论小于某给定值的素数的个数
（黎曼提出黎曼猜想的原始论文）
黎曼（Riemann）原稿 谢国芳（Roy Xie）译注
Email:roixie@163.com
承蒙（柏林）科学院接纳我为通讯院士，我想表达被赐予这份殊荣的感谢之情的
最好方式是立即利用由此得到的许可向其通报一项关于素数分布密度的研究，考虑到
高斯和狄利克雷曾长期对此问题抱有浓厚的兴趣，它似乎并不是完全配不上这样性质
的一个报告。
我以欧拉的发现、即下面这个等式作为本研究的起点：
1 1
1
s s
p n
?
?
?
??
其中等式左边的p取遍所有质数，等式右边的n取遍所有自然数，我将用 ( )s? 表记
由上面这两个级数（当它们收敛时）表示的复变量s的函数。
{注 1： 即定义复变函数
1 1
( )
1
s s
s
n p
?
?
? ?
?
? ?
}
上面这两个级数只有当s的实部大于 1 时才收敛，但很容易找到一个（对任意s）
总是有效的函数 ( )s? 的表达式。
{注 2：用现代数学语言讲，即要对复变函数 ( )s? 进行解析延拓，而解析延拓的最好方法是寻找
一个该函数的更广泛有效的表示如积分表示或适当的函数方程。}
利用等式
{ 注 3 ： ( )s? 是 高 斯 引 入 的 伽 玛 函 数 记 号 ， 现 在 一 般 把 伽 玛 函 数 记 作 ( )s? ，
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( ) ( 1) ( )s s s s? ?? ? ? ? ，
1
0
( )
s x
s x e dx
?
? ?
? ?
?
，令积分号中的哑变量x nx? 即可导出上式。}
可得
{注 4：
1
11
1
1 1 1
x
nx
x x x
n
e
e
e e e
??
?
? ?
?
? ? ? ?
? ? ?
?
? }
现在考虑积分
{注5：按现代数学记号，该积分应记成
1
( )
1
s
x
C
x
dx
e
?
?
?
?
或（考虑到一般用z表示复数）
1
( )
1
s
z
C
z
dz
e
?
?
?
?
，
其中的积分路径 C 如下面的图 1所示。}
积分路径沿从 到 、包含值0但不包含被积函数的任何其他奇点的区域的
正向边界进行。 {注 6：参见下面的图 1。}
图 1
易得该积分的值为
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其中我们约定在多值函数 中，log( )x? 的取值对于负的x为
实数。由此即得
{注 7： 2 sin
si si
e e i s
? ?
?
?
? ? ?? （注意复变量的三角函数的定义由欧拉公式sin
2
iz iz
z
i
e e
?
?
?
给
出），
1
( )
1
s
x
x
dx
e
?
?
?
?
?
?
按现代数学记号应记成
1
( )
1
s
z
C
z
dz
e
?
?
?
?
（参见注 5），其中的积分路径 C 如上面图 1
所示。关于上式的详细推导参见 http://www.xieguofang.cn/My%20Writings/Reply1.htm }
其中的积分由上面所给出的方式定义。现在这一等式对于任意复变量s都给出了函
数 ( )s? 的值，并表明它是单值解析的，并且对于所有有限的s（除了1之外）都取有限
值，当s等于一个负偶数时取零值。
{注 8：实际上可证上面等式的右边是一个整函数（请读者思考如何证明），故左边也是一个整函
数，注意 ( 1) ( )s s? ? ?? （参见注 3），而 ( )s? 在 0, 1, 2, 3,...s ? ? ?? 的一级极点和sin s? 的零点抵消。}
当s的实部为负时，上面的积分可以不沿正向围绕给定值的区域进行，而是沿负向
包含所有剩下的复数值的区域进行，
{注 9：参见下面的图 2，其中的大圆 C’的半径趋向无穷大，从而包含被积函数的所有极点即分
母 1
x
e ? 的所有零点 2nπi（n 为整数），接下来的计算用现代术语说就是应用柯西的留数定理。}
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因为该积分的值对于模无限大的复数为无限小，而在该区域内部，被积函数只有
当x等于2 i? 的整数倍时才有奇点，于是该积分即等于负向围绕这些值的积分之和，但
围绕值 2n i? 的积分等于 ，
{注 10：被积函数在 2n i? （n≠0）的留数等于
1 1
1
2 2
( ) ( )
( 2 )
( 1)''
s s
x x
s
x n i x n i
x x
n
e e
i
? ?
?
? ?
?
? ?
? ?
? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
}
于是我们得到
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它揭示了一个 和 之间的关系，利用函数 ( )s? 的已知性质，也可以将
它表述为：
/2
( 1) ( )
2
s
s
s? ?
?
? ? 在变换 1s s? ? 下不变。
{注11：“ ( )s? 的已知性质”即伽玛函数 ( )s? 的余元公式和勒让德公式。上述结果的推导参见[注
11补]。}
该函数的这一性质诱导我在级数 的一般项中引入 而不是 ，
由此我们能得到函数 的一个很方便的表达式，事实上我们有
{注12：
2
nn n? （从笛卡尔开始直到黎曼的时代，一个变量的平方一般用叠写该变量表示，虽
然其他次数的方幂都用指数表示）。为了推导上式，只需在
1
2
0
( 1) ( )
2 2
s
x
s s
x e dx
?
?
?
? ? ?? ?
?
中作替换
2
x n x?? 即可。}
因此，如果记
即得
又因为
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（雅可比《椭圆函数论新基础》S卷第184页）
{注13：黎曼引入的这个函数 ( )x? 本质上即雅可比theta函数：
2 2
4 9 16
1
( ) 1 2 1 2( ......)
n x n x x x x x
n n
x e e e e e e
? ? ? ? ? ?
?
? ?
? ? ? ? ? ?
??? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
易见
2
1
( ) 1
( ) =
2
n x
n
x
x e
?
?
?
?
?
?
?
?
?
上述恒等式即theta函数的变换公式：
1
( ) ( )x x
x
? ??
它最早由柯西用傅立叶分析得到，后来雅可比又用椭圆函数给出了证明，详见[注13补]。}
我们又有
{注14：注意在上面的最后一个等式中，我们可以明显看出
/2
( 1) ( )
2
s
s
s? ?
?
? ? 在变换 1s s? ? 下不变。
（ ∵
1
( 1)s s ?
和
1
1
2 2
1
( )( )
s s
x x x dx?
? ?
? ?
?
?
都在 1s s? ? 下不变 ）
这样黎曼就再次推导出了 ( )s? 的函数方程（这比前面用围道积分和留数定理的推导更简单）。若
引入辅助函数
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/2
( ) ( 1) ( )
2
s
s
s s? ?
?
? ?? ?
函数方程可以简洁地写为 ( ) (1 )s s? ?? ? ，但更方便的做法是在 ( )s? 中添加因子 ( 1)s s ? （这
正是黎曼接下来做的），即令（为了和黎曼的记号保持一致引入数字因子1/2）
/2
1
( ) ( 1) ( ) ( )
2 2
s
s
s s s s? ? ?
?
? ? ?
因为因子( 1)s ? 消去了 ( )s? 在 1s ? 处的一阶极点，因子s消去了 ( )
2
s
? 在 0s ? 处的极点，而
( )s? 的平凡零点 -2，-4，-6,....和 ( )
2
s
? 的其余极点抵消，因此 ( )s? 是一个整函数，且仅以 ( )s? 的
非平凡零点为零点。注意到因子 ( 1)s s ? 显然在 1s s? ? 下不变，所以仍有函数方程
( ) (1 )s s? ?? ? .}
现在设
1
2
s ti? ? ,
于是可得
或
{注 15：黎曼定义的这个函数和现在通常使用的函数 ( )s? （参见上注）本质上完全相同（注意
( ) ( 1) ( )
2 2 2 2
s s s s
? ? ? ? ? ? ，参见注3），仅有的差别是黎曼以t为自变量，而现在通常使用的 ( )s? 仍
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以s为自变量，s和t差一个线性变换：
1
2
tis ?? ，即一个90°旋转加1/2的平移。
这样一来，s平面中的直线
1
2
Res ? 就对应于t平面中的实轴，zeta函数在临界直线
1
2
Res ? 上
的零点就对应于函数 ( )t? 的实根。
注意在黎曼的记号中，函数方程 ( ) (1 ) s s? ?? ? （见上注）就变成了 ( ) ( ) t t? ?? ? ，即 ( )t?
是偶函数，故而其幂级数展开只有偶次幂，且零点关于 0t ? 对称分布。
另外，从上面的两个积分表示也可以明显看出 ( )t? 是偶函数（∵
1
log
2
cos( )t x 是t的偶函数）。}
对于所有有限的t，该函数的值都是有限的，并可以按
2
t 的幂展开成一个快速收敛
的级数，因为对于一个实部大于1的s值
，
也是有限的，
这对 的其他因子的对数也同样成立，因此函数 只有当t的虚部位于
1
2
i和
1
2
i?
之间时才可能取零值。
{注16：即 ( )s? 只有当s的实部位于0和1之间时才可能取零值（参见上注）。}
方程 的实部在0和 之间的根的数目约等于
{注17：黎曼对零点数目估计的这一结果直到1895年才由Mangoldt严格证明。}
这是因为沿包含所有虚部位于
1
2
i和
1
2
i? 之间、实部位于0和T之间的t值的正向回
路的积分 log ( )d t?
?
（略去和
1
T
同阶的小量后）的值约等于 ，而该
积分的值等于位于此区域内的方程 的根的数目乘以 {注18：此即幅角原理}。
事实上我发现在该区域内的实根数目近似等于该数目，极有可能所有的根都是实数。
对此我们自然希望能有一个严格的证明，然而在一些仓促的不成功的初步尝试之后，
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我暂时把寻求证明搁在一边，因为对于我接下来研究的目的来说它并不是必需的。
{注19：黎曼轻描淡写写下的这几句话就是著名的黎曼猜想！}
--- 正文第一部分终 ---
【注11补】 由欧拉公式（ cos sin
iz
e z i z? ? ）可得
( 1) ( 1)
1 1
2 2 2 2
( ) 2sin
2
s s
i s i s i i
s s
s
i i e e ie ie
? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ?
因此（注意 ( 1) ( )s s? ? ?? , 参见注3）
1 1 1
2sin ( ) ( ) (2 ) (( ) )
(2 ) (1 ) 2sin
2
s s s s
s
s s s n i i
s
s
? ? ?
?
? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
?
再用倍角公式sin 2sin cos
2 2
s s
s
? ?
? ? 即得到
1
(1 ) 2 cos ( ) ( )
2
s s
s
s s s
?
? ? ?
? ?
? ? ?
作替换 1s s? ? 后即
1
( ) 2 sin (1 ) (1 )
2
s s
s
s s s
?
? ? ?
?
? ? ? ? （1）
这就是 ( )s? 的函数方程。为了将它改写成一种对称的形式，用伽玛函数的余元公式
( ) (1 )
sin
z z
z
?
?
? ? ? ?
和勒让德公式
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1 1/2
1
( ) ( ) 2 ( )
2 2 2
z
z z
z?
?
? ? ? ? ?
在式（1）中作替换
sin
2
( ) (1 )
2 2
s
s s
? ?
?
? ? ?
,
1/2
1
(1 ) 2 ( ) (1 )
2 2
s
s s
s ?
? ?
?
? ? ? ? ? ?
就得到
/2 (1 )/2
1
( ) ( ) ( ) (1 )
2 2
s s
s s
s s? ? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ?
即
/2
( ) ( )
2
s
s
s? ?
?
? 在变换 1s s? ? 下不变，
亦即
/2
( 1) ( )
2
s
s
s? ?
?
? ? 在变换 1s s? ? 下不变。
【注13补】设第一类完全椭圆积分
/2
2 2
0
( )
(1 sin )
d
K K k
k
?
?
?
? ?
?
?
/2
2
2 2
0
'' ( '') , '' 1
(1 '' sin )
d
K K k k k
k
?
?
?
? ? ? ?
?
?
, ''k k 分别称为雅可比椭圆函数或椭圆积分的模（modulus）和补模。
令 ''/K K? ? ，有
4 9 16
2
( ) 1 2( ......)
K
e e e e
?? ?? ?? ??
? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
将模k和补模 ''k 互换又有
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/ 4 / 9 / 16 /
2 '' 1
( ) 1 2( ......)
K
e e e e
? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
两式相比即得
1
( ) ( )? ? ? ?
?
? .
--- 未完待续（to be continued）---
【译者和注释者简介】
谢国芳，浙江绍兴人，独立语言学者和数学研究者，创立了外语解密学习法，著有《解密英语
——学外语从零点到绝顶的最速路经》、《日语汉字读音规律揭秘》、《破解韩国语单词的奥秘》等，建
有以传播外语和数学知识与文化为宗旨的网站“语数之光”。
已发表的数学和物理方面的论文有：
1. 《D 函数的一种初等推导及应用》（1996 年 01 期《大学物理》）
2. 《量子角动量理论新探》（1998 年 06 期《大学物理》）
3. 《球坐标 D 函数
''
( , , )
j
m m
D ? ? ? 与
''
( )
j
m m
d ? 的傅里叶级数表示》 （2001 年 01 期《大学物理》）
4. 《一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则》 （2012 年第 21 期《数学学习与研
究》）
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