算符及其矩阵表示算符对着一个固定不变的态矢量能有多少意思呢？为了有趣的事发生，我们需要做变换，从一个态矢量得到另一个态矢量。如已知初始时刻的态矢量，想要求后续某时刻的态矢量。或者改变视角，态也会改变——如旋转坐标轴来改变自旋态。 一般说来，我们可以在态空间上指定态与态之间的映射规则，这就是算符（operator）。用狄拉克符号写为 算符像一台机器，投入一个右矢作为原料，就产出一个右矢作为产品。映射规则可以是非常任意的，而我们尤为关注其中那些能描述物理的规则。 有两个简单的算符例子。如果一个算符无论输入什么，都原样输出，则称为恒等算符或单位算符，记作（在不致引起混淆的情况下也可记为）： 而如果无论输入什么，都输出零矢量，则称为零算符： 零算符本身并不常见，我们就不赋予专门的符号了。 如果两个算符相减为零算符，那就说这两个算符相等——是的，算符之间可以运算。两个算符相加还是一个算符，定义对右矢的作用为 等号右边无非是右矢的加法，满足交换律和结合律，可知算符相加也满足交换律和结合律。 算符的作用有线性性，对叠加态的作用等于对其成分先作用再叠加： 物理上看，这是态叠加原理的要求。 就像函数有复合函数之说，算符也可以复合，毕竟，算符作用右矢后还是一个右矢，当然可以再次被算符作用。由此我们可以定义算符的乘法，定义对态的作用为 算符的乘法满足结合律 但不满足交换律 假如，我们就说和对易（commute）。这和复合函数一样，如和之间复合 而对和，。 如果两个算符的复合为单位算符，则称二者互为逆算符，符号为算符的“次方”： 当然，算符也可以输入左矢、输出左矢（【注】你还可以设想具有更复杂的输入-输出关系的映射，数学上即张量（tensor）。我们讨论的算符是型张量。），算符作用左矢时将算符写在左矢的右边： 整体作为一个右矢，它的名字可以自然地叫做“”。与对偶的左矢是，它与有什么关系？我们将能把变成的算符记作： 即 符号读作dagger。数学上称为的厄米共轭，但你不必在乎这个名字！一般而言，即 也就是说算符为右矢和左矢指定的映射关系通常不“对称”。数乘作为特殊的算符给出了一个具体的例子： 如果，则称为厄米算符（Hermitian operator），后面我们会看到，厄米算符对于量子力学至关重要。 算符的矩阵表示入门量子力学2.2：基矢量中我们介绍了基矢量，在给定了一组基矢之后，右矢可以表示为列向量，左矢可以表示为行向量，这让事情看起来更加具体。那么算符能不能表达得具体些呢？让我们先考虑看似无关的另一个问题。 我们已经知道如何求态在基矢上的展开系数：，换言之 既然是个数，我们可以把它移动一下，将上式写成更具启发性的形式： 我们可以将内积分开，像普通的乘法一样，将与求和指标无关的作为公因式提到求和号外面： 我们发现，括号内的求和，作为整体作用于一个任意的态会得到本身，这不正是单位算符嘛！ 这就是说，右矢和左矢尖头对尖头放在一起，就可以形成算符——我们将看到，所有的算符都可以表达成这种形式，与内积相对，这种运算可以称为外积。像上式这样，正交归一基矢外积再求和得到单位算符，称为这组基矢的完备性。完备性关系是任意态都可以用基矢展开这一点的另一种表达方式，这正是我们在SG实验中提到的所有自旋态都能由叠加出来的那个完备性。 正如我们刚才操作中隐含的，内积和外积之间有结合律。同样地，内外积和算 符的作用之间也有结合律。如 狄拉克符号让这些运算在符号上非常直观，体现了其的强大表达能力。 有了完备性关系，我们就可以“变魔术”了。显然，任意算符和单位算符复合后仍为 X，我们左复合一个，右复合一个： 代入完备性关系，有（注意求和指标要不同）： 运用结合律，我们发现是一个数，它称为算符在这组基下的矩阵元，记为，有 这样，我们发现算符也可以用基矢展开，将矩阵元——展开系数按两个指标依次排列，就得到了算符的矩阵表示： 具体写一下就明白了，考虑任意算符与任意态，将展开： 即，是一个以为第个展开系数的态，它表示为列向量正是 这样，我们就将算符之间、算符和左右矢之间的抽象的作用表示为了看起来更具 体的矩阵乘法。另一方面，对有 注意是，下标交换了！即，的矩阵表示是的矩阵表示的转置再取复共轭——共轭转置。显然，厄米算符的矩阵表示，对角元必然是实数，而关于对角线对称的非对角元互为共轭。参考上面对的处理，运用的定义，动手验证一下！ 练习
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