专题02 整式的加减
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 代数式
概念：用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.
【注意】
1.代数式中除了含有字母、数字、运算符号外还可以有括号。
2.代数式中不含有=、<、>、≠ 等
3.对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以表示任何一个数。
代数式的分类：
列代数式方法
列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了.
列代数式时应该注意的问题
(1)数与字母、字母与字母相乘时常省略“×”号或用“·”.
(2)数字通常写在字母前面.
(3)带分数与字母相乘时要化成假分数.
(4)除法常写成分数的形式.
代数式的值
一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.
知识点二 单项式
概念：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算，或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式（单项式中“只含乘除，不含加减”）.
【注意】：
1）圆周率是常数，所以也是常数；
2）当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写;
3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．
单项式的系数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；
单项式的次数：系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.
【注意】：
1）一个单项式只含有字母因数，它的系数就是1或者-1。
2)一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身。
3）负数作系数时，需带上前面的符号。
4）若系数是1或-1时，“1”通常省略不写。
知识点三 多项式
概念：几个单项式的和叫多项式.
多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；
【注意】
1.ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式（若a、b、c、p、q是常数）.
2.多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式。
知识点四 整式的加减
同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.
同类项与系数无关，与字母的排列顺序也无关。
合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.
步骤：①找 ②移 ③合
去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.
注意：
1、要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据.
2、去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉.
3、括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号.
4、括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项.
5、遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号。
整式加减法法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项.
注意:多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算。
多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列.
【考查题型】
考查题型一 列代数式
【解题思路】列代数式解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的数量关系，注意字母和数字相乘的简写方法．
．（磴口县一模）甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次性降价30%.则顾客到哪家超市购买这种商品更合算（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．一样
【答案】C
【解析】解：设商品原价为x，
甲超市的售价为：x（1﹣20%）（1﹣10%）=0.72x；
乙超市售价为：x（1﹣15%）2=0.7225x；
丙超市售价为：x（1﹣30%）=70%x=0.7x；
故到丙超市合算．
故选C．
．（浙江模拟）某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是( )
A．原价减去10元后再打8折 B．原价打8折后再减去10元
C．原价减去10元后再打2折 D．原价打2折后再减去10元
【答案】B
【解析】将原价x元的衣服以（）元出售，是把原价打8折后再减去10元．故选B．
．（河北模拟）如图，A，B两地之间有一条东西向的道路．在A地的东5km处设置第一个广告牌，之后每往东12km就设置一个广告牌．一汽车在A地的东3km处出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（ ）
A．12n+5 B．12n+2 C．12n﹣7 D．12n﹣10
【答案】D
【分析】根据题意和图形，可以用代数式表示出这辆汽车行驶的路程，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
一汽车在A地的东3km处出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为：（5﹣3）+12（n﹣1）＝（12n﹣10）（km），
故选：D．熟练掌握运算法则是解本题的关键．．（无锡市中考真题）若，，则的值等于（ ）
A．5 B．1 C．-1 D．-5
【答案】C
【】将两整式相加即可得出答案．
【详解】
∵，，
∴，
∴的值等于，
故选：C．
．（山东潍坊市·中考真题）若，则的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【】把所求代数式变形为，然后把条件整体代入求值即可．
【详解】∵，
∴
=
=4×1-3
=1．
故选：D．
．（大庆市中考真题）若，则的值为（ ）
A．－5 B．5 C．1 D．－1
【答案】A
【】根据绝对值和平方的非负性可求出x，y的值，代入计算即可；
【详解】
∵，
∴，，
∴，，
∴．
故答案选A．
．（重庆中考真题）已知a+b=4，则代数式的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．-1
【答案】A
【】通过将所求代数式进行变形，然后将已知代数式代入即可得解.
【详解】
由题意，得
故选：A.分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．
．（云南中考真题）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是( )
A．(－1)n－1x2n－1 B．(－1)nx2n－1
C．(－1)n－1x2n＋1 D．(－1)nx2n＋1
【答案】C
【】观察可知奇数项为正，偶数项为负，除符号外，底数均为x，指数比所在项序数的2倍多1，由此即可得.
【详解】
观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，
∴可以用或，(为大于等于1的整数)来控制正负，
指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为，
∴第n个单项式是 (－1)n－1x2n＋1 ，
故选C.
．（云南中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【】
先前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．
【详解】
解： ，，，，，，…，
可记为：
第项为：
故选A．
数字的变化类，仔细观察，发现其中哪些发生了变化，哪些没有发生变化，是按什么规律变化的是解题的关键.．（陕西）观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【】
根据题意，一组数：、、、、、的和为250＋251＋252＋…＋299＋2100＝＝a＋(2＋22＋…＋250)a，进而根据所给等式的规律，可以发现2＋22＋…＋250＝251－2，由此即可求得答案.
【详解】
250＋251＋252＋…＋299＋2100
＝a＋2a＋22a＋…＋250a
＝a＋(2＋22＋…＋250)a，
∵，
，
，
…，
∴2＋22＋…＋250＝251－2，
∴250＋251＋252＋…＋299＋2100
＝a＋(2＋22＋…＋250)a
＝a＋(251－2)a
＝a＋(2 a－2)a
＝2a2－a ，
故选C.
．（山东泰安市三模）将全体正奇数排成一个三角形数阵 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 … … … … … … 根据以上排列规律，数阵中第25行的第20个数是（?? ）
A．639B．637C．635D．633
【答案】A
【】
根据数阵的排列规律确定第25行,从左向右的第20个数为多少个奇数即可．
【详解】
根据三角形数阵可知，第n行奇数的个数为n个，则前n-1行奇数的总个数为1+2+3+…+（n-1）=个， 则第25行（n≥3）从左向右的第20个数为为第=320个奇数， 所以此数是：320×2-1=639．
故选A
．（五莲县二模）观察下列各式及其展开式：
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（ ）
A．36 B．45 C．55 D．66
【答案】B
【】
归纳总结得到展开式中第三项系数即可．
【详解】
解：解：（a+b）2=a2+2ab+b2；
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；
（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；
第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；
第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；
第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，
则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．
故选B．考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，从而计算出正确结果是解题的关键.
．（云南昆明市二模）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（ ）
A．73 B．81 C．91 D．109
【答案】C
【解析】
试题解析：第①个图形中一共有3个菱形，3=12+2；
第②个图形中共有7个菱形，7=22+3；
第③个图形中共有13个菱形，13=32+4；
…，
第n个图形中菱形的个数为：n2+n+1；
第⑨个图形中菱形的个数92+9+1=91．
故选C．
．（天津南开区三模）把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【】观察第1个、第2个、第3个图案中的三角形个数，从而可得到第n个图案中三角形的个数为2（n+1），由此即可得.
【详解】
∵第1个图案中的三角形个数为：2+2=4=2×（1+1）；
第2个图案中的三角形个数为：2+2+2=6=2×（2+1）；
第3个图案中的三角形个数为：2+2+2+2=8=2×（3+1）；
……
∴第n个图案中有三角形个数为：2（n+1）
∴第7个图案中的三角形个数为：2×（7+1）=16，
故选C.
．（重庆中考真题）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A．10 B．15 C．18 D．21
【答案】B
【】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．
【详解】
解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，
第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，
第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，
……
∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，
故选：B．
典例6．（湘潭市中考真题）已知与是同类项，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【】根据同类项的概念可得关于n的一元一次方程，求解方程即可得到n的值.
【详解】解：∵与是同类项，
∴n+1=4，
解得，n=3，
故选：B.
．（山东济宁市一模）已知代数式和 是同类项，则m-n的值是（ ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．0
【答案】A
【】由同类项的定义可先求得m和n的值，从而求出代数式的值．
【详解】
∵代数式和是同类项，
∴m?1=1，2n=6，
∴m=2，n=3，
∴m?n=2?3=?1，
故选：A.
．（河北石家庄市一模）若单项式am+1b2与的和是单项式，则mn的值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【】根据同类项的定义求得m，n的值，然后再代入代数式计算即可．
【详解】
解：∵整式am+1b2与的和为单项式，
∴m+1＝3，n＝2，
∴m＝2，n＝2，
∴m2＝22＝4．
故答案为B．
解决的关键根据题目中所给的数量关系，建立数学模型．根据运算提示，找出相应的等量关系．
．（湖南长沙市中考真题）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成下列三个步骤：
第一步，A同学拿出三张扑克牌给B同学；
第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；
第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学，
请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为___________________．
【答案】
【】把每个同学的扑克牌的数量用相应的字母表示出来，列式表示变化情况即可找出最后答案．
【详解】设每个同学的扑克牌的数量都是；
第一步，A同学的扑克牌的数量是，B同学的扑克牌的数量是； 第二步，B同学的扑克牌的数量是，C同学的扑克牌的数量是； 第三步，A同学的扑克牌的数量是2()，B同学的扑克牌的数量是()； ∴B同学手中剩余的扑克牌的数量是：()． 故答案为：．
．（四川南充市二模）甲、乙两船在静水中的速度分别是，．有一天从同一港口同时同向出发逆水而行，若水流速度是，则后两船相距_________．
【答案】
【】根据题意得出两船的行驶速度，再求出两船2h行驶的路程，两路程相减即可解答．
【详解】由题意知，甲船的行驶速度是，乙船的行驶速度是，
2h后两船的距离为2（55-a）-2(40-a)=30(km)，
故答案为：．
（浙江模拟）已知，那么_____________．
【答案】96
【】令，，可得到，即可求解；
【详解】令，，
则，，
则，
∴；
故答案是96．
．（深圳市一模）若＝，则的值为______．
【答案】4
【】由＝可得 ，代入计算即可.
【详解】解：∵＝，
∴，
则
故答案为：4.
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