人教版八年级上学期数学第十三章学习最短路径问题同步练习题学校:___________姓名：___________班级：___________
一、单选题1．如图，在等边三角形中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（?）A．点处B．点处C．的
中点处D．三条高的交点处2．如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是
( )A．点AB．点BC．点CD．点D3．如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是
（ ）A．B．C．D．4．如图，四边形是菱形，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，
射线交边于点，连接，若，，则的长为（ ）A．B．C．D．65．如图，在正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中选一
个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是（?）A．①B．②C．③D．④6．如图，在等腰三角形
ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是BC边上的中点，AD=12，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（
）A．10B．C．12D．7．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD
交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°； ②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE
=S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（?）个A．2B．3C．4D．5二、填空题8．如图，△ABC的周长为24c
m，DE垂直平分AB，交BC于点D，垂足为点E，AE＝4cm，则△ACD的周长为______cm．9．如图，在中，，分别以点、为圆
心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点、，作直线交点；以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长
为半径画弧，两弧交于点，作射线，此时射线恰好经过点，则________度．10．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，是轴
上的一个动点，且，，三点不在同一条直线上，当的周长最小时，的长度为_________．11．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于
点，，点是上的任意一点，则周长的最小值是________cm．三、解答题12．如图，在所给的平面直角坐标系中，正方形网格单位长是1
，△ABC的顶点都在格点上．(1)已知A（﹣5，0），B（﹣1，0），C（﹣3，2），作出△ABC关于y轴对称的△A''B''C，并写
出点A''，B''，C′的坐标．(2)在y轴上向出点P，使PA+PC最小．(3)在（1）的条件，在y轴上画出点M，使|MB''﹣MC′|
最大．13．如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图：?（1）画射线AB；（2）连接BC，延长 BC至点D，使得CD
=BC ；（3）在直线l上确定点E，使得点E到点A，点C的距离之和最短．14．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，，
D是BC的中点，，P为AB上一个动点．(1)在AB上，是否存在一点P，使PC + PD的值最小________（填“是”或“否”）
；(2)若存在，请直接写出PC + PD的最小值；若不存在，请说明理由．15．如图，在由边长为1的小正方形组成的10×10的网格中
（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），四边形ABCD在直线l的左侧，其四个顶点A，B，C，D分别在网格的格点上．（1）请你在
所给的网格中画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1和四边形ABCD关于直线l对称；（2）在（1）的条件下，结合你所画
的图形，直接写出四边形A1B1C1D1的面积．16．已知，AB＝AC，AB＞BC．(1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形AB
DC是菱形；(2)如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠A
CE与∠EFC之间的数量关系，并证明；(3)如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若，求∠ADB的度
数．参考答案：1．D【分析】连接BP，根据等边三角形的性质得到AD是BC的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即
可．【详解】解：连接BP，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，当PC+PE的长最小时，
即PB+PE最小则此时点B、P、E在同一直线上，又∵BE为中线，△ABC是等边三角形∴点P为△ABC的三条中线的交点，也就是△AB
C的三条高的交点．故选：D【点睛】本题考查的是等边三角形的重心的概念和性质，熟记等边三角形的重心的概念和性质是解题的关键．2．D【
分析】如下图【详解】如图，由图可知可以瞄准的点为点D．故选D．3．B【分析】作A点关于l的对称点A''，连接A''B与l的交点为P，此
时PA+PB最小．【详解】解：∵点A，B在直线l的同侧，∴作A点关于l的对称点A''，连接A''B与l的交点为P，由对称性可知AP＝A
''P，此时PA+PB最小，故选：B．【点睛】本题考查了对称的性质以及两点之间线段最短，理解两点之间线段最短是解题的关键．4．C【分
析】如图（见解析），先根据同圆半径相等、线段垂直平分线的判定与性质可得垂直平分，再根据菱形的性质可得，从而可得，然后设，利用勾股定
理可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【详解】解：如图，连接，由同圆半径相等得：，垂直平分，四边形是菱形，，，设，在中，，，，在中
，，即，解得或（不符题意，舍去），则，故选：C．【点睛】本题考查了同圆半径相等、菱形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、利用平方根
解方程等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题关键．5．A【分析】把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合
，那么这个图形叫做轴对称图形；接下来，依据给出图形的特点，结合轴对称图形的定义进行解答即可.【详解】解：根据轴对称图形的定义可知：
分别在下图1，2，3处涂上阴影都可得到一个轴对称图形，故不符合条件的选A.【点睛】本题考查轴对称图形的相关性质，熟悉掌握是解题关键
.6．D【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，根
据勾股定理求出AD，再根据面积不变求出BH即可．【详解】如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N′
，则BM+MN为所求的最小值．∵AB=AC，D是BC边上的中点，∴AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴最短距离是BH；；故选D
．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过三线合一的性质，垂线段最短，确定线段和
的最小值．7．B【分析】①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题．②正确．证明△ABP≌△FBP，推出PA=PF
，再证明△APH≌△FPD，推出PH=PD即可解决问题．③错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．④错误，可以证明S四边形ABD
E=2S△ABP．⑤正确．由DH∥PE，利用等高模型解决问题即可．【详解】解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC∵
∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC∴∠BAD+∠ABE=（∠A+∠B）=45°∴∠APB
=135°，故①正确∴∠BPD=45°又∵PF⊥AD∴∠FPB=90°+45°=135°∴∠APB=∠FPB又∵∠ABP=∠FBP
BP=BP∴△ABP≌△FBP（ASA）∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF在△APH和△FPD中∴△APH≌△FPD（A
SA）∴PH=PD∴AD=AP+PD=PF+PH．故②正确∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD∴S△APB=S△FPB，S△A
PH=S△FPD，PH=PD∵∠HPD=90°∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∴HD∥EP∴S△EPH=S△EPD∴S△AP
H=S△AED，故⑤正确∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）
+S△PBD=S△ABP+S△APH+S△PBD=S△ABP+S△FPD+S△PBD=S△ABP+S△FBP=2S△ABP，故④不
正确若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH∵DH∥BE∴∠CDH=∠CBE=∠ABE∴∠CDE=∠ABC∴DE∥AB，这个显然与
条件矛盾，故③错误故选B．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题
的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．8．16【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，AB=2AE=8（c
m），根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵△ABC的周长为24cm，∴AB+AC+BC=24cm.∵DE是AB的垂直
平分线，AE=4cm，∴DA=DB，AB=2AE=8（cm），∴AC+BC=24-8=16（cm），∴△ACD的周长=AC+CD+
DA=AC+CD+DB=AC+BC=16（cm），故答案为：16．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上
的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．9．34【分析】由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，根据它们
的性质可得，再根据三角形内角和定理即可得解．【详解】由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，∴AD=BD，
∴∴∵，且，∴，即，∴．故答案为：34．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，作线段垂直平分线和角平分线，熟练掌握角平分线和垂直平分线
的性质是解题的关键．10．3【分析】作点A关于y轴的对称点A′，则点A′的坐标为（-1，4），连接A′B交y轴于点C，此时△ABC
的周长最小，由点A′，B的坐标，利用待定系数法可求出直线A′B的函数解析式，再利用一次函数图像上点的坐标特征可求出点C的坐标，进而
可得出OC的长．【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的周长最小．∵点的坐标为，∴点的坐标为．设直线的函数解析式
为，将点，代入，得，解得，∴直线的函数解析式为．当时，，∴点的坐标为，∴．故答案为：3．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特
征、待定系数法求一次函数解析式以及轴对称-最短路线问题，利用两点之间线段最短，确定当△ABC的周长最小时点C的坐标．11．12【分
析】当点于重合时，的周长最小，根据垂直平分线的性质，即可求出的周长．【详解】∵DE垂直平分AC，∴点C与A关于DE对称，∴当点于重
合时，即A、D、B三点在一条直线上时，BF+CF=AB最小，（如图），∴的周长为：，∵是垂直平分线，∴，又∵，∴，∴，故答案为：1
2．【点睛】本题考查最短路径问题以及线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握最短路径的求解方法以及垂直
平分线的性质是解题的关键．12．(1)图见解析，A''（5，0），B''（1，0），C′（3，2）．(2)见解析(3)见解析【分析】（
1）根据轴对称的性质作图并得到坐标即可；（2）连接与y轴交点即为点P；（3）延长，交y轴于一点，即为点M．（1）解：如图，△A''B
''C，A''（5，0），B''（1，0），C′（3，2）．（2）如图，点P即为所求；（3）点M即为所求．【点睛】此题考查了有关轴对称，
最短路径的问题中的作图步骤，用到的知识点为：两点之间线段最短，注意作图形变换这类题的关键是找到图形的对应点．13．（1）见解析；（
2）见解析；（3）见解析【分析】（1）射线AB即为起点为A，方向是从A向B，由此作图即可；（2）先连接线段BC，然后沿BC方延长，
最后在延长线上截取CD=BC即可；（3）连接AC，与直线l的交点即为所求．【详解】解：（1）如图所示：射线AB即为所求；（2）如图
所示：连接BC并延长线段 ，然后截取CD=BC，点D即为所求；（3）如图所示：连接AC交直线 于点E，点E即为所求．【点睛】本
题考查基本作图，涉及线段，射线等，理解射线的定义，掌握两点之间线段最短是解题关键．14．(1)是；(2)【分析】（1）作D关于直线
AB的对称点E，连接CE，与AB的交点即为P，此时PC + PD的值最小；（2）证明∠CBE=90°，根据PC + PD的最小值等
于CE计算即可．（1）如图，作D关于直线AB的对称点E，连接CE，与AB的交点即为P，此时PC + PD的值最小；故答案为：是（2
）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CBA=45°∵D关于直线AB的对称点E∴∠CBA=∠EBA=45°，EB=BE，PD=PE∴∠
CBE=90°∵D是BC的中点∴DB=DC=BE∵∴∴∴即PC + PD的最小值为【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的
性质及判定，利用轴对称的性质对线段进行转化是解题的关键．15．（1）见解析；（2）【分析】（1）直接根据轴对称的性质分别找到A1B
1C1D1，然后顺次连接即可得出答案；（2）用四边形A1B1C1D1所在的矩形的面积减去四个小三角形的面积即可得出答案．【详解】（
1）如图，（2）四边形A1B1C1D1的面积=．【点睛】本题主要考查轴对称，会作轴对称图形是解题的关键．16．(1)见解析(2)，
见解析(3)30°【分析】（1）先证明四边形ABDC是平行四边形，再根据AB＝AC得出结论；（2）先证出，再根据三角形内角和，得到
，等量代换即可得到结论；（3）在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，证得，得到，设，，则，得到α+β的关系即可．（1）∵，∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，∵CB平分∠ACD，∴，∴，∴，∴四边形ABDC是平行四边形，又∵AB＝AC，∴四边形ABDC是菱形；（2）结论：．证明：∵，∴，∵AB＝AC，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（3）在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，∵AB＝CD，，∴，∴BM＝BD，，∴，∵，∴，设，，则，∵CA＝CD，∴，∴，∴，∴，∵，?∴，∴，即∠ADB＝30°．【点睛】本题考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等，灵活运用知识，利用数形结合思想，做出辅助线是解题的关键．答案第1页，共2页试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页答案第1页，共2页 |
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