专题04 实数
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 平方根
算术平方根概念：一般的如果一个正数x的平方等于a，即
算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作
平方根概念：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根或二次方根，即，那么x叫做a的平方根。
平方根的性质与表示：
表示：正数a的平方根用表示， 叫做正平方根，也称为算术平方根， 叫做a的负平方根。
性质：一个正数有两个平方根： （根指数2省略）且他们互为相反数。
0有一个平方根，为0，记作
负数没有平方根
平方根与算术平方根的区别与联系：
知识点二 立方根和开立方
立方根概念：如果一个数的立方等于，即那么x叫做的立方根或三次方根，
表示方法：数a的立方根记作，读作三次根号a
立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０.
开立方概念：求一个数的立方根的运算。
开平方的表示： （a取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
注意:０的平方根和立方根都是０本身。
次方根(扩展)
概念：如果一个数的次方（是大于１的整数）等于，这个数就叫做的次方根。
当为奇数时，这个数叫做的奇次方根。
当为偶数时，这个数叫做的偶次方根。
性质： 正数的偶次方根有两个：；０的偶次方根为０：；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。
知识点三 实数
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
实数：有理数和无理数统称为实数
1.按属性分类：2.按符号分类
实数和数轴上的点
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
1.尺规可作的无理数，如
2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……
实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法
实数的三个非负性及性质：?
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。
2.非负数有三种形式?
①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0
3.非负数具有以下性质
①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
【考查题型】
考查题型一 求算术平方根
【解题思路】算术平方根的定义
．（浙江中考真题）4的算术平方根是（ ）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】因，根据算术平方根的定义即可得4的算术平方根是2．故答案选B．
．（甘肃金昌市中考真题）若一个正方形的面积是12，则它的边长是（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【分析】根据正方形的面积公式即可求解．
【详解】解：由题意知：正方形的面积等于边长×边长，设边长为a，故a2=12，
∴a=±，又边长大于0∴边长a=．故选：A.
．（四川雅安市中考真题）已知，则的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】直接利用绝对值和二次根式的性质分别化简得出答案．
【详解】解：∵，∴a-2=0，b-2a=0， 解得：a=2，b=4，故a+2b=10．故选：D．
．（山东东营市中考真题）利用科学计算器求值时，小明的按键顺序为，则计算器面板显示的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据算术平方根的求解方法进行计算即可得解．
【详解】４的算术平方根，故选：B．
典例2．（山东烟台市中考真题）4的平方根是（ ）
A．±2 B．－2 C．2 D．
【答案】A
【详解】4的平方根是±2.选A.
．（湖北荆门市·中考真题）的平方是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】先计算，然后再计算平方．
【详解】∵∴故选：D．
．（湖南衡阳市中考真题）下列各式中正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值．
【详解】
A.原式=3，不符合题意；
B.原式=|-3|=3，不符合题意；
C.原式不能化简，不符合题意；
D.原式=2-=，符合题意，
故选D．
．（江苏南京市中考真题）若方程的两根为和，且，则下列结论中正确的是 （ ）
A．是19的算术平方根 B．是19的平方根
C．是19的算术平方根 D．是19的平方根
【答案】C
【解析】根据平方根的意义，可知x-5是19的一个平方根，由a＞b，可知a-5是19的算术平方根，b-5是其负的平方根.故选C立方根的定义
．（江苏常州市·中考真题）8的立方根是（ ）
A．2 B．±2 C．±2 D．2
【答案】D
【详解】解：根据立方根的定义，由23=8，可得8的立方根是2故选：D．
．（湖北荆门市·中考真题）8的相反数的立方根是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．
【答案】C
【分析】根据相反数的定义、立方根的概念计算即可．
【详解】8的相反数是﹣8，
﹣8的立方根是﹣2，
则8的相反数的立方根是﹣2，
故选C．
．（黑龙江中考真题）有理数-8的立方根为（ ）
A．-2 B．2 C．±2 D．±4
【答案】A
【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．
【详解】解：有理数-8的立方根为=-2故选A．
．（河北中考真题）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是( )
A． B． C．D．
【答案】D
【解析】因为，，，，故答案选D.数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．
．（贵州铜仁市中考真题）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b
【答案】D
【分析】根据数轴即可判断a和b的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．
【详解】
根据数轴可得：，，且，
则，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确；
故选：D．
．（广东中考真题）实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由数轴上a，b两点的位置确定a，b的取值范围，再逐一验证即可求解．
【详解】由数轴上a，b两点的位置可知-2＜a＜-1，0
所以a
|a|>|b|，故B选项错误；
a+b<0，故C选项错误；
，故D选项正确，
故选D.
．（甘肃庆阳市·中考真题）如图，数轴的单位长度为1，如果点表示的数是-1，那么点表示的数是( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】直接利用数轴结合点位置进而得出答案．
【详解】解：∵数轴的单位长度为1，如果点表示的数是-1，∴点表示的数是：3
故选D．
．（台湾中考真题）数线上有、、、四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数线上有一点，点所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述何者正确？（ ）
A．在的左边 B．介于、之间
C．介于、之间 D．介于、之间
【答案】D
【分析】根据、、、四点在数轴上的位置和绝对值的定义即可得到结论．
【详解】解：，，，，
，
点介于、之间，
故选：D．实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答题的关键是要明确：负数＜0＜正数，两负数相比，绝对值大的反而小，两正数相比，绝对值大的大．
．（江苏苏州市·中考真题）在下列四个实数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：根据实数大小比较的方法，可得-2＜0＜＜，
所以四个实数中，最小的数是-2．
故选：A．
．（黑龙江绥化市·中考真题）化简的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由绝对值的意义，化简即可得到答案．
【详解】解：；故选：D．
．（山东菏泽市·中考真题）下列各数中，绝对值最小的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．
【详解】解：，，，，
∵，
∴绝对值最小的数是；
故选：B．
．（内蒙古赤峰市·中考真题）实数，-3，0，中，最小的数是（ ）
A． B．-3 C．0 D．
【答案】B
【分析】去掉A、D选项中的绝对值和根式符号，再将四个选项的实数进行对比，即可求出答案．
【详解】解：A选项：|-5|=5，D 选项：=2，
∵-3＜0＜2＜5，
∴-3＜0＜＜|-5|，其中的最小值为-3，
故选：B．
【解题思路】针对无理数的定义和估算，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
．（天津中考真题）估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】B
【分析】因为，所以在4到5之间，由此可得出答案.
【详解】解：∵，∴．故选：B
．（内蒙古赤峰市·中考真题）估计的值应在 （ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】A
【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.
【详解】
=
=2+，
∵4<6<9，
∵2<<3，
∴4<2+<5，
故选：A.
．（四川达州市）下列各数中，比3大比4小的无理数是（ ）
A．3.14 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据无理数的定义找出无理数，再估算无理数的范围即可求解．
【详解】解：∵四个选项中是无理数的只有和，而17＞42，32＜12＜42
∴＞4，3＜＜4
∴选项中比3大比4小的无理数只有．故选：C．
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