中考数学第一轮总复习第3单元 函数及其图象专题3.5 二次函数的综合提升抛物线的对称性抛物线的变换抛物线与方程抛物线的系数变化抛物线与几何
图形【例1】已知二次函数y=ax2+3,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x=x1+x2时,其函数值为____.3
解：对称轴：∴x=x1+x2=0∴y=a·02+31.已知抛物线y=ax2-2ax+a-c与y轴的正半轴相交,直线AB∥x轴,且与
抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,当x=x1+x2时,函数值为p,当 时,函数值为q,则p-q的
值为( ) A.a B.c C.-a+c D.a-c2.已知A(x1,2022),B(x2,2022)是抛
物线y=ax2+bx+2021(a≠0)上的两点,则当x=x1+x2时,二次函数的值是( ) A. B.
C.2022 D.2021A1.对称轴：∴x1+x2=2∴p=4a-4a+a-c=a-c；q=a-
2a+a-c=-c∴p-q=a-c-(-c)=aD2.对称轴：3.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线y=ax2+2
ax+4(0＜a＜3)上,若x1＜x2,x1+x2=1-a,则( ) A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1=
y2 D.y1与y2大小不能确定B方法一：利用特殊值求解,如取a=1,代入求y1,y2的值.∴y1＜y2方法二：利用求差法，
比较大小.y1-y2=a(x12-x22)+2a(x1-x2)=a(x1-x2)(x1+x2+2)∵x1＜x2,∴x1-x2＜0,
∵x1+x2=1-a,∴x1+x2+2=3-a＜0.∴a(x1-x2)(x1+x2+2)＜0,即y1-y2＜0，4.已知二次函数y
=-kx2+(1-4k)x+3(k为常数,且k＞0).当x＜m时,y随x的增大而增大,则满足条件的整数m的值为_____(写出一个
即可).∴m≤-2且m为整数∴m=-2,-3,-4,….-2抛物线的对称性抛物线的变换抛物线与方程抛物线的系数变化抛物线与几何图形
【例2】在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m＞1)沿y轴向下平移3个单位长度,则平移后的抛物线的顶点一定在第
_____象限四1.如图,Rt△OAB的顶点A(-2，4)在抛物线y=ax2上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90o,得到△OCD
,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为( ) A. B. C.(2,2) D.2.如图
,二次函数y=-x2+4与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),等腰直角△ACD的直角顶点D在x轴上,AD=3.现将△ACD沿x
轴的正方向平移,则当点C在函数图象上时,△ACD的平移距离为______.B4或63.如图,抛物线y=x2-4x(0≤x≤4)记为
l1,l1与x轴分别交于点O,A1；将l1绕点A1旋转180o得到l2交于点A2；将l2绕点A2旋转180o得到l3,l3交x轴于
点A3；…,如此变换下去,若点P(2021,m)在这种连续变换的图象上,则m=____.3 抛物线的对称性抛物线的变换抛物线与方程
抛物线的系数变化抛物线与几何图形【例3】已知m＞0,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2(x1＜x2)
,则下列结论正确的是( )A.x1＜-1＜2＜x2 B.-1＜x1＜2＜x2 C.-1＜x1＜x2＜2 D.x1＜-1＜
x2＜2Ay=mx1x21.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点,坐标分别为(x1,0),(x2,0),
且x1＜x2,图象上有一点M(x0,y0)在x轴下方,则下列判断正确的是( )A.a＞0 B.b2-4ac≥0 C.x1＜
x0＜x2 D.a(x0-x1)( x0-x2)＜02.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(x1,0)与(x2,0)
(x1＜x2),方程ax2+bx+c-a=0的两根为m,n(m＜n),下列判断正确的是( ) A.b2-4ac≥0 B.x
1+x2＞m＋n C.m＜n＜x1＜x2 D.m＜x1＜x2＜nDM(x0,y0)x0M(x0,y0)x0M(x0,y0)
x0Dy=amny=amn抛物线的对称性抛物线的变换抛物线与方程抛物线的系数变化抛物线与几何图形【例4】已知抛物线y=ax2+bx
+c经过点(3,0),则抛物线y=cx2+bx+a一定经过点_______,【变式】已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(3,0)
,则抛物线y=ax2-bx+c一定经过点_______.(-3,0)1.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0
),点B(3,0),点C(4,y1).若点D(x2,y2)是抛物线上任意一点,有下列结论：①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为
-4a；②若-1≤x2≤4,则0≤y2≤5a；③若y2＞y1,则x2＞4；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为-1和1/3
.其中正确结论的是_____.①④2.请阅读下列材料：问题：已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根
的2倍.解：设所求方程的根为y,则y=2x,∴x=y/2.把x=y/2代入已知方程,化简得y2+2y-4=0,故所求方程为y2+2
y-4=0．这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”．请用阅读村料提供的“换根法”求新方程(化为一般形式)：(1)已
知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程,使它的根分别为己知方程根的相反数,则所求方程为：____________；(2)己知关
于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是己知方程根的倒数.y2-2y-2=
0cy2+by+a=0抛物线的对称性抛物线的变换抛物线与方程抛物线的系数变化抛物线与几何图形D1.设计师以抛物线y=2x2-4x+
8的图形为灵感设计杯子如图所示,若AB=4，DE=3,则杯子的高CE=( ) A．17 B．11 C．8
D．72.如图,抛物线 ,点F(0,p),直线l:y=-p,已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等,过
点F的直线与抛物线交于A,B两点,AA1⊥l于点A1,BB1⊥l于点B1,连接A1F,B1F,A1O,B1O,若A1F=a,B1F
=b,则△A1OB1的面积=____(只用a,b表示).B强化训练1.已知直线y=4与抛物线y=x2-2mx+m2+3(m是常数)
的图象交于点M,N两点(点M在点N的左侧)与y轴交于点P.当点P,M,N中恰有一点是其余两点连成的线段的中点时,m的值为_____
_____.2.如图,抛物线y=ax2+3与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=1/3x2于点B,C,则BC=____
.3.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(4,2).若抛物线y=-3/2(x-h)2+k与线段AB交于
C,D两点,且CD=1/2AB则k的值为_____.0,3或-363.54.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(-1
,0)和点B(0,-2),且顶点在第四象限,设y=a+b+c,且y为整数,则y的值为____________.-1或-2或-3把A
(-1,0)B(0,-2)代入,得：c=-2,b=a-2,∴y=-1,-2,-3. ∴y=a+b+c=2a-4.∵顶点在第四象限∴
a＞0,b＜0(即a-2＜0).∴0＜a＜2 ∴-4＜2a-4＜0∴-4＜y＜05.已知函数y=-x2+2x(x＞0),y=-x(
x≤0)的图象如图所示.若直线y=x+m与该图象恰好有三个不同的交点,则m的取值范围为____________.6.已知抛物线C:
y=x2-4x+3,直线l:y=x.若抛物线与坐标轴的交点和抛物线的顶点H的连线所在直线为m,则直线m与直线l的交点到顶点H的距离
为__________.0＜x＜1/4E1E23m1m2m37.某同学用描点法画二次函数y=ax2+bx+c图象时,列出了下面的表
格：由于粗心,他算错了一个y的值,则这个错误的数值是____.-593-3-3-6-608.已知abc≠0且9a-3b+c＞0,4
a+2b+c＜0,则( ) A.b2-4ac＜0 B.b2-4ac＝0 C.b2-4ac＞0 D.b2-4ac
≥0C 解析：令y=ax2+bx+c,当x=-3时，9a-3b+c＞0当x= 2时，4a+2b+c＜0∴抛物线y=ax2+bx+c
与x轴有两个交点.∴b2-4ac＞0.9.若P1(x1,x1),P2(x2,x2)是抛物线y=ax2-4ax上两点,则当|x1-2
|＞|x2-2|时,下列不等式一定正确的是( ) A.y1+y2＞0 B.a(y1+y2)＞0 C.y1-y2＞0
D.a(y1-y2)＞0D10.四位同学在研究函数y=x2+bx+c(b,c是常数)时,甲发现当x=1时,函数有最小值；乙发现-
1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时,y=4.已知这四位同学中只有一位发现的结论错误,则该
同学是( )A.甲 B.乙 C.丙 D.丁B甲:乙:1-b+c=0；丙:丁:b=-2；4c-b2=12；4+2b+c=4；
b=1+c；b2=4c-12；b=-0.5c；解：y=-x2+2mx-m2-m+2=-(x-m)2-m+2.抛物线的顶点为(m,-
m+2).当x=m时,y=-m+2.∴直线y=-x+2是否经过抛物线的顶点1.已知抛物线y=-x2+2mx-m2-m+2.直线y=-x+2是否经过抛物线的顶点；2.已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象经过点C(0,1),且与x轴交于不同的两点A(1,0),B．(1)求c的值；(2)求a的取值范围．(2)由图象过C(0,1),A(1,0),得a+b+1=0,∴b=-a-1. 由b2-4ac＞0,可得(-a-1)2-4a＞0，即(a-1)2＞0,故a≠1. 又∵a＞0， ∴a的取值范围是a＞0且a≠1. 解：(1)把C(0,1)代入y=ax2+bx+c得：c=1. |
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