2022-2023学年湖北省襄阳市高二9月联考试卷
题号 一 二 三 四 总分 得分
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知向量，，则(????)
A. B. C. D.
已知点，，则直线的一个方向向量可以为(????)
A. B. C. D.
设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是(????)
A. B. C. D.
已知空间中三点，，，则点到直线的距离为．(????)
A. B. C. D.
若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是(????)
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
如图，在平行六面体中，，分别在棱和上，且记，若，则(????)
A. B. C. D.
空间直角坐标系中，有四个点，，，，，则到平面的距离为(????)
A. B. C. D.
如图，在正四棱柱中，，，是棱的中点，点在棱上，且若过点，，的平面与直线交于点，则(????)
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
在空间直角坐标系中，已知点，则(????)
A. 在轴上的投影向量的坐标为 B. 在轴上的投影向量的坐标为 C. 在轴上的投影向量的坐标为 D. 点在坐标平面内的射影的坐标为
在九章算术中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑在鳖臑中，底面，则(????)
A. 可能成立 B. 可能成立 C. 一定成立 D. 可能成立
在空间直角坐标系中，，，，则(????)
A. B. 点到平面的距离是 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 与平面所成角的正弦值为
如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且E.若，，，则的值可能为(????)
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
若向量，，则??????????．
在空间直角坐标系中，，，，若四边形为平行四边形，则??????????．
设动点在棱长为的正方体的对角线上，记当为锐角时，的取值范围是??????????．
正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体各面都是全等的正多边形数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体已知一个正八面体的棱长都是如图，，分别为棱，的中点，则??????????．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图，在底面为矩形的四棱锥中，底面，为棱上一点，且，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 写出，，，四点的坐标 求，
本小题分
如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，设，，． 若底面，试用，，表示出空间的一个单位正交基底无需写出过程 若是的中点，且，求线段的长．
本小题分
在棱长为的正四面体中，． 设，，用，，表示 若，且，求．
本小题分
如图，在正方体中，，分别为棱，上一点，且，点在棱上 试问是否为定值说明你的理由． 若与平面所成角的正弦值为，求到底面的距离．
本小题分
如图，已知是边长为的正三角形，，，分别是，，边的中点，将沿折起，使点到达如图所示的点的位置，为边的中点． 证明：平面． 若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．
本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且． 证明：底面． 若，求二面角的余弦值的取值范围．
答案和解析
1.【答案】?
【解析】
【分析】 本题考查空间向量的坐标运算，是基础题． 直接利用空间向量的坐标运算法则求解即可． 【解答】 解：向量，， 则． 故选A．??
2.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查空间向量中直线的方向向量，属于基础题．
【解答】
解：，则直线的方向向量为所以符合题意．
??
3.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查空间向量加减法，数量积的运算律，属于基础题．
【解答】
解：若，不共线，则，故C不一定正确．
??
4.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查空间距离的求法，考查计算能力，属于基础题． 先求出向量，，然后求出向量的夹角的正弦值，进而根据，求解即可．
【解答】
解：由题意，可得，， ，， ， ，， 所以点到直线的距离 ，． 故选A．
??
5.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查空间向量共面的判断，属于基础题．
【解答】
解：因为，所以，，共面．
??
6.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查空间向量基本定理，属于基础题．
【解答】
解：设，因为 ， 所以，，因为，所以．
??
7.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查利用向量法求点到平面的距离，考查运算求解能力，是基础题． 求出平面的法向量，利用向量法能求出到平面的距离．
【解答】
解：空间直角坐标系中，有四个点， ，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，取， 到平面的距离为： ． 故选C．
??
8.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查线线平行的坐标表示，属于基础题．
【解答】
解：以为坐标原点，以，，的方向分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设，则． 因为平面平面，平面，所以平面． 因为平面平面，所以．，，解得，故．
??
9.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查空间直角坐标系及点的坐标，属于基础题．
【解答】
解：在轴上的投影向量的坐标为，在轴上的投影向量的坐标为，在轴上的投影向量的坐标为，点在坐标平面内的射影的坐标为．
??
10.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量判断线面位置关系，线面垂直的判定与性质，属于中档题．
【解答】
解：因为底面，所以一定成立，C正确． 若，则不是直角三角形，A错误． 若，则，B正确． 若，则，D正确．
??
11.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的应用，属于中档题．
【解答】
解：因为，，所以，A错误． 在空间直角坐标系中，结合与两点的坐标可知轴与平面垂直，所以为平面的一个法向量，则点到平面的距离是，B正确． 因为，，所以异面直线与所成角的余弦值为，C错误． 设与平面所成的角为，，则，，D正确．
??
12.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的坐标运算，空间向量数量积的坐标表示，属于基础题．
【解答】
解：以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则设，，，， 则，． 因为，所以，即，化简得． 当时，显然不符合题意． 故，当且仅当时，等号成立故的最小值为．
??
13.【答案】或?
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的数量积的应用，属于基础题．
【解答】
解：因为，所以，故．
??
14.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查空间向量平行的坐标表示，属于基础题．
【解答】
解：，，因为四边形为平行四边形，所以，所以，，则．
??
15.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题． 为锐角等价于，等价于，根据向量数量积的坐标运算即可．
【解答】
解：由题设可知，建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，，， 由，得， 所以 所以， ， 所以为锐角等价于， 则等价于， 即， ， 因此，的取值范围是 故答案为．
??
16.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查空间向量数量积的应用，属于较难题． 由正八面体的结构特征知，结合向量的线性运算可得，，再利用数量积的运算律进行计算，注意，，．
【解答】
解：因为，， 所以．
??
17.【答案】解：依题意可得，，，． 因为，， 所以，．?
【解析】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
18.【答案】解：空间的一个单位正交基底为 注本题第问答案不唯一，所有答案可表示为这个向量可以交换顺序． ． 由题意知，，，， ． ， ．?
【解析】本题考查空间基底的表示，空间向量数量积的运算，属于中档题．
19.【答案】解：因为，所以是棱的中点， 所以， 则， 故． 因为，所以， 在棱长为的正四面体中，， 所以， 解得．?
【解析】本题考查空间向量的线性运算、空间向量的数量积运算，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，，， 设，， ，， 则，所以为定值． 由知，， ，． 设平面的法向量为， 则，即 令，得． 因此，， 整理得， 解得或舍去， 故G到底面的距离为．?
【解析】本题考查空间向量的数量积运算和点到面的距离，属于中档题．
21.【答案】证明：连接，，设与交于点，连接． 因为，，分别是，，边的中点， 所以且， 则四边形为平行四边形，所以为的中点， 因为为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 解：取的中点，连接，，则， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，，，两两垂直． 如图所示，以为原点，以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， ， 设平面的法向量为，则， 即 令，得． 易知为平面的一个法向量， 由，， 得平面与平面夹角的余弦值为．?
【解析】本题考查线面平行的判定，空间面面夹角的向量求法，考查空间想象能力，属于中档题．
22.【答案】证明：如图，连接，． 因为四边形为菱形，， 所以为等边三角形，则． 因为，，所以． 因为，所以平面， 又平面，所以， 又，所以底面． 解：设，以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，． 设平面的法向量为，则即 令，则 设平面的法向量为，则即 令，则 ， 令，则，． 因为，所以，． 由图可知二面角为钝角， 故二面角的余弦值的取值范围为?
【解析】本题考查线面垂直的判定，二面角的向量求法，考查空间想象能力与逻辑推理能力，属于难题．
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