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引 言1.课 程 内 容 ：必 修 课 程 由 5个 模 块 组 成 ：必 修 1： 集 合 、 函 数 概 念 与 基 本 初 等 函 数 （ 指 、 对 、 幂 函 数 ）必 修 2： 立 体 几 何 初 步 、 平 面 解 析 几 何 初 步 。必 修 3： 算 法 初 步 、 统 计 、 概 率 。必 修 4： 基 本 初 等 函 数 （ 三 角 函 数 ） 、 平 面 向 量 、 三 角 恒 等 变 换 。必 修 5： 解 三 角 形 、 数 列 、 不 等 式 。以 上 是 每 一 个 高 中 学 生 所 必 须 学 习 的 。上 述 内 容 覆 盖 了 高 中 阶 段 传 统 的 数 学 基 础 知 识 和 基 本 技 能 的 主 要 部 分 ， 其 中 包 括 集 合 、函 数 、 数 列 、 不 等 式 、 解 三 角 形 、 立 体 几 何 初 步 、 平 面 解 析 几 何 初 步 等 。 不 同 的 是 在 保 证 打好 基 础 的 同 时 ， 进 一 步 强 调 了 这 些 知 识 的 发 生 、 发 展 过 程 和 实 际 应 用 ， 而 不 在 技 巧 与 难 度 上做 过 高 的 要 求 。此 外 ， 基 础 内 容 还 增 加 了 向 量 、 算 法 、 概 率 、 统 计 等 内 容 。
选 修 课 程 有 4个 系 列 ：系 列 1： 由 2个 模 块 组 成 。选 修 1— 1： 常 用 逻 辑 用 语 、 圆 锥 曲 线 与 方 程 、 导 数 及 其 应 用 。选 修 1— 2： 统 计 案 例 、 推 理 与 证 明 、 数 系 的 扩 充 与 复 数 、 框 图系 列 2： 由 3个 模 块 组 成 。选 修 2— 1： 常 用 逻 辑 用 语 、 圆 锥 曲 线 与 方 程 、空 间 向 量 与 立 体 几 何 。选 修 2— 2： 导 数 及 其 应 用 ， 推 理 与 证 明 、 数 系 的 扩 充 与 复 数选 修 2— 3： 计 数 原 理 、 随 机 变 量 及 其 分 布 列 ， 统 计 案 例 。系 列 3： 由 6个 专 题 组 成 。选 修 3— 1： 数 学 史 选 讲 。选 修 3— 2： 信 息 安 全 与 密 码 。选 修 3— 3： 球 面 上 的 几 何 。选 修 3— 4： 对 称 与 群 。
选 修 3— 5： 欧 拉 公 式 与 闭 曲 面 分 类 。选 修 3— 6： 三 等 分 角 与 数 域 扩 充 。系 列 4： 由 10 个 专 题 组 成 。选 修 4— 1： 几 何 证 明 选 讲 。选 修 4— 2： 矩 阵 与 变 换 。选 修 4— 3： 数 列 与 差 分 。选 修 4— 4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 。选 修 4— 5： 不 等 式 选 讲 。选 修 4— 6： 初 等 数 论 初 步 。选 修 4— 7： 优 选 法 与 试 验 设 计 初 步 。选 修 4— 8： 统 筹 法 与 图 论 初 步 。选 修 4— 9： 风 险 与 决 策 。选 修 4— 10： 开 关 电 路 与 布 尔 代 数 。2． 重 难 点 及 考 点 ：
重 点 ： 函 数 ， 数 列 ， 三 角 函 数 ， 平 面 向 量 ， 圆 锥 曲 线 ， 立 体 几 何 ， 导 数难 点 ： 函 数 、 圆 锥 曲 线高 考 相 关 考 点 ：
高中数学 知识 点 清单 （打印版）
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⑴ 集 合 与 简 易 逻 辑 :集 合 的 概 念 与 运 算 、 简 易 逻 辑 、 充 要 条 件⑵ 函 数 ： 映 射 与 函 数 、 函 数 解 析 式 与 定 义 域 、 值 域 与 最 值 、 反 函 数 、 三 大 性 质 、 函 数 图 象 、指 数 与 指 数 函 数 、 对 数 与 对 数 函 数 、 函 数 的 应 用⑶ 数 列 ： 数 列 的 有 关 概 念 、 等 差 数 列 、 等 比 数 列 、 数 列 求 和 、 数 列 的 应 用⑷ 三 角 函 数 ： 有 关 概 念 、 同 角 关 系 与 诱 导 公 式 、 和 、 差 、 倍 、 半 公 式 、 求 值 、 化 简 、 证 明 、三 角 函 数 的 图 象 与 性 质 、 三 角 函 数 的 应 用⑸ 平 面 向 量 ： 有 关 概 念 与 初 等 运 算 、 坐 标 运 算 、 数 量 积 及 其 应 用⑹ 不 等 式 ： 概 念 与 性 质 、 均 值 不 等 式 、 不 等 式 的 证 明 、 不 等 式 的 解 法 、 绝 对 值 不 等 式 、 不 等式 的 应 用⑺ 直 线 和 圆 的 方 程 ： 直 线 的 方 程 、 两 直 线 的 位 置 关 系 、 线 性 规 划 、 圆 、 直 线 与 圆 的 位 置 关 系⑻ 圆 锥 曲 线 方 程 ： 椭 圆 、 双 曲 线 、 抛 物 线 、 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 、 轨 迹 问 题 、 圆 锥 曲线 的 应 用⑼ 直 线 、 平 面 、 简 单 几 何 体 ： 空 间 直 线 、 直 线 与 平 面 、 平 面 与 平 面 、 棱 柱 、 棱 锥 、 球 、 空 间向 量
⑽ 排 列 、 组 合 和 概 率 ： 排 列 、 组 合 应 用 题 、 二 项 式 定 理 及 其 应 用⑾ 概 率 与 统 计 ： 概 率 、 分 布 列 、 期 望 、 方 差 、 抽 样 、 正 态 分 布⑿ 导 数 ： 导 数 的 概 念 、 求 导 、 导 数 的 应 用⒀ 复 数 ： 复 数 的 概 念 与 运 算 （ 关 注 公 众 号 :学 习 界 的 007.获 取 更 多 资 料 干 货 ）
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高 中 数 学 必 修 1 知 识 点第 一 章 集 合 与 函 数 概 念〖 1.1〗 集 合【 1.1.1】 集 合 的 含 义 与 表 示（ 1） 集 合 的 概 念集 合 中 的 元 素 具 有 确 定 性 、 互 异 性 和 无 序 性 .（ 2） 常 用 数 集 及 其 记 法N 表 示 自 然 数 集 ， N ?或 N?表 示 正 整 数 集 ， Z 表 示 整 数 集 ， Q表 示 有 理 数 集 ， R表 示 实 数 集 .（ 3） 集 合 与 元 素 间 的 关 系对 象 a与 集 合 M 的 关 系 是 a M? ， 或 者 a M? ， 两 者 必 居 其 一 .（ 4） 集 合 的 表 示 法① 自 然 语 言 法 ： 用 文 字 叙 述 的 形 式 来 描 述 集 合 .
② 列 举 法 ： 把 集 合 中 的 元 素 一 一 列 举 出 来 ， 写 在 大 括 号 内 表 示 集 合 .③ 描 述 法 ： {x|x具 有 的 性 质 }， 其 中 x为 集 合 的 代 表 元 素 .④ 图 示 法 ： 用 数 轴 或 韦 恩 图 来 表 示 集 合 .（ 5） 集 合 的 分 类① 含 有 有 限 个 元 素 的 集 合 叫 做 有 限 集 .② 含 有 无 限 个 元 素 的 集 合 叫 做 无 限 集 .③ 不 含 有 任 何 元 素 的 集 合叫 做 空 集 (?). 【 1.1.2】 集 合 间 的 基 本 关 系（ 6） 子 集 、 真 子 集 、 集 合 相 等名 称 记 号 意 义 性 质 示 意 图子 集 BA?（ 或 )AB ? A中 的 任 一 元 素 都属 于 B (1)A?A(2) A??(3)若 BA? 且 B C? ， 则 A C?(4)若 BA? 且 B A? ， 则 A B?
A(B) 或 B A真 子 集 A ??B（ 或B ??A） BA? ， 且 B中 至少 有 一 元 素 不 属 于A （ 1） A??? （ A为 非 空 子 集 ）(2)若 A B?? 且 B C?? ， 则 A C??
B A集 合相 等 A B? A中 的 任 一 元 素 都属 于 B， B 中 的 任一 元 素 都 属 于 A (1)A?B(2)B?A
A(B)（ 7） 已 知 集 合 A有 ( 1)n n? 个 元 素 ， 则 它 有 2n 个 子 集 ， 它 有 2 1n ? 个 真 子 集 ， 它 有 2 1n ? 个 非 空 子 集 ， 它有 2 2n ? 非 空 真 子 集 . 【 1.1.3】 集 合 的 基 本 运 算（ 8） 交 集 、 并 集 、 补 集名 称 记 号 意 义 性 质 示 意 图交 集 A B? { | ,x x A? 且}x B? （ 1） A A A??（ 2） A ????（ 3） A B A??A B B??
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并 集 A B? { | ,x x A? 或}x B? （ 1） A A A??（ 2） A A???（ 3） A B A??A B B??补 集 U Ae { | , }x x U x A? ?且 1 ( )UA A ??? e2 ( )UA A U?? e( ) ( ) ( )U U UA B A B?? ?痧 ( ) ( ) ( )U U UA B A B?? ?痧
A【 补 充 知 识 】 含 绝 对 值 的 不 等 式 与 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法（ 1） 含 绝 对 值 的 不 等 式 的 解 法不 等 式 解 集| | ( 0)x a a? ? { | }x a x a? ? ?| | ( 0)x a a? ? |x x a?? 或 }x a?| | ,| | ( 0)ax b c ax b c c? ? ? ? ? 把 ax b? 看 成 一 个 整 体 ， 化 成 | |x a? ，| | ( 0)x a a? ? 型 不 等 式 来 求 解
（ 2） 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法判 别 式2 4b ac?? ? 0?? 0?? 0??二 次 函 数2 ( 0)y ax bx c a? ? ? ?的 图 象
O =O L O一 元 二 次 方 程2 0( 0)ax bx c a? ? ? ?的 根 21,2 42b b acx a? ? ??（ 其 中 1 2)x x? 1 2 2bx x a? ?? 无 实 根2 0( 0)ax bx c a? ? ? ?的 解 集 1{ |x x x? 或 2}x x? { |x }2bx a?? R2 0( 0)ax bx c a? ? ? ?
的 解 集 1 2{ | }x x x x? ? ? ?〖 1.2〗 函 数 及 其 表 示【 1.2.1】 函 数 的 概 念（ 1） 函 数 的 概 念① 设 A、 B是 两 个 非 空 的 数 集 ， 如 果 按 照 某 种 对 应 法 则 f ， 对 于 集 合 A中 任 何 一 个 数 x， 在 集 合 B 中都 有 唯 一 确 定 的 数 ( )f x 和 它 对 应 ， 那 么 这 样 的 对 应 （ 包 括 集 合 A， B 以 及 A到 B的 对 应 法 则 f ） 叫做 集 合 A到 B的 一 个 函 数 ， 记 作 :f A B? ．② 函 数 的 三 要 素 :定 义 域 、 值 域 和 对 应 法 则 ．
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③ 只 有 定 义 域 相 同 ， 且 对 应 法 则 也 相 同 的 两 个 函 数 才 是 同 一 函 数 ．（ 2） 区 间 的 概 念 及 表 示 法① 设 ,a b是 两 个 实 数 ， 且 a b? ， 满 足 a x b? ? 的 实 数 x的 集 合 叫 做 闭 区 间 ， 记 做 [ , ]a b ； 满 足 a x b? ?的 实 数 x的 集 合 叫 做 开 区 间 ， 记 做 ( , )a b ； 满 足 a x b? ? ， 或 a x b? ? 的 实 数 x的 集 合 叫 做 半 开 半 闭区 间 ， 分 别 记 做 [ , )a b ， ( , ]a b ； 满 足 , , ,x a x a x b x b? ? ? ? 的 实 数 x 的 集 合 分 别 记 做[ , ),( , ),( , ],( , )a a b b?? ?? ?? ?? ．注 意 ： 对 于 集 合 { | }x a x b? ? 与 区 间 ( , )a b ， 前 者 a可 以 大 于 或 等 于 b， 而 后 者 必 须a b? ， （ 前 者 可 以 不 成 立 ， 为 空 集 ； 而 后 者 必 须 成 立 ） ．
（ 3） 求 函 数 的 定 义 域 时 ， 一 般 遵 循 以 下 原 则 ：① ( )f x 是 整 式 时 ， 定 义 域 是 全 体 实 数 ．② ( )f x 是 分 式 函 数 时 ， 定 义 域 是 使 分 母 不 为 零 的 一 切 实 数 ．③ ( )f x 是 偶 次 根 式 时 ， 定 义 域 是 使 被 开 方 式 为 非 负 值 时 的 实 数 的 集 合 ．④ 对 数 函 数 的 真 数 大 于 零 ， 当 对 数 或 指 数 函 数 的 底 数 中 含 变 量 时 ， 底 数 须 大 于 零 且 不 等 于 1．⑤ tany x? 中 ， ( )2x k k Z??? ? ? ．⑥ 零 （ 负 ） 指 数 幂 的 底 数 不 能 为 零 ．⑦ 若 ( )f x 是 由 有 限 个 基 本 初 等 函 数 的 四 则 运 算 而 合 成 的 函 数 时 ， 则 其 定 义 域 一 般 是 各 基 本 初 等 函 数 的
定 义 域 的 交 集 ．⑧ 对 于 求 复 合 函 数 定 义 域 问 题 ， 一 般 步 骤 是 ： 若 已 知 ( )f x 的 定 义 域 为 [ , ]a b ， 其 复 合 函 数 [ ( )]f g x 的定 义 域 应 由 不 等 式 ( )a g x b? ? 解 出 ．⑨ 对 于 含 字 母 参 数 的 函 数 ， 求 其 定 义 域 ， 根 据 问 题 具 体 情 况 需 对 字 母 参 数 进 行 分 类 讨 论 ．⑩ 由 实 际 问 题 确 定 的 函 数 ， 其 定 义 域 除 使 函 数 有 意 义 外 ， 还 要 符 合 问 题 的 实 际 意 义 ．（ 4） 求 函 数 的 值 域 或 最 值求 函 数 最 值 的 常 用 方 法 和 求 函 数 值 域 的 方 法 基 本 上 是 相 同 的 ． 事 实 上 ， 如 果 在 函 数 的 值 域 中 存 在 一 个最 小 （ 大 ） 数 ， 这 个 数 就 是 函 数 的 最 小 （ 大 ） 值 ． 因 此 求 函 数 的 最 值 与 值 域 ， 其 实 质 是 相 同 的 ， 只 是提 问 的 角 度 不 同 ． 求 函 数 值 域 与 最 值 的 常 用 方 法 ：① 观 察 法 ： 对 于 比 较 简 单 的 函 数 ， 我 们 可 以 通 过 观 察 直 接 得 到 值 域 或 最 值 ．② 配 方 法 ： 将 函 数 解 析 式 化 成 含 有 自 变 量 的 平 方 式 与 常 数 的 和 ， 然 后 根 据 变 量 的 取 值 范 围 确 定 函 数 的
值 域 或 最 值 ．③ 判 别 式 法 ： 若 函 数 ( )y f x? 可 以 化 成 一 个 系 数 含 有 y 的 关 于 x 的 二 次 方 程2( ) ( ) ( ) 0a y x b y x c y? ? ? ， 则 在 ( ) 0a y ? 时 ， 由 于 ,x y为 实 数 ， 故 必 须 有2( ) 4 ( ) ( ) 0b y a y c y?? ? ? ? ， 从 而 确 定 函 数 的 值 域 或 最 值 ．④ 不 等 式 法 ： 利 用 基 本 不 等 式 确 定 函 数 的 值 域 或 最 值 ．⑤ 换 元 法 ： 通 过 变 量 代 换 达 到 化 繁 为 简 、 化 难 为 易 的 目 的 ， 三 角 代 换 可 将 代 数 函 数 的 最 值 问 题 转 化 为三 角 函 数 的 最 值 问 题 ．
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⑥ 反 函 数 法 ： 利 用 函 数 和 它 的 反 函 数 的 定 义 域 与 值 域 的 互 逆 关 系 确 定 函 数 的 值 域 或 最 值 ．⑦ 数 形 结 合 法 ： 利 用 函 数 图 象 或 几 何 方 法 确 定 函 数 的 值 域 或 最 值 ．⑧ 函 数 的 单 调 性 法 ． （ 关 注 公 众 号 :学 习 界 的 007.获 取 更 多 资 料 干 货 ）【 1.2.2】 函 数 的 表 示 法（ 5） 函 数 的 表 示 方 法表 示 函 数 的 方 法 ， 常 用 的 有 解 析 法 、 列 表 法 、 图 象 法 三 种 ．解 析 法 ： 就 是 用 数 学 表 达 式 表 示 两 个 变 量 之 间 的 对 应 关 系 ． 列 表 法 ： 就 是 列 出 表 格 来 表 示 两 个 变 量 之间 的 对 应 关 系 ． 图 象 法 ： 就 是 用 图 象 表 示 两 个 变 量 之 间 的 对 应 关 系 ．（ 6） 映 射 的 概 念① 设 A、 B 是 两 个 集 合 ， 如 果 按 照 某 种 对 应 法 则 f ， 对 于 集 合 A中 任 何 一 个 元 素 ， 在 集 合 B 中 都 有
唯 一 的 元 素 和 它 对 应 ， 那 么 这 样 的 对 应 （ 包 括 集 合 A， B以 及 A到 B的 对 应 法 则 f ） 叫 做 集 合 A到 B的 映 射 ， 记 作 :f A B? ．② 给 定 一 个 集 合 A到 集 合 B 的 映 射 ， 且 ,a A b B? ? ． 如 果 元 素 a和 元 素 b对 应 ， 那 么 我 们 把 元 素 b叫做 元 素 a的 象 ， 元 素 a叫 做 元 素 b的 原 象 ．〖 1.3〗 函 数 的 基 本 性 质【 1.3.1】 单 调 性 与 最 大 （ 小 ） 值（ 1） 函 数 的 单 调 性① 定 义 及 判 定 方 法函 数 的性 质 定 义 图 象 判 定 方 法
函 数 的单 调 性 如 果 对 于 属 于 定 义 域 I内某 个 区 间 上 的 任 意 两 个自 变 量 的 值 x1、 x2,当 x． 1． <．x． 2． 时 ， 都 有 f(x． ． ． 1． )f(x． ． ． ． ． 2． )． ，那 么 就 说 f(x)在 这 个 区间 上 是 减 函 数． ． ． ． y=f(X)y
xo x x2f(x ) f(x )211
（ 1） 利 用 定 义（ 2） 利 用 已 知 函 数的 单 调 性（ 3） 利 用 函 数 图 象（ 在 某 个 区 间 图象 下 降 为 减 ）（ 4） 利 用 复 合 函 数② 在 公 共 定 义 域 内 ， 两 个 增 函 数 的 和 是 增 函 数 ， 两 个 减 函 数 的 和 是 减 函 数 ， 增 函 数 减 去 一 个 减 函 数 为增 函 数 ， 减 函 数 减 去 一 个 增 函 数 为 减 函 数 ．③ 对 于 复 合 函 数 [ ( )]y f g x? ， 令 ( )u g x? ， 若 ( )y f u? 为 增 ， ( )u g x? 为 增 ， 则 [ ( )]y f g x? 为 增 ；若 ( )y f u? 为 减 ， ( )u g x? 为 减 ， 则 [ ( )]y f g x? 为 增 ； 若 ( )y f u? 为 增 ， ( )u g x? 为 减 ， 则[ ( )]y f g x?
为 减 ； 若 ( )y f u? 为 减 ， ( )u g x? 为 增 ， 则 [ ( )]y f g x? 为 减 ．
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（ 2） 打 “ √ ” 函 数 ( ) ( 0)af x x ax? ? ? 的 图 象 与 性 质( )f x 分 别 在 ( , ]a?? ? 、 [ , )a ?? 上 为 增 函 数 ， 分 别 在[ ,0)a? 、 (0, ]a 上 为 减 函 数 ．（ 3） 最 大 （ 小 ） 值 定 义① 一 般 地 ， 设 函 数 ( )y f x? 的 定 义 域 为 I ， 如 果 存 在 实 数 M满 足 ： （ 1） 对 于 任 意 的 x I? ， 都 有 ( )f x M? ；（ 2） 存 在 0x I? ， 使 得 0( )f x M? ． 那 么 ， 我 们 称 M 是 函
数 ( )f x 的 最 大 值 ， 记 作 max( )f x M? ．② 一 般 地 ， 设 函 数 ( )y f x? 的 定 义 域 为 I ， 如 果 存 在 实 数 m 满 足 ： （ 1） 对 于 任 意 的 x I? ， 都 有( )f x m? ； （ 2） 存 在 0x I? ， 使 得 0( )f x m? ． 那 么 ， 我 们 称 m 是 函 数 ( )f x 的 最 小 值 ， 记 作max( )f x m? ． 【 1.3.2】 奇 偶 性（ 4） 函 数 的 奇 偶 性① 定 义 及 判 定 方 法函 数 的性 质 定 义 图 象 判 定 方 法
函 数 的奇 偶 性 如 果 对 于 函 数 f(x)定 义域 内 任 意 一 个 x， 都 有f(． ． － ． x)=． ． ． － ． f(x)． ． ． ． ,那 么 函 数f(x)叫 做 奇 函 数． ． ． ． （ 1） 利 用 定 义 （ 要先 判 断 定 义 域 是 否关 于 原 点 对 称 ）（ 2） 利 用 图 象 （ 图象 关 于 原 点 对 称 ）如 果 对 于 函 数 f(x)定 义域 内 任 意 一 个 x， 都 有f(． ． － ． x)=． ． ． f(x)． ． ． ． ,那 么 函 数f(x)叫 做 偶 函 数． ． ． ． （ 1） 利 用 定 义 （ 要先 判 断 定 义 域 是 否关 于 原 点 对 称 ）（ 2） 利 用 图 象 （ 图象 关 于 y 轴 对 称 ）② 若 函 数 ( )f x 为 奇 函 数 ， 且 在 0x? 处 有 定 义 ， 则 (0) 0f ? ．③ 奇 函 数 在 y 轴 两 侧 相 对 称 的 区 间 增 减 性 相 同 ， 偶 函 数 在 y 轴 两 侧 相 对 称 的 区 间 增 减 性 相 反 ．④ 在 公 共 定 义 域 内 ， 两 个 偶 函 数 （ 或 奇 函 数 ） 的 和 （ 或 差 ） 仍 是 偶 函 数 （ 或 奇 函 数 ） ， 两 个 偶 函 数 （ 或奇 函 数 ） 的 积 （ 或 商 ） 是 偶 函 数 ， 一 个 偶 函 数 与 一 个 奇 函 数 的 积 （ 或 商 ） 是 奇 函 数 ．〖 补 充 知 识 〗 函 数 的 图 象
（ 1） 作 图利 用 描 点 法 作 图 ：① 确 定 函 数 的 定 义 域 ； ② 化 解 函 数 解 析 式 ；③ 讨 论 函 数 的 性 质 （ 奇 偶 性 、 单 调 性 ） ； ④ 画 出 函 数 的 图 象 ．利 用 基 本 函 数 图 象 的 变 换 作 图 ：
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要 准 确 记 忆 一 次 函 数 、 二 次 函 数 、 反 比 例 函 数 、 指 数 函 数 、 对 数 函 数 、 幂 函 数 、 三 角 函 数 等 各 种 基 本初 等 函 数 的 图 象 ．① 平 移 变 换 0,0, |( ) ( )h hh hy f x y f x h??? ???????? ? ?左 移 个 单 位右 移 | 个 单 位 0,0, |( ) ( )k kk ky f x y f x k??? ???????? ? ?上 移 个 单 位下 移 | 个 单 位② 伸 缩 变 换 0 1,1,( ) ( )y f x y f x?? ?? ??? ????? ?伸缩0 1,1,( ) ( )AAy f x y Af x? ??? ????? ?缩伸③ 对 称 变 换( ) ( )xy f x y f x? ???? ??轴 ( ) ( )yy f x y f x? ???? ? ?轴( ) ( )y f x y f x? ???? ?? ?原 点
1( ) ( )y xy f x y f x??? ????? ?直 线( ) (| |)yy yy f x y f x? ???????????????? ?去 掉 轴 左 边 图 象保 留 轴 右 边 图 象 ， 并 作 其 关 于 轴 对 称 图 象( ) | ( )|xxy f x y f x? ?????????? ?保 留 轴 上 方 图 象将 轴 下 方 图 象 翻 折 上 去（ 2） 识 图对 于 给 定 函 数 的 图 象 ， 要 能 从 图 象 的 左 右 、 上 下 分 别 范 围 、 变 化 趋 势 、 对 称 性 等 方 面 研 究 函 数 的 定 义域 、 值 域 、 单 调 性 、 奇 偶 性 ， 注 意 图 象 与 函 数 解 析 式 中 参 数 的 关 系 ．（ 3） 用 图函 数 图 象 形 象 地 显 示 了 函 数 的 性 质 ， 为 研 究 数 量 关 系 问 题 提 供 了 “ 形 ” 的 直 观 性 ， 它 是 探 求 解 题 途 径 ，获 得 问 题 结 果 的 重 要 工 具 ． 要 重 视 数 形 结 合 解 题 的 思 想 方 法 ．第 二 章 基 本 初 等 函 数 (Ⅰ )
〖 2.1〗 指 数 函 数【 2.1.1】 指 数 与 指 数 幂 的 运 算（ 1） 根 式 的 概 念① 如 果 , , , 1nx a a R x R n? ? ? ? ， 且 n N?? ， 那 么 x叫 做 a的 n次 方 根 ． 当 n是 奇 数 时 ， a的 n次方 根 用 符 号 n a 表 示 ； 当 n是 偶 数 时 ， 正 数 a的 正 的 n次 方 根 用 符 号 n a 表 示 ， 负 的 n次 方 根 用 符 号 n a?表 示 ； 0 的 n次 方 根 是 0； 负 数 a没 有 n次 方 根 ．② 式 子 n a 叫 做 根 式 ， 这 里 n叫 做 根 指 数 ， a叫 做 被 开 方 数 ． 当 n为 奇 数 时 ， a为 任 意 实 数 ； 当 n为偶 数 时 ， 0a? ．③ 根 式 的 性 质 ： ( )nn a a? ； 当 n 为 奇 数 时 ， n na a? ； 当 n 为 偶 数 时 ， ( 0)| | ( 0)
n n a aa a a a ??? ??? ?? ．（ 2） 分 数 指 数 幂 的 概 念① 正 数 的 正 分 数 指 数 幂 的 意 义 是 ： ( 0, , ,m n mna a a m n N?? ? ? 且 1)n? ． 0的 正 分 数 指 数 幂 等 于0． ② 正 数 的 负 分 数 指 数 幂 的 意 义 是 ： 1 1( ) ( ) ( 0, , ,m m mn n na a m n Na a? ?? ? ? ? 且 1)n? ． 0的 负 分 数
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指 数 幂 没 有 意 义 ． 注 意 口 诀 ： 底 数 取 倒 数 ， 指 数 取 相 反 数 ．（ 3） 分 数 指 数 幂 的 运 算 性 质① ( 0, , )r s r sa a a a r s R?? ? ? ? ② ( ) ( 0, , )r s rsa a a r s R? ? ?③ ( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r R? ? ? ? 【 2.1.2】 指 数 函 数 及 其 性 质（ 4） 指 数 函 数函 数 名 称 指 数 函 数定 义 函 数 ( 0xy a a? ? 且 1)a ? 叫 做 指 数 函 数
图 象 1a? 0 1a? ?定 义 域 R值 域 (0, )??过 定 点 图 象 过 定 点 (0,1)， 即 当 0x? 时 ， 1y ? ．奇 偶 性 非 奇 非 偶单 调 性 在 R上 是 增 函 数 在 R上 是 减 函 数
函 数 值 的变 化 情 况 1 ( 0)1 ( 0)1 ( 0)xxxa xa xa x? ?? ?? ? 1 ( 0)1 ( 0)1 ( 0)xxxa xa xa x? ?? ?? ?a变 化 对 图 象 的 影 响 在 第 一 象 限 内 ， a越 大 图 象 越 高 ； 在 第 二 象 限 内 ， a越 大 图 象 越 低 ．〖 2.2〗 对 数 函 数【 2.2.1】 对 数 与 对 数 运 算（ 1） 对 数 的 定 义① 若 ( 0, 1)xa N a a? ? ?且 ， 则 x叫 做 以 a为 底 N 的 对 数 ， 记 作 logax N? ， 其 中 a叫 做 底 数 ， N 叫做 真 数 ．
② 负 数 和 零 没 有 对 数 ．③ 对 数 式 与 指 数 式 的 互 化 ： log ( 0, 1, 0)xax N a N a a N? ? ? ? ? ? ．（ 2） 几 个 重 要 的 对 数 恒 等 式log 1 0a ? ， log 1a a ? ， log ba a b? ．（ 3） 常 用 对 数 与 自 然 对 数
01xay ? xy(0,1)O1y?01xay ? xy (0,1)O1y?
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常 用 对 数 ： lgN ， 即 10log N ； 自 然 对 数 ： lnN ， 即 loge N （ 其 中 2.71828e? … ） ．（ 4） 对 数 的 运 算 性 质 如 果 0, 1, 0, 0a a M N? ? ? ? ， 那 么① 加 法 ： log log log ( )a a aM N MN? ? ② 减 法 ： log log loga a a MM N N? ?③ 数 乘 ： log log ( )na an M M n R? ? ④ loga Na N?⑤ log log ( 0, )b n aa nM M b n Rb? ? ? ⑥ 换 底 公 式 ： loglog ( 0, 1)logba bNN b ba? ? ?且【 2.2.2】 对 数 函 数 及 其 性 质（ 5） 对 数 函 数
函 数名 称 对 数 函 数定 义 函 数 log ( 0ay x a? ? 且 1)a ? 叫 做 对 数 函 数图 象 1a? 0 1a? ?
定 义 域 (0, )??值 域 R过 定 点 图 象 过 定 点 (1,0)， 即 当 1x? 时 ， 0y ? ．奇 偶 性 非 奇 非 偶单 调 性 在 (0, )?? 上 是 增 函 数 在 (0, )?? 上 是 减 函 数函 数 值 的变 化 情 况 log 0 ( 1)log 0 ( 1)log 0 (0 1)aaa x xx xx x? ?? ?? ? ? log 0 ( 1)log 0 ( 1)log 0 (0 1)aaa x xx xx x? ?? ?? ? ?a
变 化 对 图 象 的 影 响 在 第 一 象 限 内 ， a越 大 图 象 越 靠 低 ； 在 第 四 象 限 内 ， a越 大 图 象 越 靠 高 ．(6)反 函 数 的 概 念设 函 数 ( )y f x? 的 定 义 域 为 A， 值 域 为 C， 从 式 子 ( )y f x? 中 解 出 x， 得 式 子 ( )x y?? ． 如 果 对于 y 在 C 中 的 任 何 一 个 值 ， 通 过 式 子 ( )x y?? ， x在 A 中 都 有 唯 一 确 定 的 值 和 它 对 应 ， 那 么 式 子( )x y?? 表 示 x是 y 的 函 数 ， 函 数 ( )x y?? 叫 做 函 数 ( )y f x? 的 反 函 数 ， 记 作 1( )x f y?? ， 习 惯 上 改
01 xyO (1,0)1x? logay x?01 xyO (1,0)1x? logay x?
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写 成 1( )y f x?? ．（ 7） 反 函 数 的 求 法① 确 定 反 函 数 的 定 义 域 ， 即 原 函 数 的 值 域 ； ② 从 原 函 数 式 ( )y f x? 中 反 解 出 1( )x f y?? ；③ 将 1( )x f y?? 改 写 成 1( )y f x?? ， 并 注 明 反 函 数 的 定 义 域 ．（ 8） 反 函 数 的 性 质① 原 函 数 ( )y f x? 与 反 函 数 1( )y f x?? 的 图 象 关 于 直 线 y x? 对 称 ．② 函 数 ( )y f x? 的 定 义 域 、 值 域 分 别 是 其 反 函 数 1( )y f x?? 的 值 域 、 定 义 域 ．③ 若 ( , )P a b 在 原 函 数 ( )y f x? 的 图 象 上 ， 则 ''( , )P b a 在 反 函 数 1( )y f x?? 的 图 象 上 ．
④ 一 般 地 ， 函 数 ( )y f x? 要 有 反 函 数 则 它 必 须 为 单 调 函 数 ．〖 2.3〗 幂 函 数（ 1） 幂 函 数 的 定 义一 般 地 ， 函 数 y x?? 叫 做 幂 函 数 ， 其 中 x为 自 变 量 ， ? 是 常 数 ．
（ 2） 幂 函 数 的 图 象
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（ 3） 幂 函 数 的 性 质① 图 象 分 布 ： 幂 函 数 图 象 分 布 在 第 一 、 二 、 三 象 限 ， 第 四 象 限 无 图 象 ． 幂 函 数 是 偶 函 数 时 ， 图 象 分 布 在 第一 、 二 象 限 (图 象 关 于 y 轴 对 称 )； 是 奇 函 数 时 ， 图 象 分 布 在 第 一 、 三 象 限 (图 象 关 于 原 点 对 称 )； 是 非 奇 非偶 函 数 时 ， 图 象 只 分 布 在 第 一 象 限 ．② 过 定 点 ： 所 有 的 幂 函 数 在 (0, )?? 都 有 定 义 ， 并 且 图 象 都 通 过 点 (1,1)．③ 单 调 性 ： 如 果 0? ? ， 则 幂 函 数 的 图 象 过 原 点 ， 并 且 在 [0, )?? 上 为 增 函 数 ． 如 果 0? ? ， 则 幂 函 数 的 图象 在 (0, )?? 上 为 减 函 数 ， 在 第 一 象 限 内 ， 图 象 无 限 接 近 x轴 与 y 轴 ．④ 奇 偶 性 ： 当 ? 为 奇 数 时 ， 幂 函 数 为 奇 函 数 ， 当 ? 为 偶 数 时 ， 幂 函 数 为 偶 函 数 ． 当 qp? ? （ 其 中 ,p q互
质 ， p 和 q Z? ） ， 若 p 为 奇 数 q为 奇 数 时 ， 则 qpy x? 是 奇 函 数 ， 若 p 为 奇 数 q为 偶 数 时 ， 则 qpy x? 是 偶函 数 ， 若 p 为 偶 数 q为 奇 数 时 ， 则 qpy x? 是 非 奇 非 偶 函 数 ．⑤ 图 象 特 征 ： 幂 函 数 , (0, )y x x?? ? ?? ， 当 1? ? 时 ， 若 0 1x? ? ， 其 图 象 在 直 线 y x? 下 方 ， 若 1x? ，其 图 象 在 直 线 y x? 上 方 ， 当 1? ? 时 ， 若 0 1x? ? ， 其 图 象 在 直 线 y x? 上 方 ， 若 1x? ， 其 图 象 在 直 线y x? 下 方 ． 〖 补 充 知 识 〗 二 次 函 数（ 1） 二 次 函 数 解 析 式 的 三 种 形 式① 一 般 式 ： 2( ) ( 0)f x ax bx c a? ? ? ? ② 顶 点 式 ： 2( ) ( ) ( 0)f x a x h k a? ? ? ? ③ 两 根 式 ：
1 2( ) ( )( )( 0)f x a x x x x a? ? ? ? （ 2） 求 二 次 函 数 解 析 式 的 方 法① 已 知 三 个 点 坐 标 时 ， 宜 用 一 般 式 ．② 已 知 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 或 与 对 称 轴 有 关 或 与 最 大 （ 小 ） 值 有 关 时 ， 常 使 用 顶 点 式 ．③ 若 已 知 抛 物 线 与 x轴 有 两 个 交 点 ， 且 横 线 坐 标 已 知 时 ， 选 用 两 根 式 求 ( )f x 更 方 便 ．（ 3） 二 次 函 数 图 象 的 性 质① 二 次 函 数 2( ) ( 0)f x ax bx c a? ? ? ? 的 图 象 是 一 条 抛 物 线 ， 对 称 轴 方 程 为 ,2bx a?? 顶 点 坐 标 是24( , )2 4b ac ba a?? ．② 当 0a? 时 ， 抛 物 线 开 口 向 上 ， 函 数 在 ( , ]2ba?? ? 上 递 减 ， 在 [ , )2ba? ?? 上 递 增 ， 当 2bx a?? 时 ，
2min 4( ) 4ac bf x a?? ； 当 0a? 时 ， 抛 物 线 开 口 向 下 ， 函 数 在 ( , ]2ba?? ? 上 递 增 ， 在 [ , )2ba? ?? 上 递 减 ，
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当 2bx a?? 时 ， 2max 4( ) 4ac bf x a?? ．③ 二 次 函 数 2( ) ( 0)f x ax bx c a? ? ? ? 当 2 4 0b ac?? ? ? 时 ， 图 象 与 x轴 有 两 个 交 点1 1 2 2 1 2 1 2( ,0), ( ,0),| | | | | |M x M x MM x x a?? ? ? ．（ 4） 一 元 二 次 方 程 2 0( 0)ax bx c a? ? ? ? 根 的 分 布一 元 二 次 方 程 根 的 分 布 是 二 次 函 数 中 的 重 要 内 容 ， 这 部 分 知 识 在 初 中 代 数 中 虽 有 所 涉 及 ， 但 尚 不够 系 统 和 完 整 ， 且 解 决 的 方 法 偏 重 于 二 次 方 程 根 的 判 别 式 和 根 与 系 数 关 系 定 理 （ 韦 达 定 理 ） 的 运 用 ，下 面 结 合 二 次 函 数 图 象 的 性 质 ， 系 统 地 来 分 析 一 元 二 次 方 程 实 根 的 分 布 ．
设 一 元 二 次 方 程 2 0( 0)ax bx c a? ? ? ? 的 两 实 根 为 1 2,x x ， 且 1 2x x? ． 令 2( )f x ax bx c? ? ? ， 从 以下 四 个 方 面 来 分 析 此 类 问 题 ： ① 开 口 方 向 ： a ② 对 称 轴 位 置 ： 2bx a?? ③ 判 别 式 ： ? ④ 端 点 函 数值 符 号 ．① k＜ x1≤ x2 ? xy1x 2x 0?aO? abx 2??0)( ?kfk xy1x 2xO? abx 2??k 0?a0)( ?kf
② x1≤ x2＜ k ? xy1x 2x0?a O ?abx 2?? k 0)( ?kf xy1x 2xO ?abx 2?? k0?a 0)( ?kf③ x
1＜ k＜ x2 ? af(k)＜ 00)( ?kf xy1x 2x 0?aO ?k xy1x 2xO ?k 0?a 0)( ?kf④ k
1＜ x1≤ x2＜ k2 ?
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xy 1x 2x 0?aO ? ?1k 2k0)( 1 ?kf 0)( 2 ?kf abx 2?? xy 1x 2xO ? 0?a1k ? 2k0)( 1 ?kf 0)( 2 ?kf abx 2??⑤ 有 且 仅 有 一 个 根 x1（ 或 x2） 满 足 k1＜ x1（ 或 x2） ＜ k2 ? f(k1)f(k2)?0， 并 同 时 考 虑 f(k1)=0或 f(k2)=0这 两 种 情 况 是 否 也 符 合 xy 1x 2x 0?aO ? ?1k 2k0)( 1 ?kf 0)(
2 ?kf xy 1x 2xO ?0?a 1k ? 2k0)( 1 ?kf 0)( 2 ?kf⑥ k1＜ x1＜ k2≤ p1＜ x2＜ p2 ?此 结 论 可 直 接 由 ⑤ 推 出 ．（ 5） 二 次 函 数 2( ) ( 0)f x ax bx c a? ? ? ? 在 闭 区 间 [ , ]p q 上 的 最 值设 ( )f x 在 区 间 [ , ]p q 上 的 最 大 值 为 M ， 最 小 值 为 m， 令 0 1( )2x p q? ? ．（ Ⅰ ） 当 0a? 时 （ 开 口 向 上 ）① 若 2b pa? ? ， 则 ( )m f p? ② 若 2bp qa?? ? ， 则 ( )2bm f a? ? ③ 若 2b qa? ? ， 则 ( )m f q?
① 若 02b xa? ? ， 则 ( )M f q? ② 02b xa? ? ， 则 ( )M f p?(Ⅱ )当 0a? 时 (开 口 向 下 )① 若 2b pa? ? ， 则 ( )M f p? ② 若 2bp qa?? ? ， 则 ( )2bM f a? ? ③ 若 2b qa? ? ， 则 ( )M f q?xy0?a O abx 2??p qf(p) f(q)( )2bf a? xy0?a O abx 2??p qf(p) f(q)( )2bf a? xy0?a O abx 2??p qf(p) f(q) ( )2bf a?xy0?a O abx 2??p qf(p) f(q) ( )2bf a??0xxy0?a O abx 2??p qf(p) f(q)( )2bf a? 0x?
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① 若 02b xa? ? ， 则 ( )m f q? ② 02b xa? ? ， 则 ( )m f p? ．第 三 章 函 数 的 应 用一 、 方 程 的 根 与 函 数 的 零 点1、 函 数 零 点 的 概 念 ： 对 于 函 数 ))(( Dxxfy ?? ， 把 使 0)( ?xf 成 立 的 实 数 x 叫 做 函 数))(( Dxxfy ??
的 零 点 。2、 函 数 零 点 的 意 义 ： 函 数 )(xfy ? 的 零 点 就 是 方 程 0)( ?xf 实 数 根 ， 亦 即 函 数 )(xfy ? 的 图 象与 x轴 交 点 的 横 坐 标 。 即 ：方 程 0)( ?xf 有 实 数 根 ?函 数 )(xfy ? 的 图 象 与 x轴 有 交 点 ?函 数 )(xfy ? 有 零 点 ．3、 函 数 零 点 的 求 法 ：求 函 数 )(xfy ? 的 零 点 ：○ 1 （ 代 数 法 ） 求 方 程 0)( ?xf 的 实 数 根 ；○ 2 （ 几 何 法 ） 对 于 不 能 用 求 根 公 式 的 方 程 ， 可 以 将 它 与 函 数 )(xfy ? 的 图 象 联 系 起 来 ， 并 利 用函 数 的 性 质 找 出 零 点 ．4、 二 次 函 数 的 零 点 ：二 次 函 数 )0(2 ???? acbxaxy ．１ ） △ ＞ ０ ， 方 程 02 ??? cbxax 有 两 不 等 实 根 ， 二 次 函 数 的 图 象 与 x轴 有 两 个 交 点 ， 二 次 函 数
有 两 个 零 点 ．２ ） △ ＝ ０ ， 方 程 02 ??? cbxax 有 两 相 等 实 根 （ 二 重 根 ） ， 二 次 函 数 的 图 象 与 x轴 有 一 个 交 点 ，二 次 函 数 有 一 个 二 重 零 点 或 二 阶 零 点 ．３ ） △ ＜ ０ ， 方 程 02 ??? cbxax 无 实 根 ， 二 次 函 数 的 图 象 与 x轴 无 交 点 ， 二 次 函 数 无 零 点 ．高 中 数 学 必 修 2 知 识 点第 一 章 空 间 几 何 体1.1柱 、 锥 、 台 、 球 的 结 构 特 征
（ 1） 棱 柱 ： 定 义 ： 有 两 个 面 互 相 平 行 ， 其 余 各 面 都 是 四 边 形 ， 且 每 相 邻 两 个 四 边 形 的 公 共 边 都 互 相 平 行 ，
xy0?a O abx 2??p qf(p) f(q)( )2bf a? xy0?a O abx 2??p qf(p) f(q)( )2bf a?xy0?a O
abx 2??p qf(p) f(q)( )2bf a?0x?
xy0?a O abx 2??p qf(p) f(q) ( )2bf a?xy0?a O
abx 2??p qf(p) f(q) ( )2bf a??0x
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由 这 些 面 所 围 成 的 几 何 体 。分 类 ： 以 底 面 多 边 形 的 边 数 作 为 分 类 的 标 准 分 为 三 棱 柱 、 四 棱 柱 、 五 棱 柱 等 。表 示 ： 用 各 顶 点 字 母 ， 如 五 棱 柱 '''''''''' EDCBAABCDE ? 或 用 对 角 线 的 端 点 字 母 ， 如 五 棱 柱 ''AD几 何 特 征 ： 两 底 面 是 对 应 边 平 行 的 全 等 多 边 形 ； 侧 面 、 对 角 面 都 是 平 行 四 边 形 ； 侧 棱 平 行 且 相 等 ； 平 行 于底 面 的 截 面 是 与 底 面 全 等 的 多 边 形 。（ 2） 棱 锥定 义 ： 有 一 个 面 是 多 边 形 ， 其 余 各 面 都 是 有 一 个 公 共 顶 点 的 三 角 形 ， 由 这 些 面 所 围 成 的 几 何 体分 类 ： 以 底 面 多 边 形 的 边 数 作 为 分 类 的 标 准 分 为 三 棱 锥 、 四 棱 锥 、 五 棱 锥 等表 示 ： 用 各 顶 点 字 母 ， 如 五 棱 锥 '''''''''' EDCBAP?几 何 特 征 ： 侧 面 、 对 角 面 都 是 三 角 形 ； 平 行 于 底 面 的 截 面 与 底 面 相 似 ， 其 相 似 比 等 于 顶 点 到 截 面 距 离 与 高的 比 的 平 方 。（ 3） 棱 台 ： 定 义 ： 用 一 个 平 行 于 棱 锥 底 面 的 平 面 去 截 棱 锥 ， 截 面 和 底 面 之 间 的 部 分分 类 ： 以 底 面 多 边 形 的 边 数 作 为 分 类 的 标 准 分 为 三 棱 态 、 四 棱 台 、 五 棱 台 等表 示 ： 用 各 顶 点 字 母 ， 如 五 棱 台 '''''''''' EDCBAP?
几 何 特 征 ： ① 上 下 底 面 是 相 似 的 平 行 多 边 形 ② 侧 面 是 梯 形 ③ 侧 棱 交 于 原 棱 锥 的 顶 点（ 4） 圆 柱 ： 定 义 ： 以 矩 形 的 一 边 所 在 的 直 线 为 轴 旋 转 ,其 余 三 边 旋 转 所 成 的 曲 面 所 围 成 的 几 何 体几 何 特 征 ： ① 底 面 是 全 等 的 圆 ； ② 母 线 与 轴 平 行 ； ③ 轴 与 底 面 圆 的 半 径 垂 直 ； ④ 侧 面 展 开 图 是 一 个 矩 形 。（ 5） 圆 锥 ： 定 义 ： 以 直 角 三 角 形 的 一 条 直 角 边 为 旋 转 轴 ,旋 转 一 周 所 成 的 曲 面 所 围 成 的 几 何 体几 何 特 征 ： ① 底 面 是 一 个 圆 ； ② 母 线 交 于 圆 锥 的 顶 点 ； ③ 侧 面 展 开 图 是 一 个 扇 形 。（ 6） 圆 台 ： 定 义 ： 用 一 个 平 行 于 圆 锥 底 面 的 平 面 去 截 圆 锥 ， 截 面 和 底 面 之 间 的 部 分几 何 特 征 ： ① 上 下 底 面 是 两 个 圆 ； ② 侧 面 母 线 交 于 原 圆 锥 的 顶 点 ； ③ 侧 面 展 开 图 是 一 个 弓 形 。（ 7） 球 体 ： 定 义 ： 以 半 圆 的 直 径 所 在 直 线 为 旋 转 轴 ， 半 圆 面 旋 转 一 周 形 成 的 几 何 体几 何 特 征 ： ① 球 的 截 面 是 圆 ； ② 球 面 上 任 意 一 点 到 球 心 的 距 离 等 于 半 径 。1.2空 间 几 何 体 的 三 视 图 和 直 观 图1 三 视 图 ：正 视 图 ： 从 前 往 后 侧 视 图 ： 从 左 往 右 俯 视 图 ： 从 上 往 下2 画 三 视 图 的 原 则 ：
长 对 齐 、 高 对 齐 、 宽 相 等3直 观 图 ： 斜 二 测 画 法4斜 二 测 画 法 的 步 骤 ：（ 1） .平 行 于 坐 标 轴 的 线 依 然 平 行 于 坐 标 轴 ；（ 2） .平 行 于 y轴 的 线 长 度 变 半 ， 平 行 于 x， z轴 的 线 长 度 不 变 ；（ 3） .画 法 要 写 好 。5 用 斜 二 测 画 法 画 出 长 方 体 的 步 骤 ： （ 1） 画 轴 （ 2） 画 底 面 （ 3） 画 侧 棱 （ 4） 成 图1.3 空 间 几 何 体 的 表 面 积 与 体 积
（ 一 ） 空 间 几 何 体 的 表 面 积1棱 柱 、 棱 锥 的 表 面 积 ： 各 个 面 面 积 之 和2 圆 柱 的 表 面 积 3 圆 锥 的 表 面 积 2rrlS ?? ??4 圆 台 的 表 面 积 22 RRlrrlS ???? ???? 5 球 的 表 面 积 24 RS ??（ 二 ） 空 间 几 何 体 的 体 积1柱 体 的 体 积 hSV ?? 底 2锥 体 的 体 积 hSV ?? 底313台 体 的 体 积 hSSSSV ???? )31 下下上上（ 4球 体 的 体 积222 rrlS ?? ??
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P·α Lβ
D CBA α
334 RV ?? 第 二 章 直 线 与 平 面 的 位 置 关 系2.1空 间 点 、 直 线 、 平 面 之 间 的 位 置 关 系2.1.1
1 平 面 含 义 ： 平 面 是 无 限 延 展 的2 平 面 的 画 法 及 表 示（ 1） 平 面 的 画 法 ： 水 平 放 置 的 平 面 通 常 画 成 一 个 平 行 四 边 形 ， 锐 角 画 成 450， 且 横 边 画 成 邻 边 的 2 倍 长 （ 如图 ）（ 2） 平 面 通 常 用 希 腊 字 母 α 、 β 、 γ 等 表 示 ， 如 平 面 α 、 平 面 β 等 ， 也 可 以 用 表 示 平 面 的 平 行 四 边 形 的四 个 顶 点 或 者 相 对 的 两 个 顶 点 的 大 写 字 母 来 表 示 ， 如 平 面 AC、 平 面 ABCD等 。3 三 个 公 理 ：（ 1） 公 理 1： 如 果 一 条 直 线 上 的 两 点 在 一 个 平 面 内 ， 那 么 这 条 直 线 在 此 平 面 内符 号 表 示 为 A∈ LB∈ L => L αA∈ αB∈ α
公 理 1 作 用 ： 判 断 直 线 是 否 在 平 面 内（ 2） 公 理 2： 过 不 在 一 条 直 线 上 的 三 点 ， 有 且 只 有 一 个 平 面 。符 号 表 示 为 ： A、 B、 C三 点 不 共 线 => 有 且 只 有 一 个 平 面 α ，使 A∈ α 、 B∈ α 、 C∈ α 。公 理 2 作 用 ： 确 定 一 个 平 面 的 依 据 。（ 3） 公 理 3： 如 果 两 个 不 重 合 的 平 面 有 一 个 公 共 点 ， 那 么 它 们 有 且 只 有 一 条 过 该 点 的 公 共 直 线 。符 号 表 示 为 ： P∈ α ∩ β =>α ∩ β =L， 且 P∈ L公 理 3 作 用 ： 判 定 两 个 平 面 是 否 相 交 的 依 据2.1.2 空 间 中 直 线 与 直 线 之 间 的 位 置 关 系1 空 间 的 两 条 直 线 有 如 下 三 种 关 系 ：相 交 直 线 ： 同 一 平 面 内 ， 有 且 只 有 一 个 公 共 点 ；平 行 直 线 ： 同 一 平 面 内 ， 没 有 公 共 点 ；异 面 直 线 ： 不 同 在 任 何 一 个 平 面 内 ， 没 有 公 共 点 。
2 公 理 4： 平 行 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直 线 互 相 平 行 。符 号 表 示 为 ： 设 a、 b、 c 是 三 条 直 线a∥ bc∥ b强 调 ： 公 理 4实 质 上 是 说 平 行 具 有 传 递 性 ， 在 平 面 、 空 间 这 个 性 质 都 适 用 。公 理 4 作 用 ： 判 断 空 间 两 条 直 线 平 行 的 依 据 。3 等 角 定 理 ： 空 间 中 如 果 两 个 角 的 两 边 分 别 对 应 平 行 ， 那 么 这 两 个 角 相 等 或 互 补4 注 意 点 ：① a''与 b''所 成 的 角 的 大 小 只 由 a、 b 的 相 互 位 置 来 确 定 ， 与 O 的 选 择 无 关 ， 为 简 便 ， 点 O 一 般 取 在 两 直线 中 的 一 条 上 ；
LA·α C· B·A·α
共 面 直 线 =>a∥ c
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② 两 条 异 面 直 线 所 成 的 角 θ ∈ (0， )；③ 当 两 条 异 面 直 线 所 成 的 角 是 直 角 时 ， 我 们 就 说 这 两 条 异 面 直 线 互 相 垂 直 ， 记 作 a⊥ b；④ 两 条 直 线 互 相 垂 直 ， 有 共 面 垂 直 与 异 面 垂 直 两 种 情 形 ；⑤ 计 算 中 ， 通 常 把 两 条 异 面 直 线 所 成 的 角 转 化 为 两 条 相 交 直 线 所 成 的 角 。2.1.3 — 2.1.4 空 间 中 直 线 与 平 面 、 平 面 与 平 面 之 间 的 位 置 关 系1、 直 线 与 平 面 有 三 种 位 置 关 系 ：（ 1） 直 线 在 平 面 内 — — 有 无 数 个 公 共 点（ 2） 直 线 与 平 面 相 交 — — 有 且 只 有 一 个 公 共 点（ 3） 直 线 在 平 面 平 行 — — 没 有 公 共 点指 出 ： 直 线 与 平 面 相 交 或 平 行 的 情 况 统 称 为 直 线 在 平 面 外 ， 可 用 a α 来 表 示
a α a∩ α =A a∥ α2.2.直 线 、 平 面 平 行 的 判 定 及 其 性 质2.2.1 直 线 与 平 面 平 行 的 判 定1、 直 线 与 平 面 平 行 的 判 定 定 理 ： 平 面 外 一 条 直 线 与 此 平 面 内 的 一 条 直 线 平 行 ， 则 该 直 线 与 此 平 面 平 行 。简 记 为 ： 线 线 平 行 ， 则 线 面 平 行 。符 号 表 示 ： a αb β => a∥ αa∥ b2.2.2 平 面 与 平 面 平 行 的 判 定1、 两 个 平 面 平 行 的 判 定 定 理 ： 一 个 平 面 内 的 两 条 交 直 线 与 另 一 个 平 面 平 行 ， 则 这 两 个 平 面 平 行 。符 号 表 示 ：
a βb βa∩ b = P β ∥ αa∥ αb∥ α2、 判 断 两 平 面 平 行 的 方 法 有 三 种 ：（ 1） 用 定 义 ；（ 2） 判 定 定 理 ；（ 3） 垂 直 于 同 一 条 直 线 的 两 个 平 面 平 行 。2.2.3 — 2.2.4直 线 与 平 面 、 平 面 与 平 面 平 行 的 性 质1、 定 理 ： 一 条 直 线 与 一 个 平 面 平 行 ， 则 过 这 条 直 线 的 任 一 平 面 与 此 平 面 的 交 线 与 该 直 线 平 行 。简 记 为 ： 线 面 平 行 则 线 线 平 行 。符 号 表 示 ：
a∥ αa β a∥ bα ∩ β = b作 用 ： 利 用 该 定 理 可 解 决 直 线 间 的 平 行 问 题 。2、 定 理 ： 如 果 两 个 平 面 同 时 与 第 三 个 平 面 相 交 ， 那 么 它 们 的 交 线 平 行 。
2?
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符 号 表 示 ：α ∥ βα ∩ γ = a a∥ bβ ∩ γ = b作 用 ： 可 以 由 平 面 与 平 面 平 行 得 出 直 线 与 直 线 平 行2.3直 线 、 平 面 垂 直 的 判 定 及 其 性 质2.3.1直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定1、 定 义如 果 直 线 L 与 平 面 α 内 的 任 意 一 条 直 线 都 垂 直 ， 我 们 就 说 直 线 L 与 平 面 α 互 相 垂 直 ， 记 作 L⊥ α ， 直线 L 叫 做 平 面 α 的 垂 线 ， 平 面 α 叫 做 直 线 L 的 垂 面 。 如 图 ， 直 线 与 平 面 垂 直 时 ,它 们 唯 一 公 共 点 P 叫 做 垂足 。
Lpα2、 判 定 定 理 ： 一 条 直 线 与 一 个 平 面 内 的 两 条 相 交 直 线 都 垂 直 ， 则 该 直 线 与 此 平 面 垂 直 。注 意 点 ： a)定 理 中 的 “ 两 条 相 交 直 线 ” 这 一 条 件 不 可 忽 视 ；b)定 理 体 现 了 “ 直 线 与 平 面 垂 直 ” 与 “ 直 线 与 直 线 垂 直 ” 互 相 转 化 的 数 学 思 想 。2.3.2平 面 与 平 面 垂 直 的 判 定1、 二 面 角 的 概 念 ： 表 示 从 空 间 一 直 线 出 发 的 两 个 半 平 面 所 组 成 的 图 形
A梭 l βB α2、 二 面 角 的 记 法 ： 二 面 角 α -l-β 或 α -AB-β3、 两 个 平 面 互 相 垂 直 的 判 定 定 理 ： 一 个 平 面 过 另 一 个 平 面 的 垂 线 ， 则 这 两 个 平 面 垂 直 。2.3.3 — 2.3.4直 线 与 平 面 、 平 面 与 平 面 垂 直 的 性 质1、 定 理 ： 垂 直 于 同 一 个 平 面 的 两 条 直 线 平 行 。2 性 质 定 理 ： 两 个 平 面 垂 直 ， 则 一 个 平 面 内 垂 直 于 交 线 的 直 线 与 另 一 个 平 面 垂 直 。
本 章 知 识 结 构 框 图 平 面 （ 公 理 1、 公 理 2、 公 理 3、 公 理 4）空 间 直 线 、 平 面 的 位 置 关 系
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第 三 章 直 线 与 方 程3.1直 线 的 倾 斜 角 和 斜 率3.1倾 斜 角 和 斜 率1、 直 线 的 倾 斜 角 的 概 念 ： 当 直 线 l 与 x 轴 相 交 时 , 取 x 轴 作 为 基 准 , x 轴 正 向 与 直 线 l 向 上 方 向 之 间 所 成的 角 α 叫 做 直 线 l的 倾 斜 角 .特 别 地 ,当 直 线 l与 x轴 平 行 或 重 合 时 , 规 定 α = 0° .2、 倾 斜 角 α 的 取 值 范 围 ： 0° ≤ α ＜ 180° . 当 直 线 l与 x轴 垂 直 时 , α = 90° .3、 直 线 的 斜 率 :一 条 直 线 的 倾 斜 角 α (α ≠ 90° )的 正 切 值 叫 做 这 条 直 线 的 斜 率 ,斜 率 常 用 小 写 字 母 k表 示 ,也 就 是 k =tanα⑴ 当 直 线 l 与 x 轴 平 行 或 重 合 时 , α =0° , k = tan0° =0;⑵ 当 直 线 l 与 x 轴 垂 直 时 , α = 90° , k 不 存 在 .由 此 可 知 , 一 条 直 线 l的 倾 斜 角 α 一 定 存 在 ,但 是 斜 率 k 不 一 定 存 在 .
4、 直 线 的 斜 率 公 式 :给 定 两 点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠ x2,用 两 点 的 坐 标 来 表 示 直 线 P1P2的 斜 率 ：斜 率 公 式 : k=y2-y1/x2-x13.1.2两 条 直 线 的 平 行 与 垂 直1、 两 条 直 线 都 有 斜 率 而 且 不 重 合 ， 如 果 它 们 平 行 ， 那 么 它 们 的 斜 率 相 等 ； 反 之 ， 如 果 它 们 的 斜 率 相 等 ，那 么 它 们 平 行 ， 即注 意 : 上 面 的 等 价 是 在 两 条 直 线 不 重 合 且 斜 率 存 在 的 前 提 下 才 成 立 的 ， 缺 少 这 个 前 提 ， 结 论 并 不 成 立 ． 即如 果 k1=k2, 那 么 一 定 有 L1∥ L22、 两 条 直 线 都 有 斜 率 ， 如 果 它 们 互 相 垂 直 ， 那 么 它 们 的 斜 率 互 为 负 倒 数 ； 反 之 ， 如 果 它 们 的 斜 率 互 为 负
倒 数 ， 那 么 它 们 互 相 垂 直 ， 即3.2.1 直 线 的 点 斜 式 方 程1、 直 线 的 点 斜 式 方 程 ： 直 线 l经 过 点 ),( 000 yxP ， 且 斜 率 为 k )( 00 xxkyy ???2、 、 直 线 的 斜 截 式 方 程 ： 已 知 直 线 l的 斜 率 为 k ， 且 与 y轴 的 交 点 为 ),0( b bkxy ??3.2.2 直 线 的 两 点 式 方 程1、 直 线 的 两 点 式 方 程 ： 已 知 两 点 ),(),,( 222211 yxPxxP 其 中 ),( 2121 yyxx ?? y-y1/y-y2=x-x1/x-x22、 直 线 的 截 距 式 方 程 ： 已 知 直 线 l 与 x轴 的 交 点 为 A )0,(a ， 与 y轴 的 交 点 为 B ),0( b ， 其 中 0,0 ?? ba
3.2.3 直 线 的 一 般 式 方 程1、 直 线 的 一 般 式 方 程 ： 关 于 yx, 的 二 元 一 次 方 程 0??? CByAx （ A， B不 同 时 为 0）2、 各 种 直 线 方 程 之 间 的 互 化 。3.3直 线 的 交 点 坐 标 与 距 离 公 式
平 面 与 平 面 的 位 置 关 系直 线 与 平 面 的 位 置 关 系直 线 与 直 线 的 位 置 关 系
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? ? ? ?2 21 2 2 2 2 1PP x x y y? ? ? ?3.3.1两 直 线 的 交 点 坐 标1、 给 出 例 题 ： 两 直 线 交 点 坐 标L1 ： 3x+4y-2=0 L1： 2x+y+2=0解 ： 解 方 程 组 3 4 2 02 2 2 0x yx y? ? ??? ? ? ??得 x=-2， y=2所 以 L1与 L2 的 交 点 坐 标 为 M（ -2， 2）3.3.2 两 点 间 距 离两 点 间 的 距 离 公 式3.3.3 点 到 直 线 的 距 离 公 式1． 点 到 直 线 距 离 公 式 ：点 ),( 00 yxP 到 直 线 0: ??? CByAxl 的 距 离 为 ：22 00 BA CByAxd ? ???2、 两 平 行 线 间 的 距 离 公 式 ：已 知 两 条 平 行 线 直 线 1l 和 2l 的 一 般 式 方 程 为 1l ： 01 ??? CByAx ，2l 02 ??? CByAx ， 则 1l 与 2l 的 距 离 为 22 21 BA CCd ???
第 四 章 圆 与 方 程4.1.1 圆 的 标 准 方 程1、 圆 的 标 准 方 程 ： 2 2 2( ) ( )x a y b r? ? ? ?圆 心 为 A(a,b),半 径 为 r的 圆 的 方 程2、 点 0 0( , )M x y 与 圆 2 2 2( ) ( )x a y b r? ? ? ? 的 关 系 的 判 断 方 法 ：（ 1） 2 20 0( ) ( )x a y b? ? ? > 2r ， 点 在 圆 外 （ 2） 2 20 0( ) ( )x a y b? ? ? = 2r ， 点 在 圆 上（ 3） 2 20 0( ) ( )x a y b? ? ? < 2r ， 点 在 圆 内4.1.2 圆 的 一 般 方 程
1、 圆 的 一 般 方 程 ： 022 ????? FEyDxyx2、 圆 的 一 般 方 程 的 特 点 ：(1)① x2和 y2的 系 数 相 同 ， 不 等 于 0． ② 没 有 xy 这 样 的 二 次 项 ．(2)圆 的 一 般 方 程 中 有 三 个 特 定 的 系 数 D、 E、 F， 因 之 只 要 求 出 这 三 个 系 数 ， 圆 的 方 程 就 确 定 了 ．(3)、 与 圆 的 标 准 方 程 相 比 较 ， 它 是 一 种 特 殊 的 二 元 二 次 方 程 ， 代 数 特 征 明 显 ， 圆 的 标 准 方 程 则 指出 了 圆 心 坐 标 与 半 径 大 小 ， 几 何 特 征 较 明 显 。4.2.1 圆 与 圆 的 位 置 关 系
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1、 用 点 到 直 线 的 距 离 来 判 断 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 ．设 直 线 l ： 0??? cbyax ， 圆 C ： 022 ????? FEyDxyx ， 圆 的 半 径 为 r ， 圆 心 )2,2( ED ?? 到 直线 的 距 离 为 d ， 则 判 别 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 的 依 据 有 以 下 几 点 ：（ 1） 当 rd ? 时 ， 直 线 l 与 圆 C 相 离 ； （ 2） 当 rd ? 时 ， 直 线 l 与 圆 C 相 切 ；（ 3） 当 rd ? 时 ， 直 线 l 与 圆 C 相 交 ；4.2.2 圆 与 圆 的 位 置 关 系两 圆 的 位 置 关 系 ．设 两 圆 的 连 心 线 长 为 l ， 则 判 别 圆 与 圆 的 位 置 关 系 的 依 据 有 以 下 几 点 ：
（ 1） 当 21 rrl ?? 时 ， 圆 1C 与 圆 2C 相 离 ； （ 2） 当 21 rrl ?? 时 ， 圆 1C 与 圆 2C 外 切 ；（ 3） 当 ?? || 21 rr 21 rrl ?? 时 ， 圆 1C 与 圆 2C 相 交 ；（ 4） 当 || 21 rrl ?? 时 ， 圆 1C 与 圆 2C 内 切 ； （ 5） 当 || 21 rrl ?? 时 ， 圆 1C 与 圆 2C 内 含 ；4.2.3 直 线 与 圆 的 方 程 的 应 用1、 利 用 平 面 直 角 坐 标 系 解 决 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 ；2、 过 程 与 方 法用 坐 标 法 解 决 几 何 问 题 的 步 骤 ：第 一 步 ： 建 立 适 当 的 平 面 直 角 坐 标 系 ， 用 坐 标 和 方 程 表 示 问 题 中 的 几 何 元 素 ， 将 平 面 几 何 问 题 转 化 为
代 数 问 题 ；第 二 步 ： 通 过 代 数 运 算 ， 解 决 代 数 问 题 ；第 三 步 ： 将 代 数 运 算 结 果 “ 翻 译 ” 成 几 何 结 论 ．4.3.1空 间 直 角 坐 标 系1、 点 M对 应 着 唯 一 确 定 的 有 序 实 数 组 ),,( zyx ， x、 y 、 z 分 别 是 P、 Q、 R在 x、y 、 z 轴 上 的 坐 标2、 有 序 实 数 组 ),,( zyx ， 对 应 着 空 间 直 角 坐 标 系 中 的 一 点3、 空 间 中 任 意 点 M的 坐 标 都 可 以 用 有 序 实 数 组 ),,( zyx 来 表 示 ， 该 数 组 叫 做 点 M在 此 空 间 直 角 坐 标 系 中
的 坐 标 ， 记 M ),,( zyx ， x叫 做 点 M 的 横 坐 标 ， y 叫 做 点 M 的 纵 坐标 ， z 叫 做 点 M的 竖 坐 标 。4.3.2空 间 两 点 间 的 距 离 公 式1、 空 间 中 任 意 一 点 ),,( 1111 zyxP 到 点 ),,( 2222 zyxP 之 间 的 距 离 公 式 22122122121 )()()( zzyyxxPP ??????
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高 中 数 学 必 修 3 知 识 点第 一 章 算 法 初 步1.1.1 算 法 的 概 念1、 算 法 概 念 ：在 数 学 上 ， 现 代 意 义 上 的 “ 算 法 ” 通 常 是 指 可 以 用 计 算 机 来 解 决 的 某 一 类 问 题 是 程 序 或 步 骤 ， 这 些 程 序 或步 骤 必 须 是 明 确 和 有 效 的 ， 而 且 能 够 在 有 限 步 之 内 完 成 .2. 算 法 的 特 点 :(1)有 限 性 ： 一 个 算 法 的 步 骤 序 列 是 有 限 的 ， 必 须 在 有 限 操 作 之 后 停 止 ， 不 能 是 无 限 的 .(2)确 定 性 ： 算 法 中 的 每 一 步 应 该 是 确 定 的 并 且 能 有 效 地 执 行 且 得 到 确 定 的 结 果 ， 而 不 应 当 是 模 棱 两 可 .
(3)顺 序 性 与 正 确 性 ： 算 法 从 初 始 步 骤 开 始 ， 分 为 若 干 明 确 的 步 骤 ， 每 一 个 步 骤 只 能 有 一 个 确 定 的 后 继 步 骤 ，前 一 步 是 后 一 步 的 前 提 ， 只 有 执 行 完 前 一 步 才 能 进 行 下 一 步 ， 并 且 每 一 步 都 准 确 无 误 ， 才 能 完 成 问 题 .(4)不 唯 一 性 ： 求 解 某 一 个 问 题 的 解 法 不 一 定 是 唯 一 的 ， 对 于 一 个 问 题 可 以 有 不 同 的 算 法 .(5)普 遍 性 ： 很 多 具 体 的 问 题 ， 都 可 以 设 计 合 理 的 算 法 去 解 决 ， 如 心 算 、 计 算 器 计 算 都 要 经 过 有 限 、 事 先 设计 好 的 步 骤 加 以 解 决 .1.1.2 程 序 框 图1、 程 序 框 图 基 本 概 念 ：（ 一 ） 程 序 构 图 的 概 念 ： 程 序 框 图 又 称 流 程 图 ， 是 一 种 用 规 定 的 图 形 、 指 向 线 及 文 字 说 明 来 准 确 、 直 观 地表 示 算 法 的 图 形 。
一 个 程 序 框 图 包 括 以 下 几 部 分 ： 表 示 相 应 操 作 的 程 序 框 ； 带 箭 头 的 流 程 线 ； 程 序 框 外 必 要 文 字 说 明 。（ 二 ） 构 成 程 序 框 的 图 形 符 号 及 其 作 用程 序 框 名 称 功 能起 止 框 表 示 一 个 算 法 的 起 始 和 结 束 ， 是 任 何 流 程 图 不可 少 的 。输 入 、 输 出 框 表 示 一 个 算 法 输 入 和 输 出 的 信 息 ， 可 用 在 算 法中 任 何 需 要 输 入 、 输 出 的 位 置 。
处 理 框 赋 值 、 计 算 ， 算 法 中 处 理 数 据 需 要 的 算 式 、 公式 等 分 别 写 在 不 同 的 用 以 处 理 数 据 的 处 理 框内 。判 断 框 判 断 某 一 条 件 是 否 成 立 ， 成 立 时 在 出 口 处 标 明“ 是 ” 或 “ Y” ； 不 成 立 时 标 明 “ 否 ” 或 “ N” 。学 习 这 部 分 知 识 的 时 候 ， 要 掌 握 各 个 图 形 的 形 状 、 作 用 及 使 用 规 则 ， 画 程 序 框 图 的 规 则 如 下 ：1、 使 用 标 准 的 图 形 符 号 。 2、 框 图 一 般 按 从 上 到 下 、 从 左 到 右 的 方 向 画 。 3、 除 判 断 框 外 ， 大 多 数 流 程 图符 号 只 有 一 个 进 入 点 和 一 个 退 出 点 。 判 断 框 具 有 超 过 一 个 退 出 点 的 唯 一 符 号 。 4、 判 断 框 分 两 大 类 ， 一 类
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判 断 框 “ 是 ” 与 “ 否 ” 两 分 支 的 判 断 ， 而 且 有 且 仅 有 两 个 结 果 ； 另 一 类 是 多 分 支 判 断 ， 有 几 种 不 同 的 结 果 。5、 在 图 形 符 号 内 描 述 的 语 言 要 非 常 简 练 清 楚 。（ 三 ） 、 算 法 的 三 种 基 本 逻 辑 结 构 ： 顺 序 结 构 、 条 件 结 构 、 循 环 结 构 。1、 顺 序 结 构 ： 顺 序 结 构 是 最 简 单 的 算 法 结 构 ， 语 句 与 语 句 之 间 ， 框 与 框 之 间 是 按 从 上 到 下 的 顺 序 进 行 的 ，它 是 由 若 干 个 依 次 执 行 的 处 理 步 骤 组 成 的 ， 它 是 任 何 一 个 算 法 都 离 不 开 的 一 种 基 本 算 法 结 构 。顺 序 结 构 在 程 序 框 图 中 的 体 现 就 是 用 流 程 线 将 程 序 框 自 上 而下 地 连 接 起 来 ， 按 顺 序 执 行 算 法 步 骤 。 如 在 示 意 图 中 ， A框 和 B框 是 依 次 执 行 的 ， 只 有 在 执 行 完 A框 指 定 的 操 作 后 ， 才 能 接 着 执行 B框 所 指 定 的 操 作 。
2、 条 件 结 构 ：条 件 结 构 是 指 在 算 法 中 通 过 对 条 件 的 判 断根 据 条 件 是 否 成 立 而 选 择 不 同 流 向 的 算 法 结 构 。条 件 P 是 否 成 立 而 选 择 执 行 A 框 或 B 框 。 无 论 P 条 件 是 否 成 立 ， 只 能 执 行 A 框 或 B 框 之 一 ， 不 可 能 同时 执 行 A 框 和 B 框 ， 也 不 可 能 A 框 、 B 框 都 不 执 行 。 一 个 判 断 结 构 可 以 有 多 个 判 断 框 。3、 循 环 结 构 ： 在 一 些 算 法 中 ， 经 常 会 出 现 从 某 处 开 始 ， 按 照 一 定 条 件 ， 反 复 执 行 某 一 处 理 步 骤 的 情 况 ，这 就 是 循 环 结 构 ， 反 复 执 行 的 处 理 步 骤 为 循 环 体 ， 显 然 ， 循 环 结 构 中 一 定 包 含 条 件 结 构 。 循 环 结 构 又 称 重复 结 构 ， 循 环 结 构 可 细 分 为 两 类 ：
（ 1） 、 一 类 是 当 型 循 环 结 构 ， 如 下 左 图 所 示 ， 它 的 功 能 是 当 给 定 的 条 件 P成 立 时 ， 执 行 A框 ， A框 执 行 完毕 后 ， 再 判 断 条 件 P是 否 成 立 ， 如 果 仍 然 成 立 ， 再 执 行 A框 ， 如 此 反 复 执 行 A框 ， 直 到 某 一 次 条 件 P不成 立 为 止 ， 此 时 不 再 执 行 A框 ， 离 开 循 环 结 构 。（ 2） 、 另 一 类 是 直 到 型 循 环 结 构 ， 如 下 右 图 所 示 ， 它 的 功 能 是 先 执 行 ， 然 后 判 断 给 定 的 条 件 P是 否 成 立 ，如 果 P仍 然 不 成 立 ， 则 继 续 执 行 A框 ， 直 到 某 一 次 给 定 的 条 件 P成 立 为 止 ， 此 时 不 再 执 行 A框 ， 离 开 循环 结 构 。
AB
A成 立不 成 立 P 不 成 立P成 立 A
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当 型 循 环 结 构 直 到 型 循 环 结 构注 意 ： 1 循 环 结 构 要 在 某 个 条 件 下 终 止 循 环 ， 这 就 需 要 条 件 结 构 来 判 断 。 因 此 ， 循 环 结 构 中 一 定 包 含条 件 结 构 ， 但 不 允 许 “ 死 循 环 ” 。 2 在 循 环 结 构 中 都 有 一 个 计 数 变 量 和 累 加 变 量 。 计 数 变 量 用 于 记 录 循 环次 数 ， 累 加 变 量 用 于 输 出 结 果 。 计 数 变 量 和 累 加 变 量 一 般 是 同 步 执 行 的 ， 累 加 一 次 ， 计 数 一 次 。1.2.1 输 入 、 输 出 语 句 和 赋 值 语 句1、 输 入 语 句（ 1） 输 入 语 句 的 一 般 格 式 （ 2）输 入
语 句 的 作 用 是 实 现 算 法 的 输 入 信 息 功 能 ； （ 3） “ 提 示 内 容 ” 提 示 用 户 输 入 什 么 样 的 信 息 ， 变 量 是 指 程 序 在运 行 时 其 值 是 可 以 变 化 的 量 ； （ 4） 输 入 语 句 要 求 输 入 的 值 只 能 是 具 体 的 常 数 ， 不 能 是 函 数 、 变 量 或 表 达 式 ；（ 5） 提 示 内 容 与 变 量 之 间 用 分 号 “ ； ” 隔 开 ， 若 输 入 多 个 变 量 ， 变 量 与 变 量 之 间 用 逗 号 “ ， ” 隔 开 。2、 输 出 语 句（ 1） 输 出 语 句 的 一 般 格 式（ 2） 输 出 语 句 的 作 用 是 实 现 算 法 的 输 出 结 果 功 能 ； （ 3） “ 提 示 内 容 ” 提 示 用 户 输 入 什 么 样 的 信 息 ， 表 达 式是 指 程 序 要 输 出 的 数 据 ； （ 4） 输 出 语 句 可 以 输 出 常 量 、 变 量 或 表 达 式 的 值 以 及 字 符 。3、 赋 值 语 句
（ 1） 赋 值 语 句 的 一 般 格 式（ 2） 赋 值 语 句 的 作 用 是 将 表 达 式 所 代 表 的 值 赋 给 变 量 ； （ 3） 赋 值 语 句 中 的 “ ＝ ” 称 作 赋 值 号 ， 与 数 学 中的 等 号 的 意 义 是 不 同 的 。 赋 值 号 的 左 右 两 边 不 能 对 换 ， 它 将 赋 值 号 右 边 的 表 达 式 的 值 赋 给 赋 值 号 左 边 的 变量 ； （ 4） 赋 值 语 句 左 边 只 能 是 变 量 名 字 ， 而 不 是 表 达 式 ， 右 边 表 达 式 可 以 是 一 个 数 据 、 常 量 或 算 式 ； （ 5）对 于 一 个 变 量 可 以 多 次 赋 值 。注 意 ： ① 赋 值 号 左 边 只 能 是 变 量 名 字 ， 而 不 能 是 表 达 式 。 如 ： 2=X是 错 误 的 。 ② 赋 值 号 左 右 不 能 对 换 。 如“ A=B” “ B=A” 的 含 义 运 行 结 果 是 不 同 的 。 ③ 不 能 利 用 赋 值 语 句 进 行 代 数 式 的 演 算 。 （ 如 化 简 、 因 式 分 解 、解 方 程 等 ） ④ 赋 值 号 “ =” 与 数 学 中 的 等 号 意 义 不 同 。1． 2． 2条 件 语 句
1、 条 件 语 句 的 一 般 格 式 有 两 种 ： （ 1） IF— THEN— ELSE语 句 ； （ 2） IF— THEN语 句 。 2、 IF— THEN— ELSE语 句IF— THEN— ELSE语 句 的 一 般 格 式 为 图 1， 对 应 的 程 序 框 图 为 图 2。图 1
图 形 计 算 器格 式INPUT“ 提 示 内 容 ” ； 变 量 INPUT “ 提 示 内 容 ” ， 变 量PRINT“ 提 示 内 容 ” ； 表 达 式 图 形 计 算 器格 式 Disp “ 提 示 内 容 ” ， 变 量
变 量 ＝ 表 达 式 图 形 计 算 器格 式 表 达 式 ?变 量
IF 条 件 THEN语 句 1ELSE语 句 2ENDIF 否是满 足 条 件 ？语 句 1 语 句 2
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图 2分 析 ： 在 IF— THEN— ELSE语 句 中 ， “ 条 件 ” 表 示 判 断 的 条 件 ， “ 语 句 1” 表 示 满 足 条 件 时 执 行 的 操 作 内 容 ；“ 语 句 2” 表 示 不 满 足 条 件 时 执 行 的 操 作 内 容 ； END IF表 示 条 件 语 句 的 结 束 。 计 算 机 在 执 行 时 ， 首 先 对IF后 的 条 件 进 行 判 断 ， 如 果 条 件 符 合 ， 则 执 行 THEN后 面 的 语 句 1； 若 条 件 不 符 合 ， 则 执 行 ELSE后 面 的语 句 2。3、 IF— THEN语 句IF— THEN语 句 的 一 般 格 式 为 图 3， 对 应 的 程 序 框 图 为 图 4。
注 意 ： “ 条 件 ” 表 示 判 断 的 条 件 ； “ 语 句 ” 表 示 满 足 条 件 时 执 行 的 操 作 内 容 ， 条 件 不 满 足 时 ， 结 束 程 序 ； ENDIF表 示 条 件 语 句 的 结 束 。 计 算 机 在 执 行 时 首 先 对 IF 后 的 条 件 进 行 判 断 ， 如 果 条 件 符 合 就 执 行 THEN后 边的 语 句 ， 若 条 件 不 符 合 则 直 接 结 束 该 条 件 语 句 ， 转 而 执 行 其 它 语 句 。1． 2． 3循 环 语 句循 环 结 构 是 由 循 环 语 句 来 实 现 的 。 对 应 于 程 序 框 图 中 的 两 种 循 环 结 构 ， 一 般 程 序 设 计 语 言 中 也 有 当型 （ WHILE 型 ） 和 直 到 型 （ UNTIL 型 ） 两 种 语 句 结 构 。 即 WHILE 语 句 和 UNTIL 语 句 。1、 WHILE语 句（ 1） WHILE 语 句 的 一 般 格 式 是 对 应 的 程 序 框 图 是
（ 2） 当 计 算 机 遇 到 WHILE语 句 时 ， 先 判 断 条 件 的 真 假 ， 如 果 条 件 符 合 ， 就 执 行 WHILE与 WEND之 间的 循 环 体 ； 然 后 再 检 查 上 述 条 件 ， 如 果 条 件 仍 符 合 ， 再 次 执 行 循 环 体 ， 这 个 过 程 反 复 进 行 ， 直 到 某 一 次 条件 不 符 合 为 止 。 这 时 ， 计 算 机 将 不 执 行 循 环 体 ， 直 接 跳 到 WEND语 句 后 ， 接 着 执 行 WEND之 后 的 语 句 。因 此 ， 当 型 循 环 有 时 也 称 为 “ 前 测 试 型 ” 循 环 。2、 UNTIL语 句（ 1） UNTIL 语 句 的 一 般 格 式 是 对 应 的 程 序 框 图 是
IF 条 件 THEN语 句ENDIF （ 图 3） 满 足 条 件 ？ 语 句是否（ 图 4）
WHILE 条 件循 环 体WEND 满 足 条 件 ？ 循 环 体否 是
满 足 条 件 ？循 环 体是 否DO循 环 体LOOP UNTIL 条 件
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（ 2） 直 到 型 循 环 又 称 为 “ 后 测 试 型 ” 循 环 ， 从 UNTIL 型 循 环 结 构 分 析 ， 计 算 机 执 行 该 语 句 时 ， 先 执 行 一次 循 环 体 ， 然 后 进 行 条 件 的 判 断 ， 如 果 条 件 不 满 足 ， 继 续 返 回 执 行 循 环 体 ， 然 后 再 进 行 条 件 的 判 断 ， 这 个过 程 反 复 进 行 ， 直 到 某 一 次 条 件 满 足 时 ， 不 再 执 行 循 环 体 ， 跳 到 LOOP UNTIL 语 句 后 执 行 其 他 语 句 ， 是 先执 行 循 环 体 后 进 行 条 件 判 断 的 循 环 语 句 。分 析 ： 当 型 循 环 与 直 到 型 循 环 的 区 别 ： （ 先 由 学 生 讨 论 再 归 纳 ）（ 1） 当 型 循 环 先 判 断 后 执 行 ， 直 到 型 循 环 先 执 行 后 判 断 ；在 WHILE语 句 中 ， 是 当 条 件 满 足 时 执 行 循 环 体 ， 在 UNTIL 语 句 中 ， 是 当 条 件 不 满 足 时 执 行 循 环例 题 ： . 99...531 的 一 个 算 法设 计 计 算 ???? （ 见 课 本 21P ）S intPr End ISS 2 Step 99 To 3 From I 1ForForS ??? S intPr hile End ISS 2II 97 I hile11WWIS ?? ?? ??? S intPr hile End 2II ISS 99 I hile11WWIS ?? ?????
? ? ?S intPr ) 99 I ( 001 I 2II ISS o 11 ???? ???? 或 者UntilLoopDIS S intPr 99 I ISS 2II o 11 ??? ???? UntilLoopDIS? ?S intPr 2II ISS ) 100 I( 99 I Whileo 11LoopDIS ?? ?? ???? 或 者 S intPr ISS 2II ) 99 I( 97 I Whileo 11LoopDIS ?? ?? ???? 或 者
? ?颜 老 师 友 情 提 醒 ：1. 一 定 要 看 清 题 意 ， 看 题 目 让 你 干 什 么 ， 有 的 只 要 写 出 算 法 ， 有 的 只 要 求 写 出 伪 代 码 ， 而 有 的 题 目 则 是 既写 出 算 法 画 出 流 程 还 要 写 出 伪 代 码 。2. 在 具 体 做 题 时 ， 可 能 好 多 的 同 学 感 觉 先 画 流 程 图 较 为 简 单 ， 但 也 有 的 算 法 伪 代 码 比 较 好 写 ， 你 也 可 以 在草 稿 纸 上 按 照 你 自 己 的 思 路 先 做 出 来 ， 然 后 根 据 题 目 要 求 作 答 。 一 般 是 先 写 算 法 ， 后 画 流 程 图 ， 最 后 写 伪代 码 。3. 书 写 程 序 时 一 定 要 规 范 化 ， 使 用 统 一 的 符 号 ， 最 好 与 教 材 一 致 ， 由 于 是 新 教 材 的 原 因 ， 再 加 上 各 种 版 本 ，可 能 同 学 会 看 到 各 种 参 考 书 上 的 书 写 格 式 不 一 样 ， 而 且 有 时 还 会 碰 到 我 们 没 有 见 过 的 语 言 ， 希 望 大 家 能 以课 本 为 依 据 ， 不 要 被 铺 天 盖 地 的 资 料 所 淹 没 ！1.3.1辗 转 相 除 法 与 更 相 减 损 术1、 辗 转 相 除 法 。 也 叫 欧 几 里 德 算 法 ， 用 辗 转 相 除 法 求 最 大 公 约 数 的 步 骤 如 下 ：
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（ 1） ： 用 较 大 的 数 m 除 以 较 小 的 数 n 得 到 一 个 商 0S 和 一 个 余 数 0R ； （ 2） ： 若 0R ＝ 0， 则 n 为 m， n 的 最 大公 约 数 ； 若 0R ≠ 0， 则 用 除 数 n 除 以 余 数 0R 得 到 一 个 商 1S 和 一 个 余 数 1R ； （ 3） ： 若 1R ＝ 0， 则 1R 为 m， n的 最 大 公 约 数 ； 若 1R ≠ 0， 则 用 除 数 0R 除 以 余 数 1R 得 到 一 个 商 2S 和 一 个 余 数 2R ； … … 依 次 计 算直 至 nR ＝ 0， 此 时 所 得 到 的 1nR ? 即 为 所 求 的 最 大 公 约 数 。2、 更 相 减 损 术我 国 早 期 也 有 求 最 大 公 约 数 问 题 的 算 法 ， 就 是 更 相 减 损 术 。 在 《 九 章 算 术 》 中 有 更 相 减 损 术 求 最 大 公 约 数的 步 骤 ： 可 半 者 半 之 ， 不 可 半 者 ， 副 置 分 母 ?子 之 数 ， 以 少 减 多 ， 更 相 减 损 ， 求 其 等 也 ， 以 等 数 约 之 。翻 译 为 ： （ 1） ： 任 意 给 出 两 个 正 数 ； 判 断 它 们 是 否 都 是 偶 数 。 若 是 ， 用 2 约 简 ； 若 不 是 ， 执 行 第 二 步 。 （ 2） ：
以 较 大 的 数 减 去 较 小 的 数 ， 接 着 把 较 小 的 数 与 所 得 的 差 比 较 ， 并 以 大 数 减 小 数 。 继 续 这 个 操 作 ， 直 到 所 得的 数 相 等 为 止 ， 则 这 个 数 （ 等 数 ） 就 是 所 求 的 最 大 公 约 数 。例 2 用 更 相 减 损 术 求 98与 63 的 最 大 公 约 数 .分 析 ： （ 略 ）3、 辗 转 相 除 法 与 更 相 减 损 术 的 区 别 ：（ 1） 都 是 求 最 大 公 约 数 的 方 法 ， 计 算 上 辗 转 相 除 法 以 除 法 为 主 ， 更 相 减 损 术 以 减 法 为 主 ， 计 算 次 数 上 辗转 相 除 法 计 算 次 数 相 对 较 少 ， 特 别 当 两 个 数 字 大 小 区 别 较 大 时 计 算 次 数 的 区 别 较 明 显 。（ 2） 从 结 果 体 现 形 式 来 看 ， 辗 转 相 除 法 体 现 结 果 是 以 相 除 余 数 为 0 则 得 到 ， 而 更 相 减 损 术 则 以 减 数 与 差相 等 而 得 到
1.3.2秦 九 韶 算 法 与 排 序1、 秦 九 韶 算 法 概 念 ：f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求 值 问 题f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0=......=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0求 多 项 式 的 值 时 ， 首 先 计 算 最 内 层 括 号 内 依 次 多 项 式 的 值 ， 即 v1=anx+an-1然 后 由 内 向 外 逐 层 计 算 一 次 多 项 式 的 值 ， 即v
2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0这 样 ， 把 n次 多 项 式 的 求 值 问 题 转 化 成 求 n个 一 次 多 项 式 的 值 的 问 题 。2、 两 种 排 序 方 法 ： 直 接 插 入 排 序 和 冒 泡 排 序1、 直 接 插 入 排 序基 本 思 想 ： 插 入 排 序 的 思 想 就 是 读 一 个 ， 排 一 个 。 将 第 １ 个 数 放 入 数 组 的 第 １ 个 元 素 中 ， 以 后 读 入 的 数 与已 存 入 数 组 的 数 进 行 比 较 ， 确 定 它 在 从 大 到 小 的 排 列 中 应 处 的 位 置 ． 将 该 位 置 以 及 以 后 的 元 素 向 后 推 移 一个 位 置 ， 将 读 入 的 新 数 填 入 空 出 的 位 置 中 ． （ 由 于 算 法 简 单 ， 可 以 举 例 说 明 ）
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2、 冒 泡 排 序基 本 思 想 ： 依 次 比 较 相 邻 的 两 个 数 ,把 大 的 放 前 面 ,小 的 放 后 面 .即 首 先 比 较 第 1个 数 和 第 2个 数 ,大 数 放 前 ,小 数 放 后 .然 后 比 较 第 2个 数 和 第 3个 数 ......直 到 比 较 最 后 两 个 数 .第 一 趟 结 束 ,最 小 的 一 定 沉 到 最 后 .重复 上 过 程 ,仍 从 第 1 个 数 开 始 ,到 最 后 第 2 个 数 ...... 由 于 在 排 序 过 程 中 总 是 大 数 往 前 ,小 数 往 后 ,相 当 气泡 上 升 ,所 以 叫 冒 泡 排 序 .1.3.3进 位 制1、 概 念 ： 进 位 制 是 一 种 记 数 方 式 ， 用 有 限 的 数 字 在 不 同 的 位 置 表 示 不 同 的 数 值 。 可 使 用 数 字 符 号 的 个 数称 为 基 数 ， 基 数 为 n， 即 可 称 n 进 位 制 ， 简 称 n进 制 。 现 在 最 常 用 的 是 十 进 制 ， 通 常 使 用 10个 阿 拉 伯 数 字0-9进 行 记 数 。 对 于 任 何 一 个 数 ， 我 们 可 以 用 不 同 的 进 位 制 来 表 示 。 比 如 ： 十 进 数 57， 可 以 用 二 进 制 表 示
为 111001， 也 可 以 用 八 进 制 表 示 为 71、 用 十 六 进 制 表 示 为 39， 它 们 所 代 表 的 数 值 都 是 一 样 的 。一 般 地 ， 若 k是 一 个 大 于 一 的 整 数 ， 那 么 以 k为 基 数 的 k 进 制 可 以 表 示 为 ：1 1 0( ) 1 1 0... (0 ,0 ,..., , )n n k n na a a a a k a a a k? ?? ? ? ? ，而 表 示 各 种 进 位 制 数 一 般 在 数 字 右 下 脚 加 注 来 表 示 ,如 111001(2)表 示 二 进 制 数 ,34(5)表 示 5 进 制 数第 二 章 统 计2.1.1简 单 随 机 抽 样1． 总 体 和 样 本在 统 计 学 中 , 把 研 究 对 象 的 全 体 叫 做 总 体 ．把 每 个 研 究 对 象 叫 做 个 体 ．
把 总 体 中 个 体 的 总 数 叫 做 总 体 容 量 ．为 了 研 究 总 体 的 有 关 性 质 ， 一 般 从 总 体 中 随 机 抽 取 一 部 分 ： ， ， ，研 究 ， 我 们 称 它 为 样 本 ． 其 中 个 体 的 个 数 称 为 样 本 容 量 ．2． 简 单 随 机 抽 样 ， 也 叫 纯 随 机 抽 样 。 就 是 从 总 体 中 不 加 任 何 分 组 、 划 类 、 排 队 等 ， 完 全 随机 地 抽 取 调 查 单 位 。 特 点 是 ： 每 个 样 本 单 位 被 抽 中 的 可 能 性 相 同 （ 概 率 相 等 ） ， 样 本 的 每 个 单 位 完 全 独立 ， 彼 此 间 无 一 定 的 关 联 性 和 排 斥 性 。 简 单 随 机 抽 样 是 其 它 各 种 抽 样 形 式 的 基 础 。 通 常 只 是 在 总 体 单 位 之间 差 异 程 度 较 小 和 数 目 较 少 时 ， 才 采 用 这 种 方 法 。3． 简 单 随 机 抽 样 常 用 的 方 法 ：
（ 1） 抽 签 法 ； ⑵ 随 机 数 表 法 ； ⑶ 计 算 机 模 拟 法 ； ⑷ 使 用 统 计 软 件 直 接 抽 取 。在 简 单 随 机 抽 样 的 样 本 容 量 设 计 中 ， 主 要 考 虑 ： ① 总 体 变 异 情 况 ； ② 允 许 误 差 范 围 ； ③ 概 率 保 证程 度 。4． 抽 签 法 :（ 1） 给 调 查 对 象 群 体 中 的 每 一 个 对 象 编 号 ；（ 2） 准 备 抽 签 的 工 具 ， 实 施 抽 签（ 3） 对 样 本 中 的 每 一 个 个 体 进 行 测 量 或 调 查
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例 ： 请 调 查 你 所 在 的 学 校 的 学 生 做 喜 欢 的 体 育 活 动 情 况 。5． 随 机 数 表 法 ：例 ： 利 用 随 机 数 表 在 所 在 的 班 级 中 抽 取 10位 同 学 参 加 某 项 活 动 。2.1.2系 统 抽 样1． 系 统 抽 样 （ 等 距 抽 样 或 机 械 抽 样 ） ：把 总 体 的 单 位 进 行 排 序 ， 再 计 算 出 抽 样 距 离 ， 然 后 按 照 这 一 固 定 的 抽 样 距 离 抽 取 样 本 。 第 一 个 样 本 采用 简 单 随 机 抽 样 的 办 法 抽 取 。K（ 抽 样 距 离 ） =N（ 总 体 规 模 ） /n（ 样 本 规 模 ）前 提 条 件 ： 总 体 中 个 体 的 排 列 对 于 研 究 的 变 量 来 说 ， 应 是 随 机 的 ， 即 不 存 在 某 种 与 研 究 变 量 相 关 的 规
则 分 布 。 可 以 在 调 查 允 许 的 条 件 下 ， 从 不 同 的 样 本 开 始 抽 样 ， 对 比 几 次 样 本 的 特 点 。 如 果 有 明 显 差 别 ， 说明 样 本 在 总 体 中 的 分 布 承 某 种 循 环 性 规 律 ， 且 这 种 循 环 和 抽 样 距 离 重 合 。2． 系 统 抽 样 ， 即 等 距 抽 样 是 实 际 中 最 为 常 用 的 抽 样 方 法 之 一 。 因 为 它 对 抽 样 框 的 要 求 较 低 ， 实 施 也 比 较简 单 。 更 为 重 要 的 是 ， 如 果 有 某 种 与 调 查 指 标 相 关 的 辅 助 变 量 可 供 使 用 ， 总 体 单 元 按 辅 助 变 量 的 大 小 顺 序排 队 的 话 ， 使 用 系 统 抽 样 可 以 大 大 提 高 估 计 精 度 。2.1.3分 层 抽 样1． 分 层 抽 样 （ 类 型 抽 样 ） ：先 将 总 体 中 的 所 有 单 位 按 照 某 种 特 征 或 标 志 （ 性 别 、 年 龄 等 ） 划 分 成 若 干 类 型 或 层 次 ， 然 后 再 在 各 个类 型 或 层 次 中 采 用 简 单 随 机 抽 样 或 系 用 抽 样 的 办 法 抽 取 一 个 子 样 本 ， 最 后 ， 将 这 些 子 样 本 合 起 来 构 成 总 体
的 样 本 。两 种 方 法 ：1． 先 以 分 层 变 量 将 总 体 划 分 为 若 干 层 ， 再 按 照 各 层 在 总 体 中 的 比 例 从 各 层 中 抽 取 。2． 先 以 分 层 变 量 将 总 体 划 分 为 若 干 层 ， 再 将 各 层 中 的 元 素 按 分 层 的 顺 序 整 齐 排 列 ， 最 后 用 系 统 抽 样的 方 法 抽 取 样 本 。2． 分 层 抽 样 是 把 异 质 性 较 强 的 总 体 分 成 一 个 个 同 质 性 较 强 的 子 总 体 ， 再 抽 取 不 同 的 子 总 体 中 的 样 本 分 别代 表 该 子 总 体 ， 所 有 的 样 本 进 而 代 表 总 体 。分 层 标 准 ：（ 1） 以 调 查 所 要 分 析 和 研 究 的 主 要 变 量 或 相 关 的 变 量 作 为 分 层 的 标 准 。
（ 2） 以 保 证 各 层 内 部 同 质 性 强 、 各 层 之 间 异 质 性 强 、 突 出 总 体 内 在 结 构 的 变 量 作 为 分 层 变 量 。（ 3） 以 那 些 有 明 显 分 层 区 分 的 变 量 作 为 分 层 变 量 。3． 分 层 的 比 例 问 题 ：（ 1） 按 比 例 分 层 抽 样 ： 根 据 各 种 类 型 或 层 次 中 的 单 位 数 目 占 总 体 单 位 数 目 的 比 重 来 抽 取 子 样 本 的 方 法 。（ 2） 不 按 比 例 分 层 抽 样 ： 有 的 层 次 在 总 体 中 的 比 重 太 小 ， 其 样 本 量 就 会 非 常 少 ， 此 时 采 用 该 方 法 ， 主要 是 便 于 对 不 同 层 次 的 子 总 体 进 行 专 门 研 究 或 进 行 相 互 比 较 。 如 果 要 用 样 本 资 料 推 断 总 体 时 ， 则 需 要 先 对
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各 层 的 数 据 资 料 进 行 加 权 处 理 ， 调 整 样 本 中 各 层 的 比 例 ， 使 数 据 恢 复 到 总 体 中 各 层 实 际 的 比 例 结 构 。2.2.2用 样 本 的 数 字 特 征 估 计 总 体 的 数 字 特 征1、 本 均 值 ： n xxxx n???? ?212、 ． 样 本 标 准 差 ： n xxxxxxss n 222212 )()()( ???????? ?3． 用 样 本 估 计 总 体 时 ， 如 果 抽 样 的 方 法 比 较 合 理 ， 那 么 样 本 可 以 反 映 总 体 的 信 息 ， 但 从 样 本 得 到 的 信 息会 有 偏 差 。 在 随 机 抽 样 中 ， 这 种 偏 差 是 不 可 避 免 的 。虽 然 我 们 用 样 本 数 据 得 到 的 分 布 、 均 值 和 标 准 差 并 不 是 总 体 的 真 正 的 分 布 、 均 值 和 标 准 差 ， 而 只 是 一 个 估
计 ， 但 这 种 估 计 是 合 理 的 ， 特 别 是 当 样 本 量 很 大 时 ， 它 们 确 实 反 映 了 总 体 的 信 息 。4． （ 1） 如 果 把 一 组 数 据 中 的 每 一 个 数 据 都 加 上 或 减 去 同 一 个 共 同 的 常 数 ， 标 准 差 不 变（ 2） 如 果 把 一 组 数 据 中 的 每 一 个 数 据 乘 以 一 个 共 同 的 常 数 k， 标 准 差 变 为 原 来 的 k倍（ 3） 一 组 数 据 中 的 最 大 值 和 最 小 值 对 标 准 差 的 影 响 ， 区 间 )3,3( sxsx ?? 的 应 用 ；“ 去 掉 一 个 最 高 分 ， 去 掉 一 个 最 低 分 ” 中 的 科 学 道 理2.3.2两 个 变 量 的 线 性 相 关1、 概 念 :（ 1） 回 归 直 线 方 程 （ 2） 回 归 系 数2． 最 小 二 乘 法
3． 直 线 回 归 方 程 的 应 用（ 1） 描 述 两 变 量 之 间 的 依 存 关 系 ； 利 用 直 线 回 归 方 程 即 可 定 量 描 述 两 个 变 量 间 依 存 的 数 量 关 系（ 2） 利 用 回 归 方 程 进 行 预 测 ； 把 预 报 因 子 （ 即 自 变 量 x） 代 入 回 归 方 程 对 预 报 量 （ 即 因 变 量 Y） 进行 估 计 ， 即 可 得 到 个 体 Y值 的 容 许 区 间 。（ 3） 利 用 回 归 方 程 进 行 统 计 控 制 规 定 Y值 的 变 化 ， 通 过 控 制 x的 范 围 来 实 现 统 计 控 制 的 目 标 。 如已 经 得 到 了 空 气 中 NO2的 浓 度 和 汽 车 流 量 间 的 回 归 方 程 ， 即 可 通 过 控 制 汽 车 流 量 来 控 制 空 气 中 NO2的 浓度 。4． 应 用 直 线 回 归 的 注 意 事 项（ 1） 做 回 归 分 析 要 有 实 际 意 义 ；
（ 2） 回 归 分 析 前 ,最 好 先 作 出 散 点 图 ；（ 3） 回 归 直 线 不 要 外 延 。 第 三 章 概 率3.1.1 — 3.1.2随 机 事 件 的 概 率 及 概 率 的 意 义1、 基 本 概 念 ：（ 1） 必 然 事 件 ： 在 条 件 S下 ， 一 定 会 发 生 的 事 件 ， 叫 相 对 于 条 件 S的 必 然 事 件 ；（ 2） 不 可 能 事 件 ： 在 条 件 S下 ， 一 定 不 会 发 生 的 事 件 ， 叫 相 对 于 条 件 S的 不 可 能 事 件 ；
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（ 3） 确 定 事 件 ： 必 然 事 件 和 不 可 能 事 件 统 称 为 相 对 于 条 件 S的 确 定 事 件 ；（ 4） 随 机 事 件 ： 在 条 件 S下 可 能 发 生 也 可 能 不 发 生 的 事 件 ， 叫 相 对 于 条 件 S的 随 机 事 件 ；（ 5） 频 数 与 频 率 ： 在 相 同 的 条 件 S下 重 复 n次 试 验 ， 观 察 某 一 事 件 A是 否 出 现 ， 称 n次 试 验 中 事 件 A出现 的 次 数 nA为 事 件 A出 现 的 频 数 ； 称 事 件 A出 现 的 比 例 fn(A)= nnA 为 事 件 A出 现 的 概 率 ： 对 于 给 定 的 随机 事 件 A， 如 果 随 着 试 验 次 数 的 增 加 ， 事 件 A发 生 的 频 率 fn(A)稳 定 在 某 个 常 数 上 ， 把 这 个 常 数 记 作 P（ A） ，称 为 事 件 A的 概 率 。（ 6） 频 率 与 概 率 的 区 别 与 联 系 ： 随 机 事 件 的 频 率 ， 指 此 事 件 发 生 的 次 数 nA与 试 验 总 次 数 n的 比 值 nnA ，它 具 有 一 定 的 稳 定 性 ， 总 在 某 个 常 数 附 近 摆 动 ， 且 随 着 试 验 次 数 的 不 断 增 多 ， 这 种 摆 动 幅 度 越 来 越 小 。 我
们 把 这 个 常 数 叫 做 随 机 事 件 的 概 率 ， 概 率 从 数 量 上 反 映 了 随 机 事 件 发 生 的 可 能 性 的 大 小 。 频 率 在 大 量 重 复试 验 的 前 提 下 可 以 近 似 地 作 为 这 个 事 件 的 概 率3.1.3 概 率 的 基 本 性 质1、 基 本 概 念 ：（ 1） 事 件 的 包 含 、 并 事 件 、 交 事 件 、 相 等 事 件（ 2） 若 A∩ B为 不 可 能 事 件 ， 即 A∩ B=ф ， 那 么 称 事 件 A与 事 件 B互 斥 ；（ 3） 若 A∩ B为 不 可 能 事 件 ， A∪ B为 必 然 事 件 ， 那 么 称 事 件 A与 事 件 B互 为 对 立 事 件 ；（ 4） 当 事 件 A与 B互 斥 时 ， 满 足 加 法 公 式 ： P(A∪ B)=P(A)+P(B)； 若 事 件 A与 B为 对 立 事 件 ， 则 A∪ B为 必 然 事 件 ， 所 以 P(A∪ B)=P(A)+P(B)=1， 于 是 有 P(A)=1— P(B)
2、 概 率 的 基 本 性 质 ：1） 必 然 事 件 概 率 为 1， 不 可 能 事 件 概 率 为 0， 因 此 0≤ P(A)≤ 1；2） 当 事 件 A与 B互 斥 时 ， 满 足 加 法 公 式 ： P(A∪ B)=P(A)+P(B)；3） 若 事 件 A与 B为 对 立 事 件 ， 则 A∪ B为 必 然 事 件 ， 所 以 P(A∪ B)=P(A)+P(B)=1， 于 是 有 P(A)=1—P(B)；4） 互 斥 事 件 与 对 立 事 件 的 区 别 与 联 系 ， 互 斥 事 件 是 指 事 件 A与 事 件 B在 一 次 试 验 中 不 会 同 时 发 生 ， 其 具体 包 括 三 种 不 同 的 情 形 ： （ 1） 事 件 A发 生 且 事 件 B不 发 生 ； （ 2） 事 件 A不 发 生 且 事 件 B发 生 ； （ 3） 事 件A与 事 件 B同 时 不 发 生 ， 而 对 立 事 件 是 指 事 件 A 与 事 件 B有 且 仅 有 一 个 发 生 ， 其 包 括 两 种 情 形 ； （ 1） 事件 A发 生 B不 发 生 ； （ 2） 事 件 B发 生 事 件 A不 发 生 ， 对 立 事 件 互 斥 事 件 的 特 殊 情 形 。
3.2.1 — 3.2.2古 典 概 型 及 随 机 数 的 产 生1、 （ 1） 古 典 概 型 的 使 用 条 件 ： 试 验 结 果 的 有 限 性 和 所 有 结 果 的 等 可 能 性 。（ 2） 古 典 概 型 的 解 题 步 骤 ；① 求 出 总 的 基 本 事 件 数 ；② 求 出 事 件 A所 包 含 的 基 本 事 件 数 ， 然 后 利 用 公 式 P（ A） = 总 的 基 本 事 件 个 数包 含 的 基 本 事 件 数A3.3.1— 3.3.2几 何 概 型 及 均 匀 随 机 数 的 产 生
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1、 基 本 概 念 ：（ 1） 几 何 概 率 模 型 ： 如 果 每 个 事 件 发 生 的 概 率 只 与 构 成 该 事 件 区 域 的 长 度 （ 面 积 或 体 积 ） 成 比 例 ， 则称 这 样 的 概 率 模 型 为 几 何 概 率 模 型 ；（ 2） 几 何 概 型 的 概 率 公 式 ：P（ A） = 积 ）的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 积 ）的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体构 成 事 件 A ；（ 2） 几 何 概 型 的 特 点 ： 1） 试 验 中 所 有 可 能 出 现 的 结 果 （ 基 本 事 件 ） 有 无 限 多 个 ； 2） 每 个 基 本 事 件 出现 的 可 能 性 相 等 ． 高 中 数 学 必 修 4 知 识 点
第 一 章 三 角 函 数?????正 角 :按 逆 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角1、 任 意 角 负 角 :按 顺 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角零 角 :不 作 任 何 旋 转 形 成 的 角2、 角 ? 的 顶 点 与 原 点 重 合 ， 角 的 始 边 与 x轴 的 非 负 半 轴 重 合 ， 终 边 落 在 第 几 象 限 ， 则 称 ? 为 第 几 象 限 角 ．第 一 象 限 角 的 集 合 为 ? ?360 360 90 ,k k k? ?? ? ? ? ? ??? ? ?第 二 象 限 角 的 集 合 为 ? ?360 90 360 180 ,k k k? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?第 三 象 限 角 的 集 合 为 ? ?360 180 360 270 ,k k k? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?
第 四 象 限 角 的 集 合 为 ? ?360 270 360 360 ,k k k? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?终 边 在 x轴 上 的 角 的 集 合 为 ? ?180 ,k k? ? ? ? ???终 边 在 y 轴 上 的 角 的 集 合 为 ? ?180 90 ,k k? ? ? ? ? ??? ?终 边 在 坐 标 轴 上 的 角 的 集 合 为 ? ?90 ,k k? ? ? ? ???3、 与 角 ? 终 边 相 同 的 角 的 集 合 为 ? ?360 ,k k? ? ?? ? ? ???4、 长 度 等 于 半 径 长 的 弧 所 对 的 圆 心 角 叫 做 1弧 度 ．5、 半 径 为 r 的 圆 的 圆 心 角 ? 所 对 弧 的 长 为 l， 则 角 ? 的 弧 度 数 的 绝 对 值 是 lr? ? ．
6、 弧 度 制 与 角 度 制 的 换 算 公 式 ： 2 360? ? ?， 1 180??? ， 1801 57.3?? ?? ?? ?? ?? ?．7、 若 扇 形 的 圆 心 角 为 ? ?? ?为 弧 度 制 ， 半 径 为 r ， 弧 长 为 l， 周 长 为 C ， 面 积 为 S ， 则 l r ?? ， 2C r l? ? ，21 12 2S lr r?? ? ．8、 设 ? 是 一 个 任 意 大 小 的 角 ， ? 的 终 边 上 任 意 一 点 ?的 坐 标 是 ? ?,x y ， 它 与 原 点 的 距
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离 是 ? ?2 2 0r r x y? ? ? ， 则 sin yr? ? ， cos xr? ? ， ? ?tan 0y xx? ? ? ．9、 三 角 函 数 在 各 象 限 的 符 号 ： 第 一 象 限 全 为 正 ， 第 二 象 限 正 弦 为 正 ，第 三 象 限 正 切 为 正 ， 第 四 象 限 余 弦 为 正 ．10、 三 角 函 数 线 ： sin? ???， cos? ???， tan? ???．11、 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 ： ? ? 2 21 sin cos 1? ?? ? ? ?2 2 2 2sin 1 cos ,cos 1 sin? ? ? ?? ? ? ? ；? ?sin2 tancos? ?? ? sinsin tan cos ,cos tan?? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ． .（ 3） 倒 数 关 系 ： tan cot 1? ? ?12、 函 数 的 诱 导 公 式 ：? ? ? ?1 sin 2 sink? ? ?? ? ， ? ?cos 2 cosk? ? ?? ? ， ? ? ? ?tan 2 tank k? ? ?? ? ?? ．? ? ? ?2 sin sin? ? ?? ??
， ? ?cos cos? ? ?? ?? ， ? ?tan tan? ? ?? ? ．? ? ? ?3 sin sin? ?? ?? ， ? ?cos cos? ?? ? ， ? ?tan tan? ?? ?? ．? ? ? ?4 sin sin? ? ?? ? ， ? ?cos cos? ? ?? ?? ， ? ?tan tan? ? ?? ?? ．口 诀 ： 函 数 名 称 不 变 ， 符 号 看 象 限 ．? ?5 sin cos2? ? ?? ?? ?? ?? ? ， cos sin2? ? ?? ?? ?? ?? ? ． ? ?6 sin cos2? ? ?? ?? ?? ?? ? ， cos sin2? ? ?? ?? ??? ?? ? ．口 诀 ： 正 弦 与 余 弦 互 换 ， 符 号 看 象 限 ．13、 ① 的 图 象 上 所 有 点 向 左 （ 右 ） 平 移 ? 个 单 位 长 度 ， 得 到 函 数 ? ?siny x ?? ? 的 图 象 ； 再 将 函 数? ?siny x ?? ?
的 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 （ 缩 短 ） 到 原 来 的 1? 倍 （ 纵 坐 标 不 变 ） ， 得 到 函 数? ?siny x? ?? ? 的 图 象 ； 再 将 函 数 ? ?siny x? ?? ? 的 图 象 上 所 有 点 的 纵 坐 标 伸 长 （ 缩 短 ） 到 原 来 的 ?倍（ 横 坐 标 不 变 ） ， 得 到 函 数 ? ?siny x? ??? ? 的 图 象 ．② 数 siny x? 的 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 （ 缩 短 ） 到 原 来 的 1? 倍 （ 纵 坐 标 不 变 ） ， 得 到 函 数siny x?? 的 图 象 ； 再 将 函 数 siny x?? 的 图 象 上 所 有 点 向 左 （ 右 ） 平 移 ?? 个 单 位 长 度 ， 得 到 函 数? ?siny x? ?? ? 的 图 象 ； 再 将 函 数 ? ?siny x? ?? ? 的 图 象 上 所 有 点 的 纵 坐 标 伸 长 （ 缩 短 ） 到 原 来 的 ?倍
（ 横 坐 标 不 变 ） ， 得 到 函 数 ? ?siny x? ??? ? 的 图 象 ．14、 函 数 ? ?? ?sin 0, 0y x? ? ??? ? ?? ? 的 性 质 ：① 振 幅 ： ?； ② 周 期 ： 2???? ； ③ 频 率 ： 1 2f ??? ?? ； ④ 相 位 ： x? ?? ； ⑤ 初 相 ： ?．函 数 ? ?siny x? ??? ? ?? ， 当 1x x? 时 ， 取 得 最 小 值 为 miny ； 当 2x x? 时 ， 取 得 最 大 值 为 maxy ， 则? ?max min12 y y?? ? ， ? ?max min12 y y?? ? ， ? ?2 1 1 22 x x x x? ? ? ? ．
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15、 正 弦 函 数 、 余 弦 函 数 和 正 切 函 数 的 图 象 与 性 质 ：siny x? cosy x? tany x? y=cotx图 象
y=cotx
3?2??2 2?-? -?2
o
y
x定 义域 R R ,2x x k k??? ?? ? ??? ?? ? ,2x x k k??? ?? ? ??? ?? ?值 域 ? ?1,1? ? ?1,1? R R
最 值 当 2 2x k ??? ?? ?k?? 时 ，max 1y ? ； 当2 2x k ??? ?? ?k?? 时 ，min 1y ?? ． 当 ? ?2x k k?? ?? 时 ，max 1y ? ； 当2x k? ?? ?? ?k?? 时 ， min 1y ?? ． 既 无 最 大 值 也 无 最 小值 既 无 最 大 值 也 无 最 小值周 期性 2? 2? ? ?奇 偶性 奇 函 数 偶 函 数 奇 函 数 奇 函 数
单 调性 在 2 ,22 2k k? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?k?? 上 是 增 函 数 ；在 32 ,22 2k k? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?k?? 上 是 减 函 数 ． 在? ?? ?2 ,2k k k? ? ?? ??上 是 增 函 数 ； 在? ?2 ,2k k? ? ??? ?k?? 上 是 减 函 数 ． 在 ,2 2k k? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?k?? 上 是 增 函数 ．
函 数性 质
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对 称性 对 称 中 心? ?? ?,0k k? ??对 称 轴? ?2x k k??? ? ?? 对 称 中 心? ?,02k k??? ?? ??? ?? ?对 称 轴 ? ?x k k?? ?? 对 称 中 心? ?,02k k?? ? ??? ?? ?无 对 称 轴 对 称 中 心? ?,02k k?? ? ??? ?? ?无 对 称 轴第 二 章 平 面 向 量16、 向 量 ： 既 有 大 小 ， 又 有 方 向 的 量 ． 数 量 ： 只 有 大 小 ， 没 有 方 向 的 量 ．有 向 线 段 的 三 要 素 ： 起 点 、 方 向 、 长 度 ． 零 向 量 ： 长 度 为 0的 向 量 ．单 位 向 量 ： 长 度 等 于 1个 单 位 的 向 量 ．平 行 向 量 （ 共 线 向 量 ） ： 方 向 相 同 或 相 反 的 非 零 向 量 ． 零 向 量 与 任 一 向 量 平 行 ．相 等 向 量 ： 长 度 相 等 且 方 向 相 同 的 向 量 ．17、 向 量 加 法 运 算 ：
⑴ 三 角 形 法 则 的 特 点 ： 首 尾 相 连 ．⑵ 平 行 四 边 形 法 则 的 特 点 ： 共 起 点 ．⑶ 三 角 形 不 等 式 ： a b a b a b? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ．⑷ 运 算 性 质 ： ① 交 换 律 ： a b b a? ? ?? ?? ? ；② 结 合 律 ： ? ? ? ?a b c a b c? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ； ③ 0 0a a a? ? ? ?? ?? ? ? ．⑸ 坐 标 运 算 ： 设 ? ?1 1,a x y?? ， ? ?2 2,b x y?? ， 则 ? ?1 2 1 2,a b x x y y? ? ? ??? ．18、 向 量 减 法 运 算 ：⑴ 三 角 形 法 则 的 特 点 ： 共 起 点 ， 连 终 点 ， 方 向 指 向 被 减 向 量 ．
⑵ 坐 标 运 算 ： 设 ? ?1 1,a x y?? ， ? ?2 2,b x y?? ， 则 ? ?1 2 1 2,a b x x y y? ? ? ??? ．设 ?、 ?两 点 的 坐 标 分 别 为 ? ?1 1,x y ， ? ?2 2,x y ， 则 ? ?1 2 1 2,x x y y??? ? ????? ．19、 向 量 数 乘 运 算 ：⑴ 实 数 ?与 向 量 a?的 积 是 一 个 向 量 的 运 算 叫 做 向 量 的 数 乘 ， 记 作 a?? ．① a a? ??? ? ；② 当 0? ? 时 ， a?? 的 方 向 与 a?的 方 向 相 同 ； 当 0? ? 时 ， a?? 的 方 向 与 a?的 方 向 相 反 ； 当 0? ? 时 ， 0a? ? ?? ．⑵ 运 算 律 ： ① ? ? ? ?a a? ? ???? ? ； ② ? ?a a a? ? ? ?? ? ?? ? ? ； ③ ? ?a b a b? ? ?? ? ?? ?? ? ．⑶ 坐 标 运 算 ： 设 ? ?,a x y?? ， 则 ? ? ? ?, ,a x y x y? ? ? ?? ?? ．
20、 向 量 共 线 定 理 ： 向 量 ? ?0a a ? ?? ? 与 b? 共 线 ， 当 且 仅 当 有 唯 一 一 个 实 数 ?， 使 b a??? ?．设 ? ?1 1,a x y?? ， ? ?2 2,b x y?? ， 其 中 0b ?? ? ， 则 当 且 仅 当 1 2 2 1 0x y x y? ? 时 ， 向 量 a?、 ? ?0b b ?? ? ? 共 线 ．21、 平 面 向 量 基 本 定 理 ： 如 果 1e??、 2e???是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 向 量 ， 那 么 对 于 这 一 平 面 内 的 任 意 向 量 a?，有 且 只 有 一 对 实 数 1? 、 2? ， 使 1 1 2 2a e e? ?? ??? ???? ． （ 不 共 线 的 向 量 1e?? 、 2e???作 为 这 一 平 面 内 所 有 向 量 的 一 组 基
b?a? C ??a b C C? ?? ????????? ???? ??????
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底 ）22、 分 点 坐 标 公 式 ： 设 点 ?是 线 段 1 2?? 上 的 一 点 ， 1? 、 2? 的 坐 标 分 别 是 ? ?1 1,x y ， ? ?2 2,x y ， 当 1 2???? ?????? ????时 ， 点 ?的 坐 标 是 1 2 1 2,1 1x x y y? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ． （ 当 时 ， 就 为 中 点 公 式 。 ）1??23、 平 面 向 量 的 数 量 积 ：⑴ ? ?cos 0, 0,0 180a b a b a b? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ? ． 零 向 量 与 任 一 向 量 的 数 量 积 为 0．⑵ 性 质 ： 设 a?和 b? 都 是 非 零 向 量 ， 则 ① 0a b a b? ? ? ?? ?? ? ． ② 当 a?与 b? 同 向 时 ， a b a b? ?? ?? ? ； 当 a?与 b? 反向 时 ， a b a b? ??? ?? ? ； 22a a a a? ? ?? ? ? ? 或 a a a? ?? ? ? ． ③ a b a b? ?? ?? ? ．
⑶ 运 算 律 ： ① a b b a? ? ?? ?? ? ； ② ? ? ? ? ? ?a b a b a b? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ； ③ ? ?a b c a c b c? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ．⑷ 坐 标 运 算 ： 设 两 个 非 零 向 量 ? ?1 1,a x y?? ， ? ?2 2,b x y?? ， 则 1 2 1 2a b x x y y? ? ??? ．若 ? ?,a x y?? ， 则 2 2 2a x y? ?? ， 或 2 2a x y? ?? ． 设 ? ?1 1,a x y?? ， ? ?2 2,b x y?? ， 则1 2 1 2 0a b x x y y? ? ? ??? ．设 a? 、 b? 都 是 非 零 向 量 ， ? ?1 1,a x y?? ， ? ?2 2,b x y?? ， ? 是 a? 与 b? 的 夹 角 ， 则1 2 1 22 2 2 21 1 2 2cos x x y ya ba b x y x y? ??? ? ? ??? ?? ．
知 识 链 接 ： 空 间 向 量空 间 向 量 的 许 多 知 识 可 由 平 面 向 量 的 知 识 类 比 而 得 .下 面 对 空 间 向 量 在 立 体 几 何 中 证 明 ， 求 值 的 应 用 进行 总 结 归 纳 .1、 直 线 的 方 向 向 量 和 平 面 的 法 向 量⑴ ． 直 线 的 方 向 向 量 ：若 A、 B是 直 线 l上 的 任 意 两 点 ， 则 AB???? 为 直 线 l的 一 个 方 向 向 量 ； 与 AB???? 平 行 的 任 意 非 零 向 量 也 是 直线 l的 方 向 向 量 .⑵ ． 平 面 的 法 向 量 ：若 向 量 n? 所 在 直 线 垂 直 于 平 面 ? ， 则 称 这 个 向 量 垂 直 于 平 面 ? ， 记 作 n ??? ， 如 果 n ??? ， 那 么 向 量 n?叫 做 平 面 ? 的 法 向 量 .⑶ ． 平 面 的 法 向 量 的 求 法 （ 待 定 系 数 法 ） ：
① 建 立 适 当 的 坐 标 系 ．② 设 平 面 ? 的 法 向 量 为 ( , , )n x y z?? ．③ 求 出 平 面 内 两 个 不 共 线 向 量 的 坐 标 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , )a a a a b b b b? ?? ?? ．④ 根 据 法 向 量 定 义 建 立 方 程 组 00n an b? ? ??? ? ???? ?? ? .⑤ 解 方 程 组 ， 取 其 中 一 组 解 ， 即 得 平 面 ? 的 法 向 量 .
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（ 如 图 ）1、 用 向 量 方 法 判 定 空 间 中 的 平 行 关 系⑴ 线 线 平 行设 直 线 1 2,l l 的 方 向 向 量 分 别 是 a b? ?、 ， 则 要 证 明 1l ∥ 2l ， 只 需 证 明 a? ∥ b? ， 即 ( )a kb k R? ?? ? .即 ： 两 直 线 平 行 或 重 合 两 直 线 的 方 向 向 量 共 线 。
⑵ 线 面 平 行① （ 法 一 ） 设 直 线 l的 方 向 向 量 是 a? ， 平 面 ? 的 法 向 量 是 u? ， 则 要 证 明 l∥ ? ， 只 需 证 明 a u?? ? ， 即 0a u? ?? ? .即 ： 直 线 与 平 面 平 行 直 线 的 方 向 向 量 与 该 平 面 的 法 向 量 垂 直 且 直 线 在 平 面 外② （ 法 二 ） 要 证 明 一 条 直 线 和 一 个 平 面 平 行 ， 也 可 以 在 平 面 内 找 一 个 向 量 与 已 知 直 线 的 方 向 向 量 是 共 线向 量 即 可 .⑶ 面 面 平 行若 平 面 ? 的 法 向 量 为 u? ， 平 面 ? 的 法 向 量 为 v?， 要 证 ? ∥ ? ， 只 需 证 u? ∥ v?， 即 证 u v??? ? .即 ： 两 平 面 平 行 或 重 合 两 平 面 的 法 向 量 共 线 。3、 用 向 量 方 法 判 定 空 间 的 垂 直 关 系⑴ 线 线 垂 直
设 直 线 1 2,l l 的 方 向 向 量 分 别 是 a b? ?、 ， 则 要 证 明 1 2l l? ， 只 需 证 明 a b?? ? ， 即 0a b? ?? ? .即 ： 两 直 线 垂 直 两 直 线 的 方 向 向 量 垂 直 。⑵ 线 面 垂 直① （ 法 一 ） 设 直 线 l的 方 向 向 量 是 a? ， 平 面 ? 的 法 向 量 是 u? ， 则 要 证 明 l ?? ， 只 需 证 明 a? ∥ u? ， 即 a u??? ? .② （ 法 二 ） 设 直 线 l的 方 向 向 量 是 a? ， 平 面 ? 内 的 两 个 相 交 向 量 分 别 为 m n?? ???、 ， 若 0, .0a m la n ?? ? ?? ?? ? ???? ??? ? 则即 ： 直 线 与 平 面 垂 直 直 线 的 方 向 向 量 与 平 面 的 法 向 量 共 线 直 线 的 方 向 向 量 与 平 面 内 两 条 不 共 线直 线 的 方 向 向 量 都 垂 直 。⑶ 面 面 垂 直若 平 面 ? 的 法 向 量 为 u? ， 平 面 ? 的 法 向 量 为 v?， 要 证 ? ?? ， 只 需 证 u v?? ? ， 即 证 0u v? ?? ? .
即 ： 两 平 面 垂 直 两 平 面 的 法 向 量 垂 直 。4、 利 用 向 量 求 空 间 角⑴ 求 异 面 直 线 所 成 的 角已 知 ,a b为 两 异 面 直 线 ， A， C与 B， D分 别 是 ,a b上 的 任 意 两 点 ， ,a b所 成 的 角 为 ? ，则 cos .AC BDAC BD? ?? ???? ???????? ????⑵ 求 直 线 和 平 面 所 成 的 角① 定 义 ： 平 面 的 一 条 斜 线 和 它 在 平 面 上 的 射 影 所 成 的 锐 角 叫 做 这 条 斜 线 和 这 个 平 面 所 成 的 角
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② 求 法 ： 设 直 线 l的 方 向 向 量 为 a? ， 平 面 ? 的 法 向 量 为 u? ， 直 线 与 平 面 所 成 的 角 为 ? ， a? 与 u? 的 夹 角 为 ? ，则 ? 为 ?的 余 角 或 ?的 补 角的 余 角 .即 有 ：coss .in a ua u?? ??? ? ??⑶ 求 二 面 角① 定 义 ： 平 面 内 的 一 条 直 线 把 平 面 分 为 两 个 部 分 ， 其 中 的 每 一 部 分 叫 做 半 平 面 ； 从 一 条 直 线 出 发 的 两 个半 平 面 所 组 成 的 图 形 叫 做 二 面 角 ， 这 条 直 线 叫 做 二 面 角 的 棱 ， 每 个 半 平 面 叫 做 二 面 角 的 面二 面 角 的 平 面 角 是 指 在 二 面 角 ?? ??l 的 棱 上 任 取 一 点 O， 分 别 在 两 个 半 平 面 内 作 射 线lBOlAO ?? , ， 则 AOB? 为 二 面 角 ?? ??l 的 平 面 角 .
如 图 ： O ABOA Bl② 求 法 ： 设 二 面 角 l? ?? ? 的 两 个 半 平 面 的 法 向 量 分 别 为 m n?? ?、 ， 再 设 m n?? ?、 的 夹 角 为 ? ， 二 面 角l? ?? ? 的 平 面 角 为 ? ， 则 二 面 角 ? 为 m n?? ?、 的 夹 角 ?或 其 补 角 .? ??根 据 具 体 图 形 确 定 ? 是 锐 角 或 是 钝 角 ：
◆ 如 果 ? 是 锐 角 ， 则 cos cos m nm n? ? ?? ? ?? ??? ? ，即 arccos m nm n? ?? ?? ??? ? ；◆ 如 果 ? 是 钝 角 ， 则 cos cos m nm n? ? ??? ?? ?? ??? ? ，即 arccos m nm n? ? ??? ?? ?? ?? ??? ??? ? .5、 利 用 法 向 量 求 空 间 距 离
⑴ 点 Q 到 直 线 l距 离若 Q 为 直 线 l外 的 一 点 ,P在 直 线 l上 ， a?为 直 线 l的 方 向 向 量 ， b? =PQ????， 则 点 Q到 直 线 l距 离 为2 21 (| || |) ( )| |h a b a ba? ? ?? ?? ??⑵ 点 A到 平 面 ? 的 距 离若 点 P 为 平 面 ? 外 一 点 ， 点 M 为 平 面 ? 内 任 一 点 ，平 面 ? 的 法 向 量 为 n? ， 则 P到 平 面 ? 的 距 离 就 等 于 MP???? 在 法 向 量 n? 方 向 上 的 投 影 的 绝 对 值 .
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即 cos ,d MP n MP? ???? ??????n MPMP n MP?? ? ? ???????? ? ????n MPn?? ? ?????⑶ 直 线 a与 平 面 ? 之 间 的 距 离当 一 条 直 线 和 一 个 平 面 平 行 时 ， 直 线 上 的 各 点 到 平 面 的 距 离 相 等 。 由 此 可 知 ， 直 线 到 平 面 的 距 离 可 转 化为 求 直 线 上 任 一 点 到 平 面 的 距 离 ， 即 转 化 为 点 面 距 离 。
即 .n MPd n?? ? ?????⑷ 两 平 行 平 面 ,? ? 之 间 的 距 离利 用 两 平 行 平 面 间 的 距 离 处 处 相 等 ， 可 将 两 平 行 平 面 间 的 距 离 转 化 为 求 点 面 距 离 。即 .n MPd n?? ? ?????⑸ 异 面 直 线 间 的 距 离设 向 量 n? 与 两 异 面 直 线 ,a b都 垂 直 ， , ,M a P b? ? 则 两 异 面 直 线 ,a b间 的 距 离 d 就 是 MP???? 在 向 量 n? 方 向上 投 影 的 绝 对 值 。
即 .n MPd n?? ? ?????6、 三 垂 线 定 理 及 其 逆 定 理⑴ 三 垂 线 定 理 ： 在 平 面 内 的 一 条 直 线 ， 如 果 它 和 这 个 平 面 的 一 条 斜 线 的 射 影 垂 直 ， 那 么 它 也 和 这 条 斜 线 垂直推 理 模 式 ： ,,PO OPA A a PAa a OA? ???? ? ??? ? ???? ? ??
a
P
? OA概 括 为 ： 垂 直 于 射 影 就 垂 直 于 斜 线 .⑵ 三 垂 线 定 理 的 逆 定 理 ： 在 平 面 内 的 一 条 直 线 ， 如 果 和 这 个 平 面 的 一 条 斜 线 垂 直 ， 那 么 它 也 和 这 条 斜 线 的射 影 垂 直推 理 模 式 ： ,,PO OPA A a AOa a AP? ???? ? ??? ? ???? ? ??
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概 括 为 ： 垂 直 于 斜 线 就 垂 直 于 射 影 .7、 三 余 弦 定 理设 AC 是 平 面 ? 内 的 任 一 条 直 线 ， AD 是 ? 的 一 条 斜 线 AB 在 ? 内 的 射 影 ， 且 BD⊥ AD， 垂 足 为 D.设 AB与 ? (AD)所 成 的 角 为 1? ， AD 与 AC所 成 的 角 为 2? ， AB 与 AC 所 成 的 角 为 ? ． 则 1 2cos cos cos? ? ?? .
8、 面 积 射 影 定 理已 知 平 面 ? 内 一 个 多 边 形 的 面 积 为 ? ?S S原 ， 它 在 平 面 ? 内 的 射 影 图 形 的 面 积 为 ? ?S S? 射 ， 平 面 ? 与平 面 ? 所 成 的 二 面 角 的 大 小 为 锐 二 面 角 ? ， 则''cos = .SSS S? ? 射原9、 一 个 结 论长 度 为 l的 线 段 在 三 条 两 两 互 相 垂 直 的 直 线 上 的 射 影 长 分 别 为 1 2 3l l l、 、 ， 夹 角 分 别 为 1 2 3? ? ?、 、 ,则 有2 2 2 21 2 3l l l l? ? ? 2 2 21 2 3cos cos cos 1? ? ?? ? ? ? 2 2 21 2 3sin sin sin 2? ? ?? ? ? ? .（ 立 体 几 何 中 长 方 体 对 角 线 长 的 公 式 是 其 特 例 ） .第 三 章 三 角 恒 等 变 换24、 两 角 和 与 差 的 正 弦 、 余 弦 和 正 切 公 式 ：
⑴ ? ?cos cos cos sin sin? ? ? ? ? ?? ? ? ； ⑵ ? ?cos cos cos sin sin? ? ? ? ? ?? ? ? ；⑶ ? ?sin sin cos cos sin? ? ? ? ? ?? ? ? ； ⑷ ? ?sin sin cos cos sin? ? ? ? ? ?? ? ? ；⑸ ? ? tan tantan 1 tan tan? ?? ? ? ??? ? ? ? （ ? ?? ?tan tan tan 1 tan tan? ? ? ? ? ?? ? ? ? ） ；⑹ ? ? tan tantan 1 tan tan? ?? ? ? ??? ? ? ? （ ? ?? ?tan tan tan 1 tan tan? ? ? ? ? ?? ? ? ? ） ．25、 二 倍 角 的 正 弦 、 余 弦 和 正 切 公 式 ：⑴ sin2 2sin cos? ? ?? ． 222 )cos(sincossin2cossin2sin1 ??????? ???????
⑵ 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??升 幂 公 式 2sin2cos1,2cos2cos1 22 ???? ?????降 幂 公 式 2 cos2 1cos 2?? ?? ， 2 1 cos2sin 2 ?? ?? ．26、 2tan1 2tan1 cos;2tan1 2tan2 sin : 222 αααααα万 能 公 式 ?????
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22tantan2 1 tan?? ?? ? ．27、 ?（ 后 两 个 不 用 判 断 符 号 ， 更 加 好 用 ）28、 合 一 变 形 ?把 两 个 三 角 函 数 的 和 或 差 化 为 “ 一 个 三 角 函 数 ， 一 个 角 ， 一 次 方 ” 的 BxAy ??? )sin( ??形 式 。 ? ?2 2sin cos sin? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ， 其 中 tan? ?? ? ．
29、 三 角 变 换 是 运 算 化 简 的 过 程 中 运 用 较 多 的 变 换 ， 提 高 三 角 变 换 能 力 ， 要 学 会 创 设 条 件 ， 灵 活 运 用 三 角公 式 ， 掌 握 运 算 ， 化 简 的 方 法 和 技 能 ． 常 用 的 数 学 思 想 方 法 技 巧 如 下 ：（ 1） 角 的 变 换 ： 在 三 角 化 简 ， 求 值 ， 证 明 中 ， 表 达 式 中 往 往 出 现 较 多 的 相 异 角 ， 可 根 据 角 与 角 之 间 的 和差 ， 倍 半 ， 互 补 ， 互 余 的 关 系 ， 运 用 角 的 变 换 ， 沟 通 条 件 与 结 论 中 角 的 差 异 ， 使 问 题 获 解 ， 对 角 的变 形 如 ：① ?2 是 ? 的 二 倍 ； ?4 是 ?2 的 二 倍 ； ? 是 2? 的 二 倍 ； 2? 是 4? 的 二 倍 ；② 2304560304515 oooooo ????? ； 问 ： ?12sin ? ； ?12cos ? ；③ ???? ??? )( ； ④ )4(24 ????? ???? ；
⑤ )4()4()()(2 ????????? ???????? ； 等 等（ 2） 函 数 名 称 变 换 ： 三 角 变 形 中 ， 常 常 需 要 变 函 数 名 称 为 同 名 函 数 。 如 在 三 角 函 数 中 正 余 弦 是 基 础 ， 通常 化 切 为 弦 ， 变 异 名 为 同 名 。（ 3） 常 数 代 换 ： 在 三 角 函 数 运 算 ， 求 值 ， 证 明 中 ， 有 时 需 要 将 常 数 转 化 为 三 角 函 数 值 ， 例 如 常 数 “ 1” 的代 换 变 形 有 ： oo 45tan90sincottancossin1 22 ????? ????（ 4） 幂 的 变 换 ： 降 幂 是 三 角 变 换 时 常 用 方 法 ， 对 次 数 较 高 的 三 角 函 数 式 ， 一 般 采 用 降 幂 处 理 的 方 法 。 常用 降 幂 公 式 有 ： ； 。 降 幂 并 非 绝 对 ， 有 时 需 要 升 幂 ， 如 对 无 理 式?cos1? 常 用 升 幂 化 为 有 理 式 ， 常 用 升 幂 公 式 有 ： ； ；（ 5） 公 式 变 形 ： 三 角 公 式 是 变 换 的 依 据 ， 应 熟 练 掌 握 三 角 公 式 的 顺 用 ， 逆 用 及 变 形 应 用 。
如 ： _______________tan1 tan1 ??? ?? ； _____________tan1 tan1 ??? ?? ；____________tantan ?? ?? ； ___________tantan1 ?? ?? ；____________tantan ?? ?? ； ___________tantan1 ?? ?? ；??tan2 ； ?? ?2tan1 ；
α αααααα αααα半 角 公 式 sincos1cos1 sincos1 cos12tan 2cos12sin;2cos12cos : ???????? ??????
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??? oooo 40tan20tan340tan20tan ；?? ?? cossin = ；?? ?? cossin ba = ； （ 其 中??tan ； ） ?? ?cos1 ； ?? ?cos1 ；（ 6） 三 角 函 数 式 的 化 简 运 算 通 常 从 ： “ 角 、 名 、 形 、 幂 ” 四 方 面 入 手 ；基 本 规 则 是 ： 见 切 化 弦 ， 异 角 化 同 角 ， 复 角 化 单 角 ， 异 名 化 同 名 ， 高 次 化 低 次 ， 无 理 化 有 理 ， 特 殊值 与 特 殊 角 的 三 角 函 数 互 化 。
如 ： ?? )10tan31(50sin oo ；?? ?? cottan 。高 中 数 学 必 修 5 知 识 点第 一 章 解 三 角 形（ 一 ） 解 三 角 形 ：1、 正 弦 定 理 ： 在 C??? 中 ， a、 b 、 c分 别 为 角 ?、 ?、 C 的 对 边 ， ， 则 有 2sin sin sina b c RC? ? ?? ?(R为 C??? 的 外 接 圆 的 半 径 )2、 正 弦 定 理 的 变 形 公 式 ： ① 2 sina R? ?， 2 sinb R? ?， 2 sinc R C? ；② sin 2aR? ? ， sin 2bR? ? ， sin 2cC R? ； ③ : : sin :sin :sina b c C? ? ? ；3、 三 角 形 面 积 公 式 ： 1 1 1sin sin sin2 2 2CS bc ab C ac??? ? ? ? ? ? ．
4、 余 弦 定 理 ： 在 C??? 中 ， 有 2 2 2 2 cosa b c bc? ? ? ?， 推 论 ： 2 2 2cos 2b c abc? ???第 二 章 数 列1、 数 列 中 na 与 nS 之 间 的 关 系 ：1 1, ( 1),( 2).n n nS na S S n? ???? ? ?? 注 意 通 项 能 否 合 并 。2、 等 差 数 列 ：⑴ 定 义 ： 如 果 一 个 数 列 从 第 2项 起 ， 每 一 项 与 它 的 前 一 项 的 差 等 于 同 一 个 常 数 ， 即 na － 1?na =d ， （ n≥ 2，n∈ N?） ，
那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 差 数 列 。⑵ 等 差 中 项 ： 若 三 数 a A b、 、 成 等 差 数 列 2a bA ?? ?⑶ 通 项 公 式 ： 1 ( 1) ( )n ma a n d a n m d? ? ? ? ? ?或 (na pn q p q? ? 、 是 常 数 ） .⑷ 前 n项 和 公 式 ：
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? ? ? ?11 12 2 nn n n n a aS na d? ?? ? ?⑸ 常 用 性 质 ：① 若 ? ???????? Nqpnmqpnm ,,, ， 则 qpnm aaaa ??? ；② 下 标 为 等 差 数 列 的 项 ? ??,,, 2mkmkk aaa ?? ， 仍 组 成 等 差 数 列 ；③ 数 列 ? ?ban ?? （ b,? 为 常 数 ） 仍 为 等 差 数 列 ；④ 若 { }na 、 { }nb 是 等 差 数 列 ， 则 { }nka 、 { }n nka pb? (k 、 p 是 非 零 常 数 )、 { }( , )p nqa p q N? ? 、 ， … 也成 等 差 数 列 。⑤ 单 调 性 ： ? ?na 的 公 差 为 d ， 则 ：
ⅰ ） ??0d ? ?na 为 递 增 数 列 ；ⅱ ） ??0d ? ?na 为 递 减 数 列 ；ⅲ ） ??0d ? ?na 为 常 数 列 ；⑥ 数 列 { na }为 等 差 数 列 na pn q? ? ? （ p,q是 常 数 ）⑦ 若 等 差 数 列 ? ?na 的 前 n项 和 nS ， 则 kS 、 kk SS ?2 、 kk SS 23 ? … 是 等 差 数 列 。3、 等 比 数 列⑴ 定 义 ： 如 果 一 个 数 列 从 第 2项 起 ， 每 一 项 与 它 的 前 一 项 的 比 等 于 同 一 个 常 数 ， 那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比数 列 。⑵ 等 比 中 项 ： 若 三 数 a b、 G、 成 等 比 数 列 2 ,G ab? ? （ ab同 号 ） 。 反 之 不 一 定 成 立 。
⑶ 通 项 公 式 ： 11 n n mn ma a q a q? ?? ?⑷ 前 n项 和 公 式 ： ? ?1 111 1n nn a q a a qS q q? ?? ?? ?⑸ 常 用 性 质① 若 ? ???????? Nqpnmqpnm ,,, ， 则 m n p qa a a a? ? ? ；② ?,,, 2mkmkk aaa ?? 为 等 比 数 列 ， 公 比 为 kq (下 标 成 等 差 数 列 ,则 对 应 的 项 成 等 比 数 列 )③ 数 列 ? ?na? （ ?为 不 等 于 零 的 常 数 ） 仍 是 公 比 为 q的 等 比 数 列 ； 正 项 等 比 数 列 ? ?na ； 则 ? ?lg na 是 公 差为 lgq的 等 差 数 列 ；
④ 若 ? ?na 是 等 比 数 列 ， 则 ? ? ? ?2n nca a， ， 1na? ?? ?? ?，? ?( )rna r Z? 是 等 比 数 列 ， 公 比 依 次 是 2 1 .rq q qq， ， ，⑤ 单 调 性 ：1 10, 1 0,0 1a q a q? ? ? ? ?或 ? ?na? 为 递 增 数 列 ； ? ?1 10,0 1 0, 1 na q a q a? ? ? ? ? ?或 为 递 减 数 列 ；? ?1 nq a? ? 为 常 数 列 ；
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? ?0 nq a? ? 为 摆 动 数 列 ；⑥ 既 是 等 差 数 列 又 是 等 比 数 列 的 数 列 是 常 数 列 。⑦ 若 等 比 数 列 ? ?na 的 前 n项 和 nS ， 则 kS 、 kk SS ?2 、 kk SS 23 ? … 是 等 比 数 列 .4、 非 等 差 、 等 比 数 列 通 项 公 式 的 求 法类 型 Ⅰ 观 察 法 ： 已 知 数 列 前 若 干 项 ， 求 该 数 列 的 通 项 时 ， 一 般 对 所 给 的 项 观 察 分 析 ， 寻 找 规 律 ，从 而 根 据 规 律 写 出 此 数 列 的 一 个 通 项 。类 型 Ⅱ 公 式 法 ： 若 已 知 数 列 的 前 n项 和 nS 与 na 的 关 系 ， 求 数 列 ? ?na 的 通 项 na 可 用 公 式1 1, ( 1),( 2)n n nS na S S n? ???? ? ?? 构 造 两 式 作 差 求 解 。用 此 公 式 时 要 注 意 结 论 有 两 种 可 能 ， 一 种 是 “ 一 分 为 二 ” ， 即 分 段 式 ； 另 一 种 是 “ 合 二 为 一 ” ， 即 1a 和
na 合 为 一 个 表 达 ， （ 要 先 分 1n? 和 2?n 两 种 情 况 分 别 进 行 运 算 ， 然 后 验 证 能 否 统 一 ） 。类 型 Ⅲ 累 加 法 ：形 如 )(1 nfaa nn ??? 型 的 递 推 数 列 （ 其 中 )(nf 是 关 于 n的 函 数 ） 可 构 造 ： 11 22 1 ( 1)( 2).. (1. )n nn na a f na a f na a f?? ?? ????? ?? ? ?? ????将 上 述 1?n 个 式 子 两 边 分 别 相 加 ， 可 得 ： 1( 1) ( 2) ... (2) (1) ,( 2)na f n f n f f a n? ? ? ? ? ? ? ?① 若 ( )f n 是 关 于 n的 一 次 函 数 ， 累 加 后 可 转 化 为 等 差 数 列 求 和 ;② 若 ( )f n 是 关 于 n的 指 数 函 数 ， 累 加 后 可 转 化 为 等 比 数 列 求 和 ;
③ 若 ( )f n 是 关 于 n的 二 次 函 数 ， 累 加 后 可 分 组 求 和 ;④ 若 ( )f n 是 关 于 n的 分 式 函 数 ， 累 加 后 可 裂 项 求 和 .类 型 Ⅳ 累 乘 法 ：形 如 1 ( )n na a f n? ? ? 1 ( )nna f na?? ??? ?? ?型 的 递 推 数 列 （ 其 中 )(nf 是 关 于 n的 函 数 ） 可 构 造 ：112
21 ( 1)(. 2)(1.. )nnnna f naa f naa fa ??? ? ?? ??????? ??????将 上 述 1?n 个 式 子 两 边 分 别 相 乘 ， 可 得 ： 1( 1) ( 2) ... (2) (1) ,( 2)na f n f n f f a n? ? ? ? ? ? ?有 时 若 不 能 直 接 用 ， 可 变 形 成 这 种 形 式 ， 然 后 用 这 种 方 法 求 解 。类 型 Ⅴ 构 造 数 列 法 ：㈠ 形 如 qpaa nn ???1 （ 其 中 ,p q均 为 常 数 且 0p ? ） 型 的 递 推 式 ：
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（ 1） 若 1p ? 时 ， 数 列 { na }为 等 差 数 列 ;（ 2） 若 0q ? 时 ， 数 列 { na }为 等 比 数 列 ;（ 3） 若 1p ? 且 0?q 时 ， 数 列 { na }为 线 性 递 推 数 列 ， 其 通 项 可 通 过 待 定 系 数 法 构 造 等 比 数 列 来 求 .方 法有 如 下 两 种 ：法 一 ： 设 1 ( )n na p a? ?? ? ? ? ,展 开 移 项 整 理 得 1 ( 1)n na pa p ?? ? ? ? ,与 题 设 1n na pa q? ? ? 比 较 系 数（ 待 定 系 数 法 ） 得 1,( 0) ( )1 1 1n nq q qp a p ap p p? ?? ? ? ? ? ?? ? ? 1( )1 1n nq qa p ap p?? ? ? ?? ? ,即1n qa p? ??? ??? ?
构 成 以 1 1qa p? ? 为 首 项 ， 以 p 为 公 比 的 等 比 数 列 .再 利 用 等 比 数 列 的 通 项 公 式 求 出1n qa p? ??? ??? ?的 通 项 整 理 可 得 .na法 二 ： 由 qpaa nn ???1 得 1 ( 2)n na pa q n?? ? ? 两 式 相 减 并 整 理 得 1 1 ,n nn na a pa a? ?? ?? 即 ? ?1n na a? ? 构 成 以2 1a a? 为 首 项 ， 以 p 为 公 比 的 等 比 数 列 .求 出 ? ?1n na a? ? 的 通 项 再 转 化 为 类 型 Ⅲ （ 累 加 法 ） 便 可 求 出 .na㈡ 形 如 1 ( )n na pa f n? ? ? ( 1)p ? 型 的 递 推 式 ：⑴ 当 ( )f n 为 一 次 函 数 类 型 （ 即 等 差 数 列 ） 时 ：
法 一 ： 设 ? ?1 ( 1)n na An B p a A n B?? ? ? ? ? ? ， 通 过 待 定 系 数 法 确 定 A B、 的 值 ， 转 化 成 以 1a A B? ?为 首 项 ， 以 p 为 公 比 的 等 比 数 列 ? ?na An B? ? ， 再 利 用 等 比 数 列 的 通 项 公 式 求 出 ? ?na An B? ? 的 通 项 整理 可 得 .na法 二 ： 当 ( )f n 的 公 差 为 d 时 ， 由 递 推 式 得 ： 1 ( )n na pa f n? ? ? ， 1 ( 1)n na pa f n?? ? ? 两 式 相 减 得 ：1 1( )n n n na a p a a d? ?? ? ? ? ， 令 1n n nb a a?? ? 得 ： 1n nb pb d?? ? 转 化 为 类 型 Ⅴ ㈠ 求 出 nb ， 再 用 类 型 Ⅲ（ 累 加 法 ） 便 可 求 出 .na⑵ 当 ( )f n 为 指 数 函 数 类 型 （ 即 等 比 数 列 ） 时 ：
法 一 ： 设 ? ?1( ) ( 1)n na f n p a f n? ??? ? ? ? ， 通 过 待 定 系 数 法 确 定 ?的 值 ， 转 化 成 以 1 (1)a f?? 为 首项 ， 以 p 为 公 比 的 等 比 数 列 ? ?( )na f n?? ， 再 利 用 等 比 数 列 的 通 项 公 式 求 出 ? ?( )na f n?? 的 通 项 整 理 可得 .na法 二 ： 当 ( )f n 的 公 比 为 q时 ， 由 递 推 式 得 ： 1 ( )n na pa f n? ? ? — — ① ， 1 ( 1)n na pa f n?? ? ? ， 两 边同 时 乘 以 q得 1 ( 1)n na q pqa qf n?? ? ? — — ② ， 由 ① ② 两 式 相 减 得 1 1( )n n n na a q p a qa? ?? ? ? ， 即
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1 1n nn na qa pa qa? ?? ?? ， 在 转 化 为 类 型 Ⅴ ㈠ 便 可 求 出 .na法 三 ： 递 推 公 式 为 nnn qpaa ???1 （ 其 中 p， q均 为 常 数 ） 或 1 nn na pa rq? ? ? （ 其 中 p， q, r均 为 常数 ） 时 ， 要 先 在 原 递 推 公 式 两 边 同 时 除 以 1?nq ， 得 ： qqaqpqa nnnn 111 ????? ， 引 入 辅 助 数 列 ? ?nb （ 其 中 nnn qab ? ） ，得 ： qbqpb nn 11 ??? 再 应 用 类 型 Ⅴ ㈠ 的 方 法 解 决 。⑶ 当 ( )f n 为 任 意 数 列 时 ， 可 用 通 法 ：
在 1 ( )n na pa f n? ? ? 两 边 同 时 除 以 1np ? 可 得 到 11 1( )n nn n na a f np p p?? ?? ? ， 令 n nna bp ? ， 则 1 1( )n n nf nb b p? ?? ? ，在 转 化 为 类 型 Ⅲ （ 累 加 法 ） ， 求 出 nb 之 后 得 nn na p b? .类 型 Ⅵ 对 数 变 换 法 ：形 如 1 ( 0, 0)qn na pa p a? ? ? ? 型 的 递 推 式 ：在 原 递 推 式 1 qna pa? ? 两 边 取 对 数 得 1lg lg lgn na q a p? ? ? ， 令 lgn nb a? 得 ： 1 lgn nb qb p? ? ? ， 化 归为 qpaa nn ???1 型 ， 求 出 nb 之 后 得 10 .
nbna ? （ 注 意 ： 底 数 不 一 定 要 取 10， 可 根 据 题 意 选 择 ） 。类 型 Ⅶ 倒 数 变 换 法 ：形 如 1 1n n n na a pa a? ?? ? （ p 为 常 数 且 0p ? ） 的 递 推 式 ： 两 边 同 除 于 1n na a? ， 转 化 为 11 1n n pa a ?? ? 形 式 ，化 归 为 qpaa nn ???1 型 求 出 1na 的 表 达 式 ， 再 求 na ；还 有 形 如 1 nn nmaa pa q? ? ? 的 递 推 式 ， 也 可 采 用 取 倒 数 方 法 转 化 成 11 1n nm ma q a p? ? ? 形 式 ， 化 归 为 qpaa nn ???1型 求 出 1na 的 表 达 式 ， 再 求 na .
类 型 Ⅷ 形 如 nnn qapaa ?? ?? 12 型 的 递 推 式 ：用 待 定 系 数 法 ， 化 为 特 殊 数 列 }{ 1?? nn aa 的 形 式 求 解 。 方 法 为 ： 设 )( 112 nnnn kaahkaa ??? ??? ， 比较 系 数 得 qhkpkh ???? , ， 可 解 得 h k、 ， 于 是 1{ }n na ka? ? 是 公 比 为 h的 等 比 数 列 ， 这 样 就 化 归 为qpaa nn ???1 型 。总 之 ， 求 数 列 通 项 公 式 可 根 据 数 列 特 点 采 用 以 上 不 同 方 法 求 解 ， 对 不 能 转 化 为 以 上 方 法 求 解 的 数 列 ，可 用 归 纳 、 猜 想 、 证 明 方 法 求 出 数 列 通 项 公 式 .na
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5、 非 等 差 、 等 比 数 列 前 n项 和 公 式 的 求 法⑴ 错 位 相 减 法① 若 数 列 ? ?na 为 等 差 数 列 ， 数 列 ? ?nb 为 等 比 数 列 ， 则 数 列 ? ?n na b? 的 求 和 就 要 采 用 此 法 .② 将 数 列 ? ?n na b? 的 每 一 项 分 别 乘 以 ? ?nb 的 公 比 ， 然 后 在 错 位 相 减 ， 进 而 可 得 到 数 列 ? ?n na b? 的 前 n项和 .此 法 是 在 推 导 等 比 数 列 的 前 n项 和 公 式 时 所 用 的 方 法 .⑵ 裂 项 相 消 法一 般 地 ， 当 数 列 的 通 项 1 2( )( )n ca an b an b? ? ? 1 2( , , ,a b b c为 常 数 ） 时 ， 往 往 可 将 na 变 成 两 项 的 差 ，
采 用 裂 项 相 消 法 求 和 .可 用 待 定 系 数 法 进 行 裂 项 ：设 1 2na an b an b? ?? ?? ? ， 通 分 整 理 后 与 原 式 相 比 较 ， 根 据 对 应 项 系 数 相 等 得 2 1cb b? ? ? ， 从 而 可得 1 2 2 1 1 21 1= ( ).( )( ) ( )c can b an b b b an b an b?? ? ? ? ?常 见 的 拆 项 公 式 有 ：① 1 1 1( 1) 1n n n n? ?? ? ；
② 1 1 1 1( );(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n n n n? ?? ? ? ?③ 1 1 ( );a ba ba b ? ???④ 1 1 ;m m mn n nC C C? ?? ?⑤ ! ( 1)! !.n n n n? ? ? ?⑶ 分 组 法 求 和有 一 类 数 列 ， 既 不 是 等 差 数 列 ， 也 不 是 等 比 数 列 ， 若 将 这 类 数 列 适 当 拆 开 ， 可 分 为 几 个 等 差 、 等 比 或
常 见 的 数 列 ， 然 后 分 别 求 和 ， 再 将 其 合 并 即 可 .一 般 分 两 步 ： ① 找 通 向 项 公 式 ② 由 通 项 公 式 确 定 如 何 分 组 .⑷ 倒 序 相 加 法如 果 一 个 数 列 ? ?na ， 与 首 末 两 项 等 距 的 两 项 之 和 等 于 首 末 两 项 之 和 ， 则 可 用 把 正 着 写 与 倒 着 写 的 两 个 和式 相 加 ， 就 得 到 了 一 个 常 数 列 的 和 ， 这 种 求 和 方 法 称 为 倒 序 相 加 法 。 特 征 ： 1 2 1 ...n na a a a ?? ? ? ?⑸ 记 住 常 见 数 列 的 前 n项 和 ：① ( 1)1 2 3 ... ;2n nn ?? ? ? ? ?
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② 21 3 5 ... (2 1) ;n n? ? ? ? ? ?③ 2 2 2 2 11 2 3 ... ( 1)(2 1).6n n n n? ? ? ? ? ? ? 第 三 章 不 等 式§ 3.1、 不 等 关 系 与 不 等 式1、 不 等 式 的 基 本 性 质① （ 对 称 性 ） a b b a? ? ?② （ 传 递 性 ） ,a b b c a c? ? ? ?③ （ 可 加 性 ） a b a c b c? ? ? ? ?（ 同 向 可 加 性 ） dbcadcba ?????? ,（ 异 向 可 减 性 ） dbcadcba ?????? ,
④ （ 可 积 性 ） bcaccba ???? 0, bcaccba ???? 0,⑤ （ 同 向 正 数 可 乘 性 ） 0, 0a b c d ac bd? ? ? ? ? ?（ 异 向 正 数 可 除 性 ） 0,0 a ba b c d c d? ? ? ? ? ?⑥ （ 平 方 法 则 ） 0 ( , 1)n na b a b n N n? ? ? ? ? ?且⑦ （ 开 方 法 则 ） 0 ( , 1)n na b a b n N n? ? ? ? ? ?且⑧ （ 倒 数 法 则 ） babababa 110;110 ????????2、 几 个 重 要 不 等 式① ? ?2 2 2a b ab a b R? ? ?， ,（ 当 且 仅 当 a b? 时 取 " "? 号 ） . 变 形 公 式 ： 2 2 .2a bab ??
② （ 基 本 不 等 式 ） 2a b ab? ? ? ?a b R??， ,（ 当 且 仅 当 a b? 时 取 到 等 号 ） .变 形 公 式 ： 2a b ab? ? 2.2a bab ?? ??? ?? ?用 基 本 不 等 式 求 最 值 时 （ 积 定 和 最 小 ， 和 定 积 最 大 ） ， 要 注 意 满 足 三 个 条 件 “ 一 正 、 二 定 、 三 相 等 ” .③ （ 三 个 正 数 的 算 术 — 几 何 平 均 不 等 式 ） 33a b c abc? ? ? ( )a b c R??、 、 （ 当 且 仅 当 a b c? ? 时 取 到等 号 ） .④ ? ?2 2 2a b c ab bc ca a b R? ? ? ? ? ?，
（ 当 且 仅 当 a b c? ? 时 取 到 等 号 ） .⑤ 3 3 3 3 ( 0, 0, 0)a b c abc a b c? ? ? ? ? ?（ 当 且 仅 当 a b c? ? 时 取 到 等 号 ） .⑥ 0, 2b aab a b? ? ?若 则 （ 当 仅 当 a=b 时 取 等 号 ）0, 2b aab a b? ? ??若 则 （ 当 仅 当 a=b时 取 等 号 ）
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⑦ banb nama mbab ???????? 1其 中 ( 0 0 0)a b m n? ? ? ?， ，规 律 ： 小 于 1同 加 则 变 大 ， 大 于 1 同 加 则 变 小 .⑧ 2 20 ;a x a x a x a x a? ? ? ? ? ?? ?当 时 ， 或2 2 .x a x a a x a? ? ? ?? ? ?⑨ 绝 对 值 三 角 不 等 式 .a b a b a b? ? ? ? ?3、 几 个 著 名 不 等 式
① 平 均 不 等 式 ： 2 21 12 2 2a b a baba b? ? ? ?? ? ??? ?a b R??， ,（ 当 且 仅 当 a b? 时 取 " "? 号 ） .（ 即 调 和 平 均 ?几 何 平 均 ?算 术 平 均 ?平 方 平 均 ） .变 形 公 式 ： 2 2 2 ;2 2a b a bab ? ?? ?? ?? ?? ? 22 2 ( ) .2a ba b ?? ?② 幂 平 均 不 等 式 ：
2 2 2 21 2 1 21... ( ... ) .n na a a a a an? ? ? ? ? ? ?③ 二 维 形 式 的 三 角 不 等 式 ：2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )x y x y x x y y? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2( , , , ).x y x y R?④ 二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 ： 2 2 2 2 2( )( ) ( ) ( , , , ).a b c d ac bd a b c d R? ? ? ? ? 当 且 仅 当 ad bc? 时 ， 等 号成 立 .⑤ 三 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 ：2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( )( ) ( ) .a a a b b b ab a b a b? ? ? ? ? ? ?
⑥ 一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式 ： 2 2 2 2 2 21 2 1 2( ... )( ... )n na a a b b b? ? ? ? ? ? 21 1 2 2( ... ) .n nab a b a b? ? ? ?⑦ 向 量 形 式 的 柯 西 不 等 式 ：设 ,? ??? ?? 是 两 个 向 量 ， 则 ,? ? ? ?? ??? ?? ?? ?? 当 且 仅 当 ???是 零 向 量 ， 或 存 在 实 数 k ， 使 k? ???? ?? 时 ， 等 号 成立 .⑧ 排 序 不 等 式 （ 排 序 原 理 ） ： 设 1 2 1 2... , ...n na a a b b b? ? ? ? ? ? 为 两 组 实 数 . 1 2, ,..., nc c c 是 1 2, ,..., nb b b 的任 一 排 列 ， 则 1 2 1 1 1 1 2 2... ...n n n n nab a b a b a c a c a c?? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 2 ... .n nab a b a b? ? ? ? （ 反 序 和 ?乱 序 和 ?
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顺 序 和 ）当 且 仅 当 1 2 ... na a a? ? ? 或 1 2 ... nb b b? ? ? 时 ， 反 序 和 等 于 顺 序 和 .⑨ 琴 生 不 等 式 :（ 特 例 :凸 函 数 、 凹 函 数 ）若 定 义 在 某 区 间 上 的 函 数 ( )f x ,对 于 定 义 域 中 任 意 两 点 1 2 1 2, ( ),x x x x? 有1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .2 2 2 2x x f x f x x x f x f xf f? ? ? ?? ?或则 称 f(x)为 凸 （ 或 凹 ） 函 数 .4、 不 等 式 证 明 的 几 种 常 用 方 法常 用 方 法 有 ： 比 较 法 （ 作 差 ， 作 商 法 ） 、 综 合 法 、 分 析 法 ；其 它 方 法 有 ： 换 元 法 、 反 证 法 、 放 缩 法 、 构 造 法 ， 函 数 单 调 性 法 ， 数 学 归 纳 法 等 .常 见 不 等 式 的 放 缩 方 法 ：
① 舍 去 或 加 上 一 些 项 ， 如 2 21 3 1( ) ( ) ;2 4 2a a? ? ? ?② 将 分 子 或 分 母 放 大 （ 缩 小 ） ， 如21 1 ,( 1)k k k? ? 21 1 ,( 1)k k k? ?2 2 1 2( ) ,2 1k k k k k k? ? ?? ? ?1 2 ( , 1)1 k N kk k k? ? ?? ? 等 .5、 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法
求 一 元 二 次 不 等 式 2 0( 0)ax bx c? ? ? ?或2( 0, 4 0)a b ac? ?? ? ? 解 集 的 步 骤 ：一 化 ： 化 二 次 项 前 的 系 数 为 正 数 .二 判 ： 判 断 对 应 方 程 的 根 .三 求 ： 求 对 应 方 程 的 根 .四 画 ： 画 出 对 应 函 数 的 图 象 .五 解 集 ： 根 据 图 象 写 出 不 等 式 的 解 集 .规 律 ： 当 二 次 项 系 数 为 正 时 ， 小 于 取 中 间 ， 大 于 取 两 边 .6、 高 次 不 等 式 的 解 法 ： 穿 根 法 .分 解 因 式 ， 把 根 标 在 数 轴 上 ， 从 右 上 方 依 次 往 下 穿 （ 奇 穿 偶 切 ） ， 结 合 原 式 不 等 号 的 方 向 ， 写 出 不 等 式的 解 集 .
7、 分 式 不 等 式 的 解 法 ： 先 移 项 通 分 标 准 化 ， 则( ) 0 ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) 0( ) 0 ( ) 0( )f x f x g xg x f x g xf x g xg x ? ? ? ?? ??? ? ? ?? （ ? ?“ 或 ” 时 同 理 ）规 律 ： 把 分 式 不 等 式 等 价 转 化 为 整 式 不 等 式 求 解 .8、 无 理 不 等 式 的 解 法 ： 转 化 为 有 理 不 等 式 求 解
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⑴ 2( ) 0( ) ( 0) ( )f xf x a a f x a??? ? ? ? ??⑵ 2( ) 0( ) ( 0) ( )f xf x a a f x a??? ? ? ? ??⑶ 2( ) 0 ( ) 0( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0( ) [ ( )]f x f xf x g x g x g xf x g x?? ???? ? ?? ? ??? ?? 或⑷ 2( ) 0( ) ( ) ( ) 0( ) [ ( )]f xf x g x g xf x g x???? ? ??? ??
⑸ ( ) 0( ) ( ) ( ) 0( ) ( )f xf x g x g xf x g x???? ? ??? ??规 律 ： 把 无 理 不 等 式 等 价 转 化 为 有 理 不 等 式 ， 诀 窍 在 于 从 “ 小 ” 的 一 边 分 析 求 解 .9、 指 数 不 等 式 的 解 法 ：⑴ 当 1a ? 时 , ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x? ? ?⑵ 当 0 1a? ? 时 , ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x? ? ?规 律 ： 根 据 指 数 函 数 的 性 质 转 化 .10、 对 数 不 等 式 的 解 法⑴ 当 1a ? 时 , ( ) 0log ( ) log ( ) ( ) 0( ) ( )a a f xf x g x g xf x g x???? ? ??? ??
⑵ 当 0 1a? ? 时 , ( ) 0log ( ) log ( ) ( ) 0 .( ) ( )a a f xf x g x g xf x g x???? ? ??? ??规 律 ： 根 据 对 数 函 数 的 性 质 转 化 .11、 含 绝 对 值 不 等 式 的 解 法 ：⑴ 定 义 法 ： ( 0).( 0)a aa a a ????? ??⑵ 平 方 法 ： 2 2( ) ( ) ( ) ( ).f x g x f x g x? ? ?⑶ 同 解 变 形 法 ， 其 同 解 定 理 有 ：① ( 0);x a a x a a? ?? ? ? ?
② ( 0);x a x a x a a? ? ? ?? ?或③ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0)f x g x g x f x g x g x? ?? ? ? ?
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④ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0)f x g x f x g x f x g x g x? ? ? ? ? ?或规 律 ： 关 键 是 去 掉 绝 对 值 的 符 号 .12、 含 有 两 个 （ 或 两 个 以 上 ） 绝 对 值 的 不 等 式 的 解 法 ：规 律 ： 找 零 点 、 划 区 间 、 分 段 讨 论 去 绝 对 值 、 每 段 中 取 交 集 ， 最 后 取 各 段 的 并 集 .13、 含 参 数 的 不 等 式 的 解 法解 形 如 2 0ax bx c? ? ? 且 含 参 数 的 不 等 式 时 ， 要 对 参 数 进 行 分 类 讨 论 ， 分 类 讨 论 的 标 准 有 ：⑴ 讨 论 a与 0 的 大 小 ；⑵ 讨 论 ?与 0 的 大 小 ；⑶ 讨 论 两 根 的 大 小 .14、 恒 成 立 问 题
⑴ 不 等 式 2 0ax bx c? ? ? 的 解 集 是 全 体 实 数 （ 或 恒 成 立 ） 的 条 件 是 ：① 当 0a ? 时 0, 0;b c? ? ?② 当 0a ? 时 00.a ???????⑵ 不 等 式 2 0ax bx c? ? ? 的 解 集 是 全 体 实 数 （ 或 恒 成 立 ） 的 条 件 是 ：① 当 0a ? 时 0, 0;b c? ? ?② 当 0a ? 时 00.a???????
⑶ ( )f x a? 恒 成 立 max( ) ;f x a? ?( )f x a? 恒 成 立 max( ) ;f x a? ?⑷ ( )f x a? 恒 成 立 min( ) ;f x a? ?( )f x a? 恒 成 立 min( ) .f x a? ?15、 线 性 规 划 问 题⑴ 二 元 一 次 不 等 式 所 表 示 的 平 面 区 域 的 判 断 ：法 一 ： 取 点 定 域 法 ：由 于 直 线 0Ax By C? ? ? 的 同 一 侧 的 所 有 点 的 坐 标 代 入 Ax By C? ? 后 所 得 的 实 数 的 符 号 相 同 .所
以 ， 在 实 际 判 断 时 ， 往 往 只 需 在 直 线 某 一 侧 任 取 一 特 殊 点 0 0( , )x y （ 如 原 点 ） ， 由 0 0Ax By C? ? 的 正 负 即可 判 断 出 0Ax By C? ? ? (或 0)? 表 示 直 线 哪 一 侧 的 平 面 区 域 .即 ： 直 线 定 边 界 ， 分 清 虚 实 ； 选 点 定 区 域 ， 常 选 原 点 .法 二 ： 根 据 0Ax By C? ? ? (或 0)? ， 观 察 B的 符 号 与 不 等 式 开 口 的 符 号 ， 若 同 号 ，0Ax By C? ? ? (或 0)? 表 示 直 线 上 方 的 区 域 ； 若 异 号 ， 则 表 示 直 线 上 方 的 区 域 .即 ： 同 号 上 方 ， 异 号 下方 .
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⑵ 二 元 一 次 不 等 式 组 所 表 示 的 平 面 区 域 ：不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 是 各 个 不 等 式 所 表 示 的 平 面 区 域 的 公 共 部 分 .⑶ 利 用 线 性 规 划 求 目 标 函 数 z Ax By? ? ( ,A B为 常 数 ） 的 最 值 ：法 一 ： 角 点 法 ：如 果 目 标 函 数 z Ax By? ? （ x y、 即 为 公 共 区 域 中 点 的 横 坐 标 和 纵 坐 标 ） 的 最 值 存 在 ， 则 这 些 最 值 都在 该 公 共 区 域 的 边 界 角 点 处 取 得 ， 将 这 些 角 点 的 坐 标 代 入 目 标 函 数 ， 得 到 一 组 对 应 z 值 ， 最 大 的 那 个 数 为目 标 函 数 z 的 最 大 值 ， 最 小 的 那 个 数 为 目 标 函 数 z 的 最 小 值法 二 ： 画 — — 移 — — 定 — — 求 ：第 一 步 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 可 行 域 ； 第 二 步 ， 作 直 线 0 : 0l Ax By? ? ， 平 移 直 线 0l （ 据 可 行 域 ，
将 直 线 0l 平 行 移 动 ） 确 定 最 优 解 ； 第 三 步 ， 求 出 最 优 解 ( , )x y ； 第 四 步 ， 将 最 优 解 ( , )x y 代 入 目 标 函 数z Ax By? ? 即 可 求 出 最 大 值 或 最 小 值 .第 二 步 中 最 优 解 的 确 定 方 法 ：利 用 z 的 几 何 意 义 ： A zy xB B?? ? , zB 为 直 线 的 纵 截 距 .① 若 0,B ? 则 使 目 标 函 数 z Ax By? ? 所 表 示 直 线 的 纵 截 距 最 大 的 角 点 处 ， z 取 得 最 大 值 ， 使 直 线 的纵 截 距 最 小 的 角 点 处 ， z 取 得 最 小 值 ；
② 若 0,B? 则 使 目 标 函 数 z Ax By? ? 所 表 示 直 线 的 纵 截 距 最 大 的 角 点 处 ， z 取 得 最 小 值 ， 使 直 线 的纵 截 距 最 小 的 角 点 处 ， z 取 得 最 大 值 .⑷ 常 见 的 目 标 函 数 的 类 型 ：① “ 截 距 ” 型 ： ;z Ax By? ?② “ 斜 率 ” 型 ： yz x? 或 ;y bz x a?? ?③ “ 距 离 ” 型 ： 2 2z x y? ? 或 2 2;z x y? ?
2 2( ) ( )z x a y b? ? ? ? 或 2 2( ) ( ) .z x a y b? ? ? ?在 求 该 “ 三 型 ” 的 目 标 函 数 的 最 值 时 ， 可 结 合 线 性 规 划 与 代 数 式 的 几 何 意 义 求 解 ， 从 而 使 问 题 简 单 化 .数 学 选 修 2－ 1第 一 章 ： 命 题 与 逻 辑 结 构知 识 点 ：1、 命 题 ： 用 语 言 、 符 号 或 式 子 表 达 的 ， 可 以 判 断 真 假 的 陈 述 句 .真 命 题 ： 判 断 为 真 的 语 句 .假 命 题 ： 判 断 为 假 的 语 句 .
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2、 “ 若 p ， 则 q” 形 式 的 命 题 中 的 p 称 为 命 题 的 条 件 ， q称 为 命 题 的 结 论 .3、 对 于 两 个 命 题 ， 如 果 一 个 命 题 的 条 件 和 结 论 分 别 是 另 一 个 命 题 的 结 论 和 条 件 ， 则 这 两 个 命 题 称 为 互 逆 命 题 .其 中 一 个 命 题称 为 原 命 题 ， 另 一 个 称 为 原 命 题 的 逆 命 题 。 若 原 命 题 为 “ 若 p ， 则 q” ， 它 的 逆 命 题 为 “ 若 q， 则 p ” .4、 对 于 两 个 命 题 ， 如 果 一 个 命 题 的 条 件 和 结 论 恰 好 是 另 一 个 命 题 的 条 件 的 否 定 和 结 论 的 否 定 ， 则 这 两 个 命 题 称 为 互 否 命 题 .中 一 个 命 题 称 为 原 命 题 ， 另 一 个 称 为 原 命 题 的 否 命 题 .若 原 命 题 为 “ 若 p ， 则 q” ， 则 它 的 否 命 题 为 “ 若 p? ， 则 q? ” .5、 对 于 两 个 命 题 ， 如 果 一 个 命 题 的 条 件 和 结 论 恰 好 是 另 一 个 命 题 的 结 论 的 否 定 和 条 件 的 否 定 ， 则 这 两 个 命 题 称 为 互 为 逆 否命 题 。 其 中 一 个 命 题 称 为 原 命 题 ， 另 一 个 称 为 原 命 题 的 逆 否 命 题 。 若 原 命 题 为 “ 若 p ， 则 q” ， 则 它 的 否 命 题 为 “ 若 q? ，则 p? ” 。
6、 四 种 命 题 的 真 假 性 ：原 命 题 逆 命 题 否 命 题 逆 否 命 题真 真 真 真真 假 假 真假 真 真 假假 假 假 假四 种 命 题 的 真 假 性 之 间 的 关 系 ：? ?1 两 个 命 题 互 为 逆 否 命 题 ， 它 们 有 相 同 的 真 假 性 ；? ?2 两 个 命 题 为 互 逆 命 题 或 互 否 命 题 ， 它 们 的 真 假 性 没 有 关 系 ．7、 若 p q? ， 则 p 是 q的 充 分 条 件 ， q是 p 的 必 要 条 件 ．若 p q? ， 则 p 是 q的 充 要 条 件 （ 充 分 必 要 条 件 ） ．8、 用 联 结 词 “ 且 ” 把 命 题 p 和 命 题 q联 结 起 来 ， 得 到 一 个 新 命 题 ， 记 作 p q? ．
当 p 、 q都 是 真 命 题 时 ， p q? 是 真 命 题 ； 当 p 、 q两 个 命 题 中 有 一 个 命 题 是 假 命 题 时 ， p q? 是 假 命 题 ．用 联 结 词 “ 或 ” 把 命 题 p 和 命 题 q联 结 起 来 ， 得 到 一 个 新 命 题 ， 记 作 p q? ．当 p 、 q两 个 命 题 中 有 一 个 命 题 是 真 命 题 时 ， p q? 是 真 命 题 ； 当 p 、 q两 个 命 题 都 是 假 命 题 时 ， p q? 是 假 命 题 ．对 一 个 命 题 p 全 盘 否 定 ， 得 到 一 个 新 命 题 ， 记 作 p? ． 若 p 是 真 命 题 ， 则 p? 必 是 假 命 题 ； 若 p 是 假 命 题 ， 则 p? 必是 真 命 题 ．9、 短 语 “ 对 所 有 的 ” 、 “ 对 任 意 一 个 ” 在 逻 辑 中 通 常 称 为 全 称 量 词 ， 用 “ ?” 表 示 ．含 有 全 称 量 词 的 命 题 称 为 全 称 命 题 ．全 称 命 题 “ 对 ?中 任 意 一 个 x， 有 ? ?p x 成 立 ” ， 记 作 “ x? ??， ? ?p x ” ．短 语 “ 存 在 一 个 ” 、 “ 至 少 有 一 个 ” 在 逻 辑 中 通 常 称 为 存 在 量 词 ， 用 “ ?” 表 示 ． 含 有 存 在 量 词 的 命 题 称 为 特 称 命 题 ．特 称 命 题 “ 存 在 ?中 的 一 个 x， 使 ? ?p x 成 立 ” ， 记 作 “ x? ??， ? ?p x ” ．10、 全 称 命 题 p ： x? ??， ? ?p x ， 它 的 否 定 p? ： x? ??， ? ?p x? 。 全 称 命 题 的 否 定 是 特 称 命 题 。
特 称 命 题 p ： x? ??， ? ?p x ， 它 的 否 定 p? ： x? ??， ? ?p x? 。 特 称 命 题 的 否 定 是 全 称 命 题 。第 二 章 ： 圆 锥 曲 线知 识 点 ：1、 求 曲 线 的 方 程 （ 点 的 轨 迹 方 程 ） 的 步 骤 ： 建 、 设 、 限 、 代 、 化① 建 立 适 当 的 直 角 坐 标 系 ；② 设 动 点 ? ?,M x y 及 其 他 的 点 ；③ 找 出 满 足 限 制 条 件 的 等 式 ；④ 将 点 的 坐 标 代 入 等 式 ；⑤ 化 简 方 程 ， 并 验 证 （ 查 漏 除 杂 ） 。2、 平 面 内 与 两 个 定 点 1F ， 2F 的 距 离 之 和 等 于 常 数 （ 大 于 1 2F F ） 的 点 的 轨 迹 称 为 椭 圆 。 这 两 个 定 点 称 为 椭 圆 的 焦 点 ， 两焦 点 的 距 离 称 为 椭 圆 的 焦 距 。 ? ?1 2 2 2 2MF MF a a c? ? ?3、 椭 圆 的 几 何 性 质 ：焦 点 的 位 置 焦 点 在 x 轴 上 焦 点 在 y 轴 上
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图 形标 准 方 程 ? ?2 22 2 1 0x y a ba b? ? ? ? ? ?2 22 2 1 0y x a ba b? ? ? ?第 一 定 义 到 两 定 点 21F F、 的 距 离 之 和 等 于 常 数 2a， 即 21| | | | 2MF MF a? ? （ 212 | |a FF? ）第 二 定 义 与 一 定 点 的 距 离 和 到 一 定 直 线 的 距 离 之 比 为 常 数 e， 即 (0 1)MF e ed ? ? ?范 围 a x a? ? ? 且 b y b? ? ? b x b? ? ? 且 a y a? ? ?
顶 点 ? ?1 ,0a? ? 、 ? ?2 ,0a?? ?1 0, b? ? 、 ? ?2 0,b? ? ?1 0, a? ? 、 ? ?2 0,a?? ?1 ,0b? ? 、 ? ?2 ,0b?轴 长 长 轴 的 长 2a? 短 轴 的 长 2b?对 称 性 关 于 x轴 、 y 轴 对 称 ， 关 于 原 点 中 心 对 称焦 点 ? ?1 ,0F c? 、 ? ?2 ,0F c ? ?1 0,F c? 、 ? ?2 0,F c焦 距 2 2 21 2 2 ( )FF c c a b? ? ?离 心 率 2 2 2 22 2 21 (0 1)c c a b be ea a a a?? ? ? ? ? ? ?
准 线 方 程 2ax c?? 2ay c??焦 半 径0, 0( )M x y 左 焦 半 径 ： 1 0MF a ex? ?右 焦 半 径 ： 2 0MF a ex? ? 下 焦 半 径 ： 1 0MF a ey? ?上 焦 半 径 ： 2 0MF a ey? ?焦 点 三 角 形 面 积 1 2 2 1 2tan ( )2MF FS b FMF? ?? ? ??通 径 过 焦 点 且 垂 直 于 长 轴 的 弦 叫 通 径 ： 2bHH a? ?（ 焦 点 ） 弦 长 公 式 1, 1 2, 2( ), ( )A x y B x y ， 2 2 21 2 1 2 1 21 1 ( ) 4AB k x x k x x x x? ? ? ? ? ? ?
4、 设 ?是 椭 圆 上 任 一 点 ， 点 ? 到 1F 对 应 准 线 的 距 离 为 1d ， 点 ?到 2F 对 应 准 线 的 距 离 为 2d ， 则 1 21 2F F ed d? ?? ? 。5、 平 面 内 与 两 个 定 点 1F ， 2F 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 常 数 （ 小 于 1 2F F ） 的 点 的 轨 迹 称 为 双 曲 线 。 这 两 个 定 点 称 为 双曲 线 的 焦 点 ， 两 焦 点 的 距 离 称 为 双 曲 线 的 焦 距 。 ? ?1 2 2 2 2MF MF a a c? ? ?6、 双 曲 线 的 几 何 性 质 ：焦 点 的 位 置 焦 点 在 x 轴 上 焦 点 在 y 轴 上
第 57 页7、 实 轴 和 虚 轴 等 长 的 双 曲 线 称 为 等 轴 双 曲 线 。8、 设 ? 是 双 曲 线 上 任 一 点 ， 点 ?到 1F 对 应 准 线 的 距 离 为 1d ， 点 ?到 2F 对 应 准 线 的 距 离 为 2d ， 则 1 21 2F F ed d? ?? ? 。9、 平 面 内 与 一 个 定 点 F 和 一 条 定 直 线 l 的 距 离 相 等 的 点 的 轨 迹 称 为 抛 物 线 ． 定 点 F 称 为 抛 物 线 的 焦 点 ， 定 直 线 l 称 为抛 物 线 的 准 线 ．10、 过 抛 物 线 的 焦 点 作 垂 直 于 对 称 轴 且 交 抛 物 线 于 ?、 ?两 点 的 线 段 ??， 称 为 抛 物 线 的 “ 通 径 ” ， 即 2p?? ? ．
图 形标 准 方 程 ? ?2 22 2 1 0, 0x y a ba b? ? ? ? ? ?2 22 2 1 0, 0y x a ba b? ? ? ?第 一 定 义 到 两 定 点 21F F、 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 常 数 2a， 即 21| | | | 2MF MF a? ? （ 210 2 | |a FF? ? ）第 二 定 义 与 一 定 点 的 距 离 和 到 一 定 直 线 的 距 离 之 比 为 常 数 e， 即 ( 1)MF e ed ? ?范 围 x a?? 或 x a? ， y R? y a?? 或 y a? ， x R?
顶 点 ? ?1 ,0a? ? 、 ? ?2 ,0a? ? ?1 0, a? ? 、 ? ?2 0,a?轴 长 实 轴 的 长 2a? 虚 轴 的 长 2b?对 称 性 关 于 x轴 、 y 轴 对 称 ， 关 于 原 点 中 心 对 称焦 点 ? ?1 ,0F c? 、 ? ?2 ,0F c ? ?1 0,F c? 、 ? ?2 0,F c焦 距 2 2 21 2 2 ( )FF c c a b? ? ?离 心 率 2 2 2 22 2 21 ( 1)c c a b be ea a a a?? ? ? ? ? ?准 线 方 程 2ax c?? 2ay c??
渐 近 线 方 程 by xa?? ay xb??焦 半 径0, 0( )M x y M 在 右 支 1 02 0MF ex aMF ex a? ? ??? ? ???左 焦 ：右 焦 ：M 在 左 支 1 02 0MF ex aMF ex a? ?? ??? ?? ???左 焦 ：右 焦 ： M 在 上 支 1 02 0MF ey aMF ey a? ? ??? ? ???左 焦 ：右 焦 ：M 在 下 支 1 02 0MF ey aMF ey a? ?? ??? ?? ???左 焦 ：右 焦 ：焦 点 三 角 形 面 积 1 2 2 1 2cot ( )2MF FS b FMF? ?? ? ??通 径 过 焦 点 且 垂 直 于 长 轴 的 弦 叫 通 径 ： 2bHH a? ?
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11、 焦 半 径 公 式 ：若 点 ? ?0 0,x y? 在 抛 物 线 ? ?2 2 0y px p? ? 上 ， 焦 点 为 F ， 则 0 2pF x? ? ? ； 、
若 点 ? ?0 0,x y? 在 抛 物 线 ? ?2 2 0y px p?? ? 上 ， 焦 点 为 F ， 则 0 2pF x? ?? ? ；若 点 ? ?0 0,x y? 在 抛 物 线 ? ?2 2 0x py p? ? 上 ， 焦 点 为 F ， 则 0 2pF y? ? ? ；若 点 ? ?0 0,x y? 在 抛 物 线 ? ?2 2 0x py p?? ? 上 ， 焦 点 为 F ， 则 0 2pF y? ?? ? ．12、 抛 物 线 的 几 何 性 质 ：关 于 抛 物 线 焦 点 弦 的 几 个 结 论 ：设 AB 为 过 抛 物 线 2 2 ( 0)y px p? ? 焦 点 的 弦 ， 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、 ， 直 线 AB 的 倾 斜 角 为 ? ，
图 形标 准 方 程 2 2y px?? ?0p ? 2 2y px? ?? ?0p ? 2 2x py?? ?0p ? 2 2x py? ?? ?0p ?定 义 与 一 定 点 F 和 一 条 定 直 线 l的 距 离 相 等 的 点 的 轨 迹 叫 做 抛 物 线 (定 点 F 不 在 定 直 线 l上 )顶 点 ? ?0,0离 心 率 1e?对 称 轴 x 轴 y 轴
范 围 0x? 0x? 0y ? 0y ?焦 点 ,02pF ? ?? ?? ? ,02pF ? ??? ?? ? 0, 2pF ? ?? ?? ? 0, 2pF ? ??? ?? ?准 线 方 程 2px ? ? 2px ? 2py ? ? 2py ?焦 半 径0, 0( )M x y 0 2pMF x? ? 0 2pMF x?? ? 0 2pMF y? ? 0 2pMF y?? ?通 径 过 抛 物 线 的 焦 点 且 垂 直 于 对 称 轴 的 弦 称 为 通 径 ： 2HH p? ?
焦 点 弦 长公 式 1 2AB x x p? ? ?参 数 p 的 几何 意 义 参 数 p 表 示 焦 点 到 准 线 的 距 离 ， p 越 大 ， 开 口 越 阔
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则 ⑴ 2 21 2 1 2, ;4px x y y p? ?? ⑵ 22 ;sinpAB ??⑶ 以 AB 为 直 径 的 圆 与 准 线 相 切 ；⑷ 焦 点 F 对 A B、 在 准 线 上 射 影 的 张 角 为 2?；⑸ 1 1 2.| | | |FA FB P? ?第 三 章 ：空 间 向 量 知 识 点 ：
1、 空 间 向 量 的 概 念 ：（ 1） 在 空 间 ， 具 有 大 小 和 方 向 的 量 称 为 空 间 向 量 ．（ 2） 向 量 可 用 一 条 有 向 线 段 来 表 示 ． 有 向 线 段 的 长 度 表 示 向 量 的 大 小 ， 箭 头 所 指 的 方 向 表 示 向 量 的 方 向 ．（ 3） 向 量 ??????的 大 小 称 为 向 量 的 模 （ 或 长 度 ） ， 记 作 ?????? ．（ 4） 模 （ 或 长 度 ） 为 0的 向 量 称 为 零 向 量 ； 模 为 1的 向 量 称 为 单 位 向 量 ．（ 5） 与 向 量 a?长 度 相 等 且 方 向 相 反 的 向 量 称 为 a?的 相 反 向 量 ， 记 作 a??．（ 6） 方 向 相 同 且 模 相 等 的 向 量 称 为 相 等 向 量 ．2、 空 间 向 量 的 加 法 和 减 法 ：（ 1） 求 两 个 向 量 和 的 运 算 称 为 向 量 的 加 法 ， 它 遵 循 平 行 四 边 形 法 则 ． 即 ： 在 空 间 以 同 一 点 ?
为 起 点 的 两 个 已 知 向 量 a?、 b? 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 C?? ?， 则 以 ?起 点 的 对 角 线 C?????就 是 a?与 b? 的 和 ， 这 种 求 向 量 和 的 方 法 ， 称 为 向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则 ．（ 2） 求 两 个 向 量 差 的 运 算 称 为 向 量 的 减 法 ， 它 遵 循 三 角 形 法 则 ． 即 ： 在 空 间 任 取 一 点 ?， 作 a??????? ?，b??????? ?， 则 a b??? ????? ?? ．3、 实 数 ? 与 空 间 向 量 a?的 乘 积 a??是 一 个 向 量 ， 称 为 向 量 的 数 乘 运 算 ． 当 0? ? 时 ， a?? 与 a?方 向相 同 ； 当 0?? 时 ， a?? 与 a?方 向 相 反 ； 当 0?? 时 ， a?? 为 零 向 量 ， 记 为 0? ． a?? 的 长 度 是 a?的 长 度 的 ? 倍 ．
4、 设 ?， ? 为 实 数 ， a?， b? 是 空 间 任 意 两 个 向 量 ， 则 数 乘 运 算 满 足 分 配 律 及 结 合 律 ．分 配 律 ： ? ?a b a b? ? ?? ? ?? ?? ? ； 结 合 律 ： ? ? ? ?a a? ? ???? ?．5、 如 果 表 示 空 间 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 互 相 平 行 或 重 合 ， 则 这 些 向 量 称 为 共 线 向 量 或 平 行 向 量 ， 并 规 定 零 向 量 与 任 何 向 量都 共 线 ．6、 向 量 共 线 的 充 要 条 件 ： 对 于 空 间 任 意 两 个 向 量 a?， ? ?0b b ?? ? ， //a b?? 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 ? ， 使 a b?? ?? ．7、 平 行 于 同 一 个 平 面 的 向 量 称 为 共 面 向 量 ．8、 向 量 共 面 定 理 ： 空 间 一 点 ?位 于 平 面 C?? 内 的 充 要 条 件 是 存 在 有 序 实 数 对 x ， y ， 使 x y C??? ??? ????? ???? ???? ； 或 对 空 间 任一 定 点 ?， 有 x y C?????? ??? ????? ???? ???? ????； 或 若 四 点 ?， ?， ?， C 共 面 ， 则 ? ?1x y z C x y z??? ??? ??? ? ? ? ????? ???? ???? ???? ．
9、 已 知 两 个 非 零 向 量 a?和 b? ， 在 空 间 任 取 一 点 ?， 作 a??????? ? ， b??????? ?， 则 ????称 为 向 量 a?， b? 的 夹 角 ， 记 作 ,a b? ??? ． 两个 向 量 夹 角 的 取 值 范 围 是 ： ? ?, 0,a b ?? ???? ．
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10、 对 于 两 个 非 零 向 量 a?和 b? ， 若 , 2a b ?? ???? ， 则 向 量 a?， b? 互 相 垂 直 ， 记 作 a b? ?? ．11、 已 知 两 个 非 零 向 量 a?和 b? ， 则 cos ,a b a b? ?? ?? ? 称 为 a?， b? 的 数 量 积 ， 记 作 a b? ?? ． 即 cos ,a b a b a b? ? ? ?? ? ?? ? ? ． 零 向 量 与任 何 向 量 的 数 量 积 为 0．12、 a b? ?? 等 于 a?的 长 度 a? 与 b? 在 a?的 方 向 上 的 投 影 cos ,b a b? ?? ?? 的 乘 积 ．13若 a?， b? 为 非 零 向 量 ， e? 为 单 位 向 量 ， 则 有? ?1 cos ,e a a e a a e? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ； ? ?2 0a b a b? ? ? ?? ?? ? ；? ?3 ? ?? ?a b a ba b a b a b??? ? ???? ? ?? ??? ? ?? ?与 同 向与 反 向
， 2a a a? ?? ? ? ， a a a? ?? ? ? ； ? ?4 cos , a ba b a b?? ?? ???? ?? ； ? ?5 a b a b? ?? ?? ? ．14量 数 乘 积 的 运 算 律 ：? ?1 a b b a? ? ?? ?? ?； ? ?2 ? ? ? ? ? ?a b a b a b? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ； ? ?3 ? ?a b c a c b c? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ?．15、 空 间 向 量 基 本 定 理 ： 若 三 个 向 量 a?， b? ， c? 不 共 面 ， 则 对 空 间 任 一 向 量 p? ， 存 在 实 数 组 ? ?, ,x y z ， 使 得 p xa yb zc? ? ??? ? ? ．16、 三 个 向 量 a?， b? ， c? 不 共 面 ， 则 所 有 空 间 向 量 组 成 的 集 合 是 ? ?, , ,p p xa yb zc x y z R? ? ? ??? ? ? ? ． 这 个 集 合 可 看 作 是 由 向量 a?， b? ， c? 生 成 的 ， ? ?, ,a b c?? ? 称 为 空 间 的 一 个 基 底 ， a?， b? ， c? 称 为 基 向 量 ． 空 间 任 意 三 个 不 共 面 的 向 量 都 可 以 构 成 空
间 的 一 个 基 底 ．17、 设 1e??， 2e???， 3e??为 有 公 共 起 点 ?的 三 个 两 两 垂 直 的 单 位 向 量 （ 称 它 们 为 单 位 正 交 基 底 ） ， 以 1e??， 2e???， 3e??的 公 共 起 点 ?为原 点 ， 分 别 以 1e?? ， 2e???， 3e?? 的 方 向 为 x轴 ， y 轴 ， z 轴 的 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 xyz? ． 则 对 于 空 间 任 意 一 个 向 量 p? ，一 定 可 以 把 它 平 移 ， 使 它 的 起 点 与 原 点 ?重 合 ， 得 到 向 量 p??????? ? ． 存 在 有 序 实 数 组 ? ?, ,x y z ， 使 得 1 2 3p xe ye ze? ? ??? ??? ??? ． 把x， y ， z 称 作 向 量 p? 在 单 位 正 交 基 底 1e??， 2e???， 3e?? 下 的 坐 标 ， 记 作 ? ?, ,p x y z?? ． 此 时 ， 向 量 p? 的 坐 标 是 点 ?在 空 间直 角 坐 标 系 xyz? 中 的 坐 标 ? ?, ,x y z ．
18、 设 ? ?1 1 1, ,a x y z?? ， ? ?2 2 2, ,b x y z?? ， 则（ 1） ? ?1 2 1 2 1 2, ,a b x x y y z z? ? ? ? ??? ．（ 2） ? ?1 2 1 2 1 2, ,a b x x y y z z? ? ? ? ??? ．（ 3） ? ?1 1 1, ,a x y z? ? ? ??? ．（ 4） 1 2 1 2 1 2a b x x y y z z? ? ? ??? ．（ 5） 若 a?、 b? 为 非 零 向 量 ， 则 1 2 1 2 1 20 0a b a b x x y y z z? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ．
（ 6） 若 0b ?? ? ， 则 1 2 1 2 1 2// , ,a b a b x x y y z z? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ．（ 7） 2 2 21 1 1a a a x y z? ? ? ? ?? ? ? ．
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（ 8） 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2cos , x x y y z za ba b a b x y z x y z? ??? ?? ? ? ? ? ? ????? ?? ．（ 9） ? ?1 1 1, ,x y z? ， ? ?2 2 2, ,x y z?? ， 则 ? ? ? ? ? ?2 2 22 1 2 1 2 1d x x y y z z?? ? ?? ? ? ? ? ? ????? ．19、 在 空 间 中 ， 取 一 定 点 ?作 为 基 点 ， 那 么 空 间 中 任 意 一 点 ?的 位 置 可 以 用 向 量 ?????? 来 表 示 ． 向 量 ?????? 称 为 点 ?的 位 置 向量 ．20、 空 间 中 任 意 一 条 直 线 l的 位 置 可 以 由 l上 一 个 定 点 ?以 及 一 个 定 方 向 确 定 ． 点 ?是 直 线 l上 一 点 ， 向 量 a?表 示 直 线 l的方 向 向 量 ， 则 对 于 直 线 l上 的 任 意 一 点 ?， 有 ta??????? ? ， 这 样 点 ?和 向 量 a?不 仅 可 以 确 定 直 线 l的 位 置 ， 还 可 以 具 体 表 示
出 直 线 l上 的 任 意 一 点 ．21、 空 间 中 平 面 ? 的 位 置 可 以 由 ? 内 的 两 条 相 交 直 线 来 确 定 ． 设 这 两 条 相 交 直 线 相 交 于 点 ?， 它 们 的 方 向 向 量 分 别 为 a?，b? ． ?为 平 面 ? 上 任 意 一 点 ， 存 在 有 序 实 数 对 ? ?,x y ， 使 得 xa yb??? ????? ?? ， 这 样 点 ?与 向 量 a?， b? 就 确 定 了 平 面 ? 的位 置 ．22、 直 线 l垂 直 ? ， 取 直 线 l的 方 向 向 量 a?， 则 向 量 a?称 为 平 面 ? 的 法 向 量 ．23、 若 空 间 不 重 合 两 条 直 线 a， b 的 方 向 向 量 分 别 为 a?， b? ，则 // //a b a b? ??? ? ?a b R? ?? ??? ， 0a b a b a b? ? ? ? ? ?? ?? ? ．24、 若 直 线 a的 方 向 向 量 为 a?， 平 面 ? 的 法 向 量 为 n?， 且 a ?? ，
则 // //a a? ?? ? 0a n a n? ? ? ? ?? ? ? ? ， //a a a n a n? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?．25、 若 空 间 不 重 合 的 两 个 平 面 ? ， ? 的 法 向 量 分 别 为 a?， b? ， 则 // //a b? ? ? ??? a b?? ?? ， 0a b a b? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ．26、 设 异 面 直 线 a， b 的 夹 角 为 ? ， 方 向 向 量 为 a?， b? ， 其 夹 角 为 ? ， 则 有 cos cos a ba b? ? ?? ? ?? ?? ．27、 设 直 线 l 的 方 向 向 量 为 l? ， 平 面 ? 的 法 向 量 为 n? ， l 与 ? 所 成 的 角 为 ? ， l? 与 n? 的 夹 角 为 ? ， 则 有sin cos l nl n? ? ?? ? ? ?? ? ．
28、 设 1n?? ， 2n???是 二 面 角 l? ?? ? 的 两 个 面 ? ， ? 的 法 向 量 ， 则 向 量 1n?? ， 2n???的 夹 角 （ 或 其 补 角 ） 就 是 二 面 角 的 平 面 角 的大 小 ． 若 二 面 角 l? ?? ? 的 平 面 角 为 ? ， 则 1 21 2cos n nn n? ?? ?? ????? ??? ．29、 点 ?与 点 ?之 间 的 距 离 可 以 转 化 为 两 点 对 应 向 量 ??????的 模 ?????? 计 算 ．30 、 在 直 线 l 上 找 一 点 ? ， 过 定 点 ? 且 垂 直 于 直 线 l 的 向 量 为 n? ， 则 定 点 ? 到 直 线 l 的 距 离 为cos , nd n n???? ?? ??? ? ? ???? ????? ???? ? ? ．
31、 点 ?是 平 面 ? 外 一 点 ， ? 是 平 面 ? 内 的 一 定 点 ， n? 为 平 面 ? 的 一 个 法 向 量 ， 则 点 ? 到 平 面 ? 的 距 离 为cos , nd n n???? ?? ??? ? ? ???? ????? ???? ? ? ．
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数 学 选 修 2-2导 数 及 其 应 用一 .导 数 概 念 的 引 入1. 导 数 的 物 理 意 义 ：瞬 时 速 率 。 一 般 的 ， 函 数 ( )y f x? 在 0x x? 处 的 瞬 时 变 化 率 是 0 00 ( ) ( )limx f x x f xx? ? ?? ?? ，我 们 称 它 为 函 数 ( )y f x? 在 0x x? 处 的 导 数 ， 记 作 0( )f x? 或 0|x xy ?? ， 即 0( )f x? = 0 00 ( ) ( )limx f x x f xx? ? ?? ??2. 导 数 的 几 何 意 义 ：曲 线 的 切 线 .通 过 图 像 ,我 们 可 以 看 出 当 点 nP 趋 近 于 P 时 ， 直 线 PT 与 曲 线 相 切 。 容 易 知 道 ， 割 线 nPP 的 斜 率 是00( ) ( )nn nf x f xk x x?? ?
， 当 点 nP 趋 近 于 P 时 ， 函 数 ( )y f x? 在 0x x? 处 的 导 数 就 是 切 线 PT 的 斜 率 k ， 即0 00 0( ) ( )lim ( )nx nf x f xk f xx x? ? ? ?? ??3. 导 函 数 ： 当 x变 化 时 ， ( )f x? 便 是 x的 一 个 函 数 ， 我 们 称 它 为 ( )f x 的 导 函 数 . ( )y f x? 的 导 函 数 有 时 也 记 作 y?,即0 ( ) ( )( ) limx f x x f xf x x? ? ?? ?? ? ?二 .导 数 的 计 算基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 :1若 ( )f x c? (c为 常 数 )， 则 ( ) 0f x? ? ； 2 若 ( )f x x?? ,则 1( )f x x?? ?? ? ;
3 若 ( ) sinf x x? ,则 ( ) cosf x x? ? 4 若 ( ) cosf x x? ,则 ( ) sinf x x? ?? ;5 若 ( ) xf x a? ,则 ( ) lnxf x a a? ? 6 若 ( ) xf x e? ,则 ( ) xf x e? ?7 若 ( ) logxaf x ? ,则 1( ) lnf x x a? ? 8 若 ( ) lnf x x? ,则 1( )f x x? ?导 数 的 运 算 法 则1. [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x f x g x? ? ?? ? ? 2. [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x? ? ?? ? ? ? ?3. 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) [ ( )]f x f x g x f x g xg x g x? ?? ? ???复 合 函 数 求 导 ( )y f u? 和 ( )u g x? ,称 则 y 可 以 表 示 成 为 x 的 函 数 ,即 ( ( ))y f g x? 为 一 个 复 合 函 数( ( )) ( )y f g x g x? ? ?? ?
三 .导 数 在 研 究 函 数 中 的 应 用1.函 数 的 单 调 性 与 导 数 :一 般 的 ,函 数 的 单 调 性 与 其 导 数 的 正 负 有 如 下 关 系 ： 在 某 个 区 间 ( , )a b 内(1)如 果 ( ) 0f x? ? ， 那 么 函 数 ( )y f x? 在 这 个 区 间 单 调 递 增 ； (2)如 果 ( ) 0f x? ? ， 那 么 函 数 ( )y f x? 在 这 个 区 间 单 调 递 减 .2.函 数 的 极 值 与 导 数极 值 反 映 的 是 函 数 在 某 一 点 附 近 的 大 小 情 况 .求 函 数 ( )y f x? 的 极 值 的 方 法 是 :（ 1） 如 果 在 0x 附 近 的 左 侧 ( ) 0f x? ? ,右 侧 ( ) 0f x? ? ,那 么 0( )f x 是 极 大 值 （ 2） 如 果 在 0x 附近 的 左 侧 ( ) 0f x? ? ,右 侧 ( ) 0f x? ? ,那 么 0( )f x 是 极 小 值 ;4.函 数 的 最 大 (小 )值 与 导 数求 函 数 ( )y f x? 在 [ , ]a b 上 的 最 大 值 与 最 小 值 的 步 骤 ： （ 1） 求 函 数 ( )y f x? 在 ( , )a b 内 的 极 值 ；
（ 2） 将 函 数 ( )y f x? 的 各 极 值 与 端 点 处 的 函 数 值 ( )f a ， ( )f b 比 较 ， 其 中 最 大 的 是 一 个 最 大 值 ， 最 小 的 是 最 小 值 .推 理 与 证 明
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考 点 一 合 情 推 理 与 类 比 推 理根 据 一 类 事 物 的 部 分 对 象 具 有 某 种 性 质 ,退 出 这 类 事 物 的 所 有 对 象 都 具 有 这 种 性 质 的 推 理 ,叫 做 归 纳 推 理 ,归 纳 是 从 特 殊到 一 般 的 过 程 ,它 属 于 合 情 推 理根 据 两 类 不 同 事 物 之 间 具 有 某 些 类 似 (或 一 致 )性 ,推 测 其 中 一 类 事 物 具 有 与 另 外 一 类 事 物 类 似 的 性 质 的 推 理 ,叫 做 类 比 推理 . 类 比 推 理 的 一 般 步 骤 :(1) 找 出 两 类 事 物 的 相 似 性 或 一 致 性 ;(2) 用 一 类 事 物 的 性 质 去 推 测 另 一 类 事 物 的 性 质 ,得 出 一 个 明 确 的 命 题 (猜 想 );(3) 一 般 的 ,事 物 之 间 的 各 个 性 质 并 不 是 孤 立 存 在 的 ,而 是 相 互 制 约 的 .如 果 两 个 事 物 在 某 些 性 质 上 相 同 或 相 似 ,那 么 他 们在 另 一 写 性 质 上 也 可 能 相 同 或 类 似 ,类 比 的 结 论 可 能 是 真 的 .(4) 一 般 情 况 下 ,如 果 类 比 的 相 似 性 越 多 ,相 似 的 性 质 与 推 测 的 性 质 之 间 越 相 关 ,那 么 类 比 得 出 的 命 题 越 可 靠 .
考 点 二 演 绎 推 理 (俗 称 三 段 论 )由 一 般 性 的 命 题 推 出 特 殊 命 题 的 过 程 ,这 种 推 理 称 为 演 绎 推 理 .考 点 三 数 学 归 纳 法1. 它 是 一 个 递 推 的 数 学 论 证 方 法 .2. 步 骤 :A.命 题 在 n=1（ 或 0n ） 时 成 立 ， 这 是 递 推 的 基 础 ； B.假 设 在 n=k时 命 题 成 立 ； C.证 明 n=k+1时 命 题 也 成 立 ,完 成 这 两 步 ,就 可 以 断 定 对 任 何 自 然 数 (或 n>= 0n ,且 n N? )结 论 都 成 立 。考 点 三 证 明1. 反 证 法 : 2、 分 析 法 : 3、 综 合 法 :数 系 的 扩 充 和 复 数 的 概 念复 数 的 概 念
(1) 复 数 :形 如 ( , )a bi a R b R? ? ? 的 数 叫 做 复 数 ， a和 b 分 别 叫 它 的 实 部 和 虚 部 .(2) 分 类 :复 数 ( , )a bi a R b R? ? ? 中 ,当 0b? ,就 是 实 数 ; 0b? ,叫 做 虚 数 ;当 0, 0a b? ? 时 ,叫 做 纯 虚 数 .(3) 复 数 相 等 :如 果 两 个 复 数 实 部 相 等 且 虚 部 相 等 就 说 这 两 个 复 数 相 等 .(4) 共 轭 复 数 :当 两 个 复 数 实 部 相 等 ,虚 部 互 为 相 反 数 时 ,这 两 个 复 数 互 为 共 轭 复 数 .(5) 复 平 面 :建 立 直 角 坐 标 系 来 表 示 复 数 的 平 面 叫 做 复 平 面 ,x轴 叫 做 实 轴 ， y轴 除 去 原 点 的 部 分 叫 做 虚 轴 。(6) 两 个 实 数 可 以 比 较 大 小 ， 但 两 个 复 数 如 果 不 全 是 实 数 就 不 能 比 较 大 小 。复 数 的 运 算1.复 数 的 加 ， 减 ， 乘 ， 除 按 以 下 法 则 进 行设 1 2, ( , , , )z a bi z c di a b c d R? ? ? ? ? 则
（ 1 ） 1 2 ( ) ( )z z a c b d i? ? ? ? ? （ 2 ） 1 2 ( ) ( )z z ac bd ad bc i? ? ? ? ? （ 3 ）1 22 22 ( ) ( ) ( 0)z ac bd ad bc i zz c d? ? ?? ??2,几 个 重 要 的 结 论(1) 2 2 2 21 2 1 2 1 2| | | | 2(| | | | )z z z z z z? ? ? ? ? (2) 2 2| | | |z z z z? ? ? (3)若 z 为 虚 数 ,则 2 2| |z z?3.运 算 律(1) m n m nz z z ?? ? ;(2) ( )m n mnz z? ;(3) 1 2 1 2( ) ( , )n n nz z z z m n R? ? ? ?4.关 于 虚 数 单 位 i的 一 些 固 定 结 论 ：
（ 1） 2 1i ?? （ 2） 3i i?? （ 3） 4 1i ? （ 2） 2 3 4 0n n n ni i i i? ? ?? ? ? ?数 学 选 修 2－ 3
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第 一 章 计 数 原 理知 识 点 ：1、 分 类 加 法 计 数 原 理 ： 做 一 件 事 情 ， 完 成 它 有 N类 办 法 ， 在 第 一 类 办 法 中 有 M1种 不 同 的 方 法 ， 在 第 二 类 办 法 中 有 M2种 不同 的 方 法 ， ……， 在 第 N类 办 法 中 有 MN种 不 同 的 方 法 ， 那 么 完 成 这 件 事 情 共 有 M1+M2+……+MN种 不 同 的 方 法 。2、 分 步 乘 法 计 数 原 理 ： 做 一 件 事 ， 完 成 它 需 要 分 成 N个 步 骤 ， 做 第 一 步 有 m1种 不 同 的 方 法 ， 做 第 二 步 有 M2不 同 的 方法 ， ……， 做 第 N步 有 MN不 同 的 方 法 .那 么 完 成 这 件 事 共 有 N=M1M2...MN 种 不 同 的 方 法 。3、 排 列 ： 从 n 个 不 同 的 元 素 中 任 取 m(m≤n)个 元 素 ， 按 照 一 定 顺 序． ． ． ． ． ． 排 成 一 列 ， 叫 做 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m 个 元 素 的 一 个排 列4、 排 列 数 ： ),,()!( !)1()1( Nmnnmmn nmnnnAm ???????? ?5、 组 合 ： 从 n个 不 同 的 元 素 中 任 取 m(m≤ n)个 元 素 并 成 一 组 ， 叫 做 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m 个 元 素 的 一 个 组 合 。
6、 组 合 数 ： )!(! !! )1()1( mnm nCm mnnnAAC mnmmmnmn ??????? ? )!(! !)1()1( mnm nCnnnAAC mnmmmnmn ??????? ?;mn nmn CC ?? mnmnm n CCC 11 ?? ??7、 二 项 式 定 理 ： ( )a b C a C a b C a b C a b C bn n n n n n n nr n r r nn n? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?0 1 1 2 2 2 … …8、 二 项 式 通 项 公 式二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 ： ， … …T C a b r nr nr n r r? ?? ?1 0 1( )第 二 章 随 机 变 量 及 其 分 布1、 随 机 变 量 ： 如 果 随 机 试 验 可 能 出 现 的 结 果 可 以 用 一 个 变 量 X来 表 示 ， 并 且 X是 随 着 试 验 的 结 果 的 不 同 而 变 化 ， 那 么 这 样的 变 量 叫 做 随 机 变 量 ． 随 机 变 量 常 用 大 写 字 母 X、 Y等 或 希 腊 字 母 ξ 、 η 等 表 示 。
2、 离 散 型 随 机 变 量 ： 在 上 面 的 射 击 、 产 品 检 验 等 例 子 中 ， 对 于 随 机 变 量 X 可 能 取 的 值 ， 我 们 可 以 按 一 定 次 序 一 一 列 出 ， 这样 的 随 机 变 量 叫 做 离 散 型 随 机 变 量 ．3、 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 ： 一 般 的 ,设 离 散 型 随 机 变 量 X可 能 取 的 值 为 x1,x2,.....,xi ,......,xnX取 每 一 个 值 xi(i=1,2,......） 的 概 率 P(ξ =xi） ＝ Pi， 则 称 表 为 离 散 型 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 ， 简 称 分 布 列4、 分 布 列 性 质 ① p
i≥ 0,i=1， 2， … ； ② p1 +p2 +… +pn=1．5、 二 点 分 布 ： 如 果 随 机 变 量 X的 分 布 列 为 ：其 中 0
7、 条 件 概 率 ： 对 任 意 事 件 A和 事 件 B， 在 已 知 事 件 A发 生 的 条 件 下 事 件 B发 生 的 概 率 ， 叫 做 条 件 概 率 .记 作 P(B|A)， 读 作A发 生 的 条 件 下 B的 概 率8、 公 式 ： .0)(,)( )()|( ?? APAPABPABP9、 相 互 独 立 事 件 ： 事 件 A(或 B)是 否 发 生 对 事 件 B(或 A)发 生 的 概 率 没 有 影 响 ,这 样 的 两 个 事 件 叫 做 相 互 独 立 事 件 。)()()( BPAPBAP ???10、 n次 独 立 重 复 事 件 ： 在 同 等 条 件 下 进 行 的 ， 各 次 之 间 相 互 独 立 的 一 种 试 验11、 二 项 分 布 ： 设 在 n次 独 立 重 复 试 验 中 某 个 事 件 A发 生 的 次 数 ， A发 生 次 数 ξ 是 一 个 随 机 变 量 ． 如 果 在 一 次 试 验 中 某 事
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件 发 生 的 概 率 是 p， 事 件 A不 发 生 的 概 率 为 q=1-p， 那 么 在 n次 独 立 重 复 试 验 中 )( kP ?? knkkn qpC ?? （ 其 中 k=0,1, … … ,n，q=1-p ）于 是 可 得 随 机 变 量 ξ 的 概 率 分 布 如 下 ：这 样 的 随 机 变 量 ξ 服 从 二 项 分 布 ， 记 作 ξ～ B(n， p) ， 其 中 n， p为 参 数12、 数 学 期 望 ： 一 般 地 ， 若 离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 概 率 分 布 为
则 称 Eξ ＝ x1p1＋ x2p2＋ … ＋ xnpn＋ … 为 ξ 的 数 学 期 望 或 平 均 数 、 均 值 ， 数 学 期 望 又 简 称 为 期 望 ． 是 离 散 型 随 机 变 量 。13、 方 差 :D(ξ )=(x1-Eξ )2· P1+（ x2-Eξ )2· P2 +......+（ xn-Eξ )2· Pn 叫 随 机 变 量 ξ 的 均 方 差 ， 简 称 方 差 。14、 集 中 分 布 的 期 望 与 方 差 一 览 ：15、 正 态 分 布 ：若 概 率 密 度 曲 线 就 是 或 近 似 地 是 函 数 ),(,21)(
2 22 )( ?????? ?? xexf x ????的 图 像 ， 其 中 解 析 式 中 的 实 数 0)? ? ? ?、 （ 是 参 数 ， 分 别 表 示 总 体 的 平 均 数 与 标 准 差 ．则 其 分 布 叫 正 态 分 布 ( , )N ? ?记 作 ： ， f(x)的 图 象 称 为 正 态 曲 线 。16、 基 本 性 质 ：① 曲 线 在 x轴 的 上 方 ， 与 x轴 不 相 交 ．② 曲 线 关 于 直 线 x=? 对 称 ， 且 在 x=? 时 位 于 最 高 点 .③ 当 时 ??x ， 曲 线 上 升 ； 当 时 ??x ， 曲 线 下 降 ． 并 且 当 曲 线 向 左 、 右 两 边无 限 延 伸 时 ， 以 x轴 为 渐 近 线 ， 向 它 无 限 靠 近 ．④ 当 ?一 定 时 ， 曲 线 的 形 状 由 ? 确 定 ． ? 越 大 ， 曲 线 越 “ 矮 胖 ” ， 表 示 总 体 的分 布 越 分 散 ； ? 越 小 ， 曲 线 越 “ 瘦 高 ” ， 表 示 总 体 的 分 布 越 集 中 ．
⑤ 当 σ 相 同 时 ,正 态 分 布 曲 线 的 位 置 由 期 望 值 μ 来 决 定 .⑥ 正 态 曲 线 下 的 总 面 积 等 于 1.17、 3? 原 则 ：从 上 表 看 到 ,正 态 总 体 在 )2,2( ???? ?? 以 外 取 值 的 概 率 只 有 4.6%,在 )3,3( ???? ?? 以 外 取 值 的 概 率 只 有 0.3%由 于 这 些 概 率 很 小 ,通 常 称 这 些 情 况 发 生 为 小 概 率 事 件 .也 就 是 说 ,通 常 认 为 这 些 情 况 在 一 次 试 验 中 几 乎 是 不 可 能 发 生 的 .第 三 章 统 计 案 例独 立 性 检 验假 设 有 两 个 分 类 变 量 X和 Y， 它 们 的 值 域 分 另 为 {x
1,x2}和 {y1,y2}， 其 样 本 频 数 列 联 表 为 ：y1 y2 总 计x1 a b a+bx2 c d c+d总 计 a+c b+d a+b+c+d若 要 推 断 的 论 述 为 H1： “X与 Y有 关 系 ”， 可 以 利 用 独 立 性 检 验 来 考 察 两 个 变 量 是 否 有 关 系 ， 并 且 能 较 精 确 地 给 出 这 种 判断 的 可 靠 程 度 。 具 体 的 做 法 是 ， 由 表 中 的 数 据 算 出 随 机 变 量 K^2 的 值 （ 即 K 的 平 方 ） K
2 = n (ad - bc) 2 /
期 望 方 差两 点 分 布 Eξ =p Dξ =pq， q=1-p二 项 分 布 ， ξ ～ B（ n,p） Eξ =np Dξ =qEξ =npq， （ q=1-p）
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[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]， 其 中 n=a+b+c+d为 样 本 容 量 ， K2的 值 越 大 ， 说 明 “X与 Y有 关 系 ”成 立 的 可 能 性 越 大 。K2≤3.841时 ， X与 Y无 关 ； K2>3.841时 ， X与 Y有 95%可 能 性 有 关 ； K2>6.635时 X与 Y有 99%可 能 性 有 关回 归 分 析回 归 直 线 方 程 bxay ???其 中 xSSSPxx yyxxxnx yxnxyb ?? ?????? ???? ??? 222 )( ))(()(11 , xbya ??高 中 数 学 选 修 4-1知 识 点 总 结平 行 线 等 分 线 段 定 理平 行 线 等 分 线 段 定 理 ： 如 果 一 组 平 行 线 在 一 条 直 线 上 截 得 的 线 段 相 等 ， 那 么 在 其 他 直 线 上 截 得 的 线 段 也 相等 。
推 理 1： 经 过 三 角 形 一 边 的 中 点 与 另 一 边 平 行 的 直 线 必 平 分 第 三 边 。推 理 2： 经 过 梯 形 一 腰 的 中 点 ， 且 与 底 边 平 行 的 直 线 平 分 另 一 腰 。平 分 线 分 线 段 成 比 例 定 理平 分 线 分 线 段 成 比 例 定 理 ： 三 条 平 行 线 截 两 条 直 线 ， 所 得 的 对 应 线 段 成 比 例 。推 论 ： 平 行 于 三 角 形 一 边 的 直 线 截 其 他 两 边 （ 或 两 边 的 延 长 线 ） 所 得 的 对 应 线 段 成 比 例 。相 似 三 角 形 的 判 定 及 性 质相 似 三 角 形 的 判 定 ：定 义 ： 对 应 角 相 等 ， 对 应 边 成 比 例 的 两 个 三 角 形 叫 做 相 似 三 角 形 。 相 似 三 角 形 对 应 边 的 比 值 叫 做 相 似 比 （ 或相 似 系 数 ） 。由 于 从 定 义 出 发 判 断 两 个 三 角 形 是 否 相 似 ， 需 考 虑 6个 元 素 ， 即 三 组 对 应 角 是 否 分 别 相 等 ， 三 组 对 应 边 是否 分 别 成 比 例 ， 显 然 比 较 麻 烦 。 所 以 我 们 曾 经 给 出 过 如 下 几 个 判 定 两 个 三 角 形 相 似 的 简 单 方 法 ：（ 1） 两 角 对 应 相 等 ， 两 三 角 形 相 似 ；（ 2） 两 边 对 应 成 比 例 且 夹 角 相 等 ， 两 三 角 形 相 似 ；
（ 3） 三 边 对 应 成 比 例 ， 两 三 角 形 相 似 。预 备 定 理 ： 平 行 于 三 角 形 一 边 的 直 线 和 其 他 两 边 （ 或 两 边 的 延 长 线 ） 相 交 ， 所 构 成 的 三 角 形 与 三 角 形 相 似 。判 定 定 理 1： 对 于 任 意 两 个 三 角 形 ， 如 果 一 个 三 角 形 的 两 个 角 与 另 一 个 三 角 形 的 两 个 角 对 应 相 等 ， 那 么 这两 个 三 角 形 相 似 。 简 述 为 ： 两 角 对 应 相 等 ， 两 三 角 形 相 似 。判 定 定 理 2： 对 于 任 意 两 个 三 角 形 ， 如 果 一 个 三 角 形 的 两 边 和 另 一 个 三 角 形 的 两 边 对 应 成 比 例 ， 并 且 夹 角相 等 ， 那 么 这 两 个 三 角 形 相 似 。 简 述 为 ： 两 边 对 应 成 比 例 且 夹 角 相 等 ， 两 三 角 形 相 似 。判 定 定 理 3： 对 于 任 意 两 个 三 角 形 ， 如 果 一 个 三 角 形 的 三 条 边 和 另 一 个 三 角 形 的 三 条 边 对 应 成 比 例 ， 那 么这 两 个 三 角 形 相 似 。 简 述 为 ： 三 边 对 应 成 比 例 ， 两 三 角 形 相 似 。引 理 ： 如 果 一 条 直 线 截 三 角 形 的 两 边 （ 或 两 边 的 延 长 线 ） 所 得 的 对 应 线 段 成 比 例 ， 那 么 这 条 直 线 平 行 于 三角 形 的 第 三 边 。定 理 ： （ 1） 如 果 两 个 直 角 三 角 形 有 一 个 锐 角 对 应 相 等 ， 那 么 它 们 相 似 ；（ 2） 如 果 两 个 直 角 三 角 形 的 两 条 直 角 边 对 应 成 比 例 ， 那 么 它 们 相 似 。定 理 ： 如 果 一 个 直 角 三 角 形 的 斜 边 和 一 条 直 角 边 与 另 一 个 三 角 形 的 斜 边 和 直 角 边 对 应 成 比 例 ， 那 么 这 两 个
直 角 三 角 形 相 似 。相 似 三 角 形 的 性 质 ：（ 1） 相 似 三 角 形 对 应 高 的 比 、 对 应 中 线 的 比 和 对 应 平 分 线 的 比 都 等 于 相 似 比 ；（ 2） 相 似 三 角 形 周 长 的 比 等 于 相 似 比 ；（ 3） 相 似 三 角 形 面 积 的 比 等 于 相 似 比 的 平 方 。相 似 三 角 形 外 接 圆 的 直 径 比 、 周 长 比 等 于 相 似 比 ， 外 接 圆 的 面 积 比 等 于 相 似 比 的 平 方 。直 角 三 角 形 的 射 影 定 理射 影 定 理 ： 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 高 是 两 直 角 边 在 斜 边 上 射 影 的 比 例 中 项 ； 两 直 角 边 分 别 是 它 们 在 斜 边 上 射影 与 斜 边 的 比 例 中 项 。圆 周 定 理
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圆 周 角 定 理 ： 圆 上 一 条 弧 所 对 的 圆 周 角 等 于 它 所 对 的 圆 周 角 的 一 半 。圆 心 角 定 理 ： 圆 心 角 的 度 数 等 于 它 所 对 弧 的 度 数 。推 论 1： 同 弧 或 等 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 ； 同 圆 或 等 圆 中 ， 相 等 的 圆 周 角 所 对 的 弧 相 等 。推 论 2： 半 圆 （ 或 直 径 ） 所 对 的 圆 周 角 是 直 角 ； 90° 的 圆 周 角 所 对 的 弦 是 直 径 。圆 内 接 四 边 形 的 性 质 与 判 定 定 理定 理 1： 圆 的 内 接 四 边 形 的 对 角 互 补 。定 理 2： 圆 内 接 四 边 形 的 外 角 等 于 它 的 内 角 的 对 角 。圆 内 接 四 边 形 判 定 定 理 ： 如 果 一 个 四 边 形 的 对 角 互 补 ， 那 么 这 个 四 边 形 的 四 个 顶 点 共 圆 。推 论 ： 如 果 四 边 形 的 一 个 外 角 等 于 它 的 内 角 的 对 角 ， 那 么 这 个 四 边 形 的 四 个 顶 点 共 圆 。圆 的 切 线 的 性 质 及 判 定 定 理切 线 的 性 质 定 理 ： 圆 的 切 线 垂 直 于 经 过 切 点 的 半 径 。推 论 1： 经 过 圆 心 且 垂 直 于 切 线 的 直 线 必 经 过 切 点 。推 论 2： 经 过 切 点 且 垂 直 于 切 线 的 直 线 必 经 过 圆 心 。
切 线 的 判 定 定 理 ： 经 过 半 径 的 外 端 并 且 垂 直 于 这 条 半 径 的 直 线 是 圆 的 切 线 。弦 切 角 的 性 质弦 切 角 定 理 ： 弦 切 角 等 于 它 所 夹 的 弧 所 对 的 圆 周 角 。与 圆 有 关 的 比 例 线 段相 交 弦 定 理 ： 圆 内 的 两 条 相 交 弦 ， 被 交 点 分 成 的 两 条 线 段 长 的 积 相 等 。割 线 定 理 ： 从 园 外 一 点 引 圆 的 两 条 割 线 ， 这 一 点 到 每 条 割 线 与 圆 的 交 点 的 两 条 线 段 长 的 积 相 等 。切 割 线 定 理 ： 从 圆 外 一 点 引 圆 的 切 线 和 割 线 ， 切 线 长 是 这 点 到 割 线 与 圆 交 点 的 两 条 线 段 长 的 比 例 中 项 。切 线 长 定 理 ： 从 圆 外 一 点 引 圆 的 两 条 切 线 ， 它 们 的 切 线 长 相 等 ， 圆 心 和 这 一 点 的 连 线 平 分 两 条 切 线 的 夹 角 。选 修 4-4数 学 知 识 点一 、 选 考 内 容 《 坐 标 系 与 参 数 方 程 》 高 考 考 试 大 纲 要 求 ：1． 坐 标 系 ：① 理 解 坐 标 系 的 作 用 .② 了 解 在 平 面 直 角 坐 标 系 伸 缩 变 换 作 用 下 平 面 图 形 的 变 化 情 况 .
③ 能 在 极 坐 标 系 中 用 极 坐 标 表 示 点 的 位 置 ， 理 解 在 极 坐 标 系 和 平 面 直 角 坐 标 系 中 表 示 点 的 位 置 的 区 别 ，能 进 行 极 坐 标 和 直 角 坐 标 的 互 化 .④ 能 在 极 坐 标 系 中 给 出 简 单 图 形 （ 如 过 极 点 的 直 线 、 过 极 点 或 圆 心 在 极 点 的 圆 ） 的 方 程 .通 过 比 较 这 些 图形 在 极 坐 标 系 和 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 方 程 ， 理 解 用 方 程 表 示 平 面 图 形 时 选 择 适 当 坐 标 系 的 意 义 .2． 参 数 方 程 ： ① 了 解 参 数 方 程 ， 了 解 参 数 的 意 义 .② 能 选 择 适 当 的 参 数 写 出 直 线 、 圆 和 圆 锥 曲 线 的 参 数 方 程 .二 、 知 识 归 纳 总 结 ：1． 伸 缩 变 换 ： 设 点 ),( yxP 是 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 任 意 一 点 ， 在 变 换 ??? ???? ???? ).0(,yy 0),(x,x: ?? ??? 的 作 用 下 ，点 ),( yxP 对 应 到 点 ),( yxP ??? ， 称 ? 为 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 坐 标 伸 缩 变 换 ， 简 称 伸 缩 变 换 。
2.极 坐 标 系 的 概 念 ： 在 平 面 内 取 一 个 定 点 O， 叫 做 极 点 ； 自 极 点 O引 一 条 射 线 Ox 叫 做 极 轴 ； 再 选 定 一 个长 度 单 位 、 一 个 角 度 单 位 (通 常 取 弧 度 )及 其 正 方 向 (通 常 取 逆 时 针 方 向 )， 这 样 就 建 立 了 一 个 极 坐 标 系 。3． 点 M 的 极 坐 标 ： 设 M 是 平 面 内 一 点 ， 极 点 O与 点 M 的 距 离 ||OM 叫 做 点 M 的 极 径 ， 记 为 ? ； 以 极轴 Ox 为 始 边 ， 射 线 OM 为 终 边 的 xOM? 叫 做 点 M 的 极 角 ， 记 为 ? 。 有 序 数 对 ),( ?? 叫 做 点 M 的 极 坐标 ， 记 为 ),( ??M .极 坐 标 ),( ?? 与 )Z)(2,( ?? kk??? 表 示 同 一 个 点 。 极 点 O的 坐 标 为 )R)(,0( ??? .
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4.若 0?? ,则 0??? ,规 定 点 ),( ??? 与 点 ),( ?? 关 于 极 点 对 称 ， 即 ),( ??? 与 ),( ??? ? 表 示 同 一 点 。如 果 规 定 ??? 20,0 ??? ， 那 么 除 极 点 外 ， 平 面 内 的 点 可 用 唯 一 的 极 坐 标 ),( ?? 表 示 ； 同 时 ， 极 坐 标),( ?? 表 示 的 点 也 是 唯 一 确 定 的 。5． 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化 ：6。 圆 的 极 坐 标 方 程 ：
在 极 坐 标 系 中 ， 以 极 点 为 圆 心 ， r为 半 径 的 圆 的 极 坐 标 方 程 是 r?? ；在 极 坐 标 系 中 ， 以 )0,(aC )0( ?a 为 圆 心 ， a为 半 径 的 圆 的 极 坐 标 方 程 是 ?? cos2a? ；在 极 坐 标 系 中 ， 以 )2,( ?aC )0( ?a 为 圆 心 ， a为 半 径 的 圆 的 极 坐 标 方 程 是 ?? sin2a? ；7.在 极 坐 标 系 中 ， )0( ?? ??? 表 示 以 极 点 为 起 点 的 一 条 射 线 ； )R( ?? ??? 表 示 过 极 点 的 一 条 直 线 .在 极 坐 标 系 中 ， 过 点 )0)(0,( ?aaA ， 且 垂 直 于 极 轴 的 直 线 l的 极 坐 标 方 程 是 a???cos .8． 参 数 方 程 的 概 念 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 如 果 曲 线 上 任 意 一 点 的 坐 标 yx, 都 是 某 个 变 数 t 的 函 数??? ?? ),( ),(tgy tfx
并 且 对 于 t的 每 一 个 允 许 值 ， 由 这 个 方 程 所 确 定 的 点 ),( yxM 都 在 这 条 曲 线 上 ， 那 么 这 个 方 程就 叫 做 这 条 曲 线 的 参 数 方 程 ， 联 系 变 数 yx, 的 变 数 t叫 做 参 变 数 ， 简 称 参 数 。相 对 于 参 数 方 程 而 言 ， 直 接 给 出 点 的 坐 标 间 关 系 的 方 程 叫 做 普 通 方 程 。9． 圆 222 )()( rbyax ???? 的 参 数 方 程 可 表 示 为 )(.sin ,cos 为 参 数?????? ?? ?? rby rax .椭 圆 12222 ?? byax )0( ??ba 的 参 数 方 程 可 表 示 为 )(.sin ,cos 为 参 数?????? ?? by ax .
抛 物 线 pxy 22 ? 的 参 数 方 程 可 表 示 为 )(.2 ,2 2 为 参 数tpty pxx??? ?? .经 过 点 ),( ooO yxM ， 倾 斜 角 为 ? 的 直 线 l的 参 数 方 程 可 表 示 为 ??? ?? ?? .sin ,cosoo ??tyy txx （ t为 参 数 ） .10． 在 建 立 曲 线 的 参 数 方 程 时 ， 要 注 明 参 数 及 参 数 的 取 值 范 围 。 在 参 数 方 程 与 普 通 方 程 的 互 化 中 ， 必 须 使yx, 的 取 值 范 围 保 持 一 致 .高 中 数 学 选 修 4--5 知 识 点
)0(nt,sin ,cos,222 ??? ??? xxyay xyx ??? ???
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1、 不 等 式 的 基 本 性 质① （ 对 称 性 ） a b b a? ? ?② （ 传 递 性 ） ,a b b c a c? ? ? ?③ （ 可 加 性 ） a b a c b c? ? ? ? ?（ 同 向 可 加 性 ） dbcadcba ?????? ,（ 异 向 可 减 性 ） dbcadcba ?????? ,④ （ 可 积 性 ） bcaccba ???? 0, bcaccba ???? 0,
⑤ （ 同 向 正 数 可 乘 性 ） 0, 0a b c d ac bd? ? ? ? ? ?（ 异 向 正 数 可 除 性 ） 0,0 a ba b c d c d? ? ? ? ? ?⑥ （ 平 方 法 则 ） 0 ( , 1)n na b a b n N n? ? ? ? ? ?且⑦ （ 开 方 法 则 ） 0 ( , 1)n na b a b n N n? ? ? ? ? ?且⑧ （ 倒 数 法 则 ） babababa 110;110 ????????2、 几 个 重 要 不 等 式
① ? ?2 2 2a b ab a b R? ? ?， ,（ 当 且 仅 当 a b? 时 取 " "? 号 ） . 变 形 公 式 ： 2 2 .2a bab ??② （ 基 本 不 等 式 ） 2a b ab? ? ? ?a b R??， ,（ 当 且 仅 当 a b? 时 取 到 等 号 ） .变 形 公 式 ： 2a b ab? ? 2.2a bab ?? ??? ?? ?用 基 本 不 等 式 求 最 值 时 （ 积 定 和 最 小 ， 和 定 积 最 大 ） ， 要 注 意 满 足 三 个 条 件 “ 一 正 、 二 定 、 三 相 等 ” .③ （ 三 个 正 数 的 算 术 — 几 何 平 均 不 等 式 ） 33a b c abc? ? ? ( )a b c R??、 、 （ 当 且 仅 当 a b c? ? 时 取 到
等 号 ） .④ ? ?2 2 2a b c ab bc ca a b R? ? ? ? ? ?，（ 当 且 仅 当 a b c? ? 时 取 到 等 号 ） .⑤ 3 3 3 3 ( 0, 0, 0)a b c abc a b c? ? ? ? ? ?（ 当 且 仅 当 a b c? ? 时 取 到 等 号 ） .
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⑥ 0, 2b aab a b? ? ?若 则 （ 当 仅 当 a=b时 取 等 号 ）0, 2b aab a b? ? ??若 则 （ 当 仅 当 a=b时 取 等 号 ）⑦ banb nama mbab ???????? 1 ， （ 其 中 0 0 0)a b m n? ? ? ?， ，规 律 ： 小 于 1同 加 则 变 大 ， 大 于 1同 加 则 变 小 .⑧ 2 20 ;a x a x a x a x a? ? ? ? ? ?? ?当 时 ， 或2 2 .x a x a a x a? ? ? ?? ? ?
⑨ 绝 对 值 三 角 不 等 式 .a b a b a b? ? ? ? ?3、 几 个 著 名 不 等 式① 平 均 不 等 式 ： 2 21 12 2 2a b a baba b? ? ? ?? ? ?? ， ,a b R??（ ， 当 且 仅 当 a b? 时 取 " "? 号 ） .（ 即 调 和 平 均 ?几 何 平 均 ?算 术 平 均 ?平 方 平 均 ） .变 形 公 式 ： 2 2 2 ;2 2a b a bab ? ?? ?? ?? ?? ? 22 2 ( ) .2a ba b ?? ?② 幂 平 均 不 等 式 ：2 2 2 2
1 2 1 21... ( ... ) .n na a a a a an? ? ? ? ? ? ?③ 二 维 形 式 的 三 角 不 等 式 ：2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )x y x y x x y y? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 2( , , , ).x y x y R?④ 二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 ：2 2 2 2 2( )( ) ( ) ( , , , ).a b c d ac bd a b c d R? ? ? ? ? 当 且 仅 当 ad bc? 时 ， 等 号 成 立 .⑤ 三 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 ：2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( )( ) ( ) .a a a b b b ab a b a b? ? ? ? ? ? ?⑥ 一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式 ：2 2 2 2 2 21 2 1 2( ... )( ... )n na a a b b b? ? ? ? ? ? 21 1 2 2( ... ) .n nab a b a b? ? ? ?
⑦ 向 量 形 式 的 柯 西 不 等 式 ：设 ,? ??? ?? 是 两 个 向 量 ， 则 ,? ? ? ?? ??? ?? ?? ?? 当 且 仅 当 ???是 零 向 量 ， 或 存 在 实 数 k ， 使 k? ???? ?? 时 ， 等 号 成 立 .⑧ 排 序 不 等 式 （ 排 序 原 理 ） ：设 1 2 1 2... , ...n na a a b b b? ? ? ? ? ? 为 两 组 实 数 . 1 2, ,..., nc c c 是 1 2, ,..., nb b b 的 任 一 排 列 ， 则1 2 1 1 1 1 2 2... ...n n n n nab a b a b a c a c a c?? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 2 ... .n nab a b a b? ? ? ? （ 反 序 和 ?乱 序 和 ?顺 序 和 ） ， 当
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且 仅 当 1 2 ... na a a? ? ? 或 1 2 ... nb b b? ? ? 时 ， 反 序 和 等 于 顺 序 和 .⑨ 琴 生 不 等 式 :（ 特 例 :凸 函 数 、 凹 函 数 ）若 定 义 在 某 区 间 上 的 函 数 ( )f x ,对 于 定 义 域 中 任 意 两 点 1 2 1 2, ( ),x x x x? 有1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .2 2 2 2x x f x f x x x f x f xf f? ? ? ?? ?或 则 称 f(x)为 凸 （ 或 凹 ） 函 数 .4、 不 等 式 证 明 的 几 种 常 用 方 法常 用 方 法 有 ： 比 较 法 （ 作 差 ， 作 商 法 ） 、 综 合 法 、 分 析 法 ；其 它 方 法 有 ： 换 元 法 、 反 证 法 、 放 缩 法 、 构 造 法 ， 函 数 单 调 性 法 ， 数 学 归 纳 法 等 .常 见 不 等 式 的 放 缩 方 法 ：① 舍 去 或 加 上 一 些 项 ， 如 2 21 3 1( ) ( ) ;2 4 2a a? ? ? ?
② 将 分 子 或 分 母 放 大 （ 缩 小 ） ，如 21 1 ,( 1)k k k? ? 21 1 ,( 1)k k k? ? 2 2 1 2 ,2 1k k k k k k? ? ?? ? ?1 2 ( , 1)1 k N kk k k? ? ?? ? 等 .5、 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法求 一 元 二 次 不 等 式 2 0( 0)ax bx c? ? ? ?或2( 0, 4 0)a b ac? ?? ? ? 解 集 的 步 骤 ：一 化 ： 化 二 次 项 前 的 系 数 为 正 数 .
二 判 ： 判 断 对 应 方 程 的 根 .三 求 ： 求 对 应 方 程 的 根 .四 画 ： 画 出 对 应 函 数 的 图 象 .五 解 集 ： 根 据 图 象 写 出 不 等 式 的 解 集 .规 律 ： 当 二 次 项 系 数 为 正 时 ， 小 于 取 中 间 ， 大 于 取 两 边 .6、 高 次 不 等 式 的 解 法 ： 穿 根 法 .分 解 因 式 ， 把 根 标 在 数 轴 上 ， 从 右 上 方 依 次 往 下 穿 （ 奇 穿 偶 切 ） ， 结 合 原 式 不 等 号 的 方 向 ， 写 出 不 等 式 的解 集 .7、 分 式 不 等 式 的 解 法 ： 先 移 项 通 分 标 准 化 ， 则( ) 0 ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) 0( ) 0 ( ) 0( )f x f x g xg x f x g xf x g xg x ? ? ? ?? ??? ? ? ??
（ ? ?“ 或 ” 时 同 理 ）规 律 ： 把 分 式 不 等 式 等 价 转 化 为 整 式 不 等 式 求 解 .8、 无 理 不 等 式 的 解 法 ： 转 化 为 有 理 不 等 式 求 解⑴ 2( ) 0( ) ( 0) ( )f xf x a a f x a??? ? ? ? ??
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⑵ 2( ) 0( ) ( 0) ( )f xf x a a f x a??? ? ? ? ??⑶ 2( ) 0 ( ) 0( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0( ) [ ( )]f x f xf x g x g x g xf x g x?? ???? ? ?? ? ??? ?? 或⑷ 2( ) 0( ) ( ) ( ) 0( ) [ ( )]f xf x g x g xf x g x???? ? ??? ??⑸ ( ) 0( ) ( ) ( ) 0( ) ( )f xf x g x g xf x g x???? ? ??? ??
规 律 ： 把 无 理 不 等 式 等 价 转 化 为 有 理 不 等 式 ， 诀 窍 在 于 从 “ 小 ” 的 一 边 分 析 求 解 .9、 指 数 不 等 式 的 解 法 ：⑴ 当 1a ? 时 , ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x? ? ?⑵ 当 0 1a? ? 时 , ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x? ? ?规 律 ： 根 据 指 数 函 数 的 性 质 转 化 .10、 对 数 不 等 式 的 解 法⑴ 当 1a ? 时 , ( ) 0log ( ) log ( ) ( ) 0( ) ( )a a f xf x g x g xf x g x???? ? ??? ??
⑵ 当 0 1a? ? 时 , ( ) 0log ( ) log ( ) ( ) 0 .( ) ( )a a f xf x g x g xf x g x???? ? ??? ??规 律 ： 根 据 对 数 函 数 的 性 质 转 化 .11、 含 绝 对 值 不 等 式 的 解 法 ：⑴ 定 义 法 ： ( 0).( 0)a aa a a ????? ??⑵ 平 方 法 ： 2 2( ) ( ) ( ) ( ).f x g x f x g x? ? ?⑶ 同 解 变 形 法 ， 其 同 解 定 理 有 ：① ( 0);x a a x a a? ?? ? ? ?② ( 0);x a x a x a a? ? ? ?? ?或
③ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0)f x g x g x f x g x g x? ?? ? ? ?④ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0)f x g x f x g x f x g x g x? ? ? ? ? ?或规 律 ： 关 键 是 去 掉 绝 对 值 的 符 号 .12、 含 有 两 个 （ 或 两 个 以 上 ） 绝 对 值 的 不 等 式 的 解 法 ：
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规 律 ： 找 零 点 、 划 区 间 、 分 段 讨 论 去 绝 对 值 、 每 段 中 取 交 集 ， 最 后 取 各 段 的 并 集 .13、 含 参 数 的 不 等 式 的 解 法解 形 如 2 0ax bx c? ? ? 且 含 参 数 的 不 等 式 时 ， 要 对 参 数 进 行 分 类 讨 论 ， 分 类 讨 论 的 标 准 有 ：⑴ 讨 论 a与 0的 大 小 ；⑵ 讨 论 ?与 0的 大 小 ；⑶ 讨 论 两 根 的 大 小 .14、 恒 成 立 问 题⑴ 不 等 式 2 0ax bx c? ? ? 的 解 集 是 全 体 实 数 （ 或 恒 成 立 ） 的 条 件 是 ：① 当 0a ? 时 0, 0;b c? ? ?
② 当 0a ? 时 00.a ???????⑵ 不 等 式 2 0ax bx c? ? ? 的 解 集 是 全 体 实 数 （ 或 恒 成 立 ） 的 条 件 是 ：① 当 0a ? 时 0, 0;b c? ? ?② 当 0a ? 时 00.a???????⑶ ( )f x a? 恒 成 立 max( ) ;f x a? ?( )f x a? 恒 成 立 max( ) ;f x a? ?
⑷ ( )f x a? 恒 成 立 min( ) ;f x a? ?( )f x a? 恒 成 立 min( ) .f x a? ?15、 线 性 规 划 问 题⑴ 二 元 一 次 不 等 式 所 表 示 的 平 面 区 域 的 判 断 ：法 一 ： 取 点 定 域 法 ：由 于 直 线 0Ax By C? ? ? 的 同 一 侧 的 所 有 点 的 坐 标 代 入 Ax By C? ? 后 所 得 的 实 数 的 符 号 相 同 .所 以 ， 在实 际 判 断 时 ， 往 往 只 需 在 直 线 某 一 侧 任 取 一 特 殊 点 0 0( , )x y （ 如 原 点 ） ， 由 0 0Ax By C? ? 的 正 负 即 可 判 断出 0Ax By C? ? ? (或 0)? 表 示 直 线 哪 一 侧 的 平 面 区 域 .
即 ： 直 线 定 边 界 ， 分 清 虚 实 ； 选 点 定 区 域 ， 常 选 原 点 .法 二 ： 根 据 0Ax By C? ? ? (或 0)? ， 观 察 B的 符 号 与 不 等 式 开 口 的 符 号 ， 若 同 号 ， 0Ax By C? ? ? (或0)? 表 示 直 线 上 方 的 区 域 ； 若 异 号 ， 则 表 示 直 线 上 方 的 区 域 .即 ： 同 号 上 方 ， 异 号 下 方 .⑵ 二 元 一 次 不 等 式 组 所 表 示 的 平 面 区 域 ：不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 是 各 个 不 等 式 所 表 示 的 平 面 区 域 的 公 共 部 分 .⑶ 利 用 线 性 规 划 求 目 标 函 数 z Ax By? ? ( ,A B为 常 数 ） 的 最 值 ：
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法 一 ： 角 点 法 ：如 果 目 标 函 数 z Ax By? ? （ x y、 即 为 公 共 区 域 中 点 的 横 坐 标 和 纵 坐 标 ） 的 最 值 存 在 ， 则 这 些 最 值 都 在该 公 共 区 域 的 边 界 角 点 处 取 得 ， 将 这 些 角 点 的 坐 标 代 入 目 标 函 数 ， 得 到 一 组 对 应 z 值 ， 最 大 的 那 个 数 为 目标 函 数 z 的 最 大 值 ， 最 小 的 那 个 数 为 目 标 函 数 z 的 最 小 值法 二 ： 画 — — 移 — — 定 — — 求 ：第 一 步 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 可 行 域 ； 第 二 步 ， 作 直 线 0 : 0l Ax By? ? ， 平 移 直 线 0l （ 据 可 行 域 ，将 直 线 0l 平 行 移 动 ） 确 定 最 优 解 ； 第 三 步 ， 求 出 最 优 解 ( , )x y ； 第 四 步 ， 将 最 优 解 ( , )x y 代 入 目 标 函 数z Ax By? ? 即 可 求 出 最 大 值 或 最 小 值 .第 二 步 中 最 优 解 的 确 定 方 法 ：
利 用 z 的 几 何 意 义 ： A zy xB B?? ? , zB 为 直 线 的 纵 截 距 .① 若 0,B ? 则 使 目 标 函 数 z Ax By? ? 所 表 示 直 线 的 纵 截 距 最 大 的 角 点 处 ， z 取 得 最 大 值 ， 使 直 线 的 纵 截距 最 小 的 角 点 处 ， z 取 得 最 小 值 ；② 若 0,B? 则 使 目 标 函 数 z Ax By? ? 所 表 示 直 线 的 纵 截 距 最 大 的 角 点 处 ， z 取 得 最 小 值 ， 使 直 线 的 纵 截距 最 小 的 角 点 处 ， z 取 得 最 大 值 .⑷ 常 见 的 目 标 函 数 的 类 型 ：① “ 截 距 ” 型 ： ;z Ax By? ?② “ 斜 率 ” 型 ： yz x? 或 ;y bz x a?? ?
③ “ 距 离 ” 型 ： 2 2z x y? ? 或 2 2;z x y? ?2 2( ) ( )z x a y b? ? ? ? 或 2 2( ) ( ) .z x a y b? ? ? ?在 求 该 “ 三 型 ” 的 目 标 函 数 的 最 值 时 ， 可 结 合 线 性 规 划 与 代 数 式 的 几 何 意 义 求 解 ， 从 而 使 问 题 简 单 化 .附 ： 高 中 数 学 常 用 公 式 及 常 用 结 论1. 元 素 与 集 合 的 关 系Ux A x C A? ? ? , Ux C A x A? ? ? .2.德 摩 根 公 式( ) ; ( )U U U U U UC A B C A C B C A B C A C B? ?? ? ? ? .3.包 含 关 系A B A A B B? ? ?? ? U UA B C B C A? ? ? ?UA C B? ??? UC A B R? ??
4.容 斥 原 理( ) ( )card A B cardA cardB card A B? ? ?? ?( ) ( )card A B C cardA cardB cardC card A B? ? ? ?? ? ?( ) ( ) ( ) ( )card A B card B C card C A card A B C? ? ? ?? ? ? ? ? .5． 集 合 1 2{ , , , }na a a? 的 子 集 个 数 共 有 2n 个 ； 真 子 集 有 2n – 1 个 ； 非 空 子 集 有 2n – 1 个 ； 非 空 的真 子 集 有 2n – 2 个 .6.二 次 函 数 的 解 析 式 的 三 种 形 式
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(1)一 般 式 2( ) ( 0)f x ax bx c a? ? ? ? ;(2)顶 点 式 2( ) ( ) ( 0)f x a x h k a? ? ? ? ;(3)零 点 式 1 2( ) ( )( )( 0)f x a x x x x a? ? ? ? .7.解 连 不 等 式 ( )N f x M? ? 常 有 以 下 转 化 形 式( )N f x M? ? ? [ ( ) ][ ( ) ] 0f x M f x N? ? ?? | ( ) |2 2M N M Nf x ? ?? ? ? ( ) 0( )f x NM f x? ??? 1 1( )f x N M N?? ? .8.方 程 0)( ?xf 在 ),( 21 kk 上 有 且 只 有 一 个 实 根 ,与 0)()( 21 ?kfkf 不 等 价 ,前 者 是 后 者 的 一 个 必 要而 不 是 充 分 条 件 .特 别 地 , 方 程 )0(02 ???? acbxax 有 且 只 有 一 个 实 根 在 ),( 21 kk 内 ,等 价 于0)()( 21 ?kfkf
,或 0)( 1 ?kf 且 22 211 kkabk ???? ,或 0)( 2 ?kf 且 221 22 kabkk ???? .9.闭 区 间 上 的 二 次 函 数 的 最 值二 次 函 数 )0()( 2 ???? acbxaxxf 在 闭 区 间 ? ?qp, 上 的 最 值 只 能 在 abx 2?? 处 及 区 间 的 两 端 点 处 取得 ， 具 体 如 下 ：(1)当 a>0时 ， 若 ? ?qpabx ,2 ??? ， 则 ? ?min max max( ) ( ), ( ) ( ), ( )2bf x f f x f p f qa? ? ? ；? ?qpabx ,2 ??? ， ? ?max max( ) ( ), ( )f x f p f q? ， ? ?min min( ) ( ), ( )f x f p f q? .(2)当 a<0 时 ， 若 ? ?qpabx ,2 ??? ， 则 ? ?min( ) min ( ), ( )f x f p f q? ， 若 ? ?qpabx ,2 ??? ， 则? ?max( ) max ( ), ( )f x f p f q? ， ? ?min( ) min ( ), ( )f x f p f q? .
10.一 元 二 次 方 程 的 实 根 分 布依 据 ： 若 ( ) ( ) 0f m f n ? ， 则 方 程 0)( ?xf 在 区 间 ( , )m n 内 至 少 有 一 个 实 根 .设 qpxxxf ??? 2)( ， 则（ 1） 方 程 0)( ?xf 在 区 间 ),( ??m 内 有 根 的 充 要 条 件 为 0)( ?mf 或 2 4 02p qp m? ? ???? ??? ；（ 2） 方 程 0)( ?xf 在 区 间 ( , )m n 内 有 根 的 充 要 条 件 为 ( ) ( ) 0f m f n ? 或 2( ) 0( ) 04 02f mf np qpm n??? ???? ? ??? ?? ??? 或 ( ) 0( ) 0f maf n ??? ??
或 ( ) 0( ) 0f naf m??? ?? ；（ 3） 方 程 0)( ?xf 在 区 间 ( , )n?? 内 有 根 的 充 要 条 件 为 ( ) 0f m ? 或 2 4 02p qp m? ? ???? ??? .11.定 区 间 上 含 参 数 的 二 次 不 等 式 恒 成 立 的 条 件 依 据(1)在 给 定 区 间 ),( ???? 的 子 区 间 L（ 形 如 ? ???, ， ? ??,?? ， ? ???,? 不 同 ） 上 含 参 数 的 二 次 不 等 式( , ) 0f x t ? (t为 参 数 )恒 成 立 的 充 要 条 件 是 min( , ) 0( )f x t x L? ? .(2)在 给 定 区 间 ),( ???? 的 子 区 间 上 含 参 数 的 二 次 不 等 式 ( , ) 0f x t ? (t为 参 数 )恒 成 立 的 充 要 条 件 是( , ) 0( )manf x t x L? ? .
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(3) 0)( 24 ???? cbxaxxf 恒 成 立 的 充 要 条 件 是 000abc ??? ??? ?? 或 2 04 0ab ac??? ? ?? .12.真 值 表ｐ ｑ 非 ｐ ｐ 或 ｑ ｐ 且 ｑ真 真 假 真 真真 假 假 真 假假 真 真 真 假假 假 真 假 假13.常 见 结 论 的 否 定 形 式原 结 论 反 设 词 原 结 论 反 设 词是 不 是 至 少 有 一 个 一 个 也 没 有都 是 不 都 是 至 多 有 一 个 至 少 有 两 个大 于 不 大 于 至 少 有 n个 至 多 有 （ 1n? ） 个
小 于 不 小 于 至 多 有 n个 至 少 有 （ 1n? ） 个对 所 有 x，成 立 存 在 某 x，不 成 立 p 或 q p? 且 q?对 任 何 x，不 成 立 存 在 某 x，成 立 p 且 q p? 或 q?14.四 种 命 题 的 相 互 关 系原 命 题 互 逆 逆 命 题若 ｐ 则 ｑ 若 ｑ 则 ｐ互 互
互 为 为 互否 否逆 逆否 否否 命 题 逆 否 命 题若 非 ｐ 则 非 ｑ 互 逆 若 非 ｑ 则 非 ｐ15.充 要 条 件（ 1） 充 分 条 件 ： 若 p q? ， 则 p 是 q充 分 条 件 .（ 2） 必 要 条 件 ： 若 q p? ， 则 p 是 q必 要 条 件 .（ 3） 充 要 条 件 ： 若 p q? ， 且 q p? ， 则 p 是 q充 要 条 件 .注 ： 如 果 甲 是 乙 的 充 分 条 件 ， 则 乙 是 甲 的 必 要 条 件 ； 反 之 亦 然 .16.函 数 的 单 调 性(1)设 ? ? 2121 ,, xxbaxx ??? 那 么? ?
1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x? ? ? ? ? ?baxfxx xfxf ,)(0)()( 21 21 在???? 上 是 增 函 数 ；? ?1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x? ? ? ? ? ?baxfxx xfxf ,)(0)()( 21 21 在???? 上 是 减 函 数 .(2)设 函 数 )(xfy ? 在 某 个 区 间 内 可 导 ， 如 果 0)( ?? xf ， 则 )(xf 为 增 函 数 ； 如 果 0)( ?? xf ， 则 )(xf为 减 函 数 .17.如 果 函 数 )(xf 和 )(xg 都 是 减 函 数 ,则 在 公 共 定 义 域 内 ,和 函 数 )()( xgxf ? 也 是 减 函 数 ; 如 果 函数 )(ufy ? 和 )(xgu ? 在 其 对 应 的 定 义 域 上 都 是 减 函 数 ,则 复 合 函 数 )]([ xgfy ? 是 增 函 数 .18． 奇 偶 函 数 的 图 象 特 征奇 函 数 的 图 象 关 于 原 点 对 称 ， 偶 函 数 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 ;反 过 来 ， 如 果 一 个 函 数 的 图 象 关 于 原 点 对
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称 ， 那 么 这 个 函 数 是 奇 函 数 ； 如 果 一 个 函 数 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， 那 么 这 个 函 数 是 偶 函 数 ．19.若 函 数 )(xfy ? 是 偶 函 数 ， 则 )()( axfaxf ???? ； 若 函 数 )( axfy ?? 是 偶 函 数 ， 则)()( axfaxf ???? .20.对 于 函 数 )(xfy ? ( Rx? ), )()( xbfaxf ??? 恒 成 立 ,则 函 数 )(xf 的 对 称 轴 是 函 数2bax ?? ;两 个 函 数 )( axfy ?? 与 )( xbfy ?? 的 图 象 关 于 直 线 2bax ?? 对 称 .21.若 )()( axfxf ???? ,则 函 数 )(xfy ? 的 图 象 关 于 点 )0,2(a 对 称 ; 若 )()( axfxf ??? ,则 函数 )(xfy ? 为 周 期 为 a2 的 周 期 函 数 .22． 多 项 式 函 数 11 0( ) n nn nP x a x a x a??? ? ? ?? 的 奇 偶 性多 项 式 函 数 ( )P x 是 奇 函 数 ? ( )P x 的 偶 次 项 (即 奇 数 项 )的 系 数 全 为 零 .多 项 式 函 数 ( )P x 是 偶 函 数 ? ( )P x 的 奇 次 项 (即 偶 数 项 )的 系 数 全 为 零 .
23.函 数 ( )y f x? 的 图 象 的 对 称 性(1)函 数 ( )y f x? 的 图 象 关 于 直 线 x a? 对 称 ( ) ( )f a x f a x? ? ? ?(2 ) ( )f a x f x? ? ? .(2)函 数 ( )y f x? 的 图 象 关 于 直 线 2a bx ?? 对 称 ( ) ( )f a mx f b mx? ? ? ?( ) ( )f a b mx f mx? ? ? ? .24.两 个 函 数 图 象 的 对 称 性(1)函 数 ( )y f x? 与 函 数 ( )y f x? ? 的 图 象 关 于 直 线 0x ? (即 y 轴 )对 称 .(2)函 数 ( )y f mx a? ? 与 函 数 ( )y f b mx? ? 的 图 象 关 于 直 线 2a bx m?? 对 称 .(3)函 数 )(xfy ? 和 )(1 xfy ?? 的 图 象 关 于 直 线 y=x 对 称 .25.若 将 函 数 )(xfy ? 的 图 象 右 移 a、 上 移 b 个 单 位 ， 得 到 函 数 baxfy ??? )( 的 图 象 ； 若 将 曲 线0),( ?yxf
的 图 象 右 移 a、 上 移 b 个 单 位 ， 得 到 曲 线 0),( ??? byaxf 的 图 象 .26． 互 为 反 函 数 的 两 个 函 数 的 关 系abfbaf ??? ? )()( 1 .27.若 函 数 )( bkxfy ?? 存 在 反 函 数 ,则 其 反 函 数 为 ])([1 1 bxfky ?? ? ,并 不 是 )([ 1 bkxfy ?? ? ,而函 数 )([ 1 bkxfy ?? ? 是 ])([1 bxfky ?? 的 反 函 数 .28.几 个 常 见 的 函 数 方 程(1)正 比 例 函 数 ( )f x cx? , ( ) ( ) ( ), (1)f x y f x f y f c? ? ? ? .(2)指 数 函 数 ( ) xf x a? , ( ) ( ) ( ), (1) 0f x y f x f y f a? ? ? ? .(3)对 数 函 数 ( ) logaf x x? , ( ) ( ) ( ), ( ) 1( 0, 1)f xy f x f y f a a a? ? ? ? ? .(4)幂 函 数 ( )f x x?? , ''( ) ( ) ( ), (1)f xy f x f y f ?? ? .
(5)余 弦 函 数 ( ) cosf x x? ,正 弦 函 数 ( ) sing x x? ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y g x g y? ? ? ，0 ( )(0) 1,lim 1x g xf x?? ? .29.几 个 函 数 方 程 的 周 期 (约 定 a>0)（ 1） )()( axfxf ?? ， 则 )(xf 的 周 期 T=a；（ 2） 0)()( ??? axfxf ，或 )0)(()(1)( ??? xfxfaxf ，或 1( ) ( )f x a f x? ?? ( ( ) 0)f x ? ,或 ? ?21 ( ) ( ) ( ),( ( ) 0,1)2 f x f x f x a f x? ? ? ? ? ,则 )(xf 的 周 期 T=2a；
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(3) )0)(()( 11)( ???? xfaxfxf ， 则 )(xf 的 周 期 T=3a；(4) )()(1 )()()( 21 2121 xfxf xfxfxxf ? ??? 且 1 2 1 2( ) 1( ( ) ( ) 1,0 | | 2 )f a f x f x x x a? ? ? ? ? ? ， 则 )(xf 的 周 期T=4a；(5) ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a? ? ? ? ? ,则 )(xf 的 周 期 T=5a；(6) )()()( axfxfaxf ???? ， 则 )(xf 的 周 期 T=6a.30.分 数 指 数 幂(1) 1mn n ma a? （ 0, ,a m n N?? ? ， 且 1n? ） .(2) 1mn mna a? ? （ 0, ,a m n N?? ? ， 且 1n? ） .
31． 根 式 的 性 质（ 1） ( )nn a a? .（ 2） 当 n为 奇 数 时 ， n na a? ；当 n为 偶 数 时 ， , 0| | , 0n n a aa a a a??? ??? ?? .32． 有 理 指 数 幂 的 运 算 性 质(1) ( 0, , )r s r sa a a a r s Q?? ? ? ? .(2) ( ) ( 0, , )r s rsa a a r s Q? ? ? .(3)( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r Q? ? ? ? .注 ： 若 a＞ 0， p 是 一 个 无 理 数 ， 则 a
p表 示 一 个 确 定 的 实 数 ． 上 述 有 理 指 数 幂 的 运 算 性 质 ， 对 于 无 理数 指 数 幂 都 适 用 .33.指 数 式 与 对 数 式 的 互 化 式log ba N b a N? ? ? ( 0, 1, 0)a a N? ? ? .34.对 数 的 换 底 公 式loglog logma mNN a? ( 0a ? ,且 1a ? , 0m? ,且 1m? , 0N ? ).推 论 log logm n aa nb bm? ( 0a ? ,且 1a ? , , 0m n ? ,且 1m? , 1n? , 0N ? ).35． 对 数 的 四 则 运 算 法 则若 a＞ 0， a≠ 1， M＞ 0， N＞ 0， 则(1)log ( ) log loga a aMN M N? ? ;
(2) log log loga a aM M NN ? ? ;(3)log log ( )na aM n M n R? ? .36.设 函 数 )0)((log)( 2 ???? acbxaxxf m ,记 acb 42 ??? .若 )(xf 的 定 义 域 为 R,则 0?a ， 且0?? ;若 )(xf 的 值 域 为 R,则 0?a ， 且 0?? .对 于 0?a 的 情 形 ,需 要 单 独 检 验 .37. 对 数 换 底 不 等 式 及 其 推 广若 0a ? , 0b? , 0x ? , 1x a? ,则 函 数 log ( )axy bx?(1)当 a b? 时 ,在 1(0, )a 和 1( , )a ?? 上 log ( )axy bx? 为 增 函 数 .
， (2)当 a b? 时 ,在 1(0, )a 和 1( , )a ?? 上 log ( )axy bx? 为 减 函 数 .推 论 :设 1n m? ? ， 0p ? ， 0a ? ， 且 1a ? ， 则
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（ 1） log ( ) logm p mn p n? ? ? .（ 2） 2log log log 2a a a m nm n ?? .38. 平 均 增 长 率 的 问 题如 果 原 来 产 值 的 基 础 数 为 N， 平 均 增 长 率 为 p ， 则 对 于 时 间 x的 总 产 值 y ， 有 (1 )xy N p? ? .39.数 列 的 同 项 公 式 与 前 n 项 的 和 的 关 系1 1, 1, 2n n ns na s s n? ???? ? ?? ( 数 列 { }na 的 前 n 项 的 和 为 1 2n ns a a a? ? ? ?? ).40.等 差 数 列 的 通 项 公 式 1 1( 1) ( )na a n d dn a d n N? ? ? ? ? ? ? ；
其 前 n 项 和 公 式 为1( )2 nn n a as ?? 1 ( 1)2n nna d?? ?2 1 1( )2 2d n a d n? ? ? .41.等 比 数 列 的 通 项 公 式1 11 ( )n nn aa a q q n Nq?? ? ? ? ；其 前 n 项 的 和 公 式 为11(1 ), 11, 1nn a q qs qna q? ? ??? ??? ??
或 11 , 11, 1nn a a q qqs na q?? ?? ???? ?? .42.等 比 差 数 列 ? ?na : 1 1, ( 0)n na qa d a b q? ? ? ? ? 的 通 项 公 式 为1( 1) , 1( ) , 11n nn b n d qa bq d b q d qq ?? ? ???? ? ? ?? ?? ?? ；其 前 n 项 和 公 式 为( 1) ,( 1)1( ) ,( 1)1 1 1nn nb n n d qs d q db n qq q q? ? ???? ?? ? ? ?? ? ? ?? .43.分 期 付 款 (按 揭 贷 款 )
每 次 还 款 (1 )(1 ) 1nnab bx b?? ? ? 元 (贷 款 a元 ,n次 还 清 ,每 期 利 率 为 b).44． 常 见 三 角 不 等 式（ 1） 若 (0, )2x ?? ， 则 sin tanx x x? ? .(2) 若 (0, )2x ?? ， 则 1 sin cos 2x x? ? ? .(3) |sin | |cos | 1x x? ? .45.同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式
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2 2sin cos 1? ?? ? ， tan? = ??cossin ， tan 1cot? ?? ? .46.正 弦 、 余 弦 的 诱 导 公 式2 12( 1) sin ,sin( )2 ( 1) s ,nnn co?? ? ??? ??? ??? ?? 2 12( 1) s ,s( )2 ( 1) sin ,nn conco ?? ? ??? ??? ??? ??47.和 角 与 差 角 公 式sin( ) sin cos cos sin? ? ? ? ? ?? ? ? ;cos( ) cos cos sin sin? ? ? ? ? ?? ? ?
;tan tantan( ) 1 tan tan? ?? ? ? ??? ? ? .2 2sin( )sin( ) sin sin? ? ? ? ? ?? ? ? ? (平 方 正 弦 公 式 );2 2cos( )cos( ) cos sin? ? ? ? ? ?? ? ? ? .sin cosa b? ?? = 2 2 sin( )a b ? ?? ? (辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 ( , )a b 的 象 限 决 定 ,tan ba? ? ).48.二 倍 角 公 式sin2 sin cos? ? ?? .2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? .22tantan2 1 tan?? ?? ? .
49. 三 倍 角 公 式 3sin3 3sin 4sin 4sin sin( )sin( )3 3? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? .3cos3 4cos 3cos 4cos cos( )cos( )3 3? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? .323tan tantan3 tan tan( )tan( )1 3tan 3 3? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? .50.三 角 函 数 的 周 期 公 式函 数 sin( )y x? ?? ? ， x∈ R 及 函 数 cos( )y x? ?? ? ， x∈ R(A,ω ,? 为 常 数 ， 且 A≠ 0， ω ＞ 0)的 周 期2T ??? ； 函 数 tan( )y x? ?? ? ， ,2x k k Z??? ? ? (A,ω ,?为 常 数 ， 且 A≠ 0， ω ＞ 0)的 周 期 T ??? .51.正 弦 定 理 2sin sin sina b c RA B C? ? ?
.52.余 弦 定 理2 2 2 2 cosa b c bc A? ? ? ;2 2 2 2 cosb c a ca B? ? ? ;2 2 2 2 cosc a b ab C? ? ? .53.面 积 定 理（ 1） 1 1 12 2 2a b cS ah bh ch? ? ? （ a b ch h h、 、 分 别 表 示 a、 b、 c 边 上 的 高 ） .（ 2） 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ca B? ? ? .
(n为 偶 数 )(n为 奇 数 )(n为 偶 数 )(n为 奇 数 )
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(3) 2 21 (| | | |) ( )2OABS OA OB OA OB? ? ? ? ????? ???? ???? ???? .54.三 角 形 内 角 和 定 理在 △ ABC中 ， 有 ( )A B C C A B? ?? ? ? ? ? ? ?2 2 2C A B? ?? ? ? 2 2 2( )C A B?? ? ? ? .55. 简 单 的 三 角 方 程 的 通 解sin ( 1) arcsin ( ,| | 1)kx a x k a k Z a?? ? ? ? ? ? ? .s 2 arccos ( ,| | 1)co x a x k a k Z a?? ? ? ? ? ? .tan arctan ( , )x a x k a k Z a R?? ? ? ? ? ? .特 别 地 ,有sin sin ( 1) ( )kk k Z? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? .s cos 2 ( )co k k Z? ? ? ? ?? ? ? ? ? .tan tan ( )k k Z? ? ? ? ?? ? ? ? ?
.56.最 简 单 的 三 角 不 等 式 及 其 解 集sin (| | 1) (2 arcsin ,2 arcsin ),x a a x k a k a k Z? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? .sin (| | 1) (2 arcsin ,2 arcsin ),x a a x k a k a k Z? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? .cos (| | 1) (2 arccos ,2 arccos ),x a a x k a k a k Z? ?? ? ? ? ? ? ? .cos (| | 1) (2 arccos ,2 2 arccos ),x a a x k a k a k Z? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? .tan ( ) ( arctan , ),2x a a R x k a k k Z?? ?? ? ? ? ? ? ? .tan ( ) ( , arctan ),2x a a R x k k a k Z?? ?? ? ? ? ? ? ? .57.实 数 与 向 量 的 积 的 运 算 律设 λ 、 μ 为 实 数 ， 那 么(1) 结 合 律 ： λ (μ a)=(λ μ )a;
(2)第 一 分 配 律 ： (λ +μ )a=λ a+μ a;(3)第 二 分 配 律 ： λ (a+b)=λ a+λ b.58.向 量 的 数 量 积 的 运 算 律 ：(1) a· b= b· a （ 交 换 律 ） ;(2)（ ?a） · b= ?（ a· b） =?a· b= a· （ ?b） ;(3)（ a+b） · c= a · c +b· c.59.平 面 向 量 基 本 定 理如 果 e
1、 e 2是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 向 量 ， 那 么 对 于 这 一 平 面 内 的 任 一 向 量 ， 有 且 只 有 一 对 实 数 λ1、 λ 2， 使 得 a=λ 1e1+λ 2e2．不 共 线 的 向 量 e1、 e2叫 做 表 示 这 一 平 面 内 所 有 向 量 的 一 组 基 底 ．60． 向 量 平 行 的 坐 标 表 示设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ， 且 b?0， 则 a?b(b?0) 1 2 2 1 0x y x y? ? ? .53. a 与 b 的 数 量 积 (或 内 积 )a· b=|a||b|cosθ ．61.a· b的 几 何 意 义数 量 积 a· b等 于 a的 长 度 |a|与 b在 a的 方 向 上 的 投 影 |b|cosθ 的 乘 积 ．62.平 面 向 量 的 坐 标 运 算(1)设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ， 则 a+b= 1 2 1 2( , )x x y y? ? .(2)设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ， 则 a-b= 1 2 1 2( , )x x y y? ? .(3)设 A 1 1( , )x y ， B 2 2( , )x y ,则 2 1 2 1( , )AB OB OA x x y y? ? ? ? ????? ???? ???? .
(4)设 a=( , ),x y R?? ， 则 ?a=( , )x y? ? .(5)设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ， 则 a· b= 1 2 1 2( )x x y y? .63.两 向 量 的 夹 角 公 式
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1 2 1 22 2 2 21 1 2 2cos x x y yx y x y? ?? ? ? ? (a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ).64.平 面 两 点 间 的 距 离 公 式,A Bd =| |AB AB AB? ????? ???? ????2 22 1 2 1( ) ( )x x y y? ? ? ? (A 1 1( , )x y ， B 2 2( , )x y ).65.向 量 的 平 行 与 垂 直设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ， 且 b?0， 则A||b?b=λ a 1 2 2 1 0x y x y? ? ? .a?b(a?0)?a· b=0 1 2 1 2 0x x y y? ? ? .66.线 段 的 定 比 分 公 式设 1 1 1( , )P x y ， 2 2 2( , )P x y ， ( , )P x y 是 线 段 1 2PP 的 分 点 ,?是 实 数 ， 且 1 2PP PP?????? ???? ， 则
1 21 211x xx y yy ?????? ??? ?? ?? ?? ?? ? 1 21OP OPOP ???? ????? ????????? 1 2(1 )OP tOP t OP? ? ????? ???? ???? （ 11t ?? ? ） .67.三 角 形 的 重 心 坐 标 公 式△ ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 1 1A(x ,y )、 2 2B(x ,y )、 3 3C(x ,y ),则 △ ABC 的 重 心 的 坐 标 是1 2 3 1 2 3( , )3 3x x x y y yG ? ? ? ? .68.点 的 平 移 公 式'' '''' ''x x h x x hy y k y y k? ?? ? ? ?? ??? ?? ? ? ?? ?? ? '' ''OP OP PP? ? ????? ???????? .
注 :图 形 F 上 的 任 意 一 点 P(x， y)在 平 移 后 图 形 ''F 上 的 对 应 点 为 '' '' ''( , )P x y ， 且 ''PP???? 的 坐 标 为 ( , )h k .69.“ 按 向 量 平 移 ” 的 几 个 结 论（ 1） 点 ( , )P x y 按 向 量 a=( , )h k 平 移 后 得 到 点 ''( , )P x h y k? ? .(2) 函 数 ( )y f x? 的 图 象 C 按 向 量 a= ( , )h k 平 移 后 得 到 图 象 ''C ,则 ''C 的 函 数 解 析 式 为( )y f x h k? ? ? .(3) 图 象 ''C 按 向 量 a=( , )h k 平 移 后 得 到 图 象 C ,若 C 的 解 析 式 ( )y f x? ,则 ''C 的 函 数 解 析 式 为( )y f x h k? ? ? .(4)曲 线 C : ( , ) 0f x y ? 按 向 量 a=( , )h k 平 移 后 得 到 图 象 ''C ,则 ''C 的 方 程 为 ( , ) 0f x h y k? ? ? .(5) 向 量 m=( , )x y 按 向 量 a=( , )h k 平 移 后 得 到 的 向 量 仍 然 为 m=( , )x y .70. 三 角 形 五 “ 心 ” 向 量 形 式 的 充 要 条 件设 O为 ABC? 所 在 平 面 上 一 点 ， 角 , ,A B C 所 对 边 长 分 别 为 , ,a b c， 则（ 1） O为 ABC? 的 外 心 2 2 2OA OB OC? ? ????? ???? ???? .
（ 2） O为 ABC? 的 重 心 0OA OB OC? ? ? ????? ???? ???? ? .（ 3） O为 ABC? 的 垂 心 OA OB OB OC OC OA? ? ? ? ? ????? ???? ???? ???? ???? ???? .（ 4） O为 ABC? 的 内 心 0aOA bOB cOC? ? ? ????? ???? ???? ? .（ 5） O为 ABC? 的 A? 的 旁 心 aOA bOB cOC? ? ????? ???? ???? .71.常 用 不 等 式 ：（ 1） ,a b R? ? 2 2 2a b ab? ? (当 且 仅 当 a＝ b时 取 “ =” 号 )．（ 2） ,a b R?? ? 2a b ab? ? (当 且 仅 当 a＝ b 时 取 “ =” 号 )．（ 3） 3 3 3 3 ( 0, 0, 0).a b c abc a b c? ? ? ? ? ?
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（ 4） 柯 西 不 等 式2 2 2 2 2( )( ) ( ) , , , , .a b c d ac bd a b c d R? ? ? ? ?（ 5） bababa ????? .72.极 值 定 理已 知 yx, 都 是 正 数 ， 则 有（ 1） 若 积 xy是 定 值 p ， 则 当 yx ? 时 和 yx? 有 最 小 值 p2 ；（ 2） 若 和 yx? 是 定 值 s， 则 当 yx ? 时 积 xy有 最 大 值 241 s .推 广 已 知 Ryx ?, ， 则 有 xyyxyx 2)()( 22 ????（ 1） 若 积 xy是 定 值 ,则 当 || yx? 最 大 时 , || yx? 最 大 ；当 || yx? 最 小 时 , || yx? 最 小 .（ 2） 若 和 || yx? 是 定 值 ,则 当 || yx? 最 大 时 , || xy 最 小 ；
当 || yx? 最 小 时 , || xy 最 大 .73.一 元 二 次 不 等 式 2 0( 0)ax bx c? ? ? ?或 2( 0, 4 0)a b ac? ?? ? ? ， 如 果 a与 2ax bx c? ? 同 号 ，则 其 解 集 在 两 根 之 外 ； 如 果 a与 2ax bx c? ? 异 号 ， 则 其 解 集 在 两 根 之 间 .简 言 之 ： 同 号 两 根 之 外 ， 异 号 两根 之 间 .1 2 1 2 1 2( )( ) 0( )x x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ；1 2 1 2 1 2, ( )( ) 0( )x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ?或 .74.含 有 绝 对 值 的 不 等 式当 a> 0 时 ， 有 22x a x a a x a? ? ? ? ? ? ? .2 2x a x a x a? ? ? ? ? 或 x a? ? .75.无 理 不 等 式
（ 1） ( ) 0( ) ( ) ( ) 0( ) ( )f xf x g x g xf x g x???? ? ??? ?? .（ 2） 2( ) 0 ( ) 0( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0( ) [ ( )]f x f xf x g x g x g xf x g x?? ???? ? ?? ? ??? ?? 或 .（ 3） 2( ) 0( ) ( ) ( ) 0( ) [ ( )]f xf x g x g xf x g x???? ? ??? ?? .76.指 数 不 等 式 与 对 数 不 等 式(1)当 1a ? 时 ,( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x? ? ? ;( ) 0log ( ) log ( ) ( ) 0( ) ( )
a a f xf x g x g xf x g x???? ? ??? ?? .(2)当 0 1a? ? 时 ,( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x? ? ? ;( ) 0log ( ) log ( ) ( ) 0( ) ( )a a f xf x g x g xf x g x???? ? ??? ??77.斜 率 公 式
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2 12 1y yk x x?? ? （ 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y ） .78.直 线 的 五 种 方 程（ 1） 点 斜 式 1 1( )y y k x x? ? ? (直 线 l过 点 1 1 1( , )P x y ， 且 斜 率 为 k )．（ 2） 斜 截 式 y kx b? ? (b 为 直 线 l在 y轴 上 的 截 距 ).（ 3） 两 点 式 1 12 1 2 1y y x xy y x x? ??? ? ( 1 2y y? )( 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y ( 1 2x x? )).(4)截 距 式 1x ya b? ? (a b、 分 别 为 直 线 的 横 、 纵 截 距 ， 0a b?、 )（ 5） 一 般 式 0Ax By C? ? ? (其 中 A、 B不 同 时 为 0).79.两 条 直 线 的 平 行 和 垂 直(1)若 1 1 1:l y k x b? ? ， 2 2 2:l y k x b? ?
① 1 2 1 2 1 2|| ,l l k k b b? ? ? ;② 1 2 1 2 1l l k k? ? ?? .(2)若 1 1 1 1: 0l Ax B y C? ? ? , 2 2 2 2: 0l A x B y C? ? ? ,且 A1、 A2、 B1、 B2都 不 为 零 ,① 1 1 11 2 2 2 2|| A B Cl l A B C? ? ? ；② 1 2 1 2 1 2 0l l A A B B? ? ? ? ；80.夹 角 公 式(1) 2 12 1tan | |1k kk k? ?? ? .( 1 1 1:l y k x b? ? ， 2 2 2:l y k x b? ? , 1 2 1k k ?? )(2) 1 2 2 11 2 1 2tan | |AB A BA A B B? ?? ? .
( 1 1 1 1: 0l Ax B y C? ? ? , 2 2 2 2: 0l A x B y C? ? ? , 1 2 1 2 0A A B B? ? ).直 线 1 2l l? 时 ， 直 线 l1与 l2的 夹 角 是 2? .81. 1l 到 2l 的 角 公 式(1) 2 12 1tan 1k kk k? ?? ? .( 1 1 1:l y k x b? ? ， 2 2 2:l y k x b? ? , 1 2 1k k ?? )(2) 1 2 2 11 2 1 2tan AB A BA A B B? ?? ? .( 1 1 1 1: 0l Ax B y C? ? ? , 2 2 2 2: 0l A x B y C? ? ? , 1 2 1 2 0A A B B? ? ).直 线 1 2l l? 时 ， 直 线 l
1到 l2的 角 是 2? .82． 四 种 常 用 直 线 系 方 程(1)定 点 直 线 系 方 程 ： 经 过 定 点 0 0 0( , )P x y 的 直 线 系 方 程 为 0 0( )y y k x x? ? ? (除 直 线 0x x? ),其 中k 是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点 0 0 0( , )P x y 的 直 线 系 方 程 为 0 0( ) ( ) 0A x x B y y? ? ? ? ,其 中 ,A B 是 待 定 的 系数 ． (2)共 点 直 线 系 方 程 ： 经 过 两 直 线 1 1 1 1: 0l Ax B y C? ? ? , 2 2 2 2: 0l A x B y C? ? ? 的 交 点 的 直 线 系 方 程为 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0Ax B y C A x B y C?? ? ? ? ? ? (除 2l )， 其 中 λ 是 待 定 的 系 数 ．(3)平 行 直 线 系 方 程 ： 直 线 y kx b? ? 中 当 斜 率 k 一 定 而 b 变 动 时 ， 表 示 平 行 直 线 系 方 程 ． 与 直 线0Ax By C? ? ? 平 行 的 直 线 系 方 程 是 0Ax By ?? ? ? ( 0? ? )， λ 是 参 变 量 ．(4)垂 直 直 线 系 方 程 ： 与 直 线 0Ax By C? ? ? (A≠ 0， B≠ 0)垂 直 的 直 线 系 方 程 是0Bx Ay ?? ? ? ,λ 是 参 变 量 ．
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83.点 到 直 线 的 距 离0 02 2| |Ax By Cd A B? ?? ? (点 0 0( , )P x y ,直 线 l： 0Ax By C? ? ? ).84. 0Ax By C? ? ? 或 0? 所 表 示 的 平 面 区 域设 直 线 : 0l Ax By C? ? ? ， 则 0Ax By C? ? ? 或 0? 所 表 示 的 平 面 区 域 是 ：若 0B ? ， 当 B 与 Ax By C? ? 同 号 时 ， 表 示 直 线 l的 上 方 的 区 域 ； 当 B 与 Ax By C? ? 异 号 时 ， 表示 直 线 l的 下 方 的 区 域 .简 言 之 ,同 号 在 上 ,异 号 在 下 .若 0B ? ， 当 A与 Ax By C? ? 同 号 时 ， 表 示 直 线 l的 右 方 的 区 域 ； 当 A与 Ax By C? ? 异 号 时 ， 表示 直 线 l的 左 方 的 区 域 . 简 言 之 ,同 号 在 右 ,异 号 在 左 .85. 1 1 1 2 2 2( )( ) 0Ax B y C A x B y C? ? ? ? ? 或 0? 所 表 示 的 平 面 区 域设 曲 线 1 1 1 2 2 2:( )( ) 0C Ax B y C A x B y C? ? ? ? ? （ 1 2 1 2 0A A B B ? ） ， 则1 1 1 2 2 2( )( ) 0Ax B y C A x B y C? ? ? ? ? 或 0? 所 表 示 的 平 面 区 域 是 ：1 1 1 2 2 2( )( ) 0Ax B y C A x B y C? ? ? ? ?
所 表 示 的 平 面 区 域 上 下 两 部 分 ；1 1 1 2 2 2( )( ) 0Ax B y C A x B y C? ? ? ? ? 所 表 示 的 平 面 区 域 上 下 两 部 分 .86. 圆 的 四 种 方 程（ 1） 圆 的 标 准 方 程 2 2 2( ) ( )x a y b r? ? ? ? .（ 2） 圆 的 一 般 方 程 2 2 0x y Dx Ey F? ? ? ? ? ( 2 2 4D E F? ? ＞ 0).（ 3） 圆 的 参 数 方 程 cossinx a ry b r ??? ??? ? ?? .（ 4） 圆 的 直 径 式 方 程 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y? ? ? ? ? ? (圆 的 直 径 的 端 点 是 1 1( , )A x y 、2 2( , )B x y ).87. 圆 系 方 程(1)过 点 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y 的 圆 系 方 程 是1 2 1 2 1 1 2 1 1 2( )( ) ( )( ) [( )( ) ( )( )] 0x x x x y y y y x x y y y y x x?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 1 2( )( ) ( )( ) ( ) 0x x x x y y y y ax by c?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,其 中 0ax by c? ? ? 是 直 线 AB 的 方 程 ,λ 是待 定 的 系 数 ．(2) 过 直 线 l : 0Ax By C? ? ? 与 圆 C : 2 2 0x y Dx Ey F? ? ? ? ? 的 交 点 的 圆 系 方 程 是2 2 ( ) 0x y Dx Ey F Ax By C?? ? ? ? ? ? ? ? ,λ 是 待 定 的 系 数 ．(3) 过 圆 1C : 2 2 1 1 1 0x y D x E y F? ? ? ? ? 与 圆 2C : 2 2 2 2 2 0x y D x E y F? ? ? ? ? 的 交 点 的 圆 系 方 程是 2 2 2 21 1 1 2 2 2( ) 0x y D x E y F x y D x E y F?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,λ 是 待 定 的 系 数 ．88.点 与 圆 的 位 置 关 系点 0 0( , )P x y 与 圆 222 )()( rbyax ???? 的 位 置 关 系 有 三 种若 2 20 0( ) ( )d a x b y? ? ? ? ， 则d r? ?点 P在 圆 外 ;d r? ?点 P在 圆 上 ;d r? ?点 P在 圆 内 .89.直 线 与 圆 的 位 置 关 系直 线 0??? CByAx 与 圆 222 )()( rbyax ???? 的 位 置 关 系 有 三 种 :0????? 相 离rd
;0????? 相 切rd ;0????? 相 交rd .其 中 22 BA CBbAad ? ??? .90.两 圆 位 置 关 系 的 判 定 方 法设 两 圆 圆 心 分 别 为 O
1， O2， 半 径 分 别 为 r1， r2， dOO ?21条 公 切 线外 离 421 ???? rrd ;条 公 切 线外 切 321 ???? rrd ;
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条 公 切 线相 交 22121 ?????? rrdrr ;条 公 切 线内 切 121 ???? rrd ;无 公 切 线内 含 ????? 210 rrd .91.圆 的 切 线 方 程(1)已 知 圆 2 2 0x y Dx Ey F? ? ? ? ? ．① 若 已 知 切 点 0 0( , )x y 在 圆 上 ， 则 切 线 只 有 一 条 ， 其 方 程 是0 00 0 ( ) ( ) 02 2D x x E y yx x y y F? ?? ? ? ? ? .当 0 0( , )x y 圆 外 时 , 0 00 0 ( ) ( ) 02 2D x x E y yx x y y F? ?? ? ? ? ? 表 示 过 两 个 切 点 的 切 点 弦 方 程 ．② 过 圆 外 一 点 的 切 线 方 程 可 设 为 0 0( )y y k x x? ? ? ， 再 利 用 相 切 条 件 求 k， 这 时 必 有 两 条 切 线 ，注 意 不 要 漏 掉 平 行 于 y轴 的 切 线 ．
③ 斜 率 为 k 的 切 线 方 程 可 设 为 y kx b? ? ， 再 利 用 相 切 条 件 求 b， 必 有 两 条 切 线 ．(2)已 知 圆 2 2 2x y r? ? ．① 过 圆 上 的 0 0 0( , )P x y 点 的 切 线 方 程 为 20 0x x y y r? ? ;② 斜 率 为 k 的 圆 的 切 线 方 程 为 21y kx r k? ? ? .92.椭 圆 2 22 2 1( 0)x y a ba b? ? ? ? 的 参 数 方 程 是 cossinx ay b ????? ?? .93.椭 圆 2 22 2 1( 0)x y a ba b? ? ? ? 焦 半 径 公 式)( 21 caxePF ?? ， )( 22 xcaePF ?? .94． 椭 圆 的 的 内 外 部
（ 1） 点 0 0( , )P x y 在 椭 圆 2 22 2 1( 0)x y a ba b? ? ? ? 的 内 部 2 20 02 2 1x ya b? ? ? .（ 2） 点 0 0( , )P x y 在 椭 圆 2 22 2 1( 0)x y a ba b? ? ? ? 的 外 部 2 20 02 2 1x ya b? ? ? .95. 椭 圆 的 切 线 方 程(1)椭 圆 2 22 2 1( 0)x y a ba b? ? ? ? 上 一 点 0 0( , )P x y 处 的 切 线 方 程 是 0 02 2 1x x y ya b? ? .（ 2） 过 椭 圆 2 22 2 1( 0)x y a ba b? ? ? ? 外 一 点 0 0( , )P x y 所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是0 02 2 1x x y ya b? ? .（ 3） 椭 圆 2 22 2 1( 0)x y a ba b? ? ? ? 与 直 线 0Ax By C? ? ? 相 切 的 条 件 是 2 2 2 2 2A a B b c? ? .
96.双 曲 线 2 22 2 1( 0, 0)x y a ba b? ? ? ? 的 焦 半 径 公 式21 | ( )|aPF e x c? ? ， 22 | ( )|aPF e xc? ? .97.双 曲 线 的 内 外 部(1)点 0 0( , )P x y 在 双 曲 线 2 22 2 1( 0, 0)x y a ba b? ? ? ? 的 内 部 2 20 02 2 1x ya b? ? ? .(2)点 0 0( , )P x y 在 双 曲 线 2 22 2 1( 0, 0)x y a ba b? ? ? ? 的 外 部 2 20 02 2 1x ya b? ? ? .98.双 曲 线 的 方 程 与 渐 近 线 方 程 的 关 系
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(1） 若 双 曲 线 方 程 为 12222 ?? byax ?渐 近 线 方 程 ： 2 22 2 0x ya b? ? ? xaby ?? .(2)若 渐 近 线 方 程 为 xaby ?? ? 0?? byax ?双 曲 线 可 设 为 ??? 2222 byax .(3)若 双 曲 线 与 12222 ?? byax 有 公 共 渐 近 线 ， 可 设 为 ??? 2222 byax （ 0?? ， 焦 点 在 x轴 上 ， 0?? ，焦 点 在 y轴 上 ） .99. 双 曲 线 的 切 线 方 程(1)双 曲 线 2 22 2 1( 0, 0)x y a ba b? ? ? ? 上 一 点 0 0( , )P x y 处 的 切 线 方 程 是 0 02 2 1x x y ya b? ? .（ 2） 过 双 曲 线 2 22 2 1( 0, 0)x y a ba b? ? ? ? 外 一 点 0 0( , )P x y 所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是0 02 2 1x x y ya b? ?
.（ 3） 双 曲 线 2 22 2 1( 0, 0)x y a ba b? ? ? ? 与 直 线 0Ax By C? ? ? 相 切 的 条 件 是 2 2 2 2 2A a B b c? ? .100. 抛 物 线 pxy 22 ? 的 焦 半 径 公 式抛 物 线 2 2 ( 0)y px p? ? 焦 半 径 0 2pCF x? ? .过 焦 点 弦 长 pxxpxpxCD ??????? 2121 22 .101.抛 物 线 pxy 22 ? 上 的 动 点 可 设 为 P ),2( 2 ?? ypy 或 或)2,2( 2 ptptP P( , )x y? ? ， 其 中 2 2y px?? ? .102.二 次 函 数 22 2 4( )2 4b ac by ax bx c a x a a?? ? ? ? ? ? ( 0)a ? 的 图 象 是 抛 物 线 ： （ 1） 顶 点 坐 标 为
24( , )2 4b ac ba a?? ； （ 2） 焦 点 的 坐 标 为 24 1( , )2 4b ac ba a? ?? ； （ 3） 准 线 方 程 是 24 14ac by a? ?? .103.抛 物 线 的 内 外 部(1)点 0 0( , )P x y 在 抛 物 线 2 2 ( 0)y px p? ? 的 内 部 2 2 ( 0)y px p? ? ? .点 0 0( , )P x y 在 抛 物 线 2 2 ( 0)y px p? ? 的 外 部 2 2 ( 0)y px p? ? ? .(2)点 0 0( , )P x y 在 抛 物 线 2 2 ( 0)y px p?? ? 的 内 部 2 2 ( 0)y px p? ?? ? .点 0 0( , )P x y 在 抛 物 线 2 2 ( 0)y px p?? ? 的 外 部 2 2 ( 0)y px p? ?? ? .(3)点 0 0( , )P x y 在 抛 物 线 2 2 ( 0)x py p? ? 的 内 部 2 2 ( 0)x py p? ? ? .点 0 0( , )P x y 在 抛 物 线 2 2 ( 0)x py p? ? 的 外 部 2 2 ( 0)x py p? ? ? .(4) 点 0 0( , )P x y 在 抛 物 线 2 2 ( 0)x py p? ? 的 内 部 2 2 ( 0)x py p? ? ? .点 0 0( , )P x y 在 抛 物 线 2 2 ( 0)x py p?? ? 的 外 部 2 2 ( 0)x py p? ?? ? .
104. 抛 物 线 的 切 线 方 程(1)抛 物 线 pxy 22 ? 上 一 点 0 0( , )P x y 处 的 切 线 方 程 是 0 0( )y y p x x? ? .（ 2） 过 抛 物 线 pxy 22 ? 外 一 点 0 0( , )P x y 所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是 0 0( )y y p x x? ? .（ 3） 抛 物 线 2 2 ( 0)y px p? ? 与 直 线 0Ax By C? ? ? 相 切 的 条 件 是 2 2pB AC? .105.两 个 常 见 的 曲 线 系 方 程(1)过 曲 线 1( , ) 0f x y ? , 2( , ) 0f x y ? 的 交 点 的 曲 线 系 方 程 是1 2( , ) ( , ) 0f x y f x y?? ? (?为 参 数 ).(2)共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程 2 22 2 1x ya k b k? ?? ? ,其 中 2 2max{ , }k a b? .当 2 2min{ , }k a b? 时 ,表 示 椭 圆 ; 当 2 2 2 2min{ , } max{ , }a b k a b? ? 时 ,表 示 双 曲 线 .
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106.直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 的 弦 长 公 式 2 21 2 1 2( ) ( )AB x x y y? ? ? ? 或2 2 2 22 1 1 2 1 2(1 )( ) | | 1 tan | | 1 tAB k x x x x y y co? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 弦 端 点A ),(),,( 2211 yxByx ， 由 方 程 ??? ??? 0)y,x(F bkxy 消 去 y得 到 02 ??? cbxax ， 0?? ,?为 直 线 AB 的 倾 斜 角 ，k 为 直 线 的 斜 率 ） .107.圆 锥 曲 线 的 两 类 对 称 问 题（ 1） 曲 线 ( , ) 0F x y ? 关 于 点 0 0( , )P x y 成 中 心 对 称 的 曲 线 是 0 0(2 - ,2 ) 0F x x y y? ? .（ 2） 曲 线 ( , ) 0F x y ? 关 于 直 线 0Ax By C? ? ? 成 轴 对 称 的 曲 线 是2 2 2 22 ( ) 2 ( )( , ) 0A Ax By C B Ax By CF x yA B A B? ? ? ?? ? ?? ? .108.“ 四 线 ” 一 方 程
对 于 一 般 的 二 次 曲 线 2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F? ? ? ? ? ? ， 用 0x x 代 2x ， 用 0y y代 2y ， 用 0 02x y xy?代 xy， 用 02x x? 代 x， 用 02y y? 代 y 即 得 方 程0 0 0 00 0 02 2 2x y xy x x y yAx x B Cy y D E F? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 曲 线 的 切 线 ， 切 点 弦 ， 中 点 弦 ， 弦 中 点 方程 均 是 此 方 程 得 到 .109． 证 明 直 线 与 直 线 的 平 行 的 思 考 途 径（ 1） 转 化 为 判 定 共 面 二 直 线 无 交 点 ；（ 2） 转 化 为 二 直 线 同 与 第 三 条 直 线 平 行 ；（ 3） 转 化 为 线 面 平 行 ；（ 4） 转 化 为 线 面 垂 直 ；（ 5） 转 化 为 面 面 平 行 .110． 证 明 直 线 与 平 面 的 平 行 的 思 考 途 径
（ 1） 转 化 为 直 线 与 平 面 无 公 共 点 ；（ 2） 转 化 为 线 线 平 行 ；（ 3） 转 化 为 面 面 平 行 .111． 证 明 平 面 与 平 面 平 行 的 思 考 途 径（ 1） 转 化 为 判 定 二 平 面 无 公 共 点 ；（ 2） 转 化 为 线 面 平 行 ；（ 3） 转 化 为 线 面 垂 直 .112． 证 明 直 线 与 直 线 的 垂 直 的 思 考 途 径（ 1） 转 化 为 相 交 垂 直 ；（ 2） 转 化 为 线 面 垂 直 ；（ 3） 转 化 为 线 与 另 一 线 的 射 影 垂 直 ；（ 4） 转 化 为 线 与 形 成 射 影 的 斜 线 垂 直 .113． 证 明 直 线 与 平 面 垂 直 的 思 考 途 径（ 1） 转 化 为 该 直 线 与 平 面 内 任 一 直 线 垂 直 ；
（ 2） 转 化 为 该 直 线 与 平 面 内 相 交 二 直 线 垂 直 ；（ 3） 转 化 为 该 直 线 与 平 面 的 一 条 垂 线 平 行 ；（ 4） 转 化 为 该 直 线 垂 直 于 另 一 个 平 行 平 面 ；（ 5） 转 化 为 该 直 线 与 两 个 垂 直 平 面 的 交 线 垂 直 .114． 证 明 平 面 与 平 面 的 垂 直 的 思 考 途 径（ 1） 转 化 为 判 断 二 面 角 是 直 二 面 角 ；（ 2） 转 化 为 线 面 垂 直 .115.空 间 向 量 的 加 法 与 数 乘 向 量 运 算 的 运 算 律(1)加 法 交 换 律 ： a＋ b=b＋ a．(2)加 法 结 合 律 ： (a＋ b)＋ c=a＋ (b＋ c)．(3)数 乘 分 配 律 ： λ (a＋ b)=λ a＋ λ b．116.平 面 向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则 向 空 间 的 推 广始 点 相 同 且 不 在 同 一 个 平 面 内 的 三 个 向 量 之 和 ， 等 于 以 这 三 个 向 量 为 棱 的 平 行 六 面 体 的 以 公 共 始 点 为始 点 的 对 角 线 所 表 示 的 向 量 .
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117.共 线 向 量 定 理对 空 间 任 意 两 个 向 量 a、 b(b≠ 0)， a∥ b?存 在 实 数 λ 使 a=λ b．P A B、 、 三 点 共 线 ? ||AP AB ? AP tAB????? ???? ? (1 )OP t OA tOB? ? ????? ???? ???? .||AB CD ? AB???? 、 CD????共 线 且 AB CD、 不 共 线 ? AB tCD????? ???? 且 AB CD、 不 共 线 .118.共 面 向 量 定 理向 量 p 与 两 个 不 共 线 的 向 量 a、 b 共 面 的 ?存 在 实 数 对 ,x y,使 p ax by? ? ．推 论 空 间 一 点 P位 于 平 面 MAB内 的 ?存 在 有 序 实 数 对 ,x y,使 MP xMA yMB? ????? ???? ???? ，或 对 空 间 任 一 定 点 O， 有 序 实 数 对 ,x y， 使 OP OM xMA yMB? ? ????? ????? ???? ???? .119.对 空 间 任 一 点 O和 不 共 线 的 三 点 A、 B、 C， 满 足 OP xOA yOB zOC? ? ????? ???? ???? ???? （ x y z k? ? ? ） ， 则当 1k ? 时 ， 对 于 空 间 任 一 点 O， 总 有 P、 A、 B、 C 四 点 共 面 ； 当 1k ? 时 ， 若 O?平 面 ABC， 则 P、 A、 B、C 四 点 共 面 ； 若 O?平 面 ABC， 则 P、 A、 B、 C四 点 不 共 面 ． C A B、 、 、 D 四 点 共 面 ? AD???? 与 AB???? 、 AC???? 共 面 ? AD xAB yAC? ????? ???? ???? ?(1 )OD x y OA xOB yOC? ? ? ? ????? ???? ???? ????
（ O?平 面 ABC） .120.空 间 向 量 基 本 定 理如 果 三 个 向 量 a、 b、 c 不 共 面 ， 那 么 对 空 间 任 一 向 量 p， 存 在 一 个 唯 一 的 有 序 实 数 组 x， y， z， 使 p＝ xa＋ yb＋ zc．推 论 设 O、 A、 B、 C 是 不 共 面 的 四 点 ， 则 对 空 间 任 一 点 P， 都 存 在 唯 一 的 三 个 有 序 实 数 x， y， z， 使OP xOA yOB zOC? ? ????? ???? ???? ???? .121.射 影 公 式已 知 向 量 AB???? =a 和 轴 l， e是 l上 与 l同 方 向 的 单 位 向 量 .作 A 点 在 l上 的 射 影 ''A ， 作 B 点 在 l上 的 射 影''B ， 则 '' '' | |cosAB AB? ???? 〈 a， e〉 =a· e122.向 量 的 直 角 坐 标 运 算设 a＝ 1 2 3( , , )a a a ， b＝ 1 2 3( , , )b b b 则(1)a＋ b＝ 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b? ? ? ；
(2)a－ b＝ 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b? ? ? ；(3)λ a＝ 1 2 3( , , )a a a? ? ? (λ ∈ R)；(4)a· b＝ 1 1 2 2 3 3ab a b a b? ? ；123.设 A 1 1 1( , , )x y z ， B 2 2 2( , , )x y z ， 则AB OB OA? ????? ???? ???? = 2 1 2 1 2 1( , , )x x y y z z? ? ? .124． 空 间 的 线 线 平 行 或 垂 直设 1 1 1( , , )a x y z?r ， 2 2 2( , , )b x y z?r ， 则a br rP ? ( 0)a b b?? ?r r r r ? 1 21 21 2x xy yz z?????? ??? ?? ；a b?r r ? 0a b? ?r r ? 1 2 1 2 1 2 0x x y y z z? ? ? .
125.夹 角 公 式设 a＝ 1 2 3( , , )a a a ， b＝ 1 2 3( , , )b b b ， 则cos〈 a， b〉 = 1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3ab a b a ba a a b b b? ?? ? ? ? .推 论 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3( ) ( )( )ab a b a b a a a b b b? ? ? ? ? ? ? ， 此 即 三 维 柯 西 不 等 式 .126. 四 面 体 的 对 棱 所 成 的 角四 面 体 ABCD中 , AC 与 BD所 成 的 角 为 ? ,则2 2 2 2|( ) ( )|cos 2AB CD BC DAAC BD? ? ? ?? ? .
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127． 异 面 直 线 所 成 角cos |cos , |a b? ? r r= 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2| || || | | | x x y y z za ba b x y z x y z? ?? ?? ? ? ? ? ?r rr r（ 其 中 ? （ 0 90?? ?o o ） 为 异 面 直 线 a b, 所 成 角 ， ,a br r分 别 表 示 异 面 直 线 a b, 的 方 向 向 量 ）128.直 线 AB 与 平 面 所 成 角sin| || |AB marc AB m? ?? ???? ?????? ?? (m?? 为 平 面 ?的 法 向 量 ).129.若 ABC? 所 在 平 面 若 ? 与 过 若 AB 的 平 面 ? 成 的 角 ? ,另 两 边 AC ,BC 与 平 面 ? 成 的 角 分 别是 1? 、 2? , A B、 为 ABC? 的 两 个 内 角 ， 则2 2 2 2 21 2sin sin (sin sin )sinA B? ? ?? ? ? .
特 别 地 ,当 90ACB? ? ? 时 ,有2 2 21 2sin sin sin? ? ?? ? .130.若 ABC? 所 在 平 面 若 ? 与 过 若 AB 的 平 面 ? 成 的 角 ? ,另 两 边 AC ,BC 与 平 面 ? 成 的 角 分 别 是1? 、 2? , '' ''A B、 为 ABO? 的 两 个 内 角 ， 则2 2 2 '' 2 '' 21 2tan tan (sin sin )tanA B? ? ?? ? ? .特 别 地 ,当 90AOB? ? ? 时 ,有2 2 21 2sin sin sin? ? ?? ? .131.二 面 角 l? ?? ? 的 平 面 角cos| || |m narc m n? ?? ?? ??? ? 或 cos| || |m narc m n? ?? ?? ??? ? （ m?? ， n? 为 平 面 ?， ? 的 法 向 量 ） .132.三 余 弦 定 理
设 AC是 α 内 的 任 一 条 直 线 ， 且 BC⊥ AC， 垂 足 为 C， 又 设 AO 与 AB所 成 的 角 为 1? ， AB 与 AC所 成 的 角 为2? ， AO与 AC所 成 的 角 为 ? ． 则 1 2cos cos cos? ? ?? .133. 三 射 线 定 理若 夹 在 平 面 角 为 ? 的 二 面 角 间 的 线 段 与 二 面 角 的 两 个 半 平 面 所 成 的 角 是 1? , 2? ,与 二 面 角 的 棱 所 成 的角 是 θ ， 则 有 2 2 2 21 2 1 2sin sin sin sin 2sin sin cos? ? ? ? ? ? ?? ? ? ;1 2 1 2| | 180 ( )? ? ? ? ?? ? ? ? ?? (当 且 仅 当 90? ? ? 时 等 号 成 立 ).134.空 间 两 点 间 的 距 离 公 式若 A 1 1 1( , , )x y z ， B 2 2 2( , , )x y z ， 则,A Bd =| |AB AB AB? ????? ???? ???? 2 2 22 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )x x y y z z? ? ? ? ? ? .135.点 Q到 直 线 l距 离2 21 (| || |) ( )| |h a b a ba? ? ? (点 P在 直 线 l上 ， 直 线 l的 方 向 向 量 a=PA???? ， 向 量 b=PQ????).
136.异 面 直 线 间 的 距 离| || |CD nd n?? ???? ???? ( 1 2,l l 是 两 异 面 直 线 ， 其 公 垂 向 量 为 n? ， C D、 分 别 是 1 2,l l 上 任 一 点 ， d 为 1 2,l l 间 的 距 离 ).137.点 B到 平 面 ?的 距 离| || |AB nd n?? ???? ???? （ n? 为 平 面 ?的 法 向 量 ， AB 是 经 过 面 ?的 一 条 斜 线 ， A ?? ） .138.异 面 直 线 上 两 点 距 离 公 式2 2 2 2 cosd h m n mn ?? ? ? ? .2 2 2 ''2 cos ,d h m n mn EA AF? ? ? ? ???? ???? .
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2 2 2 2 cosd h m n mn ?? ? ? ? （ ''E AA F? ? ? ? ） .(两 条 异 面 直 线 a、 b 所 成 的 角 为 θ ， 其 公 垂 线 段 ''AA 的 长 度 为 h.在 直 线 a、 b 上 分 别 取 两 点 E、 F，''AE m? , AF n? ,EF d? ).139.三 个 向 量 和 的 平 方 公 式2 2 22( ) 2 2 2a b c a b c a b b c c a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2| | | |cos , 2| | | |cos , 2| | | |cos ,a b c a b a b b c b c c a c a? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?140. 长 度 为 l 的 线 段 在 三 条 两 两 互 相 垂 直 的 直 线 上 的 射 影 长 分 别 为 1 2 3l l l、 、 ， 夹 角 分 别 为1 2 3? ? ?、 、 ,则 有2 2 2 21 2 3l l l l? ? ? 2 2 21 2 3cos cos cos 1? ? ?? ? ? ? 2 2 21 2 3sin sin sin 2? ? ?? ? ? ? .（ 立 体 几 何 中 长 方 体 对 角 线 长 的 公 式 是 其 特 例 ） .141. 面 积 射 影 定 理''cosSS ??
.(平 面 多 边 形 及 其 射 影 的 面 积 分 别 是 S 、 ''S ， 它 们 所 在 平 面 所 成 锐 二 面 角 的 为 ? ).142. 斜 棱 柱 的 直 截 面已 知 斜 棱 柱 的 侧 棱 长 是 l,侧 面 积 和 体 积 分 别 是 S斜 棱 柱 侧 和 V斜 棱 柱 ,它 的 直 截 面 的 周 长 和 面 积 分 别 是 1c和 1S ,则① 1S cl?斜 棱 柱 侧 .② 1V S l?斜 棱 柱 .143． 作 截 面 的 依 据三 个 平 面 两 两 相 交 ， 有 三 条 交 线 ， 则 这 三 条 交 线 交 于 一 点 或 互 相 平 行 .144． 棱 锥 的 平 行 截 面 的 性 质如 果 棱 锥 被 平 行 于 底 面 的 平 面 所 截 ， 那 么 所 得 的 截 面 与 底 面 相 似 ， 截 面 面 积 与 底 面 面 积 的 比 等 于 顶 点到 截 面 距 离 与 棱 锥 高 的 平 方 比 （ 对 应 角 相 等 ， 对 应 边 对 应 成 比 例 的 多 边 形 是 相 似 多 边 形 ， 相 似 多 边 形 面 积
的 比 等 于 对 应 边 的 比 的 平 方 ） ； 相 应 小 棱 锥 与 小 棱 锥 的 侧 面 积 的 比 等 于 顶 点 到 截 面 距 离 与 棱 锥 高 的 平 方 比 ．145.欧 拉 定 理 (欧 拉 公 式 )2V F E? ? ? (简 单 多 面 体 的 顶 点 数 V、 棱 数 E和 面 数 F).（ 1） E =各 面 多 边 形 边 数 和 的 一 半 .特 别 地 ,若 每 个 面 的 边 数 为 n的 多 边 形 ， 则 面 数 F 与 棱 数 E 的 关 系 ：12E nF? ；（ 2） 若 每 个 顶 点 引 出 的 棱 数 为 m， 则 顶 点 数 V 与 棱 数 E 的 关 系 ： 12E mV? .146.球 的 半 径 是 R， 则其 体 积 343V R?? ,其 表 面 积 24S R?? ．147.球 的 组 合 体
(1)球 与 长 方 体 的 组 合 体 :长 方 体 的 外 接 球 的 直 径 是 长 方 体 的 体 对 角 线 长 .(2)球 与 正 方 体 的 组 合 体 :正 方 体 的 内 切 球 的 直 径 是 正 方 体 的 棱 长 , 正 方 体 的 棱 切 球 的 直 径 是 正 方 体 的 面 对 角 线 长 , 正 方 体 的外 接 球 的 直 径 是 正 方 体 的 体 对 角 线 长 .(3) 球 与 正 四 面 体 的 组 合 体 :棱 长 为 a的 正 四 面 体 的 内 切 球 的 半 径 为 612 a,外 接 球 的 半 径 为 64 a.148． 柱 体 、 锥 体 的 体 积13V Sh?柱 体 （ S 是 柱 体 的 底 面 积 、 h是 柱 体 的 高 ） .
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13V Sh?锥 体 （ S 是 锥 体 的 底 面 积 、 h是 锥 体 的 高 ） .149.分 类 计 数 原 理 （ 加 法 原 理 ）1 2 nN m m m? ? ? ?? .150.分 步 计 数 原 理 （ 乘 法 原 理 ）1 2 nN m m m? ? ? ?? .151.排 列 数 公 式mnA = )1()1( ??? mnnn ? = ！！ )( mn n? .(n， m ∈ N
， 且 m n? )．注 :规 定 1!0 ? .152.排 列 恒 等 式(1） 1( 1)m mn nA n m A ?? ? ? ;（ 2） 1m mn nnA An m ?? ? ;（ 3） 11m mn nA nA ??? ;（ 4） 11n n nn n nnA A A??? ? ;（ 5） 11m m mn n nA A mA ?? ? ? .(6) 1! 2 2! 3 3! ! ( 1)! 1n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? .153.组 合 数 公 式m
nC = mnmmAA = mmnnn ??? ??? ??21 )1()1( = ！！ ！ )( mnm n ?? (n∈ N， m N? ， 且 m n? ).154.组 合 数 的 两 个 性 质(1) mnC = mnnC ? ;(2) mnC + 1?mnC = mnC 1? .注 :规 定 10 ?nC .155.组 合 恒 等 式（ 1） 11m mn nn mC Cm ?? ?? ;（ 2） 1m mn nnC Cn m ?? ? ;（ 3） 11m mn nnC Cm ??? ;
（ 4） ??nr rnC0 = n2 ;（ 5） 1121 ???? ????? rnrnrrrrrr CCCCC ? .(6) nnnrnnnn CCCCC 2210 ??????? ?? .(7) 1420531 2 ???????? nnnnnnn CCCCCC ?? .(8) 1321 232 ?????? nnnnnn nnCCCC ? .(9) r nmrnrmnrmnrm CCCCCCC ?? ???? 0110 ? .(10) nnnnnnn CCCCC 22222120 )()()()( ????? ? .
156.排 列 数 与 组 合 数 的 关 系m mn nA m C? ?！ .157． 单 条 件 排 列
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以 下 各 条 的 大 前 提 是 从 n个 元 素 中 取 m 个 元 素 的 排 列 .（ 1） “ 在 位 ” 与 “ 不 在 位 ”① 某 （ 特 ） 元 必 在 某 位 有 11??mnA 种 ； ② 某 （ 特 ） 元 不 在 某 位 有 11??? mnmn AA （ 补 集 思 想 ） 111 1 ???? mnn AA （ 着眼 位 置 ） 111 11 ???? ?? mnmmn AAA （ 着 眼 元 素 ） 种 .（ 2） 紧 贴 与 插 空 （ 即 相 邻 与 不 相 邻 ）① 定 位 紧 贴 ： )( nmkk ?? 个 元 在 固 定 位 的 排 列 有 km knkk AA ?? 种 .② 浮 动 紧 贴 ： n个 元 素 的 全 排 列 把 k个 元 排 在 一 起 的 排 法 有 kkkn kn AA 11?? ?? 种 .注 ： 此 类 问 题 常 用 捆 绑 法 ；③ 插 空 ： 两 组 元 素 分 别 有 k、 h个 （ 1?? hk ） ， 把 它 们 合 在 一 起 来 作 全 排 列 ， k个 的 一 组 互 不 能 挨 近的 所 有 排 列 数 有 khhh AA 1? 种 .（ 3） 两 组 元 素 各 相 同 的 插 空m 个 大 球 n个 小 球 排 成 一 列 ， 小 球 必 分 开 ， 问 有 多 少 种 排 法 ？当 1?? mn 时 ， 无 解 ； 当 1?? mn 时 ， 有 nmnnnm CAA 11 ?? ? 种 排 法 .
（ 4） 两 组 相 同 元 素 的 排 列 ： 两 组 元 素 有 m个 和 n个 ， 各 组 元 素 分 别 相 同 的 排 列 数 为 n nmC ? .158． 分 配 问 题（ 1） (平 均 分 组 有 归 属 问 题 )将 相 异 的 m 、 n 个 物 件 等 分 给 m 个 人 ， 各 得 n 件 ， 其 分 配 方 法 数 共 有mnnnnn nmnn nmnnmn nmnCCCCCN )!( )!(22 ??????? ?? ? .（ 2） (平 均 分 组 无 归 属 问 题 )将 相 异 的 m · n个 物 体 等 分 为 无 记 号 或 无 顺 序 的 m 堆 ， 其 分 配 方 法 数 共 有mnnnnn nmnn nmnnmn nmmnm CCCCCN )!(! )!(! ... 22 ?????? ?? .（ 3） (非 平 均 分 组 有 归 属 问 题 )将 相 异 的 )?1 2 mP(P=n +n + +n 个 物 体 分 给 m 个 人 ， 物 件 必 须 被 分 完 ，分 别 得 到 1n ， 2n ， … ， mn 件 ， 且 1n ， 2n ， … ， mn 这 m 个 数 彼 此 不 相 等 ， 则 其 分 配 方 法 数 共 有!!...! !!!... 21
2 11 mnnn npnp nnn mpmCCCN mm ???? ? .（ 4） (非 完 全 平 均 分 组 有 归 属 问 题 )将 相 异 的 )?1 2 mP(P=n +n + +n 个 物 体 分 给 m 个 人 ， 物 件 必 须 被 分完 ， 分 别 得 到 1n ， 2n ， … ， mn 件 ， 且 1n ， 2n ， … ， mn 这 m 个 数 中 分 别 有 a、 b、 c、 … 个 相 等 ， 则 其 分配 方 法 数 有 !...!! !...2 11 cba mCCCN mmnnn npnp ??? ? 1 2 ! !! !... !( ! ! !...)mp mn n n a b c? .（ 5） (非 平 均 分 组 无 归 属 问 题 )将 相 异 的 )?1 2 mP(P=n +n + +n 个 物 体 分 为 任 意 的 1n ， 2n ， … ， mn 件 无记 号 的 m堆 ， 且 1n ， 2n ， … ， mn 这 m个 数 彼 此 不 相 等 ， 则 其 分 配 方 法 数 有 !!...! !21 mnnn pN ? .（ 6） (非 完 全 平 均 分 组 无 归 属 问 题 )将 相 异 的 )?1 2 mP(P=n +n + +n 个 物 体 分 为 任 意 的 1n ， 2n ， … ， mn件 无 记 号 的 m 堆 ， 且 1n ， 2n ， … ， mn 这 m 个 数 中 分 别 有 a、 b、 c、 … 个 相 等 ， 则 其 分 配 方 法 数 有!...)!!(!!...! !
21 cbannn pN m? .（ 7） (限 定 分 组 有 归 属 问 题 )将 相 异 的 p （ 2 mp n n n? ?1+ + + ） 个 物 体 分 给 甲 、 乙 、 丙 ， … … 等 m 个人 ， 物 体 必 须 被 分 完 ， 如 果 指 定 甲 得 1n 件 ， 乙 得 2n 件 ， 丙 得 3n 件 ， … 时 ， 则 无 论 1n ， 2n ， … ， mn 等 m 个数 是 否 全 相 异 或 不 全 相 异 其 分 配 方 法 数 恒 有!!...! !... 212 11 mnnn npnp nnn pCCCN mm ??? ? .159． “ 错 位 问 题 ” 及 其 推 广贝 努 利 装 错 笺 问 题 :信 n封 信 与 n个 信 封 全 部 错 位 的 组 合 数 为1 1 1 1( ) ![ ( 1) ]2! 3! 4! !nf n n n? ? ? ? ? ?? .
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推 广 : n个 元 素 与 n个 位 置 ,其 中 至 少 有 m个 元 素 错 位 的 不 同 组 合 总 数 为1 2 3 4( , ) ! ( 1)! ( 2)! ( 3)! ( 4)!( 1) ( )! ( 1) ( )!m m m mp p m mm mf n m n C n C n C n C nC n p C n m? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?1 2 3 41 2 2 4![1 ( 1) ( 1) ]p mp mm m m m m mp mn n n n n nC C C C C Cn A A A A A A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? .160． 不 定 方 程 2 nx x x m??1+ + + 的 解 的 个 数(1)方 程 2 nx x x m??1+ + + （ ,n m N?? ） 的 正 整 数 解 有 11mnC ?? 个 .(2) 方 程 2 nx x x m??1+ + + （ ,n m N?? ） 的 非 负 整 数 解 有
11n mnC ? ?? 个 .(3) 方 程 2 nx x x m??1+ + + （ ,n m N?? ） 满 足 条 件 ix k? (k N?? ,2 1i n? ? ? )的 非 负 整 数 解 有11 ( 2)( 1)mn n kC ??? ? ? 个 .(4) 方 程 2 nx x x m??1+ + + （ ,n m N?? ） 满 足 条 件 ix k? (k N?? ,2 1i n? ? ? )的 正 整 数 解 有1 2 2 2 2 3 2 1 ( 2)1 1 1 2 1 2 2 1( 1)n m n m n k n m n k n m n kn n n n n nC C C C C C C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 个 .161.二 项 式 定 理 nnnrrnrnnnnnnnn bCbaCbaCbaCaCba ???????? ??? ??222110)( ;二 项 展 开 式 的 通 项 公 式rrnrnr baCT ?? ?1 )210( nr ，，， ?? .162.等 可 能 性 事 件 的 概 率( ) mP A n? .163.互 斥 事 件 A， B 分 别 发 生 的 概 率 的 和
P(A＋ B)=P(A)＋ P(B)．164.n个 互 斥 事 件 分 别 发 生 的 概 率 的 和P(A1＋ A2＋ … ＋ An)=P(A1)＋ P(A2)＋ … ＋ P(An)．165.独 立 事 件 A， B 同 时 发 生 的 概 率P(A· B)= P(A)· P(B).166.n个 独 立 事 件 同 时 发 生 的 概 率P(A1· A2· … · An)=P(A1)· P(A2)· … · P(An)．167.n次 独 立 重 复 试 验 中 某 事 件 恰 好 发 生 k 次 的 概 率( ) (1 ) .k k n kn nP k C P P ?? ?168.离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 的 两 个 性 质（ 1） 0( 1,2, )iP i? ? ? ;（ 2） 1 2 1P P? ? ?? .169.数 学 期 望
1 1 2 2 n nE x P x P x P? ? ? ? ? ?? ?170.数 学 期 望 的 性 质（ 1） ( ) ( )E a b aE b? ?? ? ? .（ 2） 若 ? ～ ( , )B n p ,则 E np? ? .(3) 若 ? 服 从 几 何 分 布 ,且 1( ) ( , ) kP k g k p q p? ?? ? ? ， 则 1E p? ? .171.方 差? ? ? ? ? ?2 2 21 1 2 2 n nD x E p x E p x E p? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?172.标 准 差?? = ?D .173.方 差 的 性 质(1) ? ? 2D a b a D? ?? ? ；
(2） 若 ? ～ ( , )B n p ， 则 (1 )D np p? ? ? .
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(3) 若 ? 服 从 几 何 分 布 ,且 1( ) ( , ) kP k g k p q p? ?? ? ? ， 则 2qD p? ? .174.方 差 与 期 望 的 关 系? ?22D E E? ? ?? ? .175.正 态 分 布 密 度 函 数? ? ? ? ? ?22261 , ,2 6 xf x e x?? ??? ? ?? ?? ， 式 中 的 实 数 μ ， ? （ ? >0） 是 参 数 ， 分 别 表 示 个 体 的 平 均数 与 标 准 差 .176.标 准 正 态 分 布 密 度 函 数? ? ? ?221 , ,2 6 xf x e x? ?? ? ?? ?? .177.对 于 2( , )N ? ? ， 取 值 小 于 x 的 概 率? ? xF x ???? ???? ?? ?
.? ? ? ? ? ?12201 xxPxxPxxxP ?????? ? ? ? ?2 1F x F x? ? 2 1x x? ?? ?? ?? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ?.178.回 归 直 线 方 程?y a bx? ? ， 其 中 ? ?? ?? ?1 12 2 21 1n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx yb x x x nxa y bx? ?? ?? ? ? ??? ? ?? ? ??? ? ?? ? ?? ? .
179.相 关 系 数? ?? ?1 2 21 1( ) ( )n i iin ni ii ix x y yr x x y y?? ?? ?? ? ??? ? ? ?? ?12 2 2 21 1( )( )n i iin ni ii ix x y yx nx y ny?? ?? ?? ? ??? ? .|r|≤ 1， 且 |r|越 接 近 于 1， 相 关 程 度 越 大 ； |r|越 接 近 于 0， 相 关 程 度 越 小 .180.特 殊 数 列 的 极 限（ 1） 0 | | 1lim 1 1| | 1 1nn qq qq q?? ???? ??? ? ???不 存 在 或 .
（ 2） 11 011 0 0 ( )lim ( )( )k kk k tt tn t t k k ta n a n a a k tbn b n b b k t?? ??? ? ? ??? ? ? ?? ??? ? ? ?? ???? 不 存 在 .（ 3） ? ?1 11lim 1 1nn a q aS q q?? ?? ?? ? （ S 无 穷 等 比 数 列 ?? 11 na q ? (| | 1q ? )的 和 ） .181. 函 数 的 极 限 定 理0lim ( )x x f x a? ? ? 0 0lim ( ) lim ( )x x x xf x f x a? ?? ?? ? .182.函 数 的 夹 逼 性 定 理如 果 函 数 f(x)， g(x)， h(x)在 点 x
0的 附 近 满 足 ：（ 1） ( ) ( ) ( )g x f x h x? ? ;
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（ 2） 0 0lim ( ) ,lim ( )x x x xg x a h x a? ?? ? （ 常 数 ） ,则 0lim ( )x x f x a? ? .本 定 理 对 于 单 侧 极 限 和 ??x 的 情 况 仍 然 成 立 .183.几 个 常 用 极 限（ 1） 1lim 0n n?? ? ， lim 0nn a?? ? （ | | 1a ? ） ；（ 2） 0 0limx x x x? ? ， 0 01 1limx x x x? ? .184.两 个 重 要 的 极 限（ 1） 0 sinlim 1x xx? ? ；
（ 2） 1lim 1 xx ex??? ?? ?? ?? ? (e=2.718281845… ).185.函 数 极 限 的 四 则 运 算 法 则若 0lim ( )x x f x a? ? ， 0lim ( )x x g x b? ? ， 则(1) ? ? ? ?0limx x f x g x a b? ? ? ?? ?? ? ；(2) ? ? ? ?0limx x f x g x a b? ? ? ?? ?? ? ;(3) ? ?? ? ? ?0lim 0x x f x a bg x b? ? ? .186.数 列 极 限 的 四 则 运 算 法 则若 lim ,limn nn na a b b?? ??? ? ， 则(1) ? ?lim n nn a b a b?? ? ? ? ；
(2) ? ?lim n nn a b a b?? ? ? ? ；(3) ? ?lim 0nn na a bb b?? ? ?(4) ? ?lim lim limn nn n nc a c a c a?? ?? ??? ? ? ? ? (c是 常 数 ).187. )(xf 在 0x 处 的 导 数 （ 或 变 化 率 或 微 商 ）0 0 00 0 0 ( ) ( )( ) lim limx x x x f x x f xyf x y x x? ? ? ? ? ?? ??? ?? ? ?? ? .188.瞬 时 速 度 0 0 ( ) ( )( ) lim limt ts s t t s ts t t t? ? ? ? ?? ?? ??? ? ?? ? .189.瞬 时 加 速 度
0 0 ( ) ( )( ) lim limt tv v t t v ta v t t t? ? ? ?? ?? ??? ? ?? ? .190. )(xf 在 ),( ba 的 导 数( ) dy dff x y dx dx? ?? ? ? 0 0 ( ) ( )lim limx xy f x x f xx x? ? ? ?? ?? ?? ?? ? .191. 函 数 )(xfy ? 在 点 0x 处 的 导 数 的 几 何 意 义函 数 )(xfy ? 在 点 0x 处 的 导 数 是 曲 线 )(xfy ? 在 ))(,( 00 xfxP 处 的 切 线 的 斜 率 )( 0xf? ， 相 应 的 切 线方 程 是 ))(( 000 xxxfyy ???? .192.几 种 常 见 函 数 的 导 数(1) 0??C （ C为 常 数 ） .(2) '' 1( ) ( )nnx nx n Q?? ? .
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(3) xx cos)(sin ?? .(4) xx sin)(cos ??? .(5) xx 1)(ln ?? ； eax xa log1)(log ?? .(6) xx ee ??)( ; aaa xx ln)( ?? .193.导 数 的 运 算 法 则（ 1） '' '' ''( )u v u v? ? ? .（ 2） '' '' ''( )uv uv uv? ? .（ 3） '' '''' 2( ) ( 0)u uv uv vv v?? ? .194.复 合 函 数 的 求 导 法 则设 函 数 ( )u x?? 在 点 x 处 有 导 数 '' ''( )xu x?? ， 函 数 )(ufy ? 在 点 x 处 的 对 应 点 U 处 有 导 数'' ''( )
uy f u? ， 则 复 合 函 数 ( ( ))y f x?? 在 点 x处 有 导 数 ， 且 '' '' ''x u xy y u? ? ， 或 写 作 '' '' ''( ( )) ( ) ( )xf x f u x? ?? .195.常 用 的 近 似 计 算 公 式 （ 当 x 充 小 时 ）(1) xx 2111 ??? ; xnxn 111 ??? ；(2)(1 ) 1 ( )x x R? ? ?? ? ? ? ； xx ??? 111 ；(3) xex ??1 ；(4) xxln ?? )1( ；(5) xx ?sin （ x为 弧 度 ） ；(6) xx ?tan （ x为 弧 度 ） ；(7) xx ?arctan （ x为 弧 度 ）196.判 别 )( 0xf 是 极 大 （ 小 ） 值 的 方 法
当 函 数 )(xf 在 点 0x 处 连 续 时 ，（ 1） 如 果 在 0x 附 近 的 左 侧 0)( ?? xf ， 右 侧 0)( ?? xf ， 则 )( 0xf 是 极 大 值 ；（ 2） 如 果 在 0x 附 近 的 左 侧 0)( ?? xf ， 右 侧 0)( ?? xf ， 则 )( 0xf 是 极 小 值 .197.复 数 的 相 等 ,a bi c di a c b d? ? ? ? ? ? .（ , , ,a b c d R? ）198.复 数 z a bi? ? 的 模 （ 或 绝 对 值 ）| |z =| |a bi? = 2 2a b? .199.复 数 的 四 则 运 算 法 则(1)( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i? ? ? ? ? ? ? ;(2)( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i? ? ? ? ? ? ? ;(3)( )( ) ( ) ( )a bi c di ac bd bc ad i? ? ? ? ? ? ;(4) 2 2 2 2( ) ( ) ( 0)ac bd bc ada bi c di i c dic d c d? ?? ? ? ? ? ? ?? ? .
200.复 数 的 乘 法 的 运 算 律对 于 任 何 1 2 3, ,z z z C? ， 有交 换 律 : 1 2 2 1z z z z? ? ? .结 合 律 : 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z? ? ? ? ? .分 配 律 : 1 2 3 1 2 1 3( )z z z z z z z? ? ? ? ? ? .201.复 平 面 上 的 两 点 间 的 距 离 公 式2 21 2 2 1 2 1| | ( ) ( )d z z x x y y? ? ? ? ? ? （ 1 1 1z x yi? ? ， 2 2 2z x y i? ? ） .202.向 量 的 垂 直非 零 复 数 1z a bi? ? ， 2z c di? ? 对 应 的 向 量 分 别 是 1OZ????? ， 2OZ????? ， 则
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1 2OZ OZ?????? ????? ? 1 2z z? 的 实 部 为 零 ? 21zz 为 纯 虚 数 ? 2 2 21 2 1 2| | | | | |z z z z? ? ?? 2 2 21 2 1 2| | | | | |z z z z? ? ? ? 1 2 1 2| | | |z z z z? ? ? ? 0ac bd? ? ? 1 2z iz?? (λ 为 非 零 实 数 ).203.实 系 数 一 元 二 次 方 程 的 解实 系 数 一 元 二 次 方 程 2 0ax bx c? ? ? ，① 若 2 4 0b ac?? ? ? ,则 21,2 42b b acx a? ? ?? ;② 若 2 4 0b ac?? ? ? ,则 1 2 2bx x a? ?? ;③ 若 2 4 0b ac?? ? ? ， 它 在 实 数 集 R 内 没 有 实 数 根 ； 在 复 数 集 C 内 有 且 仅 有 两 个 共 轭 复 数 根2 2( 4 ) ( 4 0)2b b ac ix b aca? ? ? ?? ? ? .
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