技术周刊 | 规范标准反应谱是怎么来的

引言

底部剪力法与反应谱法均属于等效静力计算的方法。底部剪力法是由日本学者在20世纪初首次提出的，底部剪力法将上部结构看作刚体，不考虑结构变形以及动力特性的影响，因此结果有较大的近似性。

反应谱理论是建立在强震观测的基础上，可以较真实的考虑结构的振动特点，且计算简单实用，目前是各国抗震规范的主要分析方法。反应谱描述了单自由度体系的最大地震反应与体系自振周期的关系曲线，可分为位移反应谱、速度反应谱与加速度反应谱。

01

单自由度体系的地震反应

实际结构分析时，往往需要将复杂的结构简化为质点体系，如下图单层厂房，因其质量绝大部分集中于屋盖，故可将其抽象为单质点体系，计算简图如下，

    

根据达朗贝尔原理，此单自由度体系水平地震反应微分方程可表示为：

（1）

其中，为地面水平地震加速度

公式（1）为常系数二阶非齐次线性微分方程，通解可分为两个部分，齐次解与特解。其中齐次解代表体系的自由振动，特解表示受迫振动。在式（1）中令右端项为0可求得体系的自由振动反应，对于小阻尼自由振动，体系的自由振动响应可表示为：

（2）

其中，为有阻尼体系的自由振动频率，

体系的受迫振动很难给出精确的解析解，只能借助数值积分的方法求出数值解，在动力学中，体系的受迫振动反应可利用杜哈梅积分表示为：

（3）

由于阻尼的存在，体系的自由振动往往会迅速衰减，因此在地震分析时可不考虑其影响。对于一般的工程结构，阻尼比约为0.05，此时。于是，体系整体地震响应可表示为

（4）

在抗震分析中，结构所受地震力就是结构质点所受的惯性力，由式（1）可得

（5）

实际工程中，阻尼力远小于弹性恢复力，因此结构地震力可近似表示为

（6）

上式即为地震力随时间的表达式，抗震设计中，往往关注地震力的最大值，即

（7）

式中，为体系质点振动加速度的最大绝对值

（8）

02

地震计算的反应谱法

公式（8）描述了地面加速度与质点最大加速度之间的关系，从公式中可以观察到，独立参数只有两个，即自振频率和阻尼比。对于大部分的工程结构，阻尼比约为0.05，因此，对质点最大加速度起控制作用的就剩下自振频率，即周期T。

现在以1994的美国北岭地震为例，有地面加速度数据如下，

如果现有一个自振周期为0.24秒的房屋，根据公式（8）即可计算出房屋在此次北岭地震中的最大加速度响应为1.27；如果自振周期是0.36秒，地震中房屋的最大加速度为1.97 ；如果自振周期是1.1秒，最大加速度为1.03 ；如果自振周期是2.64秒，则最大加速度为0.18 ，根据这四组数据，可绘制出下图所示曲线，从曲线上我们就可以大致估算出在同一地点的其他自振周期的房屋，在此次地震中将产生得最大绝对加速度值。

现增加计算量，尽可能多的计算出在此次地震中不同自振周期下的房屋最大加速度绝对值，就可以得到下图更加精确的自振周期—最大加速度关系曲线，这就是1994年美国北岭地震中观测到的这条地震波的反应谱曲线，

由于地震的随机性，即使在同一地点、同一烈度下，每次地震的地面运动加速度也不一样。不同的地震波记录可以计算得到不同的反应谱曲线，因此，为了满足一般房屋抗震设计的需求，应根据大量强震观测的数据计算出每一条地震波的反应谱曲线，随后按照地区、场地条件、震中距等进行统计分析，得到具有代表性的平均曲线作为设计依据，这就是规范标准反应谱曲线，如下图所示，

有了抗震反应谱，就可以将复杂的动力学问题简化为静力学问题来确定结构所受的地震作用，基本步骤如下，

1) 根据计算简图确定结构的重力荷载代表值G，求出自振周期T；

2) 根据结构所在地区的设防烈度、场地条件和设计分组，确定反应谱的最大地震影响系数和特征周期；

3) 根据结构的自振周期T确定地震影响系数；

4) 计算地震作用，并将此作用看作水平静力施加到结构上，进行结构设计；

03

小结

地震作用与一般荷载不同，不仅与外来作用的大小与时间相关，而且还与结构的动力特性，频率、阻尼等息息相关。反应谱法在充分考虑结构动力特性的基础上将复杂的动力学过程简化为等效静力学问题，极大简化了结构分析过程。

END

历

技术周刊 | 美国钢筋混凝土特殊抗弯框架抗震设计（一）

史

技术周刊 | 减隔震结构楼面加速度研究（二）

文

技术周刊 | 基于构件损伤状态的复杂建筑抗震韧性评价方法研究

章

技术周刊 | 隔震设计弹性恢复力是干什么用的？