专题20 全等三角形的辅助线问题【考查题型】考查题型一 连接两点做辅助线典例1．把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG
，边FG与BC交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．变式1-1．已知:三角形ABC中,
∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.
(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论
不证明.变式1-2．如图，以为直角顶点作两个等腰直角三角形和，且点在线段上（除外），求证：考查题型二 全等三角形 - 倍长中线模型
典例2．已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，．（1）如图1，①若，请直接写出______；②连接，若，求证：；（2）如图2，
连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由．变式2-1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．（探究与发
现）（1）如图1，AD是的中线，延长AD至点E，使，连接BE，证明：．（理解与应用）（2）如图2，EP是的中线，若，，设，则x的取
值范围是________．（3）如图3，AD是的中线，E、F分别在AB、AC上，且，求证：．变式2-2．倍长中线的思想在丁倍长某条
线段（被延长的线段要满足两个条件：线段一个端点是图中一条线段的中点；线段与这条线段不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步
将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．（应用举例）如图（1），已知：为的中线，求证：．简证：如图（2），延
长到，使得，连接，易证，得 ，在中， ，．（问题解决）（1）如图（3），在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：．（2）
如图（4），在中，是边的中点，分别在边上，，若，求的长．（3）如图（5），是的中线，，且，请直接写出与的数量关系_ 及位置关系_
．考查题型三 全等三角形 – 旋转模型典例3．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定
的角度得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D.(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数； (2)如图2，若=60°
时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形. 变式3-1．给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线
的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方
向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2
，即四边形ABCD是勾股四边形．变式3-2．如图，在中，，为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且、相交于点.（1）求证：
（2）求证：考查题型四 全等三角形 – 垂线模型典例4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN
于D， BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：△ADC≌△CEB；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置
时，试问DE、AD、BE的等量关系?并说明理由．变式4-1．在直角三角形ABC中，，分别以AB、AC为边在外侧作等边和等边，DE交
AB于点F，求证：.变式4-2．如图，在中，，，点、分别是轴和轴上的一动点，点的横坐标为，求点的坐标.考查题型五 线段之间存在的数
量关系典例5．在△ABC中，∠ACB=2∠B，（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连
接DE，易证AB=AC+CD．请证明AB=AC+CD；（2）①如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、
CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；②如图③，当∠C≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、C
D又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．变式5-1．如图，，平分，平分，点在上，求证：.变式5-2．如图，在中，，O为的中点，
D，E分别在上，且．求证：．变式5-3．如图，在中，，. (1)如图1，点在边上，，，求的面积. (2)如图2，点在边上，过点作，
，连结交于点，过点作，垂足为，连结.求证：.变式5-4．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上
，且AB＝AE，AF平分∠CAE交DE于F．（1）如图1，连CF，求证：∠ABE＝∠ACF；（2）如图2，当∠ABC＝60°时，求证：AF+EF＝FB；（3）如图3，当∠ABC＝45°时，若BD平分∠ABC，求证：BD＝2EF． 1 / 1 |
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