二次函数 单元测试题一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ， ） ?1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A.
B.C.D.?2. 已知二次函数的图象如右图，则下列结论中，正确的结论有（ ）① ②?③?④?⑤． A.个B.个C.个D.个?3
. 若正方形的边长为，边长增加，面积增加，则关于的函数解析式为（ ） A.B.C.D.?4. 已知二次函数有最小值，则，的大小
关系为（ ） A.B.C.D.不能确定?5. 二次函数＝的图象的顶点在第一象限，且过点和．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正
确结论的个数是（ ） A.B.C.D.?6. 设函数＝，，是实数，，当＝时，＝；当＝时，＝，（ ） A.若＝，则B.若＝，则C.
若＝，则D.若＝，则?7. 已知二次函数的图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④．则其中结论正确的是（ ） A.①③B.③④
C.②③D.①④ 二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ） ?8. 抛物线上三点、，，则、、的
大小关系是________． ?9. 将函数图象向________平移________个单位可得函数的图象． ?10. 抛物线
向右平移个单位的抛物线的函数关系式是________． ?11. 已知二次函数?，在??内，函数的最小值为________. ?
12. 不等式对于一切均成立，则实数的取值范围是________． ?13. 已知抛物线经过点，则________，这条抛物线
的顶点坐标是________． ?14. 用配方法将抛物线化成的形式是________． ?15. 如图，小明的父亲在相距米的
两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高米的小明距较近的那棵树米时，
头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________米． ?16. 在二次函数的图象如图所示，下列说法中：①；②；③
；④，说法正确的是________（填序号）． ?17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线
于点、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连接、，则面积的最大值是________． 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计60
分 ， ） ?18. 已知抛物线． （1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）若抛物线与轴的两个交点为、，与轴的一
个交点为，画草图，求的面积．?19. 利用二次函数的图象和性质，求方程在和之间的根的近似值．（结果精确到） ?20. 已知二次函
数的图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，与轴的交点坐标为． （1）求出、的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出
函数值为正数时，自变量的取值范围．?21. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是．则他将
铅球推出的距离是 ． ?22. 抛物线＝的顶点为，它与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求顶点的坐标； （2）求
直线的解析式； （3）求的面积；（4）当点在直线上方的抛物线上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并且写出此时
点的坐标；若不存在，请说明理由．?23. 已知如图，在平面直角坐标系中，点，，分别为坐标轴上的三个点，且，，. 求经过，，三点的
抛物线的解析式； 在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由
； 若点为该抛物线上一动点，在的条件下，请求出使最大时点的坐标，并直接写出的最大值．参考答案一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，
每题 3 分 ，共计21分 ） 1.【答案】B【考点】二次函数的定义【解答】解：、，其中，故本选项错误；、，故本选项正确；、，整理
后不含二次项，故本选项错误；、，不是整式，故本选项错误；故选．2.【答案】B【考点】二次函数图象与系数的关系【解答】解：根据图象，
当时，，当时，，可知①②正确；根据图象与轴的交点位置可知，根据对称轴，且抛物线开口向下，，可知，，故③⑤正确；根据对称轴得，可知④
错误．正确的是①②③⑤个，故选．3.【答案】D【考点】根据实际问题列二次函数关系式【解答】解：原边长为的正方形面积为：，边长增加后
边长变为：，则面积为：，∴．故选：．4.【答案】A【考点】二次函数的最值【解答】解：∵二次函数有最小值，∴抛物线开口方向向上，即；
又最小值为，即，∴，∴．故选．5.【答案】D【考点】二次函数图象上点的坐标特征二次函数图象与系数的关系抛物线与x轴的交点【解答】∵
二次函数＝过点和，∴＝，＝．①∵抛物线的对称轴在轴右侧，∴，∴与异号，∴，正确；②∵抛物线与轴有两个不同的交点，∴，∴，正确；③∵
抛物线开口向下，∴，∵，∴．∵＝，＝，∴＝，∵，∴，，∴，正确；④由图可知，当时，，正确；综上所述，正确的结论有①②③④．6.【答
案】C【考点】二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数图象上点的坐标特征【解答】当＝时，＝；当＝时，＝；代入函数式得：，∴
＝，整理得：＝，若＝，则＝，故错误；若＝，则＝，故错误；若＝，则＝-，故正确；若＝，则＝-，故错误；7.【答案】B【考点】二次函数
图象与系数的关系【解答】解：由抛物线的开口向下，得到，∵，∴，由抛物线与轴交于正半轴，得到，∴，选项①错误；又抛物线与轴有个交点，
∴，选项②错误；∵时对应的函数值为负数，∴，选项③正确；∵对称轴为直线，∴，即，选项④正确，则其中正确的选项有③④．故选二、 填空
题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 8.【答案】【考点】二次函数图象上点的坐标特征【解答】解：∵二次函数
的解析式为，∴抛物线的对称轴为直线，∵、，，∴点离直线最远，离真相最近，而抛物线开口向上，∴；故答案为．9.【答案】左,【考点】二
次函数图象与几何变换【解答】解：由“左加右减”的原则将函数的图象向左平移个单位，所得二次函数的解析式为：；故答案为：左，．10.【
答案】【考点】二次函数图象与几何变换【解答】解：∵抛物线顶点坐标为，向右平移个单位后，顶点坐标为，由顶点式，得平移后抛物线解析式为
．故本题答案为：．11.【答案】【考点】二次函数的最值【解答】解：的对称轴为，且，故时，取最小值，最小值为,故答案为：.12.【答
案】或．【考点】二次函数与不等式（组）【解答】∵，∴，∴，∴，当＝时，，画出函数＝的图象，找出轴上方所对应的的取值范围得到或；当＝
时，，画出函数＝的图象，找出轴上方所对应的的取值范围得到或；当，①当，不等式变形为，解得，则；②当，不等式变形为，则，解得，则；∴
或；综上所述，实数的取值范围为或．13.【答案】,【考点】待定系数法求二次函数解析式【解答】解：∵抛物线经过点，∴，解得，∴此抛物
线的解析式为，配方得，∴这条抛物线的顶点坐标是．14.【答案】【考点】二次函数的三种形式【解答】解：．故化成的形式是．15.【答案
】【考点】二次函数的应用【解答】解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为轴，左边树为轴建立平面直角坐标系，由题意可得，，，设函数
解析式为，把，，三点分别代入得出，同时可得，，解之得，，．∴．∵，∴当时，米．故答案为：．16.【答案】②③④【考点】二次函数图象
与系数的关系【解答】解：由图可知，抛物线与轴有个交点，所以，故①错误；对称轴在轴右侧，则，故②正确；抛物线开口向上，则，而对称轴在
轴右侧，则、异号，所以，其与轴的交点位于轴的负半轴，则，所以，故③正确；∵，，，∴，故④正确；故答案为：②③④．17.【答案】【考
点】二次函数图象上点的坐标特征抛物线与x轴的交点【解答】当时，，则，当时，，解得，，则，，∴，设，点在上方时，面积有最大值，∵，∴
当时，面积的最大值为．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ） 18.【答案】解：（1）∵，∴该抛物
线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．（2）按点在点的左侧画出草图，如图所示．∵，∴点，点，当时，，∴点，∴．【考点】抛物线与x轴的交
点【解答】解：（1）∵，∴该抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．（2）按点在点的左侧画出草图，如图所示．∵，∴点，点，当时，，∴
点，∴．19.【答案】解：方程根是函数与轴交点的横坐标．如图所示：二次函数的图象，由图象可知方程有两个根，一个在和之间，另一个在和
之间．当时，；当时，；因此，是方程的一个近似根，故方程在和之间的根的近似值为．【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解答】解：方程
根是函数与轴交点的横坐标．如图所示：二次函数的图象，由图象可知方程有两个根，一个在和之间，另一个在和之间．当时，；当时，；因此，是
方程的一个近似根，故方程在和之间的根的近似值为．20.【答案】解：（1）由二次函数的图象经过和两点，得，解这个方程组，得；∴抛物线
的解析式为．（2）当或时，．【考点】待定系数法求二次函数解析式二次函数与不等式（组）【解答】解：（1）由二次函数的图象经过和两点，
得，解这个方程组，得；∴抛物线的解析式为．（2）当或时，．21.【答案】当＝时，，解之得＝，＝（不合题意，舍去），所以推铅球的距离
是米．【考点】二次函数的应用【解答】当＝时，，解之得＝，＝（不合题意，舍去），所以推铅球的距离是米．22.【答案】函数的对称轴为：
＝，当＝时，＝＝，故点；＝的顶点为，它与轴交于，两点，与轴交于点，则点、、的坐标分别为：、、，将点、的坐标代入一次函数表达式：＝得
：，解得：，故直线的表达式为：＝；过点作轴交于点，则点，的面积＝；过点作轴的平行线交于点，设点，点，则，∵，∴有最大值，最大值为：
，此时点．【考点】二次函数综合题【解答】函数的对称轴为：＝，当＝时，＝＝，故点；＝的顶点为，它与轴交于，两点，与轴交于点，则点、、
的坐标分别为：、、，将点、的坐标代入一次函数表达式：＝得：，解得：，故直线的表达式为：＝；过点作轴交于点，则点，的面积＝；过点作轴
的平行线交于点，设点，点，则，∵，∴有最大值，最大值为：，此时点．23.【答案】解：设抛物线的解析式为.由题意可知，，，，∴解得：
，，，∴经过，，三点的抛物线的解析式为.在平面直角坐标系中存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，理由如下：如图，∵，，，∴
.当平行且等于时，四边形为菱形，∴，且点到轴的距离等于，∴点的坐标为.当点在第二、三象限时，以点，，，为顶点的四边形只能是平行四边
形，不是菱形，则当点的坐标为时，以点，，，为顶点的四边形为菱形.设直线的解析式为.∵，，∴解得：∴直线的解析式为.当点与点，不在同
一直线上时，根据三角形的三边关系可得：，当点与点，在同一直线上时，，∴当点与点，在同一直线上时，的值最大，即点为直线与抛物线的交点
，解方程组得或∴当点的坐标为或时，的值最大，此时的最大值为．【考点】二次函数综合题待定系数法求二次函数解析式【解答】解：设抛物线的
解析式为.由题意可知，，，，∴解得：，，，∴经过，，三点的抛物线的解析式为.在平面直角坐标系中存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，理由如下：如图，∵，，，∴.当平行且等于时，四边形为菱形，∴，且点到轴的距离等于，∴点的坐标为.当点在第二、三象限时，以点，，，为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点的坐标为时，以点，，，为顶点的四边形为菱形.设直线的解析式为.∵，，∴解得：∴直线的解析式为.当点与点，不在同一直线上时，根据三角形的三边关系可得：，当点与点，在同一直线上时，，∴当点与点，在同一直线上时，的值最大，即点为直线与抛物线的交点，解方程组得或∴当点的坐标为或时，的值最大，此时的最大值为． |
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