2022-2023学年山东省烟台市九年级（上）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分 得分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 二次函数为常数，且中的与的部分对应值如表：
下列结论：；；当时，的值随值的增大而减少；和是方程的根，其中正确的个数为(????)
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. 在中，，，则的值为(????)
A. B. C. D.
3. 如图，一个几何体是由个大小相同的小正方体搭成，该几何体的左视图是(????)
A. B. C. D.
4. 已知的半径为，，则点与的位置关系是(????)
A. 点在外 B. 点在上 C. 点在内 D. 不能确定
5. 为解决“在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球”的问题，小明列出表格如表所示，已知这些球除颜色外无其他差别，小明从两个口袋中各随机取出一个球，则取出的球是一个红球和一个白球的概率为(????)
乙袋 甲袋 红 白 黑 红 红，红 红，白 红，黑 白 白，红 白，白 白，黑 A. B. C. D.
6. 已知，运用科学计算器在开机状态下求锐角时，按下的第一个键是(????)
A. B. C. D.
7. 如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的边长为(????)
A. B. C. D.
8. 如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为，若点到电线杆底部点的距离为米，则电线杆的长可表示为(????)
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
9. 在平面直角坐标系中，四条抛物线如图所示，其表达式中的二次项系数一定大于的是(????)
A. B. C. D.
10. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与轴的一个交点坐标为下列结论： ； ； ； 关于的一元二次方程有两个相等的实数根． 其中正确结论的序号是(????)
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 写一个开口向上且过坐标原点的二次函数表达式______．
12. 如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点对应的刻度值为，则的度数为______．
13. 如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，在格点上，则______．
14. 小亮的桌兜里有两副不同颜色的手套，不看桌兜任意取出两只，刚好是一副的概率是______．
15. 如图，小军、小珠之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，，已知小军、小珠的身高分别为，，则路灯的高为______
16. 如图，有一直径是的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是的最大扇形，用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为______ 米．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分 计算：．
18. 本小题分 已知抛物线经过点，． 求该抛物线的对称轴． 自变量在什么范围内时，随的增大而减小？
19. 本小题分 如图，身高米的小明在太阳光下的影子长米，此时，立柱的影子一部分落在地面上，一部分落在墙上． 请你在墙上画出表示的部分影子； 若量得米，米，求立柱的高．
20. 本小题分 如图，是的直径，是的一条弦，且于点． 求证：； 若，，求的半径．
21. 本小题分 如图所示，甲、乙两人玩游戏，他们准备了个可以自由转动的转盘和一个不透明的袋子．转盘被分成面积相等的三个扇形，并在每一个扇形内分别标上数字，，；袋子中装有除数字以外其它均相同的三个乒乓球，球上标有数字，，游戏规则：转动转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字与随机从袋中摸出乒乓球的数字之和为时，甲获胜；其它情况乙获胜．如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止 用树状图或列表法求甲获胜的概率； 这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请判断并说明理由．
22. 本小题分 尺规作图：不写作法，保留作图痕迹 已知：和外一点． 求作：过点的的切线，．
23. 本小题分 某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．请根据如图，求出汽车通过坡道口的限高的长结果精确到，，，．
24. 本小题分 如图，中，，点为上一点，且，过三点作，是的直径，连结． 求证：是的切线 若，，则直径______直接填空．
25. 本小题分 如图，在平面直角坐标系内，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点过点的直线与抛物线交于点，且点的横坐标为点为第四象限内抛物线上的一个动点． 求抛物线的表达式； 在点的运动过程中，是否存在点使得的面积最大，求这个最大值和点的坐标； 在的条件下，在轴上求点，使以，，为顶点的三角形与相似．
答案和解析
1.【答案】?
【解析】解：把，，代入得，解得， 抛物线解析式为， ，，所以正确； 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， 当时，的值随值的增大而减少，所以错误； 方程的根为，解得，，所以正确． 故选：． 先利用待定系数法求出抛物线解析式，然后利用、、的值对各选项进行判断． 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．
2.【答案】?
【解析】解：在中，，， ， 设，， ， ， 故选：． 根据题意设，，然后利用勾股定理求出，最后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 本题考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
3.【答案】?
【解析】解：左视图有列，从左到右每列小正方形数目分别为，． 故选：． 找到从几何体的左边看所得到的图形即可． 此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置．
4.【答案】?
【解析】解：、， ， 则点在外， 故选：． 根据题意得的半径为，则点到圆心的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点在外． 本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有点在圆外；点在圆上；点在圆内．
5.【答案】?
【解析】解：由表格可知，共有种等可能的结果，其中取出的球是一个红球和一个白球的结果有种， 取出的球是一个红球和一个白球的概率为， 故选：． 由表格可知，共有种等可能的结果，其中取出的球是一个红球和一个白球的结果有种，再由概率公式求解即可． 本题考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】?
【解析】解：根据锐角三角比的数值求角度时，首先先按键， 故选：． 根据锐角三角比的数值求角度时，首先先按键． 本题主要考查计算器按键的作用，解题关键是熟练掌握计算器功能键的作用，
7.【答案】?
【解析】解：连接、，如图： 的周长等于， 的半径， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 即正六边形的边长为， 故选：． 连接、，根据的周长等于，可得的半径，而六边形是正六边形，即知，是等边三角形，即可得正六边形的边长为． 本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是掌握圆内接正六边形中心角等于，从而得到是等边三角形．
8.【答案】?
【解析】解：在中， ，米， ， 点是的中点， 米， 故电线杆的长可表示为米， 故选：． 利用的正切值表示出，利用中点定义可得到所求的线段的长． 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．
9.【答案】?
【解析】解：是过三点的抛物线， 设， 将代入得：， 解得， ， 是平移得到的，故二次项系数相等都是； 根据二次项系数绝对值越大抛物线开口越小，绝对值越小抛物线开口越大，抛物线开口向上，可得 的二次项系数小于，的二次项系数大于， 故选：． 根据三点求出的解析式，确定二次项系数为，然后根据二次项系数绝对值越大抛物线开口越小，绝对值越小抛物线开口越大可得． 此题考查了二次函数的解析式和二次项系数的判定方法，解题的关键是求出的解析式．
10.【答案】?
【解析】解：由图可知：，，， ， ， 故错误，不符合题意； 由题意可知：， ， 故正确，符合题意； 将代入， ， ， ， 故正确，符合题意； 由图象可知：二次函数的最小值小于， 令与有两个不同的交点， 方程有两个不相同的解， 故错误，不符合题意． 故选：． 根据对称轴、开口方向、与轴的交点位置即可判断、、与的大小关系，然后将由对称轴可知图象过代入二次函数中可得再由二次函数最小值小于，从而可判断有两个不相同的解． 本题考查二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出、、的数量关系，本题属于基础题型．
11.【答案】?
【解析】解：设抛物线解析式为， 抛物线开口向上， ， 抛物线经过原点， ， 故答案为：答案不唯一 设抛物线解析式为，由抛物线开口向上及抛物线经过原点求解． 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
12.【答案】?
【解析】解：由圆周角定理可知，，， ， 故答案为：． 根据圆周角定理分别求出、，计算即可． 本题考查的是圆周角定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
13.【答案】?
【解析】解：由题意得： ， ， ， ， 是直角三角形， ， 在中，，， ， 故答案为：． 先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数是定义进行计算即可解答． 本题考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
14.【答案】?
【解析】解：用列表法表示所有等可能出现的价格如下： 共有种等可能出现的结果情况，其中刚好是一副的有种， 所以刚好是一副的概率为， 故答案为：． 用列表法表示所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
15.【答案】?
【解析】
【分析】 本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据，得到∽，∽，根据相似三角形的性质可知，，即可得到结论． 【解答】 解：如图， ， ∽，∽， ，， 即，， 解得：，． 故答案为．??
16.【答案】?
【解析】解：的直径， ， 设圆锥的底面圆的半径为， 则，解得， 即圆锥的底面圆的半径为米． 故答案为：． 首先根据铁皮的半径求得的长，再设圆锥的底面圆的半径为，则根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17.【答案】解：原式 ．?
【解析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可． 本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．
18.【答案】解：抛物线经过点，． 抛物线的对称轴为直线； 抛物线的对称轴为直线，且，开口向上， 时，随的增大而减小．?
【解析】根据二次函数的对称性求得抛物线的对称轴即可； 利用二次函数的性质确定出满足题意的范围即可． 此题考查了二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
19.【答案】解如图，线段为所求． 过点作，交于点，则四边形是平行四边形，即， ， ， ， 米， 故立柱的高为米．?
【解析】过点作交于，线段即为所求作． 根据物体长与影子长成比例，构建方程求解即可． 本题考查作图应用与设计，中心投影等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】证明：， ， ， ， ； 解：是的直径，且于点， ， ， ， 在中，， ， ， 解得：负数舍去， ， 的半径为．?
【解析】根据等腰三角形性质求出，根据圆周角定理得出，即可得证； 根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出即可． 本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点，能求出和是解此题的关键．
21.【答案】解：解法一：列表法 由列表法可知：会产生种结果，它们出现的机会相等，其中和为的有种结果． 甲获胜； 解法二：树状图 由树状图可知：会产生种结果，它们出现的机会相等，其中和为的有种结果． 甲获胜； 游戏不公平 甲获胜；乙获胜， 甲获胜乙获胜， 游戏不公平．?
【解析】列举出所有情况，看针所指区域的数字与随机从袋中摸出乒乓球的数字之和为时数的情况占所有情况的多少即可求得甲获胜的概率； 由可得乙获胜的概率，比较即可． 如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率；解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
22.【答案】解：如图， 连接； 分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点； 作直线，交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆，交于，两点； 作直线，． 直线，即为所求作的切线．?
【解析】直接利用切线的判定与性质得出，的位置． 此题主要考查了复杂作图，正确掌握切线的判定方法是解题关键．
23.【答案】解：如图，连接，过点作，垂足为，延长交于点， 在中，，， ， ． 在中，，， ． 答：坡道口的限高的长是．?
【解析】构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可． 本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
24.【答案】证明：，， ，， ， 又， ， 是的直径， ， ， ，即， ， 是的切线； ?
【解析】
【分析】 本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质有关知识． 根据等腰三角形的性质，由，得，，则，根据圆周角定理得，，所以，然后根据切线的判定定理即可得到是的切线； 过点作于点，如图，根据等腰三角形的性质得，由可求得，然后可求得，然后证明∽，再利用相似比计算即可． 【解答】 解：见答案； 解：过点作于点，如图， ， ， 在中， ， ，即，解得：， ，． ，， ∽， ，即，解得：． 故答案为．??
25.【答案】解：令，则， 点坐标为． 当时， ． 点坐标为． 将，分别代入，得 ，解得：， ； 存在点使得的面积最大， 理由如下： 过点作轴交于， 设，则， ， ， 当时，的面积最大为， 此时； 由抛物线的表达式可知， ，， ，，， ， ． 过点作轴交于点，过点作轴交于点， ，， ， 当时，∽， ， ， ， ． 当时，∽， ， ， ， ，； 综上所述，点坐标为或，．?
【解析】用待定系数法即可求解； ，则，即可求解； 当时，∽，则，进而求解；当时，∽，同理可解． 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，分类讨论是解题的关键．
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