得，综上所述，慢车在行驶过程中，与快车相距千米时行驶的时间为小时或小时或小时．由图象可得出发小时
后两车之间的距离是千米，即得快车的速度为千米小时及、两地之间的距离是千米；由已知得慢车到达所需时间为小时得，用待定系数法即可得当快
车到达地后，与之间的函数关系式为；分三种情况：当快车由地出发去地时，，当快车返回与慢车未相遇时，，当快车返回与慢车相遇后，，分别解
方程即得答案．本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确识图，熟练列出函数关系式及一元一次方程．22.【答案】【解析】问题
原型：证明：是边的中线，．，，，，，；结论应用：证明：如图，连接， 点是的中点，，将沿翻折得到，，，，，，；应用拓展：如图，连接，
过点作于， ，，，，，点是边的中点，，，，将沿翻折得到，，，，，，又，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，故答案为：．问题原型：
由等腰三角形的性质可得，，由三角形内角和定理可得结论；结论应用：由折叠的性质可得，，可得，可得结论；应用拓展：由折叠的性质可得，，
，可得，可证，由勾股定理可求的长，由三角形中位线定理可求，即可求解．本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，平行四边形的判定和性质，
直角三角形的性质，勾股定理等知识，求出的长是解题的关键．23.【答案】【解析】解：如图中，过点作于点． ，，，，，，故答案为：；当
时，．当时，；如图中，当时，，此时点落在上，观察图象可知，当时，点在内部．如图中，当时，，此时点落在上， 观察图象可知当时，点在内
部．综上所述，当或时，点在内部；如图中，当时，四边形是菱形．过点作于点． 在中，，，，，，．如图中，当时，四边形是菱形．过点作于点
． 在中，，，， ，．综上所述，满足条件的的值为或．如图中，当点在上时，过作于点． ，，，，，．如图中，当点在上时，过点作于点．
同法可证，，，，综上所述，满足条件的的值为或．如图中，过点作于点解直角三角形求出，，再利用勾股定理求出即可；分两种情形：当时，当时
，分别求解即可；分别判断出点落在，上的时间，结合图形判断可得结论；分两种情形：如图中，当时，四边形是菱形．过点作于点如图中，当时，
四边形是菱形．过点作于点分别构建方程求解即可；分两种情形：如图中，当点在上时，过作于点如图中，当点在上时，过点作于点分别构建方程求
解即可．本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问
题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．24.【答案】解：当时，， ，，当时，，图象最低点的坐标；，抛物线的对称轴为直线
，令，则，，或，当时，，图象与轴始终有一个公共点，当时，图象与轴只有一个公共点，当时，，图象与轴始终有两个公共点；当时，，此时图象
与轴无公共点；综上所述：或时，图象与轴只有一个公共点；图象的最低点到直线的距离为，图象的最低点的纵坐标为或， 当时，，此时当时，，
此时最低点的纵坐标为，，；当时，，当时，，此时最低点的纵坐标为，或，解得或舍；综上所述：的值为或；点在图象上， 图象与矩形一定有一
个公共点，图象与矩形的边有两个公共点，只需图象与矩形的边再由一个公共点即可；点的横坐标为，，当时，，当时，，如图，当时，图象在时，
随的增大而减小，矩形与图象只有一个交点；当时，图象与矩形有两个交点；当时，，如图，当时，，图象与矩形有三个交点；? 当时，，整理得，，，或，此时图象与边有一个交点，如图，当时，图象与矩形有三个交点；如图，当时，图象与矩形有两个交点；当时，图象与矩形有三个交点；当时，图象与矩形有四个交点；综上所述：或时，图象与矩形有两个交点．【解析】由，再结合的取值范围即可求解；分类讨论：当时，，图象与轴始终有一个公共点，当时，图象与轴只有一个公共点，当时，，图象与轴始终有两个公共点；当时，，此时图象与轴无公共点；分类讨论：当时，，此时最低点的纵坐标为，则，解得；当时，，此时最低点的纵坐标为，则或，解得或舍；分类讨论，数形结合解题，由图象与矩形一定有一个公共点，则只需图象与矩形的边再由一个公共点即可；当时，图象在时，矩形与图象只有一个交点；当时，图象与矩形有两个交点；当时，，图象与矩形有三个交点；当时，，时解得或，此时图象与边有一个交点，当时，图象与矩形有三个交点；当时，图象与矩形有两个交点；当时，图象与矩形有三个交点；当时，图象与矩形有四个交点．本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． |
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