2019年甘肃省庆阳市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（3分）（2019?武威）下列四个几何体中，是三棱柱的为
A． B．
C． D．
2．（3分）（2019?武威）如图，数轴的单位长度为1，如果点表示的数是，那么点表示的数是
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（3分）（2019?武威）下列整数中，与最接近的整数是
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（3分）（2019?武威）华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为
A． B． C． D．
5．（3分）（2019?武威）如图，将图形用放大镜放大，应该属于
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
6．（3分）（2019?武威）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是
A． B． C． D．
7．（3分）（2019?武威）不等式的解集是
A． B． C． D．
8．（3分）（2019?武威）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误
A．① B．② C．③ D．④
9．（3分）（2019?武威）如图，点，，在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是
A． B． C． D．
10．（3分）（2019?武威）如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.
，“马”位于点，则“兵”位于点 ．
12．（4分）（2019?武威）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：
实验者 德摩根 蒲丰 费勒 皮尔逊 罗曼诺夫斯基 掷币次数 6140 4040 10000 36000 80640 出现“正面朝上”的次数 3109 2048 4979 18031 39699 频率 0.506 0.507 0.498 0.501 0.492 请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为 （精确到．
13．（4分）（2019?武威）因式分解： ．
14．（4分）（2019?武威）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值为 ．
15．（4分）（2019?武威）将二次函数化成的形式为 ．
16．（4分）（2019?武威）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于 ．
17．（4分）（2019?武威）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值 ．
18．（4分）（2019?武威）已知一列数，，，，，，，按照这个规律写下去，第9个数是 ．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
20．（6分）（2019?武威）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？
21．（8分）（2019?武威）已知：在中，．
（1）求作：的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若的外接圆的圆心到边的距离为4，，则 ．
22．（8分）（2019?武威）如图①是图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳．现测得点到桌面的距离为．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取．
23．（10分）（2019?武威）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会” 于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：．“解密世园会”、 ．“爱我家，爱园艺”、 ．“园艺小清新之旅”和．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．
（1）李欣选择线路．“园艺小清新之旅”的概率是多少？
（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．
四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
收集数据：
七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．
八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
整理数据：
七年级 0 1 0 7 1 八年级 1 0 0 7 2 分析数据：
平均数 众数 中位数 七年级 78 75 八年级 78 80.5 应用数据：
（1）由上表填空： ， ， ， ．
（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？
（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．
25．（10分）（2019?武威）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于，两点
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）已知点，，过点作平行于轴的直线，在第一象限内交一次函数的图象于点，交反比例函数上的图象于点．若，结合函数图象直接写出的取值范围．
26．（10分）（2019?武威）如图，在中，，，点在边上，经过点和点且与边相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
27．（10分）（2019?武威）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
例题：如图①，在等边中，是边上一点（不含端点，，是的外角的平分线上一点，且．求证：．
点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接．易证：，可得，；又，则，可得；由，进一步可得，又因为，所以，即：．
问题：如图③，在正方形中，是边上一点（不含端点，，是正方形的外角的平分线上一点，且．求证：．
28．（12分）（2019?武威）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点作轴，垂足为点，交于点．试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点作，垂足为点．请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
2019年甘肃省庆阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
A． B．
C． D．
【考点】：认识立体图形
【分析】分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．
【解答】解：、该几何体为四棱柱，不符合题意；
、该几何体为四棱锥，不符合题意；
、该几何体为三棱柱，符合题意；
、该几何体为圆柱，不符合题意．
故选：．
2．（3分）如图，数轴的单位长度为1，如果点表示的数是，那么点表示的数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】13：数轴
【分析】直接利用数轴结合，点位置进而得出答案．
【解答】解：数轴的单位长度为1，如果点表示的数是，
点表示的数是：3．
故选：．
3．（3分）下列整数中，与最接近的整数是
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】：估算无理数的大小
【分析】由于，于是，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．
【解答】解：，，
，
10与9的距离小于16与10的距离，
与最接近的是3．
故选：．
4．（3分）华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【考点】：科学记数法表示较小的数
【分析】由科学记数法知；
【解答】解：；
故选：．
5．（3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
【考点】：几何变换的类型
【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．
故选：．
6．（3分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是
A． B． C． D．
【考点】：多边形内角与外角
【分析】根据多边形内角和公式即可求出结果．
【解答】解：黑色正五边形的内角和为：，
故选：．
7．（3分）不等式的解集是
A． B． C． D．
【考点】：解一元一次不等式
【分析】先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．
【解答】解：去括号，得，
移项，合并得
系数化为1，得；
故选：．
8．（3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误
A．① B．② C．③ D．④
【考点】：分式的加减法
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：
．
故从第②步开始出现错误．
故选：．
9．（3分）如图，点，，在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是
A． B． C． D．
【考点】：圆周角定理
【分析】设圆心为0，连接、，如图，先证明为等腰直角三角形得到，然后根据圆周角定理确定的度数．
【解答】解：设圆心为，连接、，如图，
弦的长度等于圆半径的倍，
即，
，
为等腰直角三角形，，
．
故选：．
10．（3分）如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】：动点问题的函数图象
【分析】当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为3，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解．
【解答】解：当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为3．
，即．
当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，
．
则，代入，得，解得或3，
因为，即，
所以，．
故选：．
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.
，“马”位于点，则“兵”位于点 ．
【考点】：坐标确定位置
【分析】直接利用“帅”位于点，可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．
【解答】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于．
故答案为：．
12．（4分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：
实验者 德摩根 蒲丰 费勒 皮尔逊 罗曼诺夫斯基 掷币次数 6140 4040 10000 36000 80640 出现“正面朝上”的次数 3109 2048 4979 18031 39699 频率 0.506 0.507 0.498 0.501 0.492 请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为 0.5 （精确到．
【考点】：频数（率分布表；：利用频率估计概率
【分析】由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率．
【解答】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，
所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．
故答案为0.5．
13．（4分）因式分解： ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：，
，
．
14．（4分）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值为 4 ．
【考点】：根的判别式
【分析】要使方程有两个相等的实数根，即△，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．
【解答】解：
由题意，△
得
故答案为4
15．（4分）将二次函数化成的形式为 ．
【考点】：二次函数的三种形式；：二次函数的性质
【分析】利用配方法整理即可得解．
【解答】解：，
所以，．
故答案为：．
16．（4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于 ．
【考点】：扇形面积的计算；：图形的剪拼
【分析】恒星的面积边长为2的正方形面积半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．
【解答】解：如图：
新的正方形的边长为，
恒星的面积．
故答案为．
17．（4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值 或 ．
【考点】：等腰三角形的性质
【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解
【解答】解：
①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：
特征值
②当为底角时，顶角的度数为：
特征值
综上所述，特征值为或
故答案为或
18．（4分）已知一列数，，，，，，，按照这个规律写下去，第9个数是 ．
【考点】37：规律型：数字的变化类
【分析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．
【解答】解：由题意知第7个数是，第8个数是，第9个数是，
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
【考点】：零指数幂；：实数的运算；：特殊角的三角函数值
【分析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：，
，
，
．
20．（6分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？
【考点】：二元一次方程组的应用
【分析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．
【解答】解：设中性笔和笔记本的单价分别是元、元，根据题意可得：
，
解得：，
答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．
21．（8分）已知：在中，．
（1）求作：的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若的外接圆的圆心到边的距离为4，，则 ．
【考点】：等腰三角形的性质；：三角形的外接圆与外心；：作图复杂作图
【分析】（1）作线段，的垂直平分线，两线交于点，以为圆心，为半径作，即为所求．
（2）在中，利用勾股定理求出即可解决问题．
【解答】解：（1）如图即为所求．
（2）设线段的垂直平分线交于点．
由题意，，
在中，，
．
故答案为．
22．（8分）如图①是图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳．现测得点到桌面的距离为．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取．
【考点】：解直角三角形的应用
【分析】如图，作于，于，于．解直角三角形求出即可判断．
【解答】解：如图，作于，于，于．
，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
，
在中，，
，
此时台灯光线为最佳．
23．（10分）2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会” 于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：．“解密世园会”、 ．“爱我家，爱园艺”、 ．“园艺小清新之旅”和．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．
（1）李欣选择线路．“园艺小清新之旅”的概率是多少？
（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．
【考点】：列表法与树状图法
【分析】（1）由概率公式即可得出结果；
（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，
在四条线路中，李欣选择线路．“园艺小清新之旅”的概率是；
（2）画树状图分析如下：
共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，
李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为．
四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
收集数据：
七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．
八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
整理数据：
七年级 0 1 0 7 1 八年级 1 0 0 7 2 分析数据：
平均数 众数 中位数 七年级 78 75 八年级 78 80.5 应用数据：
（1）由上表填空： 11 ， ， ， ．
（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？
（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．
【考点】：算术平均数；：中位数；：用样本估计总体；：频数（率分布表；：众数
【分析】（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）答案不唯一，合理均可．
【解答】解：（1）由题意知，，
将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94，
其中位数，
八年级成绩的众数，
故答案为：11，10，78，81；
（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有（人；
（3）八年级的总体水平较好，
七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，
八年级得分高的人数相对较多，
八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）．
25．（10分）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于，两点
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）已知点，，过点作平行于轴的直线，在第一象限内交一次函数的图象于点，交反比例函数上的图象于点．若，结合函数图象直接写出的取值范围．
【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据图象可解．
【解答】解：（1）反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于，两点，
，，
，，
反比例函数和一次函数的表达式分别为，；
（2）由图象可得：当时，．
26．（10分）如图，在中，，，点在边上，经过点和点且与边相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
【考点】：等腰三角形的性质；：切线的判定与性质
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，，求得，根据三角形的内角和得到，于是得到是的切线；
（2）连接，推出是等边三角形，得到，，求得，得到，于是得到结论．
【解答】（1）证明：连接，
，，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：连接，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
的半径．
27．（10分）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
例题：如图①，在等边中，是边上一点（不含端点，，是的外角的平分线上一点，且．求证：．
点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接．易证：，可得，；又，则，可得；由，进一步可得，又因为，所以，即：．
问题：如图③，在正方形中，是边上一点（不含端点，，是正方形的外角的平分线上一点，且．求证：．
【考点】：四边形综合题
【分析】延长至，使，连接、，则，中，得出△是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出，证出，得出、、，三点共线，由证明△△得出，，得出，由等腰三角形的性质得出，证出，得出，即可得出结论．
【解答】解：延长至，使，连接、，如图所示：
则，中，
△是等腰直角三角形，
，
是正方形的外角的平分线上一点，
，
，
、、，三点共线，
在△和△中，，
△△，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
28．（12分）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点作轴，垂足为点，交于点．试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点作，垂足为点．请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；
（2）分、、三种情况，分别求解即可；
（3）由即可求解．
【解答】解：（1）由二次函数交点式表达式得：，
即：，解得：，
则抛物线的表达式为；
（2）存在，理由：
点、、的坐标分别为、、，
则，，，，
将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得：①，
同理可得直线的表达式为：，
设直线的中点为，，过点与垂直直线的表达式中的值为，
同理可得过点与直线垂直直线的表达式为：②，
①当时，如图1，
则，
设：，则，
由勾股定理得：，解得：或4（舍去，
故点；
②当时，如图1，
，则，
则，
故点，；
③当时，
联立①②并解得：（舍去）；
故点的坐标为：或，；
（3）设点，则点，
，，
，
，有最大值，
当时，的最大值为：．
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