24 卷第 3 期 (总 141 期 ) · 27 ·
杨-米尔斯规范场理论的创立
杨建邺
本文从物理学史的角度回忆杨米尔斯理论的提
出过程，以及现代物理学家对这个理论的评价，最
后谈谈克莱因 1938 年的工作。因为篇幅的限制，不
能详谈其中的数学公式的推演。
1. 规范场概念的早期历史
20 世纪初，人们只认识到两种相互作用：引力
相互作用和电磁相互作用。爱因斯坦在广义相对论
中利用坐标不变性的处理得到了引力理论，韦尔
（ Hermann Weyl， 1885～ 1955）受到了启发，想寻
找一个既能包括引力又能包括电磁相互作用的几何
理论，于是深入地研究了麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程组不仅仅可以计算由电荷或磁场
产生的电场，以及由电流产生的磁场，这个方程还
给出了电磁学里一个重要的守恒定律——电荷守恒。
根据诺特定律，电荷守恒应该对应一种对称性。韦
尔就想：与电荷守恒对应的是什么对称性呢？ 1918
年前后，他发现电荷守恒对应的是一种涉及每个点
的局域对称性。即麦克斯韦方程组的又一个优美之
处是它保证电荷守恒的一种局域对称性，而且它是
通过电磁力的固有行为来达到这一点的。
电磁场具有局域对称性，即电磁场的每一点都
具有某种使麦克斯韦方程组保持不变的数学特性。
韦尔在研究这种局域对称性时，提出了一种新的不
变性，现在称为“规范不变性” 。韦尔进一步证明，
引力理论和电磁理论都具有这种不变性。
1929 年，韦尔在一篇决定性的文章里，他把规
范不变性确定为“相位因子”变换。这里关键的线
索是韦尔认识到量子力学中的“波函数” （ wave
function）的相位是一个新的局域变量。韦尔还正确
地指出：物理系统在这种变换下的不变性被称为
U(1)对称性。这是一种比较简单的局域对称性，又
因为空间任意两点的相位因子可以对换，因而又被
称为阿贝尔对称性（ Abelian symmetry） 。正是这种
规范不变性（即电荷守恒）决定了全部电磁作用。
这样，一直处于被动角色的对称性，开始具有主动
性的品格。
杨振宁是从泡利 1941 年的文章里才得知韦尔
的理论， 得知韦尔这一非常重要的物理学思想——电
荷守恒决定了全部电磁作用。 泡利在他的 1941 年颇
有影响的论文中指出：只要系统具有 U(1)群的规范
对称性，就必然要求系统的粒子之间存在电磁相互
作用。韦尔的规范理论还有一个十分重要的结论：所
有规范相互作用必须通过规范粒子来传递。这些结
论对杨振宁有很大的吸引力，在回忆中他写道： “韦
尔的理论已成为规范理论中的一组美妙的旋律。当
我在做研究生，正在通过研读泡利的文章来学习场
论时，韦尔的想法对我有很大的吸引力。 ”
但是也正如杨振宁所说： “ 1929 年以后，大家
同意以规范理论的观点来看电磁现象是很漂亮的数
学观点，可是并没有引出任何新物理结果。 ”
韦尔的思想“并没有引出任何新物理结果” ，是
因为韦尔发表论文的时候，人们还没有正确地认识
原子核的组成，更不用说有强相互作用的概念，因
此韦尔理论新的应用时机尚未成熟。但是他为人们
留下了宝贵的遗产，那就是规范变换和局域对称性
思想。
杨振宁被韦尔美妙的理论吸引之后，就产生了
一个大胆而诱人的想法：把韦尔主要从电荷守恒定
律中发现和提出的规范不变性，推广到其他守恒定
律中去。当时守恒定律很多，推广到哪一个守恒定
律中去呢？经过认真思考和仔细研究，杨振宁认为
在粒子的强相互作用中的同位旋（isospin ）守恒与
电荷守恒有相似之处，因为它们都反映了系统内部
的一种隐藏的对称性。同位旋是基本粒子的重要性
质之一，用来区分原子核里如质子、中子等基本粒
子的一个物理量。实验表明，原子核里的强相互作
用具有与电荷无关的特性，例如质子与质子、中子
与中子及质子与中子之间的强相互作用是相同的，
· 28 · 现代物理知识
这说明就强相互作用而言，质子与中子之间没有区
别。 因此， 德国物理学家海森伯 （ Werner Heisenberg，
1901～ 1976）于 1932 年提出，由于质子和中子如此
相似，我们可以把它描写为一种粒子，即把质子和
中子看成同一种粒子的两种不同状态。在同一组中
的粒子，质量很接近，宇称相同，但电荷不同，它
们都可以看作是同一粒子处于不同的态。如质子、
中子为两重态； π
＋
、 π
0
、 π
－
为三重态等。为描述这
种两重态或多重态的性质，引进了一个称为“同位
旋”的新物理量，它的量子数用 I 表示。同位旋在
物理学中的主要意义在于，当粒子在强相互作用下
发生碰撞时，它们的同位旋守恒（ isospin
conservation） 。这就是说，在强相互作用的过程中
总同位旋值保持不变；在弱相互作用和电磁作用过
程中，同位旋不守恒。这一法则有助于物理学家加
深他们对物理基本规律的理解。因此，杨振宁首先
试图将规范不变性推广到同位旋守恒定律中去，即
将同位旋局域化，并研究由此而产生的相互作用。
在 1982 年的文章里，杨振宁写道： “规范不变性决
定了全部电磁相互作用这个事实本身，给我的印象
更深。在芝加哥时，我曾试图把这种观念推广到同
位旋相互作用上去……走入了困境，不得不罢手。
然而，基本的动机仍然吸引着我，在随后几年里我
不时回到这个问题上来，可每次都在同一个地方卡
壳。当然，对每一个研究学问的人来说，都会有这
种共同的经验：想法是好的，可是老是不成功。多
数情况下，这种想法要么被放弃，要被束诸高阁。
但是，也有人坚持不懈，甚至走火入魔。有时，这
种走火入魔会取得好的结果。 ”
梁昌洪教授在他的《话说对称》一书里，作了
一个表：
电荷守恒 同位旋守恒
电荷（电磁场场源） 强作用的“荷”
B
B
F
x x
?
?
=?
??
μ
ν
μν
ν μ
?
守恒的电荷要产生电磁场 守恒的强作用“荷”要产
生杨-米尔斯场
阿贝尔理论 非阿贝尔理论非交换李群
杨振宁在“走火入魔”中，每一次的努力都在
同一个地方卡壳，卡壳的原因是头几步的计算很成
功，可是推广的时候，总是导出一个冗长丑陋的公
式，使得他不得不把这个想法搁置下来。虽累经失
败，杨振宁却一直不肯放弃。到 1954 年这种执着和
走火入魔，真的是“取得好的结果”了。
2． “走火入魔”和伟大的成果
一般人都知道，杨振宁与李政道一起于 1957
年获得诺贝尔物理学奖，这次获奖是因为他们“对
宇称定律的深入研究，它导致了有关亚原子粒子的
重大发现” 。 但杨振宁最重要的贡献不是宇称定律的
研究， 而是 1954 年前后对于 “规范场理论” 的研究。
正是这一研究，杨振宁在芝加哥大学的导师特勒
（ Edward Teller， 1908～ 2003） 在 1982 年就说： “如
果不提及杨振宁和米尔斯关于把规范不变性推广到
同位旋及不可对易变量的那篇著名论文，我就无法
谈杨振宁的研究工作。归根结蒂，他们的这篇文章
已经成为几乎所有进一步讨论的基础。 ”
1993 年，声誉卓著的“美利坚哲学学会”将该
学会颁发的最高荣誉奖富兰克林奖章（ Franklin
Medal）授予杨振宁，授奖原因是因为“杨振宁教授
是自爱因斯坦和狄拉克之后 20 世纪物理学出类拔
萃的设计师” ，表彰杨振宁和罗伯特·米尔斯合作所
取得的成就；并指出这一成就是“物理学中最重要
的事件” ，是“对物理学影响深远和奠基性的贡献” 。
1994 年，美国富兰克林学会将鲍尔奖金颁发给
杨振宁，文告中明确指出，这项奖授予杨振宁，是
因为他“提出了一个广义的场论，这个理论综合了
自然界的物理定律，为我们对宇宙中基本的力提供
了一种理解。作为 20 世纪理性的杰作之一，这个理
论解释了亚原子粒子的相互作用，深远地重新规划
最近 40 年物理学和现代几何学的发展。 这个理论模
型，已经排列在牛顿、麦克斯韦和爱因斯坦的工作
之列，并肯定会对未来几代人产生相类似的影响。 ”
上面提到的“一个广义的场论”和“这个理论
模型” ，指的就是杨振宁和米尔斯合作提出来的“非
阿贝尔规范场理论” ，或者称为“杨-米尔斯理论” 。
由鲍尔奖的文告中我们可以清楚地看出，科学界在
该理论提出近半个世纪后，终于认识到了它的终极
价值。在科学界的共识中，已经把杨振宁的这一贡
献和物理学历史上最伟大的几位科学家牛顿、麦克
斯韦和爱因斯坦的贡献，相提并论，等量齐观，那
么，杨振宁到底怎么“走火入魔”的呢？这段历史
受到人们极大的关注。
1952 年 12 月中旬，杨振宁收到布鲁克海文国
家实验室高能同步稳相加速器（ Cosmotron）部主任
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柯林斯（George B. Collins ）的一封信，邀请他到他
们实验室作一年的访问学者； 1953 年夏天，杨振宁
全家搬到了布鲁克海文实验室。
这时实验室不断有新的粒子发现，杨振宁也参
与了其中的一些实验。正是这些实验唤起了潜伏在
杨振宁心中多年的思考，激励他追寻一个暂时还不
清晰的目标。 杨振宁说： “随着越来越多介子被发现，
以及对各种相互作用进行更深入的研究，我感到迫
切需要一种在写出各类相互作用时大家都应遵循的
原则。因此，在布鲁克海文我再一次回到把规范不
变性推广出去的念头上来。 ”
功夫不亏有心人。这一次是他和同一办公室的
米尔斯一起讨论他的这一长期感兴趣的老问题。罗
伯特·米尔斯那时是哥伦比亚大学克劳尔（ Norman
Kroll， 1922～ 2004）教授的博士研究生，后来成为
俄亥俄州立大学的教授。这一次他们决定尝试在电
磁规范场强 F
μν
上加一个二次多项式，如果不行再
尝试加三项式等。没有想到的是在加上一个简单的
二项式之后，
][
νμ
μ
ν
ν
μ
μ
BB
x
B
x
B
F
ν
，+
?
?
?
?
?
=
结果没有再像以前那样出现越来越复杂的项， 相反，
以后的计算就“越算越简单，我们知道我们挖到了
宝贝！ ！ ！ ”于是他们顺利写出了《同位旋守恒和一个
推广的规范不变性》及《同位旋守恒和同位旋规范
不变》两篇文章，分别发表在《物理学评论》 1954
年 95 和 96 卷上。
人们对杨振宁和米尔斯如何共同克服以前一直
不能克服的困难，抱有很大的兴趣。在 2005 年由特
霍夫特
①
主编出版的《杨-米尔斯理论 50 年》一书
中，杨振宁应特霍夫特的请求写了一篇短文，这篇
短文是杨振宁为 1947 年写的文章“规范不变性和
相互作用” 的一个注释。 在这篇短文里杨振宁写道：
“杰拉杜斯·特霍夫特希望我为非阿贝尔规
范理论的早期起源写一点东西。我寻找过去的文
件，发现了几页以前写的文章，我把它贡献给他
在编著的书中。
这几页文章写于 1947 年 3 月， 那时我还是芝加
哥大学研究生。像我那一代的研究生一样，我们很
熟悉泡利在 1933 年《物理手册》中的文章和 1941
年发表于《现代物理评论》上的文章，但是我们却
不太熟悉韦尔 1929 年的文章。
我那时非常专注于一个非常重要的问题。不幸
的是我所做的计算，在此后几年里一直没有得到今
天所得到的结果。这些计算总是得到越来越复杂的
结果，最后总是以失败告终。一直到 1953～ 1954
年当我和罗伯特·米尔斯重新回到这个问题，并且
把场强 F
μν
加上一个二次项的时候，一个美妙的理
论产生了。米尔斯和我在多年以后才明白，从数学
观点看这个二次项事实上非常自然。 ”
用群论的语言讲，杨振宁和米尔斯采取了一个
关键和绝妙的步骤——他们用群论里的 SU(2)群代
替了麦克斯韦方程组里的 U(1)群。我们知道，与麦
克斯韦方程组相关联的群是 U(1)群，它是阿贝尔群
（ abelian group） ，即是可以交换的（例如，平面上
任意两个相继的旋转可以变换次序进行而不影响结
果） ；而与杨-米尔斯方程相关联的群是 SU(2)群，
它是不可交换的，即他们的理论是“非阿贝尔”规
范理论（ non-abelian gauge theory） 。而且这种 SU(2)
规范理论很容易推广到其他非阿贝尔规范理论，因
此统称为非阿贝尔规范理论， 或杨-米尔斯规范理论
（ Yang-Mills gauge theory） ，这是继麦克斯韦和爱
因斯坦之后，提出了一种新的场论。从此，规范场的
研究进入了一个崭新阶段。这时规范场的量子——
规范粒子，按照 SU(2)群应该有三个，其中一个带
正电，一个带负电，还有一个不带电；粒子场通过
交换这些规范粒子便引起新的相互作用。这是在爱
因斯坦利用广义协变原理（也是一种局域对称性原
理）得到引力作用之后，物理学家再一次纯粹利用
对称性原理给出具体相互作用规律。这是现代物理
学中的一次伟大跨越，用杨振宁的话就是“对称性
支配相互作用” （ symmetry dictates interaction） 。
杨-米尔斯理论的重要价值，派斯在他的《基本
粒子物理学史》 一书中说： “杨振宁和米尔斯在他们
杰出的两篇文章里，奠定了现代规范理论的基础。 ”
2006 年英国出版了一本书——《天地有大美——
现代科学之伟大方程》 （ It Must be Beautiful: Great
Equations of Modern Science） ， 书中第七章是克莉丝
汀·萨顿（ Christine Sutton）写的“隐对称性：杨-
米尔斯方程” ， 她在文章开篇第一段就写道： “ 1953
年，……两个年轻人因共用长岛的布鲁克海文实验
室的一间办公室而相遇了。就像罕见的行星列阵那
· 30 · 现代物理知识
样，他们短暂地通过了时空的同一区域。这一时空
上的巧合诞生了一个方程，这个方程可构成物理学
圣杯—— ‘万物之理 ’——的基础。 ”
什么是“圣杯”？圣杯（ Holy Grail）传说是基
督被钉在十字架上时用来盛接基督鲜血的杯子；
“寻找圣杯”一直就成为寻求与上帝的神秘结合；
而且只有最伟大的人物才能够寻到和直视圣杯，并
看见人类语言无法形容的神圣奥秘。
无独有偶，美国斯坦福大学数学系教授基
思·德夫林（ Keith Devlin）在 2006 年写了一本更
有趣的书《千年难题——七个悬赏 1000000 美元的
数学问题》 ，其中 66 页的标题是“现代物理学的圣
杯” ，他指的也是杨-米尔斯理论。
把杨-米尔斯理论看成是“物理学的圣杯” ，可
见它的非同一般的重要性。但是也正如克莉丝汀所
说，在 20 世纪 50 年代，杨-米尔斯理论却似乎和现
实几乎没有什么瓜葛，直到 20 世纪 70 年代以后，
属于它的时代才到来了——它构成了获 1979 年、
1999 年和 2004 年三项诺贝尔物理学奖成果的理论
基础。
3 . 克莱因 1938 年的工作
一般探讨规范场理论的文章，不太关注到克莱
因的研究。杨振宁在《对称性与物理》一文曾经解
释过这一问题。
克莱因（ Oskar Klein， 1894～1 977）是瑞典物
理学家， 在 20 世纪 20 年代量子力学诞生的岁月里，
他是一位重要的开拓者。 20 世纪 50 年代，克莱因
访问普林斯顿高等研究所以后，杨振宁认识了他，
以后两人关系很好。 1988 年，瑞典物理学家爱克斯
朋（G?sta Ekspong ）建立“克莱因纪念讲座” ，并
且请杨振宁去做过开场的两次演讲。其中一次讲的
是《对称与物理学》 （ Symmetry and Physics） ，另一
次是《从贝特-于尔丹假说到杨-巴克斯特方程》
（ From the Bethe-Hulthen Hypothesis to the Yang-
Baxter Equation） 。在《对称与物理学》的演讲中，
杨振宁多处谈到克莱因的研究。
克莱因在 1938 年华沙一次物理学会议上提出
一个场论，因为这个场论包含一个非线性项，有一
些近似非阿贝尔规范理论的非线性项。这件事在 20
世纪八九十年代被瑞典物理学家瑟西莉娅·加尔斯
科格（ Cecilia Jarlskog） “发现” ，于是不少物理学家
开始发表文章，试图解释何以克莱因的文章以前没
有被人们注意到。杨振宁在演讲中理所当然地要提
到克莱因的这篇文章。他一方面肯定了克莱因的贡
献，另一方面也指出克莱因文章没有受到广泛关注
的原因所在。首先他指出克莱因是怎么样得到非线
性项的： “克莱茵是怎样得到这些项的呢？答案在
于，他从卡鲁扎-克莱因（ Kaluza-Klein）理论出发，
该理论建立在广义相对论的基础上。 具有非线性项。 ”
卡鲁扎-克莱因理论是德国数学家西奥多·卡
鲁扎（ Theodor Kaluza， 1885～ 1954）和克莱因提出
的， 这个理论最初只是应用于电磁力和引力的统一。
1921 年，卡鲁扎把广义相对论延伸至一个五维时
空，他由此得到好几组方程式，其中一个与爱因斯
坦引力场方程式等价，其他组方程式则与麦克斯韦
电磁场方程组等价。 1926 年，克莱因对卡鲁扎理论
做了一些发展。
正因为卡鲁扎-克莱因理论建立在广义相对论
基础上，必然导致他们不可能导致规范变换。杨振
宁指出： “爱因斯坦的广义相对论是对称被用来主动
地决定相互作用的第一个例子。 用今天的语言来说，
爱因斯坦把切丛（ the tangent bundles）
②
用于他的对
称。切丛由于比其他丛更难以捉摸，因而难以用来
推广到其他丛。这就是薛定谔（ E． Schr?dinger，
1887～ 1961） 、克莱因和其他许多人在本世纪 20 年
代和 30 年代立足于广义相对论的工作为什么没有
导致一般规范理论的缘由。 ”
正是因为克莱因的研究没有发现规范变换，所
以他的工作没有受到人们的关注。这才是问题关键
所在。
杨振宁对克莱因 1938 年论文的评价应该是令
人信服和中肯的。
（华中科技大学物理系 430074）
①特霍夫特（ Gerardus′t Hooft， 1946～） ，因为规范场理
论的重整化于 1999 年获得诺贝尔物理学奖。
②“切丛”是微分几何中最重要的概念之一，与之对偶
的概念是余切丛。很多重要的几何性质都和切丛及余切从有
关。 它是研究微分几何的重要工具。
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