数学思维的妙处（8）：用小学数学，把贝叶斯思想给你讲清楚

文/老余

由于贝叶斯思想实在太过重要，本篇我们继续。

但请放心，与之前的文章一样，本篇也不会很烧脑，甚至连贝叶斯公式我都不会写出来，我只想用最简单的方式，把它给你讲明白。

先问你一个问题：

假如新冠抗原的准确率为99%，而你测出是阳性，这就说明你99%感染了吗？

这个对不对？

先按下不表。

我们先用贝叶斯眼光看乳腺癌诊断正确率的问题，再反过头来看新冠抗原的。

比如张三体检时，医生告诉她乳腺癌的检查呈阳性，且这种检查的正确率为95%。那张三应不应该相信自己95%的可能性已经患了乳腺癌？

如果不把这个问题搞明白，谁听到这个都会绝望地双腿发软。

下面，我们用贝叶斯（从结果追溯原因，正是贝叶斯出场的时候）推理，把这个问题分析清楚。

（一）张三应该感到绝望吗？

且慢，先不要感到绝望！

这事儿其实没这么简单，因为这个“95%”只是很局部的数据，要把这事儿全部搞明白，起码还要弄清楚以下两点：

1、首先，这种癌症普遍的患病率是多少（贝叶斯里的先验概率）？

说白了，就是首先我们要搞清楚自己处于什么样的宏观概率里，我查了下全球女性乳腺癌的患病率已经到了0.03%。

由此，我们知道在张三没有体检前，她有99.97%的概率处在健康人群里，有0.03%的概率处在患病人群里，除此之外，再也没有其他可能性了（当然，除非她是量子态，是薛定谔的猫）。

宏观概率图（1）

那张三到底处在哪类人群里呢？

这就需要回到微观里看检测结果是否为阳性，且还得看这个检测对患癌人群及非患癌人群的判断准确率是多少？

这就牵扯到第二点。

2、检测的假阴性和假阳性问题

啥是假阴性概率？

就是本来患癌了，但检测结果却显示为阴性误以为没有患癌的概率。上面说了，检测的准确率为95%，也就是100人中，即使有5人患癌，诊断结果却是阴性。

相反，假阳性就是本来没有患癌，但检测结果却是阳性，误以为患癌的概率，我们假设这个概率为1%。

现在，我们把问题的全貌归拢一下：

1. 全球女性乳腺癌的发病率为0.03%。也就是说，每10000人里会有3人患病，另外9997人不会患病；
2. 检测的准确率是95%。也就是说，患癌却没有检测出来的概率为5%（一开始，我们只看到了这一点）；
3. 检测假阳性概率为1%，也就是说：每10000人健康女性里，误以为患有乳腺癌的人数是100人；

我们把“2、3”变为更直观的矩阵：

加上了全貌中的“2、3”后，“宏观图1”可变为：

那在全局里，张三检测前可能会出现四种情况，这四种情况及其概率为：

• （1）左上角-患癌，检测为阳性，概率为：95%×0.03%=0.0285%
• （2）左下角-患癌，检测却为阴性，概率为：5%×0.03%=0.0015%
• （3）右上角-未患癌，检测却为阳性，概率为：1%×99.97%=0.9997%
• （4）右下角-未患癌，检测为阴性，概率为：99%×99.97%=98.9703%

请注意，关键时刻到了，在没有检测前，这四种情况张三必占其一，但现在已知张三是阳性了，所以阴性的可能性就立马排除掉了，也就是说，张三只可能在“（1）、（3）”中占其一了。

那张三确实患了乳腺癌的概率是多少呢？

这就很简单也很好理解了，就是“患癌，检测为阳性”的概率值除以全部为阳性的概率值，即：

——P=患癌，检测为阳性÷（患癌，检测为阳性+未患癌，检测却为阳性）=0.0285%÷（0.0285%+0.9997%）=2.7%（贝叶斯里叫后验概率）。

你看，之前，我们认为张三患乳腺癌的概率是95%，基本上快到了板上钉钉的地步了，但实际情况是：

——即使检测结果为阳性，张三患病的真实概率只有2.7%。

所以不要自己吓自己，即使那个95%很吓人。

接下来，我们再看看新冠的情况，如果抗原测试你羊了，且准确率为99%，那你真实已经感染的可能性是多少呢？

（二）新冠抗原的准确率为99%，而你测了是阳性，这就说明你99%感染了吗？

同理，这事儿的全貌也还包括以下两点：

1、全国，整体的感染率是多少（贝叶斯里的先验概率）？

我查了相对靠谱的说法是60%以上，那我们就按60%来。

在你没有测试之前，其实我有60%的概率处在这个羊了人群里，有40%的概率处在没有感染的人群里。

概率图（1）

那你到底处在哪个人群里呢？

我们回到微观里看假阳性和假阴性。

2、抗原的假阴性和假阳性问题

上面说了，抗原的准确率为99%（也就是说假阴性概率为1%），那假阳性的概率是多少呢？我查了一下，在1%-5%之间，我们就取3%吧。

现在，我们复原这个问题的全貌：

1. 现在全国新冠感染率为60%；
2. 抗原试剂的准确率是99%；
3. 抗原测试的假阳性为3%；

加上了全貌中的“2、3”后，“概率图1”即可变为：

在全局里，抗原测试前有四种情况，这四种情况及其概率为：

• （1）左上角-未感染测试为阴性，概率为：0.4×0.97=38.8%
• （2）左下角-未感染测试为阳性，概率为：0.4×0.03=1.2%
• （3）右上角-已感染测试为阴性，概率为：0.6×0.01=0.6%
• （4）右下角-已感染测试为阳性，概率为：0.6×0.99=59.4%

现在，已知你阳了，所以阴性的可能性就立马排除掉了，那你确实羊了的概率是多少呢？

P=已感染测试为阳性÷（已感染测试为阳性+未感染测试为阳性）=59.4%÷（59.4%+1.2%）=98%。

——之前我们认为的概率是99%，而真实的概率为98%。

为何新冠与乳腺癌的前后概率相差如此之大，一个几乎是完全颠覆了，而另一个基本没变，这是为何？

我们继续往下看。

（三）总结一下

因为患乳腺癌的风险相对于新冠来说，是非常小的。

所以，对于女性患乳腺癌来说：

健康人群所占比例远远高于患癌比例，这样一来，健康人群被误诊为阳性的数据就不能被忽视。

由此，在整体患病风险较小的疾病里，如果医生给了你一个确诊，也请先不要着急不要悲观，因为这个确诊是误诊的概率非常大，即使这个医生在专业上很牛，但他的概率可能会差点意思。

而对于新冠来说：

感染人群所在比例已经非常高，这样一来，健康人群误诊为阳性的数据就基本可以忽略不计。

由此我们知道，在整体患病风险已经很高的疾病里，如果医生遗憾的说你已经确诊了，这句话的准确性就非常非常高了，即使这是个庸医。

还有一点要引起重视：

虽然张三的患癌概率从误以为的95%一下子降低到了客观的2.7%，但乳腺癌的平均患病概率是0.03%，也就是说，张三在正确率为95%的检查确诊后，她的患病风险就变了，从0.03%飙升到了2.7%。

——增加了90倍。

反过来，当我们看到新闻里说某项疾病的发病率因为长期吃了什么东西翻了10倍时，也不要慌神，我们得冷静下来搞清楚，是在多大的基础概率上翻了10倍。

比如是在亿万分之一的基础上翻的，那翻10倍基本等于没翻，有些人就喜欢制造恐慌。

而数据，是最容易得手的工具，没有之一。

（完）

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