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上一篇主要介绍了期权的一些基础概念，包括delta和gamma，并用一个简单的例子说明了在delta hedge是怎么赚钱的，关键就在于long gamma。这里必须要再次强调这个逻辑中的几个重要的概念。 （1）假设初始状态时delta neutral和long gamma，则无论标的股票上涨还是下跌，portfolio都能赚钱。 （2）赚钱的多少只取决于gamma的大小和股票变化的幅度，和变化的方向无关。 （3）当股票价格变化后，delta也会从0变成一个正数或负数，因此为了保持delta neutral，需要以一定的频率进行dynamic hedge。 （4）No free lunch. 之所以要再三强调和方向无关只和幅度有关，是为了引出volatility的概念。在期权领域常说的volatility有realized volatility和implied volatility，上一篇中已经用一个例子简单地说明了两者的关系，本篇将主要用两部分数学推导来说明具体的关系，为了帮助理解将会做一些简化。 1.Taylor Expansion 这一部分的推导是完全model free的，只是简单利用泰勒展开进行一些推理，当然使用泰勒展开的时候有一个自然的假设是展开到几阶。我们假设有一个二元函数f(S,t)，我们假设对第一个自变量S进行二阶展开，对第二个自变量进行一阶展开。 
这个式子说明的是函数f的变化是如何取决于两个自变量的变化的。现在我们把函数f看作是“期权价格”，S看作是标的股票价格，t则是到期时间。根据我们对于希腊字母的定义，上式可以重新写为： 
这个式子告诉我们，期权价值取决于时间的流逝、标的股票的变化及其平方，各自的敏感度就是我们的希腊字母theta、delta、gamma。接下来如果我们把f从“期权价格”重新定义为“投资组合价格”，上式依然成立。此时我们在期权的基础上加上一些标的股票使得整个组合delta为0，由于股票的theta和gamma都是0，因此这个期权+股票的组合价格f可以写成如下： 
上式说明了这样一件事情，对于一个delta neutral的portfolio来说，其P&L（df）只取决于theta和gamma。在这个推理框架下，f只依赖于S和t，而时间t的流逝是确定的，因此唯一的风险源是S，而对于delta neutral的组合来说它对冲了S的风险，因此根据no free lunch，该组合只能获得无风险收益率（这里可以假设为0），因此最后的结论是theta P&L应该和gamma P&L互相抵消。这个结论初步回答了上一篇的问题：delta hedge策略似乎永远在赚钱？答案就是会有所谓的期权的时间价值来弥补。 到这里我们已经能发现gamma对应的二阶项已经可以近似认为代表realized volatility了。假设theta是恒定的话，那显然只要股票波动的越剧烈，gamma P&L就越有可能大于theta P&L，整个portfolio更有可能赚钱。那具体要波动得多剧烈才能达到breakeven呢？这就需要第二部分的推论了。 2.Black Scholes 这里直接给出Black Scholes中最后的那个偏微分方程。 
这个式子不像第一部分的泰勒展开，为了得到这个式子是需要一系列假设的，这里就不再赘述。特别指出这里的sigma就是所谓的implied volatility，和bs模型的假设有关。和上面一样，我们假设无风险利率r是0，并用希腊字母代替求导得到： 
这里的希腊字母和第一部分的希腊字母的定义是相同的，因此可以直接代入第一部分的最后一个式子，可得： 
这就是最终我们需要的式子。来分析一下每个部分。括号外面的gamma乘以S平方就是我们上一篇中定义的dollar gamma；括号内的第一项是真正的realized volatility，是收益率的平方；括号内的第二项是implied volatility，当然两个volatility都取了平方，其实更接近于variance的概念，不过这不重要。 有了这个式子就可以清晰地看到breakeven在哪里了，结论是realized volatility=implied volatility。根据bs的定义，implied volatility是在你买入的时候被包含在定价中的，implied volatility越高期权价格越贵。Realized volatility是在持有期间股票实现的波动。所以为什么implied volatility越高期权越贵呢，就是因为它其实是对未来一段时间内realized volatility的一个“expectation”，它越大意味着市场认为未来股票波动越剧烈，delta hedge策略能赚的收入就越多，因此你今天需要支付的成本也应该越大，again，no free lunch。 这就是为什么long gamma是在long volatility，也解释了你需要多大的realized volatility才能不亏钱。但这并不是终点，这个推论只是generally true，有的时候在一段时间中即使realized volatility大于implied volatility，你依然会亏钱，这是由于上式中的gamma是时变的而非恒定的，因此这个df是path-dependent的，后续会介绍一些更复杂的衍生品来专门解决这个问题。 最后想说的是，一般交易员称上述的P&L为gamma P&L或者叫carry，实际当中真正的portfolio P&L还有一些其他因素影响，比如其他的希腊字母和交易费用等等。这个后续会慢慢介绍。
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