我们在前面的文章中分别介绍了圆周率π和自然常数e，可以严格证明，π和e都是无理数，也都是超越数。
所谓代数数是指能够满足整系数多项式方程的数，而所谓超越数就是指不能满足整系数多项式方程的数。超越数必然是无理数，但无理数不一定是超越数。
例如√2是一个无理数，但√2不是超越数，因为√2是整系数多项式方程x^2-2=0的根。π和e不是任何整系数多项式方程的根，所以π和e是超越数，但是严格证明这个结论并不容易，大家只需要了解这个结论即可。
今天我们来了解一个非常神奇的超越数——盖尔方德常数：e^π
盖尔方德常数
我们先来看一个有趣的结果。
e^π=2.718…^3.14…=23.1406926327…
e^π-π=23.1406926327…-3.1415926535=19.999099979…
这个结果几乎就等于整数20，这真是一个令人着迷的现象。
这个盖尔方德常数是如何出现的呢？其实这个问题并不复杂。在之前的文章中，我已经介绍过，利用泰勒展开式可以将函数f(x)=e^x作如下展开：
e^x=1 x x^2/2! x^3/3! …
令x=1，就可以得到e的表达式：
e=1 1 1/2! 1/3!…
令x=π，就可以得到盖尔方德常数e^π的表达式：
e^π=1 π π^2/2! π^3/3! …
这里少写了一个π
备注：以上图片中少写了一个π
盖尔方德常数的连分数如下：
接下来我们继续利用到欧拉公式，欧拉公式真是无处不在啊。
欧拉公式：e^(ix)=cos(x) i×sin(x)
令x=π，可得
e^(iπ)=cos(π) i×sin(π)
=-1 0=-1
这就是著名的欧拉恒等式
e^(iπ)=-1
对欧拉恒等式两边同时取-i次方
[e^(iπ)]^(-i)=(-1)^(-i)
e^[(-i^2)π]=(-1)^(-i)
我们又得到一个关于盖尔方德常数e^π的恒等式：
e^π=(-1)^(-i)
我们不妨给他取个名字就叫“数学边界恒等式”吧。
数学边界恒等式
这个美妙的数学边界恒等式是否可以和欧拉恒等式媲美呢？哈哈哈，开个小玩笑。其实，这两个恒等式本质上是完全一样的。
欧拉恒等式
接下来，我们对数学边界恒等式两边同时取自然对数
e^π=(-1)^(-i)
ln(e^π)=ln[(-1)^(-i)]
π×ln(e)=-i×ln(-1)
π×1=-i×ln(-1)
π=-i×ln(-1)
我们又得到了关于圆周率π的另一个美妙的恒等式。
这个漂亮的恒等式的命名就留给大家来命名吧。
再进一步变形
π=-i×ln(-1)=-i×ln(i^2)=-2i×ln(i)
2i×ln(i) π=0
我们又得到了一个恒等式。
i×ln(i) π/2=0
还记得我在之前文章中介绍过的i的i次方吗？
i^i=e^(-π/2)=0.207829…
回顾一下之前的证明过程
根据欧拉公式
e^(ix)=cos(x) i×sin(x)
i=0 i=0 i×1
=cos(2nπ π/2) i×sin(2nπ π/2)
=e^[i×(2nπ π/2)]，n∈Z
i^i={e^[i×(2nπ π/2)]}^i
=e^[(i^2)×(2nπ π/2)]
=e^[-(2nπ π/2)]，n∈Z
令n=0，可得
i^i=e^(-π/2)
你们发现两者的联系了吗？
(i^i)^(-2)=[e^(-π/2)]^(-2)
i^(-2i)=e^[(-π/2)×(-2)]=e^π
e^π=i^(-2i)=(i^2)^(-i)=(-1)^(-i)
e^π=i^(-2i)=(-1)^(-i)
这不就是前面给出的数学边界恒等式吗？
数学边界恒等式
最后，再介绍一个非常有趣的常数——
拉马努金常数：e^[π×√(163)]
拉马努金常数
拉马努金常数也是一个超越数，这个常数有一个非常有趣的特性：
e^[π×√(163)]=
262537412640768743.9999999999992…
这个常数在小数点后有连续12个9，它几乎就等于整数262537412640768744。当然，这个拉马努金常数其实并没有什么卵用。但对数学家们而言，有趣就已经足够了。
你要是不服气的话，就再构造出一个小数点后有连续13个9的有意义的无理数或者超越数来打败拉马努金。
盖尔方德常数
