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高三期末检测
数学试题
本试卷共４页, ２２题,全卷满分１５０分.考试用时１２０分钟.
注意事项:
１．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
２．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在
本试卷上无效.
３．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本题共８小题,每小题５分,共４０分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
１．已知集合A＝{x|x≥ ２ },B＝{x|(x＋２ )(x－３ ) ≥ ０ },则A∪B＝
A． {x|x≥ ３ } B． {x|－２ ≤x≤ ２ }
C． {x|x≤－２或x≥ ３ } D． {x|x≤－２或x≥ ２ }
２．若复数z满足( １－i )z＝－２i ,则|z|＝
A．１ B．２ C．３ D．２
３．将函数f(x)＝sin ( ２x－π６ )的图象向左平移π６个单位长度后得到函数g(x)的图象,则
g(x)的解析式为
A．g(x)＝sin２xB．g(x)＝sin ( ２x－π３ )
C．g(x)＝sin ( ２x＋π６ ) D．g(x)＝－cos２x
４．由３个２ , １个０ , ２个３组成的六位数中,满足有相邻４位恰好是２０２３的六位数个数为
A．３ B．６ C．９ D．２４
５．若正四面体的表面积为８ ３ ,则其外接球的体积为
A．４ ３ π B．１２π C．８ ６ π D．３２ ３ π
６．已知非零向量AB→ ,AC→满足AB
→ ??BC→
AB→＝
AC→ ??CB→
AC→
,且AB
→
AB→
??AC
→
AC→＝
１
２ ,则△ABC为
A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
７ ．已知等差数列an{ }的公差为d,随机变量X满足P(X＝i)＝ai( ０ ＜ai＜ １ ) ,i＝１ , ２ , ３ ,
４ ,则d的取值范围是
A ． (－１２ , １２ ) B ． (－１２ , １６ ) C ． (－１６ , １２ ) D ． (－１６ , １６ )
８ ．已知函数f(x)＝xe l nx,关于x的方程[f(x) ] ２－２ (a＋１ )f(x)＋a２＋２a＝０至少有三个互
不相等的实数解,则a的取值范围是
A ． [ １ ,＋∞ ) B ． (－１ , ０ ) ∪ ( １ ,＋∞ )
C ． (－１ , ０ ) ∪ [ １ ,＋∞ ) D ． (－∞ , ０ ) ∪ ( １ ,＋∞ )
二、多项选择题:本题共４小题,每小题５分,共２０分.在每小题给出的四个选项中,有多项符
合题目要求.全部选对的得５分,部分选对的得２分,有选错的得０分.
９ ．有一组样本数据x１ ,x２ , ?? ,xn,其样本平均数为x－．现加入一个新数据xn＋１ ,且xn＋１ ＜
x－,组成新的样本数据x１ ,x２ , ?? ,xn,xn＋１ ,与原样本数据相比,新的样本数据可能
A ．平均数不变B ．众数不变
C ．极差变小D ．第２ ０百分位数变大
１ ０ ．已知函数f(x)＝x３－ax＋２有两个极值点x１ ,x２ ,且x１ ＜x２ ,则
A ．a≥ ０ B ．x１x２ ＜ ０
C ．f(x１ ) ＞f(x２ ) D ．f(x)的图象关于点( ０ , ２ )中心对称
１ １ ．如图,正方体ABCD－A１B１C１D１的棱长为２ ,点O为底面ABCD的中心,点P为侧面
BB１C１C内(不含边界)的动点,则
A ．D１O⊥AC
B ．存在一点P,使得D１O∥B１P
C ．三棱锥A－D１DP的体积为４３
D ．若D１O⊥PO,则△C１D１P面积的最小值为４ ５５
１ ２ ．已知椭圆x
２
４＋
y２
３＝１上一点P位于第一象限,左、右焦点分别为F１ ,F２ ,左、右顶点分别为
A１ ,A２ , ∠F１PF２的角平分线与x轴交于点G,与y轴交于点H( ０ ,－１２ ) ,则
A ．四边形HF１PF２的周长为４＋５
B ．直线A１P,A２P的斜率之积为－３４
C ．|F１G|∶|F２G|＝３∶２
D ．四边形HF１PF２的面积为２
三、填空题:本题共４小题,每小题５分,共２０分.
１３．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b２＋c２＝a２＋bc,则角A的大
小为 ．
１４．曲线y＝２lnx－x在x＝１处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ．
１５．甲袋中有４个白球、 ６个红球,乙袋中有４个白球、 ２个红球,从两个袋中随机取一袋,再从
此袋中随机取一球,则取到红球的概率为 ．
１６．已知函数f(x)＝ex－e ２－x,所有满足f(a)＋f(b)＝０的点(a,b)中,有且只有一个在圆C
上,则圆C的标准方程 可以是 ． (写出一个满足条件的圆的标准方程即可)
四、解答题:本题共６小题,共７０分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
１７． ( １０分)
某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行生产．生产该款芯片有三道工序,这三道工序
互不影响．已知批次甲的三道工序次品率分别为１５０ , １４９ , １４８ ．
( １ )求批次甲芯片的次品率;
( ２ )该企业改进生产工艺后,生产了批次乙的芯片．某手机厂商获得批次甲与批次乙的芯
片,并在某款手机上使用．现对使用这款手机的１００名用户回访,对开机速度进行调查．据统
计,安装批次甲的有４０名,其中对开机速度满意的有３０名;安装批次乙的有６０名,其中对
开机速度满意的有５５名．试整理出２×２列联表(单位:名),并依据小概率值α＝０．０５的独
立性检验,分析芯片批次是否与用户对开机速度满意有关．
批次
是否满意
满意不满意
合计
甲
乙
合计
附:χ２＝n(ad－bc)
２
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
α０．１ ０．０５ ０．０１ ０．００５ ０．００１
xα２．７０６ ３．８４１ ６．６３５ ７．８７９ １０．８２８
１８． ( １２分)
定义:在数列an{ }中,若存在正整数k,使得?n∈N? ,都有an＋k＝an,则称数列
an{ }为“k型数列” ．已知数列an{ }满足an＋１＝－１a
n＋１
．
( １ )证明:数列an{ }为“ ３型数列”;
( ２ )若a１＝１ ,数列bn{ }的通项公式为bn＝２n－１ ,求数列{anbn}的前１５项和S１５ ．
１９． ( １２分)
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c, ２ sinA＋１
１－２ cosA＝
sin２C
１＋cos２C．
( １ )若B＝π６ ,求C;
( ２ )若B∈ [ π６ , π４ ),求cb的取值范围．
２０． ( １２分)
如图,在三棱柱ABC－A１B１C１中,四边形AA１B１B是菱形,AB⊥AC,平面AA１B１B⊥
平面ABC．
( １ )证明:A１B⊥B１C;
( ２ )已知∠ABB１＝π３ ,AB＝AC＝２ ,平面A１B１C１与平面
AB１C的交线为l．在l上是否存在点P,使直线A１B与平面
ABP所成角的正弦值为１４ ?若存在,求线段B１P的长度;若不存在,试说明理由．
２１． ( １２分)
已知在平面直角坐标系xOy中,动点M到点A( ２ , ０ )的距离与它到直线l:x＝１２的距离
之比为２．记M的轨迹为曲线E．
( １ )求E的方程;
( ２ )若P是曲线E上一点,且点P不在x轴上．作PQ⊥l于点Q,证明:曲线E在点P处
的切线过△PQA的外心．
２２． ( １２分)
已知函数f(x)＝x－１ex－１＋alnx．
( １ )若a＝１ ,求函数f(x)在[ １ , ２ ]上的最小值;
( ２ )若存在x０ ∈ ( １ ,＋∞ ),使得f(x０ )＝０．
(i )求a的取值范围;
(ii )判断f(x)在( ０ ,＋∞ )上的零点个数,并说明理由．
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