中考几何压轴 48 瓜豆原理 定轨迹 将军饮 马解最值 一线三直角定坐标

中考几何压轴 48 瓜豆原理 定轨迹 将军饮马 解最值 一线三直角 定坐标

这一系列，不限专题，解析系列经典几何题，提高几何分析解决问题能力。

题55. 《瓜豆原理定轨迹 将军饮马解最值》

如图，A(0,4)，B(4,0)，E为线段OB中点，P是AB上一个动点，连接OP并以OP为斜边向OP左上侧作等腰Rt△OPD。当OD＋ED最小时，P点坐标为（）。

〖一般性提点〗

直线轨迹瓜豆系统：

一定（O点）两动（P、D）、定值角∠POD＝α＝45°，定比DO/PO＝λ＝1/√2，OPD构成瓜豆系统。

[1]. P 轨迹 在直线L(AB)上，☞ D的轨迹在直线L(D)上;

[2]. DO 顺（逆）时针到PO夹角＝α，☞ D 轨迹线 L(D)顺（逆）时针到P轨迹线L(AB)夹角＝α；

[3]. 定比DO/PO＝λ，☞ D轨迹长度/P轨迹长度＝λ

〖题目分析〗简析

[1]. 瓜豆系统

依题意，确定P、O、D构成瓜豆系统，且D 轨迹所在直线L(D)顺时针到P轨迹所在直线L(AB)夹角＝45°；由此易知L(D)为水平直线；由极端点（或特殊点）可确定D点纵坐标＝2。

（当P由A到B，D由M(-2,2)到N(2,2)）

[2]. 将军饮马模型定最值点

L(D)和定点O、E及动点D构成将军饮马模型，原点O关于L(D)的对称点恰落在A点上，连接AE，当D落在AE上，DO＋EO取得最小值。

[3]. 最值条件下，P点坐标

易求得D(1,2)

再由一线三垂直模型，易求得PF＝1，FD＝2，从而P（3,1）。