 云朵不是球形的，山峦不是锥形的，海岸线不是圆形的，树皮不是光滑的，闪电也不是一条直线。从《阿凡达》中风景旖旎的潘多拉星球到《冰雪奇缘》中的浪漫雪花，再到《奇幻森林》中的丛林世界，当年轻的分形几何学携手CG（计算机动画）技术在银幕上与观众初次相遇，便呈现出令人惊艳无比的视觉效果。把手机天线缩小到能够藏进机身，把飞机仪表板设计得一目了然，找到血流经早期癌变血管和正常血管时的不同分形特征以尽早发现癌症······以上一切的一切，其实都要归功于分形几何学的鬼斧神工，更离不开被誉为“分形几何之父”的世界级大师曼德尔布罗的非凡智慧。  分形几何中，经典的海螺线分形构造图 伯努瓦·曼德尔布罗（Benoit Mandelbrot），1924年11月20日出生于波兰华沙，父亲是立陶宛商人，母亲是俄国首批医学博士。童年时，曼德尔布罗学业时断时续，他从未认真学习字母，只背过5以下的乘法表。11岁时，曼德尔布罗跟着全家逃避战乱来到巴黎，投奔他的叔叔、数学家佐列姆·曼德尔布罗。战争时，一家人又逃到法国南部的蒂勒镇。他当过机床维修学徒。巴黎解放后，凭借自己的天赋和直觉，他通过了巴黎高等师范和高等工业学院长达一个月的笔试和口试。后来，不管给出什么问题，他总可以用脑海中浮现的形状来思考。 1944年是第二次世界大战的关键年，当时他目睹所发生的一切。危险的形势、长期的焦虑造就曼德尔布罗独特的生存本能。他必须谨小慎微远离闹市，有时甚至是绕道而行。20世纪70年代，他提出了“分形几何”的概念。他撰写的《大自然的分形几何》一书于1982年出版，在数学界乃至流行文化领域掀起一股“分形热”。他的研究成果被应用于物理、生物、金融等各项领域，而不规则图形设计理念甚至影响了流行文化。  自然界中，交错对称的分形 如果我们拿出一张绝对平整的纸，把它当作一个二维平面，接着把它团成一个完美的圆形纸球（不要问我怎么做到这一点），把它当作一个三维球体，最后把纸球摊开，出现在我们面前的会是什么呢？答对了，是一张皱巴巴的纸。这张纸的维度介于二维到三维之间，曼德尔布罗的理论（亦称“分形理论”）就适用于研究这类维度的问题。 其实，分形理论的巧妙之处在于能够将曲折的海岸线、布满环形山的月球表面、茂密的树枝、坑坑洼洼的火山口等一切所谓“非几何”的“病态”形状纳入几何学的范畴，并找到它们的几何法则。曼德尔布罗的分形几何，成为混沌学的重要分支，几乎影响了当代人类生活的所有领域。 “二战”结束后，由于历史原因，曼德尔布罗的生活变得极其艰辛，任何人都对此无能为力。从此，他没有任何清晰的计划或是合理的决定，当时他几乎疯狂着迷于各种各样的不规则现象。这使得他开始怀疑进而反驳对这些现象的常规看法。可以说，曼德尔布罗的整个职业生涯都处在对“粗糙度”概念的热切追求中。早期欧洲的政治迫使他度过极其复杂的年轻时光。1975年，他创造“分形”这一术语。拉丁语中的形容词“fractus”有着“不规则”“混乱”等意思。而现在，你可以在字典中看到“分形”这一词。“大自然中的规则形状屈指可数，其余的都是不规则的。”曼德尔布罗如是说。  分形理论中，一种放大的分形现象 曼德尔布罗的分形理论最初的案例就来自IBM（国际商用机器公司）在使用电话线路传递计算机信号时遇到的不时出现的噪声干扰难题。他将噪声信号出现规律绘制出来以后，发现了其中的自相似性，这给了他灵感，同时，公司的计算机也帮助他完成了上百万次迭代运算，使他得以将分形理论归纳为一个简洁的公式：f(z)=z²+c。如果没有计算机，人们也无法看到这个公式的几何形式，也就是具有纯粹数学之美的曼德尔布罗集合。这个集合的美是如此独特，以致于在19世纪70年代后期成为一种文化符号，被大量印制在T恤、棒球帽和帆布包上。 分形为曼德尔布罗所研究的“不规则”提供了一种“规则”。在某种程度上，他对这些现象着迷仅仅是通过他敏锐的直觉。“我们都知道，心脏大体上必须呈现规则的活动，否则，你将死亡。然而，脑部大体上必须呈现不规则的活动，否则，你将发生癫痫。这显示不规则（混沌）将导致复杂的系统。它并不是完全的无秩序。恰好相反，我认为生命与智慧便是基于混沌才可能发生。脑部在设计上如此不稳定，所以，最小的影响便可以导致秩序的形成。”比利时物理化学家伊利亚·普利高津一针见血地提及混沌理论与分形几何学的巨大价值。  现实生活中，建筑师设计的分形艺术品 在一次演讲中，曼德尔布罗解释说：“如果你切开一朵花椰菜，会看到一样的花椰菜，只是小一点；如果你不断地切、不断地切，你还会看到一样的花椰菜，只是更小一点。”这蕴含分形的自相似性。另外，他指出“云朵不是球形的，山峦不是锥形的，海岸线不是圆形的，树皮不是光滑的，闪电也不是一条直线。”相反地，这些天然以及人造产物的形状是很“粗糙的”。为了从这些粗糙形状中探究本质，曼德尔布罗提出了一种新的数学——分形几何，它与我们在学校中所了解的欧几里得几何大相径庭。无论是从财政学到冶金学，还是从宇宙学到医药学，分形几何在诸多领域中引领着我们去探索和发现。可以说，自相似性和分维是分形的两大基本特征。 不妨让我们记住著名物理学家惠勒说过的一句话：“今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。”目前，分形理论已被应用到生物、地球物理、物理和化学、天文、材料、计算机图形、经济、语言与情报、音乐等学科领域，对人类生活的改善和未知世界的探索都起到积极作用。分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：“世界是非线性的，分形无处不在。”分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合、数学与艺术审美的统一，而且还让人们感悟到其深刻的科学方法论意义。 本文节选自《美少年》2022年第10期 《曼德尔布罗与神奇的“分形几何美学”》  |
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