数学思维的妙处（7）：贝叶斯定理，高手的必经之路

文/老余

数学，是很多人的噩梦。

但又恰恰，现实世界里有很多事的逻辑都是数学的。

物理学家甚至说，连整个宇宙可能都是数字的，底层运行的逻辑就是数学原理。

所以，要做一个明白人，咱不能用本能的喜欢、讨厌来接近、远离某种知识，而要根据需要与不需要来作为区分。

本篇是《数学思维妙处》的第七篇，主角仍然是「贝叶斯定理」，熟悉的朋友知道，在这个小系列的第四篇也写过贝叶斯。

但因为此思维中还有很重要的部分并没有在上篇呈现，且贝叶斯思想实在是太过重要，各行各业的佼佼者们都会用到贝叶斯思想：

搞投资的，用它来寻找最佳投资策略；

搞搜索的，用它来帮助用户过滤垃圾邮件；

搞生物科技的，用它来研究基因是如何控制性状表达的；

搞教育的，最终也发现人类的学习过程正是运用了贝叶斯原理（虽然不自知）。

所以本篇我们继续再聊一聊贝叶斯，即为上文的姊妹篇。

上文中，贝叶斯公式已经解读过了，且一个理论最重要的还是它的思想，公式只是思想的表现形式而已。

所以，本篇着重说说贝叶斯思想。

（一）贝叶斯，200年来为何一直备受争议？

虽然现在各个领域都在使用贝叶斯定理，但自从200多年前被发明出来，就一直争议非常，为何？

因为贝叶斯公式计算的是「主观概率」。

啥是主观概率？

——就是同一件事发生的概率因每个人的信念、掌握的信息不同而千人千面。

比如去北京八大处拜佛，有的人完全不信，所以即使天天就此经过也不会进去，而有的人宁可信其有，所以顺路时就进去了，而有的人非常相信有用，于是驱车千里来拜。

这种事在古典统计学家看来就是开玩笑，数学是最精确的科学，怎么能搞个不客观，还以人的意志为转移的概率论出来呢？

——这简直就是离经叛道！

在古典统计学家眼里，暗箱里100个球，红球10个，蓝球90个，你随机抓一个，是红、蓝球的概率分别是10%和90%。

——这才是真正的概率学。

但在贝叶斯主义者看来：

你古典统计学说得确实没错，这样算出来确实很准，但你这都是看上去很美但却是纸上谈兵的玩意儿，现实中有多少事情是你已经掌握了完备的信息，然后等着你来算概率的呢?

所以，与其固守一个只够观瞻的完美学说，还不如手持一个不精准但可用的学问。

那贝叶斯主义者如何使用这个不精准的学问呢？

我们接着看！

（二）案例：贝叶斯公式在现实中的运用

既然生活是一个黑箱，我们基本不可能像全能的上帝一样知道一件事的所有信息，所以就只能在有限的信息、知识、经验下，尽可能的对这件事做一个更好的判断。

比如去北京八大处拜佛到底对加薪有没有用？

在之前我们我们只能感性地去分析，有了贝叶斯公式后，我们就能定量的分析了。

为了让你更容易理解，我们先定义两个事件：

1. 事件“A”代表去「八大处拜佛对加薪有用」；
2. 事件“B”代表某人已经加薪。

用贝叶斯思想定量分析的过程如下：

• 首先，你得对去八大处拜佛是否有利于加薪有个初始的概率判断。

当然，这个概率不能低到像0.001%这种，这就是根本不信，你根本不信一个事儿怎么可能有动机会花精力时间去研究这个事儿呢？也不可能研究到用贝叶斯来计算的地步。

所以，假设你对这事儿的信心是两成，也就是P(A)=20%。

——一切的出发点就在这里了，因为相信所以在意，因为在意所以会花时间琢磨。

贝叶斯公式

• 然后，我们得找有人因此而加薪的证据

比如你座位对过的那个胖子加薪了，刚好他上半年去八大处拜过。

但一个人加薪肯定还有自身能力、运气等作用，要都是拜神得来的，那八大处的石头门槛早就踏破了，或者全国的打工人都加薪了。所以，一个人加薪的因素有很多，而拜神只能提高其概率。

于是，把加薪因素分为拜神与非拜神两种，用公式表达即为：P(B)=P(B|A)·P(A)+P(B|A)·P(A)（“A”表示拜神加薪，“A”表示非拜神加薪）。

那这个胖子的加薪与拜佛有多大关系呢？也就是P(B|A)是多少合适呢？

我们先预估一个，胖子不拜，加薪的概率是50%，拜了之后概率提升至80%（这么随意吗？你或许会与古典统计学家一样感觉不舒服，但请务必忍住，往下看你就明白了）。

前面预估了P(A)=0.2；

那P(A)=1-P(A)=0.8；

于是，P(B)=0.8×0.2+0.5×0.8=0.56；

最终，得出P(A|B)=0.2×0.8/0.56=28.5%。

也就是说：

——在有了加薪的这个胖子的新信息进来之后，你预估拜佛与加薪之间的信心值从20%增加到了28.5%

但你的心里肯定是这么想的：

以上所有的前提假设概率都是你老余随意估算的，玩这种毫不精确的数字有什么意义呢？

确实，如果你用古典概率的精准性眼光来看这28.5%，没有任何意义，因为这个28.5%的随意性太大了，比如：

一个人对拜佛的初始信心是30%，那因胖子加薪这个新信息，他的信心值就会变成40.6%（P(A|B)=0.3×0.8/0.59=40.6%）；

也就是说，这个值会随着个人对拜佛的信心不同而不同。

但请注意：

前面我们就说了，贝叶斯公式算出来的就是这种千人千面的「主观概率」，也正因此而在这200多年里备受争议。

但就是这么不精确的东西，又为何被各行业各的佼佼者争相应用呢？因为：

——佼佼者们要的根本不是单点数据的精准，而是有没有增加或减少的这个趋势。

什么意思？

• 你看当你对拜佛的初始信心是20%时，最后得出的是后验信心是28.5%，你的对拜佛的信心增加了！
• 当他的初始信心是30%时，最后的后验信心是40.6%，他对拜服的信心也是增加的！

至于增加多少，不重要，重要的是增加了，是这个趋势重要！

当然，要是你身边的人去拜佛了，但没有涨薪，这个后验信心就又下降了。

——人的观点要随事实的转变而转变，这是贝叶斯的精髓。

年纪轻的朋友对这句话应该挺不以为然的，这不就是浅显易懂的平常道理吗？还需要你在这里煞有其事地讲出来？

但只要有一点阅历的朋友就知道，这是一句很要命的话——要人改其观念，何其难矣。

（三）结语

一个人要是认真对待贝叶斯定理，能不能对一个事有持续的观点迭代不说，最起码会很自然地做到如下两点：

1、这个人开始听得进去话了。

很多人一旦对一个人、一件事有了初始判断，就基本不会变了。比如买了一只股票后，那市场上所有的信息他都可以解读为利好它，这是要吃大亏的。

但如果用贝叶斯思想来看，每个重要的信息出来都可以变为对这支股票有高有低的量化趋势，向上或向下的趋势“白纸黑字”在这里摆着，你还会把所有信息都解读为利好？

不会了。

2、这个人开始变得稳重了。

很多人完全没有自己的判断，人云亦云，听人说这支股票好，他就买，第二天又听人说这支票不行，他又卖，这还是要吃大亏的。

但如果用贝叶斯思想来看，没有一个新的重要信息进来，我对这只股票的初始信心就不会变，信心没变，动作就不会变形，表现出来就是稳重。

综合以上两点，又能听进去新的意见又能保持应有的稳重，既广开言路又不妄自菲薄，这是何等智慧？

——古代的圣贤们也不过如此了吧！

当然，之所以几千年来圣贤很少，很大原因是要锻炼贝叶斯思维是一个长期过程，如果立志做一个明白人，想让自己的决策更贴近千变万化的真实情况，那就保持心态开放，避开人性的弱点，少给那些人、某些事贴标签，然后你才能以贝叶斯思想为手段，开始调整自己对各种事物的客观看法。

这个过程，就成了高手与普通的分水岭。

而那些立志要成为高手的人，就是立志把自己活成贝叶斯定理的人。

（完）

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