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２０２０年天水市初中毕业与升学学业考试（中考）
数学试题参考答案及评分标准
Ａ卷（１００分）
一、选择题（每小题４分，共４０分）
１Ｄ ２Ａ ３Ｄ ４Ｃ ５Ｂ ６Ｃ ７Ｂ ８Ａ ９Ｄ １０Ａ
二、填空题（每小题４分，共３２分）
１１ｍｎ（ｍ＋１）（ｍ－１） １２１３ １３ｘ≥－２且ｘ≠３ １４１
１５
槡
２
２
１６
８
３
１７（－１，５）１８２
三、解答题
１９（第（１）小题４分，第（２）小题４分，共８分）
解：（１）解：原式＝４×
槡
３
２
－（２－
槡
３）＋１－
槡
２３＋４
＝
槡
２３－２＋
槡
３＋１－
槡
２３＋４
＝
槡
３＋３ ４分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
（２）解：原式＝
１
ａ－１
－
ａ－１
（ａ＋１）
２
×
ａ＋１
ａ－１
＝
１
ａ－１
－
１
ａ＋１
＝
ａ＋１－ａ＋１
（ａ－１）（ａ＋１）
＝
２
ａ
２
－１
当ａ＝
槡
３时，原式＝
２
槡
３
２
－１
＝
２
３－１
＝
２
２
＝１ ４分G21 G21 G21
２０解：（１）１８÷３６％＝５０（人） ２分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
（２）５０－（４＋８＋１８）＝２０（图略） ４分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
（３）
２０
５０
×３６０°＝１４４° ６分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
（４） ８分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
）页６共（页１第案答学数
Ｐ（一男一女）＝
８
１２
＝
２
３
１０分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
２１解：（１）由题意得：Ｓ
△ＡＯＣ
＝
１
２
｜ｋ｜＝４ ∴｜ｋ｜＝８ ｋ＝±８
又∵反比例函数图象经过第二、四象限 ∴ｋ＝－８，ｙ＝
－８
ｘ
当ｘ＝－２时，ａ＝
－８
－２
＝４；当ｙ＝－１时，
－８
ｂ
＝－１，解得ｂ＝８ ３分G21 G21
（２）ｘ＜－２或０＜ｘ＜８ ６分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
（３）∵Ａ（－２，４）关于ｙ轴的对称点为Ａ′（２，４），又Ｂ（８，－１），则直线Ａ′Ｂ与ｙ轴的交点
即为所求Ｐ点
设直线Ａ′Ｂ的解析式为ｙ＝ｃｘ＋ｄ
则
２ｃ＋ｄ＝４，
８ｃ＋ｄ＝－１
{
．
解得
ｃ＝－
５
６
，
ｄ＝
１７
{
３
∴直线Ａ′Ｂ的解析式为ｙ＝－
５
６
ｘ＋
１７
３
∴直线Ａ′Ｂ与ｙ轴的交点为（０，
１７
３
）
即点Ｐ的坐标为Ｐ（０，
１７
３
） １０分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
（该题还有其它解法，只要合理，即可给分）
Ｂ卷（５０分）
四、解答题（本大题共５０分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程）
２２（第（１）小题２分，第（２）小题５分，共７分）
解：（１）作ＰＨ⊥ＡＢ交ＡＢ的延长线于点Ｈ
则∠ＰＡＢ＝９０°－６０°＝３０°，∠ＰＢＨ＝９０°－４５°＝４５°
∴∠ＡＰＢ＝∠ＰＢＨ－∠ＰＡＢ＝４５°－３０°＝１５° ２分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
（２）设ＰＨ＝ｘ海里，则ＢＨ＝ＰＨ＝ｘ海里
ＡＢ＝４０×
３０
６０
＝２０海里 ３分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
在Ｒｔ△ＡＰＨ中，ｔａｎ３０°＝
ＰＨ
ＡＨ
∴
ｘ
２０＋ｘ
＝
槡
３
３
５分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
解得：ｘ＝
槡
１０３＋１０≈２７３２＞２５ ６分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
∴海监船继续向正东方向航行安全 ７分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
）页６共（页２第案答学数
２３（第（１）小题５分，第（２）小题５分，共１０分）
解：（１）ＢＣ与⊙Ｏ相切理由如下：
连接ＯＤ，∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，
∴∠ＣＡＤ＝∠ＯＡＤ
又∵ＯＡ＝ＯＤ，
∴∠ＯＡＤ＝∠ＯＤＡ
∴∠ＣＡＤ＝∠ＯＤＡ
∴ＯＤ∥ＡＣ
∴∠ＢＤＯ＝∠Ｃ＝９０°
又∵ＯＤ为⊙Ｏ的半径，
∴ＢＣ与⊙Ｏ相切 ５分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
（该题还有其它证法，按正确解答给分即可）
（２）设⊙Ｏ的半径为ｒ，则ＯＡ＝ＯＤ＝ｒ，ＯＢ＝６－ｒ，
由（１）知∠ＢＤＯ＝９０°，在Ｒｔ△ＢＯＤ中，ＯＤ
２
＋ＢＤ
２
＝ＯＢ
２
，
即ｒ
２
＋（
槡
２３）
２
＝（６－ｒ）
２
解得ｒ＝２ ７分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
∵ｔａｎ∠ＢＯＤ＝
ＢＤ
ＯＤ
＝
槡
２３
２
＝
槡
３
∴∠ＢＯＤ＝６０° ８分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
∴Ｓ
阴影
＝Ｓ
△ＢＯＤ
－Ｓ
扇形ＯＤＦ
＝
１
２
·ＯＤ·ＢＤ－
６０πｒ
２
３６０
＝
１
２
×２×
槡
２３－
６０×π×２
２
３６０
＝
槡
２３－
２
３
π １０分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
２４（共１０分）
解：性质探究
槡
３∶１（或
槡
３） ２分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
解法提示：过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，
∵△ＡＢＣ是等腰三角形，∠ＡＣＢ＝１２０°
∴∠ＣＡＢ＝３０°，ＡＤ＝ＤＢ，∴ＡＢ＝２ＡＤ＝２×ＡＣ×ｃｏｓ３０°＝
槡
３ＡＣ
∴ＡＢ∶ＡＣ＝
槡
３∶１
理解运用 （１）
槡
３ ４分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
（２）解：∵∠ＦＧＨ＝１２０°，ＥＦ＝ＥＧ＝ＥＨ
）页６共（页３第案答学数
∴∠ＥＦＧ＋∠ＥＨＧ＝∠ＦＧＥ＋∠ＨＧＥ＝∠ＦＧＨ＝１２０°
又∵∠ＦＥＨ＋∠ＥＦＧ＋∠ＥＨＧ＋∠ＦＧＨ＝３６０°，
∴∠ＦＥＨ＝３６０°－１２０°－１２０°＝１２０° ６分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
连接ＦＨ ∵ＥＦ＝ＥＨ
∴△ＥＦＨ为顶角为１２０°的等腰三角形
∴ＦＨ＝
槡
３ＥＦ＝
槡
２０３
∵Ｍ、Ｎ分别为ＦＧ、ＧＨ的中点，
∴ＭＮ为△ＦＧＨ的中位线
∴ＭＮ＝
１
２
ＦＨ＝
１
２
×
槡
２０３＝
槡
１０３ ８分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
类比拓展
２ｓｉｎα∶１（或２ｓｉｎα） １０分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
２５（第（１）小题３分，第（２）小题３分，第（３）小题４分，共１０分）
解：（１）设Ａ种商品每件的进价为ｘ元，Ｂ种商品每件的进价为（ｘ－２０）元
依题意得
２０００
ｘ
＝
１２００
ｘ－２０
，解得ｘ＝５０，经检验ｘ＝５０是原方程的解且符合题意
当ｘ＝５０时，ｘ－２０＝３０
答：Ａ种商品每件的进价为５０元，Ｂ种商品每件的进价为３０元； ３分G21
（２）设购进Ａ种商品ａ件，购进Ｂ种商品（４０－ａ）件，
依题意得
５０ａ＋３０（４０－ａ）≤１５６０
ａ≥
１
２
（４０－ａ
{
），
解得
４０
３
≤ａ≤１８，
∵ａ为整数 ∴ａ＝１４，１５，１６，１７，１８
∴该商店有５种进货方案； ６分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
（３）设销售Ａ、Ｂ两种商品总获利ｙ元，
则ｙ＝（８０－５０－ｍ）ａ＋（４５－３０）（４０－ａ）＝（１５－ｍ）ａ＋６００
７分
G21
G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
①当ｍ＝１５时，１５－ｍ＝０，ｙ与ａ的取值无关，即（２）中的五种方案都获利６００元；
②当１０＜ｍ＜１５时，１５－ｍ＞０，ｙ随ａ的增大而增大，∴当ａ＝１８时，获利最大，
即在（２）的条件下，购进Ａ种商品１８件，购进Ｂ种商品２２件，获利最大；
③当１５＜ｍ＜２０时，１５－ｍ＜０，ｙ随ａ的增大而减小，∴当ａ＝１４时，获利最大，
即在（２）的条件下，购进Ａ种商品１４件，购进Ｂ种商品２６件，获利最大
１０分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
）页６共（页４第案答学数
２６（第（１）小题４分，第（２）小题５分，第（３）小题４分，共１３分）
解：（１）由题意得
－
ｂ
２ａ
＝１，
４ａ－２ｂ＋ｃ＝０，
ｃ＝
{
６
解得
ａ＝－
３
４
，
ｂ＝
３
２
，
ｃ＝
?
?
?
?
?
?
?
６
故抛物线的函数表达式为ｙ＝－
３
４
ｘ
２
＋
３
２
ｘ＋６ ４分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
（２）过点Ｄ作ＤＥ⊥ｘ轴于点Ｅ，交ＢＣ于点Ｇ，过点Ｃ作ＣＦ⊥ＥＤ交ＥＤ的延长线
于点Ｆ
∵点Ａ的坐标为（－２，０），∴ＯＡ＝２
∵点Ｃ的坐标为（０，６） ∴ＯＣ＝６
∴Ｓ
△ＡＯＣ
＝
１
２
ＯＡ·ＯＣ＝
１
２
×２×６＝６ ５分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
∴Ｓ
△ＢＣＤ
＝
３
４
Ｓ
△ＡＯＣ
＝
３
４
×６＝
９
２
当ｙ＝０时，－
３
４
ｘ
２
＋
３
２
ｘ＋６＝０，解得ｘ
１
＝－２，ｘ
２
＝４
∴Ｂ（４，０）
设直线ＢＣ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｎ 则
４ｋ＋ｎ＝０，
ｎ＝
{
６
解得
ｋ＝－
３
２
，
ｎ＝
{
６
∴直线ＢＣ的函数表达式为 ｙ＝－
３
２
ｘ＋６ ６分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
则点Ｄ的坐标为Ｄ（ｍ，－
３
４
ｍ
２
＋
３
２
ｍ＋６），点Ｇ的坐标为Ｇ（ｍ，－
３
２
ｍ＋６），
∴ＤＧ＝－
３
４
ｍ
２
＋
３
２
ｍ＋６－（－
３
２
ｍ＋６）＝－
３
４
ｍ
２
＋３ｍ ７分G21 G21 G21
∵点Ｂ的坐标为（４，０），∴ＯＢ＝４
∴Ｓ
△ＢＣＤ
＝Ｓ
△ＣＤＧ
＋Ｓ
△ＢＤＧ
＝
１
２
ＤＧ·ＣＦ＋
１
２
ＤＧ·ＢＥ＝
１
２
ＤＧ（ＣＦ＋ＢＥ）＝
１
２
ＤＧ·
ＢＯ＝
１
２
×（－
３
４
ｍ
２
＋３ｍ）×４＝－
３
２
ｍ
２
＋６ｍ ８分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
则有－
３
２
ｍ
２
＋６ｍ＝
９
２
解得ｍ
１
＝１（不合题意，舍去），ｍ
２
＝３
∴ｍ的值为３９分G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21 G21
（该题还有其它解法，按正确解答给分即可）
（３）存在，点Ｍ的坐标为（８，０），（０，０），（
槡
１４，０），（－
槡
１４，０） １３分G21 G21 G21 G21
）页６共（页５第案答学数
解法提示：在ｙ＝－
３
４
ｘ
２
＋
３
２
ｘ＋６中，当ｘ＝３时，ｙ＝
１５
４
，∴Ｄ（３，
１５
４
）
分三种情况讨论：
图（１）
①当ＤＢ为对角线时，如图（１），易知点Ｄ与点Ｎ关于直
线ｘ＝１对称
∴Ｎ（－１，
１５
４
），ＤＮ＝４，∴ＢＭ＝４，又∵Ｂ（４，０），
∴Ｍ
１
（８，０）
②当ＤＭ为对角线时，如图（２），Ｎ（－１，
１５
４
），ＤＮ＝４，
图（２）
∴ＢＭ＝４
又∵Ｂ（４，０），∴Ｍ
２
（０，０）
③当ＤＮ为对角线时，∵Ｄ（３，
１５
４
），易知点Ｎ的纵坐标为
－
１５
４
将ｙ＝－
１５
４
代入ｙ＝－
３
４
ｘ
２
＋
３
２
ｘ＋６中，得－
３
４
ｘ
２
＋
３
２
ｘ＋６＝－
１５
４
，
解得ｘ
１
＝１＋
槡
１４，ｘ
２
＝１－
槡
１４
图（３）
当ｘ＝１＋
槡
１４时，点Ｎ的位置如图（３）所示，则Ｎ（１＋
槡
１４，
－
１５
４
）
分别过点Ｄ，Ｎ作ｘ轴的垂线，垂足分别为点Ｅ，Ｑ，易证△ＤＥＭ
≌△ＮＱＢ
∵ＢＱ＝１＋
槡
１４－４＝
槡
１４－３，∴ＥＭ＝
槡
１４－３，
又∵Ｅ（３，０），∴Ｍ
３
（
槡
１４，０）
图（４）
当ｘ＝１－
槡
１４时，点Ｎ的位置如图（４）所示，则Ｎ（１－
槡
１４，－
１５
４
）
同理易得点Ｍ的坐标为Ｍ
４
（－
槡
１４，０）
综上所述，点Ｍ的坐标为（８，０），（０，０），（
槡
１４，０），（－
槡
１４，０）
）页６共（页６第案答学数
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