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       1.  哥德巴赫猜想（Goldbach conjecture）：每个大于等于4的偶数都可以表示成两个质数之和。

       哥德巴赫猜想被简化地描述为1+1（1是指由质数本身表示的那个自然数，它不是由质数合成的数，即不是殆素数）。由于这个猜想太难啃，人们先尝试了攻克它的较弱版本，如9+9、1+3等等。陈景润证明的是1+2，即任何一个足够大的偶数都可以表示为一个质数加上一个质因数数目不超过2的数。迄今为止，陈景润1+2是最强结果，虽然离哥德巴赫猜想只有一步之遥，但这一步极其困难。

       2.  考拉兹猜想（Collatz conjecture），亦称角谷猜想、冰雹猜想、421猜想、3x+1猜想，等等。

       根据3x+1理解猜想很直观：取一个正整数，如果它是偶数，把它除以2，如果它是奇数，把它乘以3再加上1，即变成3x+1。猜想说的是：按照这样的规则操作，无论奇数x等于多少，经过有限次的3x+1迭代循环，最终都可以得到结果1。数学家们用计算机已经验证到了2^68 ≈ 2.95×10^20，都满足这个规律，但不意味对所有自然数都是成立的。

       3.  勒让德猜想（Legendre’s conjecture）：对于任意一个自然数n，在n^2和(n + 1)^2之间都至少存在一个质数p。

       这个猜想最重要的结果是伯特兰-切比雪夫定理：对于任何大于3的自然数n，都至少存在一个质数p满足n<p<2n-2。勒让德猜想看起来只是伯特兰-切比雪夫定理的一个改进，但这个改进到现在还是没有获得证明。

       4.  孪生质数猜想（twin prime conjecture）：设p1,p2是质数，若p2=p1+2，则称p1和p2为孪生质数。人们猜想存在无穷多对孪生质数。

       中国数学家张益唐在这个问题上取得了突破性进展，他证明了存在无穷多对质数，它们之间的差距不超过7千万。与2相比较，虽然7千万看起来很大，但以前是完全不能肯定有这样的上限存在，所以张益唐是从无限到7千万的进展，是质的跨越。假如把7千万缩小到2，就证明了孪生质数猜想。目前已经将7千万缩小到了246，但再往下就十分困难了。

       5.  梅森质数猜想。梅森（Marin Mersenne, 1588－1648）是十七世纪的法国数学家，他研究了2^p-1类型的数（p是质数）。后来人们把这样的数叫做梅森数（记为Mp）。如果对于某个p，Mp是个质数则称之为梅森质数。梅森质数猜想说的就是：存在无穷多个梅森质数。

       寻找梅森质数是目前寻找大质数最好的办法。近几十年来找到的最大质数都是通过对梅森质数的搜索所得到的。如2018年发现了目前最大的梅森质数，也就是目前已知的最大质数2^82589933-1，它是一个有24862048位的数。

       6.  n^2 + 1猜想：存在无穷多个自然数n，使得n^2+1是质数。

       这个猜想的表述出奇的简单，证明却完全无从着手。

       7.  费马数猜想。这个猜想是说费马数中的质数只有有限多。所谓费马数，是指形如2^(2^n)+1的数，其中n=0，1，2，3，4……，通常把它记为F(n)。

       费马（Pierre de Fermat，1601 - 1665）发现，当n从0到4时，F(n)的值分别是3、5、17、257和65537，它们都是质数。由于下一个F(5)太大，费马没有去检验，于是他猜测费马数全都是质数。然而将近一百年后，欧拉发现F(5)是个合数，F(5)=641 × 6700417，推翻了费马的猜想。更令人大跌眼镜的是，后来人们算出的费马数全都是合数，再也没见到一个质数！那么将 费马数猜想反过来，是否意味着费马数中只有有限个质数，或再进一步，费马数中的质数是否只有最初的那五个呢？

       8.  奇完全数猜想。完全数（perfect number）亦称完满数、完美数，是指它的所有真因数之和等于它自己。注意，真因数不同于是质因数，真因数是指小于它自己的因数，这些真因数中有的可能是合数。例如6是一个完全数，因为6的真因数只有1、2、3，而1 + 2 + 3刚好等于6。又如28的所有真因数是1、2、4、7、14，这些数加起来等于28，所以28也是完全数。

       截止2018年，已经找到了51个完全数，它们全都是偶数，且都能表示成Mp+1（Mp为梅森质数）。奇完全数猜想就是问是否存在奇完全数？目前完全不清楚。假如存在奇的完全数，那么它必须要大于10^1500。

       9.  完美长方体猜想。所谓完美长方体（perfect cuboid），就是长方体的长、宽、高和所有的对角线（包括面对角线和体对角线）的长度都是整数。

       记长方体的长宽高为a、b、c是三个自然数，假如a^2+b^2、a^2+c^2、b^2+c^2以及a^2+b^2+c^2都是平方数，那么这样的长方体就是完美长方体。是否存在这样的一组自然数就是完美长方体猜想。 我们只知道勾股数，但三个平方数相加在什么情况下是平方数还没有解决，所以完美长方体是否存尚不能证明或也不能证伪。数值验证表明，如果存在完美长方体，那么它最小的奇数棱长不小于2.5 × 10^13（/S58.pdf）。

       10.  黎曼猜想（Riemann hypothesis）。这个猜想说的是黎曼ζ函数的所有非平凡零点的实部都等于1/2。如果用复平面表示黎曼猜想：黎曼ζ函数的所有非平凡零点都在实部等于1/2的临界线上。

      要理解黎曼猜想非常不容易，因为需要复变函数的知识。目前人们认为它是整个数学界最重要、最著名的那“一个”未解之谜。

       11.  欧拉-马歇罗尼常数（Euler-Mascheroni constant）问题。这个常数源于欧拉证明了所有自然数的倒数和（1+1/2+1/3+…+1/n+...）是发散的，而它发散的速度是lnn。这说明1+1/2+1/3 +…+1/n-lnn在n趋于无穷时会趋于一个极限，这个极限现在被称为欧拉-马歇罗尼常数。马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni，1750 - 1800）是一位意大利数学家，他把这个常数记为γ，并把它算到了小数点后32位，但后来人们发现他在第20位出现了错误。尽管如此，马歇罗尼通过对这个常数的研究还是把他的名字刻在了数学史上。

       现在我们知道，γ约等于0.57721。问题是，它是一个有理数还是无理数？直觉上，它是无理数的概率显然比它是有理数的概率大得多——但目前完全无法证明。其实数学里还有很多类似的问题，如圆周率π和自然对数的底e都早已证明了是无理数，但π+e是不是无理数目前就没人知道！

       12.  黎曼ζ函数在k为正奇数时ζ(k)是否为超越数？

       超越数是那些不能表示成整系数多项式方程的解的数，它是无理数的一个真子集。例如根号2是无理数，但它不是超越数，因为它是整系数多项式方程x^2-2=0的解。而π已经被证明是超越数，由此得到一个重大结果：经典尺规作图“化圆为方”无解，因为你不可能通过有限次操作得到根号π。 当k为正偶数时，已经证明了ζ(k)必然是超越数，对于k为正奇数的情形来说，ζ(k)是不是超越数目前还不知道答案。

       13.  埃尔德什倒数和猜想。这个猜想的表述十分奇妙：如果A是一个正整数的无穷子集，而且A中所有数的倒数和发散，那么A包含任意长度的等差数列。

       因为所有自然数的倒数和发散，所以会有它的子集也满足倒数和发散。但为什么这会导致A包含任意长度的等差数列，埃尔德什的思路真是天马行空！一个有趣的特例是所有质数的集合，格林和陶哲轩证明了所有质数的倒数和发散，而且所有质数中包含任意长度的等差数列。这个成果帮助陶哲轩得到菲尔兹奖。

       14.  拉姆塞数（Ramsey number）问题。

       什么叫拉姆塞数？拉姆塞理论概念是：给定足够多的样本，那么任何复杂的结构都会必然出现。例如有一个著名的定理：6个人中必然有3个人互相认识或者3个人互相不认识。换一种说法，6个点之间两两连线，每条线都是红色或蓝色，那么必然会出现一个红色三角形或者一个蓝色三角形。这个定理用拉姆塞理论的语言说，就是R(3, 3)=6。给定两个自然数s和t，拉姆塞数R(s, t)的意思是：达到这么多人，其中就必然有s个人互相认识或者t个人互相不认识。拉姆塞证明了，这样的数必然存在。然而确定拉姆塞数的难度上升得极快。目前已经知道R(1, 1)=1， R(2, 2)=2，R(3, 3)= 6，R(4, 4) =18，但再往上我们就不知道了。对于R(5, 5)，可以确定它在43到48之间，但具体是多少仍然不知道。对于更大的n更是一头雾水。为了表达拉姆塞问题的难度，埃尔德什有一段著名的论述：

设想有一支外星人的军队，比我们强大得多，降落到地球上，要求我们给出R(5, 5)的值，否则就摧毁地球。在这种情况下，我们应该调集我们所有的计算机和数学家，尝试找到这个值。但假如外星人要求的是R(6, 6)，那么我们最好的选择就是尝试攻击外星人。

       15.  华林问题（Waring’s problem）。

       英国数学家华林（Edward Waring，1736 - 1798）发现，每一个自然数都可以表示成最多9个立方数之和，也可以表示成最多19个四次方数之和。于是他问，对于任何一个大于1的自然数k是否都存在某个数g(k)，使得任何自然数都可以表示成不超过g(k)个k次方数之和？希尔伯特（David Hilbert，1862 - 1943）给出了肯定的回答：对于任意一个k，都存在相应的g(k)。但他只是证明了g(k)的存在性，如何把g(k)用k表示出来还不清楚。后来数学家们找到了一个g(k)的表达式，唯一的问题是……它其实不是一个表达式，而是三个表达式，分别对应三种可能的情况。然后，数学家猜测这三种情况中只有第一种会发生，那么答案就会简化到只剩第一个表达式（见维基百科）。

       16.  ABC猜想。这个猜想说的是：如果有两个互质的自然数a和b，它们的和a+b=c，那么在绝大多数情况下，abc的根积rad(abc)>c。

       所谓根积（radical），就是先把一个自然数分解成所有质因数的乘积，然后把所有的质因数相乘一次（无论某个质因数出现了多少次都只乘一次）。例如10=2×5，它的根积就是2×5=10；12= 2×2×3，它的根积就是2×3=6。ABC猜想还有一个非常讨厌的地方，它说的不是一定如此，而是“在绝大多数情况下”。为什么会这样，以及如何精确地表示“绝大多数情况”，可参看相关介绍文章。如果证明了ABC猜想，就能快速地证明费马大定理。有意思的是，有一位日本数学家望月新一号称证明了它，为此他提出了一整套理论，叫做“宇宙际Teichmüller理论”。望月新一对ABC猜想的证明到底对不对，目前除了他和京都大学的同事之外，基本没人相信他真的证明了ABC猜想，因为人们没法看懂他的论文。有些数学家认真研究了望月新一的论文，指出了其中的一些错误后，新一做了相应的修正，宣称这些错误已经补上了，但也有数学家认为有些错误仍然没有得到弥补。新一认为自己的证明没错，只不过是这些数学家没看懂而已，但在大多数数学家看来，“这论文这么不友好，不值得为它去花费时间”。

       另外，著名的费马大定理在1994年由怀尔斯画上了句号。