人教版七年级下第十二章全等三角形角的平分线的性质练习题学校:___________姓名：___________班级：___________一
、填空题1．如图，点在的平分线上，于点，且，如果是射线上一点，那么长度的最小值是______．2．如图，点在内，因为，，垂足分别是
、，，所以平分，理由是______．3．如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC
，将分成三个三角形，则等于__________．4．如图所示，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，若，则_________度
．5．如图，、都是的角平分线，且，则___________．二、单选题6．如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线O
B、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是
（?）A．OD=OEB．OE=OFC．∠ODE =∠OEDD．∠ODE=∠OFE7．如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在
边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（?）A．①②B．②③C．①③D．①②③8．如图，三条公路两两相交
，现计划在△ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是△ABC（?）的交点．A．三条角平
分线B．三条中线C．三条高的交点D．三条垂直平分线9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝1
0，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）A．2B．3C．4D．5三、解答题10．已知．(1)用直尺和圆规作出的平分线（不写作法，
但保留作图痕迹，写出结论）；(2)已知与互为补角，画出符合条件的所有可能的图形，并求出的度数．11．如图，在由边长为1的小正方形组
成的正方形网格中，一段圆弧经过网格的格点A、B、C．(1)请完成如下操作：①以点O为原点，竖直和水平方向所在的直线为坐标轴，小正方
形的边长为单位长，建立平面直角坐标系②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置，不写作法，保留作图痕迹，并连接AD、CD．(2)
请在（1）的基础上，解答下列问题：①写出点的坐标：C______、D______；②的半径为______（结果保留根号）；③若扇形
DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面积为______（结果保留π）；④若点E的坐标为，试判断直线EC与的位置关系，并说明理
由．12．如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：．13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，若点
P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A－C－B－A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．(1)若点P在AC上，且满足PA＝PB
时，求此时t的值；(2)若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值．14．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE
⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：AB＝AC参考答案：1．1【分析】过点C作CE⊥OB于点E，根据角平分线的性质解答即可
．【详解】解：过点C作CE⊥OB于点E， ∵点C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA于点D，且CD＝1，∴CE＝CD＝1，即CE长度的
最小值是1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．2．角的内部到
角两边距离相等的点在角的角平分线上【分析】根据角平分线判定定理即可得到结果．【详解】解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN∴OP
平分∠AOB（在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）故答案为：角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上．【点睛
】本题考查角平分线判定定理，掌握角平分线判定定理的内容是解题的关键．3．2：3：4【分析】过点O分别向三边作垂线段，通过角平分线的
性质得到三条垂线段长度相等，再通过面积比等于底边长度之比得到答案．【详解】解：过点O分别向BC、BA、AC作垂线段交于D、E、F三
点．∵CO、BO、AO分别平分∴ ∵，， ∴故答案为：2：3：4【点睛】本题考查了角平分线的性质，往三角形的三边作垂线段并得到面积
之比等于底之比是解题关键．4．15【分析】根据，，判断OB是的角平分线，即可求解．【详解】解：由题意，，，，即点O到BC、AB的距
离相等，∴ OB是的角平分线，∵ ，∴．故答案为：15．【点睛】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点
在这个角的平分线上”是解题的关键．5．40°##40度【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．【详解】
解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，∴∠A＝180°?（∠ABC＋∠ACB），＝180°?2（∠DBC＋∠BCD）∵∠BDC＝
180°?（∠DBC＋∠BCD），∴∠A＝180°?2（180°?∠BDC）∴∠BDC＝90°＋∠A，∴∠A＝2（110°?90°
）＝40°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键．6．D【分析】根据OB平分∠
AOC得∠AOB=∠BOC，又因为OE是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果．【详解】解：∵OB平分∠AOC∴∠AOB=∠BO
C当△DOE≌△FOE时，可得以下结论：OD=OF，DE=EF，∠ODE=∠OFE，∠OED=∠OEF．A答案中OD与OE不是△D
OE≌△FOE的对应边，A不正确；B答案中OE与OF不是△DOE≌△FOE的对应边，B不正确；C答案中，∠ODE与∠OED不是△D
OE≌△FOE的对应角，C不正确；D答案中，若∠ODE=∠OFE，在△DOE和△FOE中， ∴△DOE≌△FOE（AAS）∴D答案
正确．故选：D．【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键．7．D【分析】根据旋转的性质可得对应
角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵将以点为中心逆时针旋转得到，∴，，，，故①正确；，，，，，平分，故②正
确；，，，，，，故③正确故选D【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识
是解题的关键．8．A【分析】根据角平分线的性质即可得到探照灯的位置在角平分线的交点处，即可得到结论．【详解】解：∵探照灯的位置到这
三条公路的距离都相等，∴探照灯位置是△ABC的三条角平分线上，故选：A．【点睛】此题考查了角平分线的性质，数据角平分线的性质定理是
解题的关键．9．B【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计
算即可得解．【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD，∴S△ABD＝AB?DE＝×
10?DE＝15，解得：DE＝3，∴CD＝3.故选：B.【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两
边的距离相等是解此题的关键．10．(1)见解析(2)图见解析，60°或120°【分析】（1 ）根据角平分线的定义作出图形即可；（
2）分两种情形，分别画出图形求解即可．（1）解：如图，射线OD即为所求．（2）解：如图，∠BOC与∠AOB、∠BOC''与∠AOB都
互为补角，∵∠AOB=40°，且OD平分∠AOB，∴∠BOC=140°，∠BOC''=140°，∠AOD=∠BOD=∠AOB=20°
，当射线OA在∠BOC的外侧时，∠COD=∠BOC+∠BOD=140°+20°=160°；当射线OA在∠BOC''内部时，∠C''OD
=∠BOC''-∠BOD=140°-20°=120°．综上，∠COD的度数为60°或120°．【点睛】本题考查作图复杂作图，角平分线
的定义，补角的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．11．(1)答案见详解(2)①；；②；③；④
相切，理由见详解【分析】（1）①根据叙述，利用正方形的网格即可作出坐标轴；②利用过三点的圆可得圆心为圆上任意两条弦的垂直平分线的交
点，即可得到D．（2）①利用（1）中所作的坐标系，即可表示出点的坐标；②在中，利用勾股定理即可求得半径长；③理由直角三角形全等可证
得∠ADC=90°，则可求得的长度，的长就是圆锥的底面圆的周长，在利用圆的周长公式即可求得答案；④利用勾股定理逆定理证明为直角三角
形即可证得，从而即可得出结论．（1）①如图，建立平面直角坐标系；②利用过三点的圆可得圆心为圆上任意两条弦的垂直平分线的交点，即可得
到D，如图所示：（2）①根据平面直角坐标系可得C（6，2）；D（2，0）；故答案为：C（6，2）；D（2，0）；②在中，,，，，故
答案为：；③由②得，由图可知，在中，，，，，在和中，，，，，，，，由，解得，， 该圆锥的底面积为，故答案为：．④直线EC与相切，由
图可知，在中，，，，，又由③得，则，，，，为直角三角形，，，直线EC与相切．【点睛】本题考查了不共线的三点确定圆心的方法、直线与圆
相切的判定、根据平面直角坐标系写出点的坐标、勾股定理和圆锥的侧面展开图的弧长即为圆锥的底面圆的周长，垂径定理，圆锥的计算，正确求出
弧长是难点．12．见解析【分析】根据角平分线的性质得，再用HL证明．【详解】证明：∵，∴为的角平分线，又∵点P在上，，，∴，，又∵
（公共边），∴．【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键．13．(1)(2)【分
析】（1）连接PB，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC=6，由于AP＝PB＝t，则PC＝8-t，在Rt△PCB中，根据勾股定理得
，进行计算即可得；（2）由题意得，PC＝t-8 ， PB ＝14-t，过点P作PE⊥AB，由于AP平分∠BAC，且∠ACB＝90°
得PC＝PE，根据HL得Rt△ACP≌Rt△AEP，即可得AC＝AE＝8， BE＝2，在 Rt△PEB中，根据勾股定理得，进行计算
即可得．（1）解：如图所示，连接PB，∵在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，∴由于AP＝PB＝t，则PC＝8-t，在Rt△PC
B中，根据勾股定理得：解得，即此时t的值为．（2）解：由题意得，PC＝t-8 ， PB ＝14-t，如图所示，过点P作PE⊥AB，
由于AP平分∠BAC，且∠ACB＝90°，∴ PC＝PE，在Rt△ACP与Rt△AEP中，?∴Rt△ACP≌Rt△AEP（HL），
∴AC＝AE＝8， BE＝2，在 Rt△PEB中，根据勾股定理得，，解得：，∴当点P在∠BAC的平分线上时，t的值为．【点睛】本题
考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握这些知识点．14．证明见解析【分析】根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt△BDE?Rt△CDF(HL)，根据全等三角形的性质得到结论．【详解】证明：∵AD是△ABC的角平分线又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°又∵BD=CD∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）∴∠B=∠C∴AB=AC．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明．答案第1页，共2页试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页答案第1页，共2页 |
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