二次函数单元测试题一、单选题1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）A．B．C．D．2．抛物线 的顶点坐标是 A．B．C．D．3．将
抛物线y=5(x?1)2+1向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为（ ） A．B．C．D．4．二次
函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表，该抛物线的对称轴是直线（ ） x﹣1013y﹣
1353A．x＝0B．x＝1C．x＝1.5D．x＝25．下列选项中，能描述函数 与图象 的是（ ） A．B．C．D．6．若抛
物线与x轴没有交点，则m的取值范围是（ ）A．B．C．D．7．如图，抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二
次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤3的范围内有解，则t的取值错误的是（ ）A．t＝2.5B．t＝3C．t＝3.5D
．t＝48．已知一元二次方程2x2+bx 1＝0的一个根是1，若二次函数y＝2x2+bx 1的图象上有三个点（0，y1）、（
1，y2）、（ y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．
y3＜y1＜y29．已知二次函数其中a，b，c满足，，则二次函数图象的对称轴是（ ）A．B．C．D．10．已知二次函数y＝ax2
+bx+4的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③b2﹣4ac＞0；④a＜ ；⑤b＞1，其中正确结论有（
）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题11．抛物线 的顶点坐标为 ． 12．将抛物线y＝x2﹣2x+3向上平移1个单位
长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 13．二次函数 与y轴交点的坐标为 。14．若点P（m，n）在抛
物线 上，则 的值为 .15．已知抛物线经过点、，则与的大小关系是 ．16．如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c
的图象与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3），则二次函数的图象的顶点坐标是 ．17．如
图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不
包括这两点），对称轴为直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＞8a；④ ＜a＜ .其中正确的选
项是 .（填序号） 三、解答题18．已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），与y轴的交点是（0，﹣2），求这个二次函数的解析式.1
9．已知二次函数的图象与x轴交于点(－1，0)和 (3，0)，并且与y轴交于点(0，3)．求这个二次函数表达式． 20．要修一个圆
形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，
水柱落地处离池中心3m，水管应多长？21．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上
涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）。设每件商品的售价上涨x元（x 为正整数），每个月的销售利润为W 元．求每件商
品的售价定为多少22．如图，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，求 的面积． 23．如图，已知二次
函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）。点P是直线BC上方的抛物线上一动点（1）求二
次函数y=ax2+2x+c的表达式； （2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POPC.若四边形POP''C为菱形，
请求出此时点P的坐标； （3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积.元时
，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A、是二次根式的的形式，不是二次函数，
故本选项不符合题意；B、，不是二次函数，故本选项不符合题意；C、是二次函数，故本选项符合题意；D、，不是二次函数，故本选项不符合题
意；故答案为：C【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可。2．【答案】D【解析】【解答】解：因为 是抛物线的顶点式， 根据顶点式的
坐标特点，顶点坐标为 ．故答案为：D．【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标．3．【答案】B【解析】【解答】解：将抛物线y＝5
（x﹣1）2+1向上平移2个单位长度，得到平移后解析式为：y＝5（x﹣1）2+1+2，即y＝5（x﹣1）2+3，∴再向右平移3个单
位长度所得的抛物线解析式为：y＝5（x﹣1﹣3）2+3，即y＝5（x﹣4）2+3.故答案为：B.【分析】利用二次函数图象的平移规律
，"左加右减，上加下减，直接得出答案.4．【答案】C【解析】【解答】解：由表知当x＝0和x＝3时，y＝3，∴该抛物线的对称轴是直线
x＝ ，即x＝1.5，故答案为：C.【分析】由表可知当x＝0和x＝3时，y＝3，根据抛物线的对称轴的计算公式可得该抛物线的对称轴
是直线x＝ ，即x＝1.5.5．【答案】D【解析】【解答】解：∵ab＜0，当a＞0时，b＜0，抛物线y=ax2开口向上，直线y=a
x+b经过一、三、四象限，故A不符合题意，D符合题意；当a＜0时，b＞0，抛物线y=ax2开口向下，直线y=ax+b经过一、二、四
象限，故B、C不符合题意；即D符合题意．故答案为：D．【分析】当a＞0时，由抛物线y=ax2开口方向及直线y=ax+b经过的象限可
排除A、C选项；当a＜0时，由抛物线y=ax2开口方向及直线y=ax+b经过的象限可排除B选项．此题得解．6．【答案】D【解析】【
解答】解：根据题意得令，∴，∴，，，∴，解得．故答案为：D．【分析】根据二次函数图像与坐标轴的交点问题即可得出m的取值范围。7．【
答案】A【解析】【解答】解：∵-==2，∴m=4，∴y=-x2+4x=-（x-2）2+4，∴顶点坐标为（2，4），当x=1时，y=
3，当x=3时，y=3，∵-x2+mx-t=-x2+4x-t=0，∴-x2+4x=t，如图，当y=t，在直线y=3和y=4之间时有
解，∴3≤t≤4，故答案为：A.【分析】根据抛物线的对称轴求出m的值，则知抛物线的解析式，然后求出顶点坐标，把关于x的一 元二次方
程在 1≤x≤3的范围内有解的问题转化为抛物线y=-x2 + 4x与直线y=t的交点问题，求出t的取值范围，即可解答.8．【答案】
C【解析】【解答】解：一元二次方程2x2+bx-1＝0的一个根是1，∴2+b-1=0，∴b=-1，∴二次函数的解析式为y＝2x2-
x-1，∴当x=0时，y1=-1，当x=-1时，y2=2，当x=时，y3=-，∴y1＜y3＜y2.故答案为：C.【分析】把x=1代
入方程得出b=-1，从而得出二次函数的解析式为y＝2x2-x-1，分别求出y1，y2，y3的值，再进行比较，即可得出答案.9．【答
案】D【解析】【解答】解：二次函数中，当时，，当时，二次函数图象的对称轴为故答案为：D.【分析】根据已知可得当x=1时，x=2时，
y值相等为0，从而得出点（1,0）、（-2,0）关于对称轴对称，据此求解即可.10．【答案】B【解析】【解答】解：二次函数y= a
x2+bx+c(a≠0)的图象开口向上可得a>0，交y轴于负半轴可得c< 0，由-<0，可得b>0，∴abc<0 ,故 ① 错误；
∵当x=1时，y=2，∴a+b+c=2 ，故②正确；∵抛物线与x轴有两个交点， b2-4ac>0，故③正确；由图可知，当x=-1时
，对应的点在第三象限，将x=-1代入y= ax2 +bx+c，得a-b+c< 0，将a-b+c<0与a+b+c=2相减,得-2b<
-2，即b>1，故⑤正确；∵对称轴x=->-1，∴a>，故 ④ 错误.综上，正确的是 ②③⑤ ,故答案为：B.【分析】由抛物线的开
口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线上过点（1，2），进而对所得结论进行判断．11
．【答案】（0， ）【解析】【解答】抛物线 的顶点坐标为（0，-6）， 故答案为：（0，-6）．【分析】根据二次函数 的性质
解答．12．【答案】或【解析】【解答】解：将y=x2-2x+3化为顶点式，得：y=（x-1）2+2.将抛物线y=x2-2x+3向上
平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为：y=（x-1-3）2+2+1；即y=（x-4）2+3或.故答案
为：或.【分析】将原抛物线的解析式配成顶点式，根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得出平移后新抛物线的解析式.13．【答
案】（0,1）【解析】【解答】解：设x=0,则y=1,∴与y轴交点的坐标为(0,1) ;故答案为：（0,1）.【分析】函数与y轴交
点的坐标即当x=0时求y值，即可得出结果.14．【答案】2021【解析】【解答】解：将点（m，n）代入 得： ， 则 ，故答
案为：2021.【分析】由题意把点P的坐标代入解析式整理即可求解.15．【答案】y【解析】【解答】解：∵点A(2，y1)点B（3,
y2）经过抛物线y=x2-x-3，∴y1=22-2-3=1， y2=32-3-3=3，∴y1＜y2．故答案为：y1＜y2．【分析】
根据抛物线的解析式求出与的值，再求解即可。16．【答案】（2，-1）【解析】【解答】解：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x
轴交于A（1，0），B（3，0）两点，可设解析式为：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），即y=a（x-1）（x-3），把点C
（0，3），代入得a=1．则y=（x-1）（x-3）=x2-4x+3=（x-2）2-1．所以图象的顶点坐标是（2，-1）．【分析】
利用待定系数法求函数解析式，再求顶点坐标即可。17．【答案】①③④【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴为x＝1
＞0，a、b异号，∴b＜0，∵与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1＜0，∴abc＞0，故①正确；∵抛物
线x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x＝1，∴与x轴的另一个交点为（3，0），当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故②不正确；∵抛
物线与x轴有两个不同交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，∵8a＞0，∴4ac﹣b2＜8a，故③是正确的；由题意可得，方程
ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3，又∵x1?x2＝ ，即c＝﹣3a，∵﹣2＜c＜﹣1，∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，因
此 ＜a＜ ，故④正确，综上所述，正确的结论有三个：①③④，故答案为：①③④.【分析】由抛物线开口向上，可得a＞0，由对称轴为
x＝1＞0可得b＜0，由抛物线与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，可得﹣2＜c＜﹣1＜0，据此判断①正确；根据抛物线的
对称性可得与x轴的另一个交点为（3，0），由图象知当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，据此判断②；由抛物线与x轴有两个不同交点，可
得b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，而8a＞0，据此判断③；有抛物线与x轴的交点坐标，可得方程ax2+bx+c＝0的两个根为x
1＝﹣1，x2＝3，由于x1?x2＝ ，可得c＝﹣3a，根据﹣2＜c＜﹣1即可判断④.18．【答案】解：由抛物线顶点坐标为（1，-
3）可设其解析式为y=a（x-1）2-3， 将（0，-2）代入，得：a-3=-2，解得：a=1，则抛物线解析式为y=（x-1）2-
3.【解析】【分析】根据题意可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-3，然后将点（0，-2）代入求出a的值，据此可得二次函数的解
析式.19．【答案】解：设二次函数的表达式为 ， 把点(－1，0)， (3，0)和(0，3)代入，则 ，解得： ，∴二次函数的
表达式为： .【解析】【分析】设二次函数的表达式为 ，把点(－1，0)， (3，0)和(0，3)代入，即可求出表达式.20．【
答案】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系． 由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度
为3m， 则设抛物线的解析式为： y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3）， 代入（3，0）求得：a＝ ． 将a值代入得到抛物线的解
析式为： y＝ （x﹣1）2+3（0≤x≤3）， 令x＝0，则y＝ ＝2.25． 故水管长为2.25m．【解析】【分析】以池中
心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，
0）代入求得a值，则x＝0时得的y值即为水管的长．21．【答案】解：由题意得： ， 且 为整数 ， ， 当 时， 有最
大值 ， ，且 为整数，当 时， ， ，当 时， ， ， 当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利
润是2400元．【解析】【分析】先根据题意写出函数解析式，再根据函数的性质以及自变量的取值范围，确定函数的值即可22．【答案】解：
延长DC交x轴于E， 依题意，可得y＝?x2＋2x＋3＝?（x?1）2＋4，∴顶点D（1，4），令y＝0，可得x＝3或x＝?1，∴
B（3，0），令x＝0，可得y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3，∴直线DC的解析式为y＝x＋3，令y＝0，可得x＝-3，∴E（-3
，0），BE＝6，∴S△BCD＝S△BED?S△BCE＝ =12-9=3．∴△BCD的面积为3．【解析】【分析】 延长DC交x轴
于E， 根据二次函数的解析式求出顶点坐标，再利用割补法 S△BCD＝S△BED?S△BCE求解即可。23．【答案】（1）解：将点B
和点C的坐标代入y=a2+2x+c，得 解得 ∴该二次函数的表达式为y=-x2+2x+3（2）解：若四边形POPC是菱形，则点P在
线段CO的垂直平分线上；如图，连接PP，则PELCO，垂足为E， ∵C（0，3），∴E（0， ），∴.点P的纵坐标等于 。∴-
x2+2x+3= 解得x1= ，x1= （不合题意，舍去），∴点P的坐标为（ ， ）（3）解：过点P作y轴的平行线与BC交
于点2，与OB交于点F， 设P（m，-m2+2m+3），设直线BC的表达式为y=kx+3，则3k+3=0，解得k=-1.∴直线BC
的表达式为y=-x+3.∴Q点的坐标为（m，-m+3），∴QP=-m2+3m.当-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，∴
AO=1，AB=4，∴S四边形ABPC=S△ABC+S△CPQ+S△BPQ=- AB·OC+ QP·OF+ QP·FB= ×4×3+ （-m2+3m）×3.当m= 时，四边形ABPC的面积最大。此时P点的坐标为（ ， ），四边形ABPC的面积的最大值为 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可；（2）若四边形POPC是菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上；如图，连接PP，则PELCO，垂足为E，利用菱形的性质可得E（0， ），可得点P的纵坐标等于 ，将其代入解析中可得-x2+2x+3= ，解出方程并检验即得点P的坐标；（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，求出直线BC的表达式为y=-x+3，设P（m，-m2+2m+3） 可得 Q（m，-m+3），从而可得QP=-m2+3m，利用抛物线解析式求出A、B的坐标，即得AO=1，AB=4，由S四边形ABPC=S△ABC+S△CPQ+S△BPQ可得四边形ABPC的关于m的关系式，利用二次函数的性质求出结论即可. |
|
