中考数学模拟题汇总《勾股定理及其应用》专项练习(附答案解析)一、综合题1．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A、B、C均落在格点
上．（1）的周长为 ．（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在AC上确定一点M，使以点M为圆心，以MC为半径的与AB相切，并简
要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）： ▲ ．2．如图，已知：梯形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，AB∥DC
，DC＝3，AB＝5，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB交于点F．（1）若AP ，求DE
的长；（2）联结CP，若CP＝EP，求AP的长；（3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似？若相似，求FG的值；若不
相似，请说明理由．3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，
OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE=∠B．（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时
针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，△OMN与△BCO相似？4．如图矩形ABCO，点A，C分
别在y轴与x轴的正半轴上，O为坐标原点，B的坐标为（6，4），点D（1，0），点P为边AB上一个动点，过点D，P的圆⊙M与AB相切
，⊙M交x轴于点E，连接AM，（1）当P为AB的中点时，求DE的长及⊙M的半径；（2）当AM⊥DP时，求点P的坐标与⊙M的半径；（
3）是否存在一点P使⊙M与矩形ABCO的另一条边也相切，若存在求出所有符合条件的点P的坐标．5．如图， 是 的直径，点 是弧
的中点. （1）如图1，求证： ； （2）如图2，若 于点 ，交 于点 ，求证： ； （3）如图3，在（2）
的条件下，连接 交 于 ，连接 ， 交 于 、交 于点 ，已知 ， ，求 的长. 6．如图，在矩形纸片A
BCD中，已知 = ，将矩形沿EF对折（点E、F分别在边BC、AD上），使顶点D落在AB边上的点P处. （1）若AB=4，B
C=6，①当AP=3时，求DF的长；②设AP=m，EQ=y，试求y与m之间函数表达式；（2）记四边形PQEF的面积为S，若 =k
，试说明当k为何值时S的值最小？ 7．在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB 于点 N，动点 P 在线段 BA 上以每秒 cm 的速度由点 B 向点 A 运动.同时， 动点 Q 在线段 AC 上由点 N 向
点 C 运动，且始终保持 MQ⊥MP. 一个点到终点时，两个点同时停止运动.设运动时间为 t 秒(t>0). （1）△PBM 与
△QNM 相似吗？请说明理由；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4 cm. ①求动点 Q 的运动速度；②设△APQ 的面积为
s(cm2)，求 S 与 t 的函数关系式.（不必写出 t 的取值范围）（3）探求 BP2、PQ2、CQ2 三者之间的数量关系，请
说明理由.8．如图，点 是 轴负半轴上的一点，经过点 作直线，与抛物线 交于 、 两点（点 在点 的左侧），连接
、 ，设点 的横坐标为 . （1）若点 的坐标为 ，求点 的坐标； （2）若 ， ，求 的值，并证明：
； （3）若 ，问“ ”这一结论还成立吗？试说明理由. 9．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8.（1）如图①若E从B到C
运动，F从D到A运动且BE＝2DF，（ i）当DF为何值时四边形ECDF是矩形.（ ii）当DF为何值时EF＝2 .（2）如图②
E在BC上，BE＝3，F在CD上，将△ECF沿EF折叠，当C点恰好落在AD边上的G处时，求折痕EF的长.10．如图，在矩形ABCD
中，AB＝4，AD＝3，连结BD．点P从点A出发，沿折线AB－BD－DC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．当点P不与矩形ABC
D的顶点重合时，以AP为对角线作正方形AEPF（点F在直线AP的右侧）．设正方形AEPF的面积为S（平方单位），点P的运动时间为t
（秒）．（1）当点P在线段BD上时，用含t的代数式表示PB的长，并写出t的取值范围；（2）当AP⊥BD时，求t的值；（3）求S与t
之间的函数关系式．（4）当直线BF将正方形AEPF分成的两部分图形面积相等时，直接写出t的值．11．如图，平面直角坐标系中，O为原
点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y 的图象上．PA的延长线交x轴于点C，P
B的延长线交y轴于点D，连接CD． （1）求∠P的度数及点P的坐标；（2）求△OCD的面积；（3）△AOB的面积是否存在最大值？
若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+ 与y轴相交于点A，点B与点O
关于点A对称（1）填空：点B的坐标是 ；（2）过点B的直线y=kx+b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P
是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点
C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．13．（1）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D
为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式
为 ；（2）探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索
线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45
°.若BD＝9，CD＝3，求AD的长.14．如图，点A在直线l上，点Q沿着直线l以3厘米/秒的速度由点A向右运动，以AQ为边作Rt
△ABQ，使∠BAQ=90°，tan∠ABQ= ，点C在点Q右侧，CQ=1厘米，过点C作直线m⊥l，过△ABQ的外接圆圆心O作O
D⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF= CD，以DE、DF为邻边作矩形DEGF．设运动时间为t秒．（
1）直接用含t的代数式表示BQ、DF；（2）当0＜t＜1时，求矩形DEGF的最大面积；（3）点Q在整个运动过程中，当矩形DEGF为
正方形时，求t的值．15．如图，在 中， ， 是 的角平分线．以 为圆心， 为半径作 ． （1）求证：..是 的
切线；（2）已知 交 于点 ，延长 交 于点 ， ，求 的值．（3）在（2）的条件下，设 的半径为 ，求 的
长．16．在四边形 中，对角线 、 相交于点 ，将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连
接 、 ， 与 交于点 ． （1）如图1，若四边形 是正方形． ①求证： ≌ ．②请直接写出 与 的位置关
系．（2）如图2，若四边形 是菱形， ， ，设 ．判断 与 的位置关系，说明理由，并求出 的值．（3）如图3，若四边
形 是平行四边形， ， ，连接 ，设 ．请直接写出 的值和 的值．参考答案与解析1．【答案】（1）12（2）解：如图
延长BC到点D，使，连接AD，取中点E，连接BE，BE交AC于点M．2．【答案】（1）解：如图1中，过点A，作AH∥BC，交CD的
延长线于点H． ∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C＝180°， ∵∠ABC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝∠H＝90°，∴四边形AHCB是
矩形， ∴AB＝CH＝5，∵CD＝3，∴DH＝CH﹣CD＝2，∵∠HAB＝90°，∠DAB＝45°， ∴∠HAD＝∠HDA＝45°
∴HD＝AH＝2，AE＝AP ， 根据勾股定理得，HE 3，则ED＝1（2）解：连接CP，设AP＝x． ∵AB∥CD， ∴∠
EPA＝∠CEP，即等腰△APE、等腰△PEC两个底角相等， ∴△APE∽△PEC，∴ ， 即：PE2＝AE?CE， 而EC＝2P
B＝2（5﹣x），即：PC2＝CE?AP＝2（5﹣x）x，而PC2＝PB2+BC2，即：PC2＝（5﹣x）2+22，∴2（5﹣x）
x＝（5﹣x）2+22，解得：x （不合题意值已舍去），即：AP （3）解：如图3中，在线段CF上取一点G，连接EG． 设∠F
＝α，则∠APE＝∠AEP＝∠BPF＝90°﹣α， 则：∠EAP＝180°﹣2∠APE＝2α，∵△ADE∽△FGE，设∠DAE＝∠
F＝α， 由∠DAB＝45°，可得3α＝45°，2α＝30°， 在Rt△ADH中，AH＝DH＝2， 在Rt△AHE中，∠HEA＝∠
EAB＝2α＝30°，∠HAE＝60°， ∴HE＝AH?tan∠HAE＝2 ，∴DE＝HE﹣HD＝2 2，EC＝HC﹣HE＝5
﹣2 ，∵△ADE∽△FGE，∴∠ADC＝∠EGF＝135°， 则∠CEG＝45°， ∴EG EC＝5 2 ，∴ ， 即：
， 解得：FG＝3 1．3．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，点O是AB的中点，∴OC=0B=OA=5．∴∠OCB=∠B
，∠ACO=∠A．∵∠DOE=∠B，∴∠FOC=∠OCF．∴FC=FO．∴△COF是等腰三角形．过点F作FH⊥OC，垂足为H，如图
1，∵FC=FO，FH⊥OC，∴CH=OH= ，∠CHF=90°．∵∠HCF=∠B，∠CHF=∠BCA=90°，∴△CHF∽△B
CA．∴ = ．∵CH= ，AB=10，BC=6，∴CF= ．∴CF的长为 ．（2）解：①若△OMN∽△BCO，如图2，则
有∠NMO=∠OCB．∵∠OCB=∠B，∴∠NMO=∠B．∵∠A=∠A，∴△AOM∽△ACB．∴ = ．∵∠ACB=90°，AB
=10，BC=6，∴AC=8．∵AO=5，AC=8，AB=10，∴AM= ．∴CM=AC﹣AM= ．②若△OMN∽△BOC，如
图3，则有∠MNO=∠OCB．∵∠OCB=∠B，∴∠MNO=∠B．∵∠ACO=∠A，∴△CON∽△ACB．∴ = = ．∵BC
=6，AB=10，AC=8，CO=5，∴ON= ，CN= ．过点M作MG⊥ON，垂足为G，如图3，∵∠MNO=∠B，∠MON=
∠B，∴∠MNO=∠MON．∴MN=MO．∵MG⊥ON，即∠MGN=90°，∴NG=OG= ．∵∠MNG=∠B，∠MGN=∠AC
B=90°，∴△MGN∽△ACB．∴ = ．∵GN= ，BC=6，AB=10，∴MN= ．∴CM=CN﹣MN= ﹣ =
．∴当CM的长是 或 时，△OMN与△BCO相似．4．【答案】（1）解：如图所示：连结PM并延长交DE于点H， ∵四边形A
BCO是矩形，B的坐标为（6，4），∴OC＝AB＝6，AO＝BC＝4，AB∥OC，∵⊙M与AB相切，∴PH⊥AB，且AB∥OC∴P
H⊥DE，∠BAO＝∠AOC＝90°∴四边形APHO是矩形∴AP＝OH当P为AB的中点时，OH＝AP＝3，∵点D（1，0），∴OD
＝1∴DH＝2，∵MH⊥OC∴DE＝2DH＝4在Rt△DHM中，DM2＝MH2+DH2，∴DM2＝（4﹣DM）2+4∴DM＝ ∴⊙
M的半径为 ；（2）解：如图所示：连接AD，连结PM并延长交DE于点H， ∵PM＝DM，AM⊥DP∴AM是DP的中垂线．∴AD
＝AP，在Rt△AOD中，AD＝ ∴AP＝ ∴点P（ ，4）在Rt△DMH中，DM2＝MH2+DH2，∴DM2＝（4﹣DM）2+
，∴DM＝ ∴⊙M的半径为 ，（3）解：①如图，当⊙M与OC相切时， ∵⊙M与OC相切∴MD⊥OC，且MP⊥AB，∠BAO
＝90°∴四边形APDO是矩形∴AP＝OD＝1，∴P（1，4）②如图，当⊙M与AO相切于点N时，连接DM，MN，延长PM交DC于点
H，∵⊙M与AO相切点N∴MN⊥AO，且PM⊥AB，∠BAO＝90°∴四边形APMN是矩形，且MN＝MP∴四边形APMN是正方形，
∴AP＝MN＝PM∴OH＝MN＝PM＝AP，在Rt△DMH中，DM2＝MH2+DH2，∴DM2＝（4﹣DM）2+（DM﹣1）2，∴
DM＝5﹣2 ，DM＝5+2 （不合题意舍去）∴AP＝5﹣2 ∴P（5﹣2 ，4）③如图，当⊙M与CB相切于点N时，连接DM
，MN，延长PM交DC于点H，∵⊙M与BC相切点N∴MN⊥BC，且PM⊥AB，∠ABC＝90°∴四边形MNBP是矩形，且MN＝MP
∴四边形MNBP是正方形，∴BP＝MN＝PM∴AP＝6﹣BP＝6﹣MN＝OH∴DH＝OH﹣OD＝5﹣MN在Rt△DMH中，DM2＝
MH2+DH2，∴DM2＝（4﹣DM）2+（5﹣DM）2，∴DM＝9﹣2 ，DM＝9+2 （不合题意舍去）∴AP＝6﹣（9﹣2
）＝2 ﹣3∴点P（2 ﹣3，4）5．【答案】（1）连接 ，∵点 是弧 的中点， ∴弧 弧 ∴∵∴ ；（2）延长
交 于点 ，连接 . ∵ ， 是 的直径∴弧 弧 ∵弧 弧 ∴弧 弧 ∴∴ ；（3）连接 ∵ 是 的直径∴
设 ∴∵弧 弧 ∴∵∴∴∴∴连接 ，作 于点 ∵∴ ， ， ∴∵弧 弧 ∴ ，∵ 是 的直径，∴∴∴∴ ， ∴由（1）
知， ， ∴ ， ∴∴∵∴ ， ∴ ， ， 作 于点 ，连接 ∴∴ ， ∴ ， ∴ ，四边形 是矩形，∴ .6．【答案】
（1）解：①∵该图形是沿EF折叠过去的， ∴ ，设 ，则 ，在 中由勾股定理可得， ，即 ，解得 ；②如图，作 于H
，连接 交 于点O，交 于点K，则 ， 0设 ，则 ，由①可知在 中由勾股定理可得， ，即 ，解得 ，根据折叠
性质可知，点P，D关于 对称， ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，整理得， ；（2）解：如图，作
于H，连接 交 于点O，交 于点K，则 ， ， 设 ， ，则 ， ， ， ，由折叠性质可知，四边形PQEF
的面积即为四边形 的面积， ∵ ， ，∴该四边形为梯形，由①可知在 中由勾股定理可得， ，即 ，解得， ，∴根据折叠性
质可知，点P，D关于 对称， ， ，∴ ，∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，∴ ，即 ，整理得， ，∴面积 ，∴当 取最小值
时，面积S最小，∵ ，∴该方程没有解，又∵ ，∴当 时，S的值最小.7．【答案】（1）解：△PBM∽△QNM. 理由：∵MQ⊥
MP，MN⊥BC，∴∠PMN+∠PMB=90°，∠QMN+∠PMN=90°，∴∠PMB=∠QMN.∵∠B+∠C=90°，∠C+∠M
NQ=90°，∴∠B=∠MNQ，∴△PBM∽△QNM（2）解：∵∠BAC=90°，∠ABC=60°， ∴BC=2AB=8 cm
.AC=12cm，∵MN垂直平分BC，∴BM=CM=4 cm.∵∠C=30°，∴MN= CM=4cm.①设Q点的运动速度为v（
cm/s）.∵△PBM∽△QNM.∴ ，∴ ，∴v=1，答：Q点的运动速度为1cm/s.②∵AN=AC-NC=12-8=4cm，∴
AP=4 - t，AQ=4+t，∴S= AP?AQ= （4 - t）（4+t）=- t2+8 .（0＜t≤4）当t
＞4时，AP=- t+4 =（4-t） .则△APQ的面积为：S= AP?AQ= （- t+4 ）（4+t）= t
2-8 （3）解：PQ2=CQ2+BP2. 理由：延长QM到D，使MD=MQ，连接PD、BD、BQ、CD，∵M是BC边的中点，∴
BM=CM，∴四边形BDCQ是平行四边形，∴BD∥CQ，BD=CQ.∴∠BAC+∠ABD=180°.∵∠BAC=90°，∴∠ABD
=90°，在Rt△PBD中，由勾股定理得：PD2=BP2+BD2，∴PD2=BP2+CQ2.∵MQ⊥MP，MQ=MD，∴PQ=PD
，∴PQ2=BP2+CQ28．【答案】（1）解：当A（-4，-2）时，A在 上， ∴ ，即a=- ∴ ；（2）解：设 、
∴A（-1，a），C（0， a），设AC的解析式为y=kx+b则 ，解得 ∴AC的解析式为 ∵AC：BC=1:2∴∴∴B（-2
m，4am2），A（2，4a）∵AC：BC=1:2∴AC2：BC2=1:4，即BC2=4 AC2∴ ，解得a= ∴A（-1， ）
，B（2， ）∴AO2= ， BO2= ，AB2= ∴AO2+BO2=AB2∴∠AOB=90°；（3）解： 成立，理由如下
： ∵ ，则 A(m，am2)，B(-km， ak2m2)，∴∴ ，解得 ，即a= （a＜0）∴A（m， ），B（-km，
）∴AO2= ， BO2= ，AB2= ∴AO2+BO2=AB2∴∠AOB=90°；9．【答案】（1）解：（i）设DF＝m
，BE＝2m，则EC＝8﹣2m， 由矩形的性质：DF＝EC，∴m＝8﹣2m∴∴ ；（ ii）如图（1）过F作FM⊥BC于M，∴F
M＝AB＝4，EF＝ ，∴勾股定理得 ，∴BM+MC＝2m+2+m＝8，∴m＝2；如图（2）过E作FN⊥BC于N，同理可得NE
＝2，∴BN+NC＝2m﹣2+m＝8，m= ，∴DF＝2或 ；（2）解：过E作EH⊥AD于H， ∵BE＝AH＝3，∴EC＝5
，由折叠的性质EG＝EC＝5，GF＝CF，∵HE＝AB＝4，∴ ，∴GD＝AD﹣AH﹣HG＝2，设GF＝FC＝x，则DF＝4﹣x，
在Rt△GDF中，GD2+DF2＝GF2∴22+（4﹣x）2＝x2解得 ，即 ，∴ .10．【答案】（1）解：在Rt△ABD中
， ． 当点P在线段BD上时， ．t的取值范围为 ．（2）解：当AP⊥BD时，分两种情况讨论： 当点P在BD上时，如图①．
∵ ，∴ ，即 ．∴BP＝ ．∴ ．解得： ．当P在DC上时，如图②．∵ ，∴ ．又∵ ，∴ ． ∴ ．∴ ，即 ． ∴
DP＝ ． ∴ ．解得： ．（3）解：当 时，如图③． ．当 时，如图④．过点P作PM⊥AB于M． ， ， ．∴ ，当
时，如图⑤，则 ， ．综上所述： ；（4）8或 11．【答案】（1）解：如图，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥A
B于H． ∴∠PMA＝∠PHA＝90°，∵∠PAM＝∠PAH，PA＝PA，∴△PAM≌△PAH（AAS），∴PM＝PH，∠APM
＝∠APH，同理可证：△BPN≌△BPH，∴PH＝PN，∠BPN＝∠BPH，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠MON＝∠PNO＝90°，
∴四边形PMON是矩形，∴∠MPN＝90°，∴∠APB＝∠APH+∠BPH （∠MPH+∠NPH）＝45°，∵PM＝PN，∴可以
假设P（m，m），∵P（m，m）在 上，∴m2＝9，∵m＞0，∴m＝3，∴P（3，3）．（2）解：设OA＝a，OB＝b，则AM＝
AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b， ∴AB＝6﹣a﹣b，∵AB2＝OA2+OB2，∴a2+b2＝（6﹣a﹣b）2，可得ab＝6a
+6b﹣18，∴3a+3b﹣9 ab，∵PM∥OC，∴ ，∴ ，∴OC ，同法可得OD ，∴ .（3）解：设OA＝a，OB＝
b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b， ∴AB＝6﹣a﹣b，∴OA+OB+AB＝6，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴△AOB的面积的最大值为：27﹣18 ．12．【答案】（1）（0， ）（2）解：∵B点坐标为（0， ），∴直线解析式为y=
kx+ ，令y=0可得kx+ =0，解得x=﹣ ，∴OC=﹣ ，∵PB=PC，∴点P只能在x轴上方，如图1，过B作BD⊥l
于点D，设PB=PC=m，则BD=OC=﹣ ，CD=OB= ，∴PD=PC﹣CD=m﹣ ，在Rt△PBD中，由勾股定理可得P
B2=PD2+BD2，即m2=（m﹣ ）2+（﹣ ）2，解得m= + ，∴PC= + ，∴P点坐标为（﹣ ， +
），当x=﹣ 时，代入抛物线解析式可得y= + ，∴点P在抛物线上；（3）解：如图2，连接CC′，∵l∥y轴，∴∠OBC=
∠PCB，又PB=PC，∴∠PCB=∠PBC，∴∠PBC=∠OBC，又C、C′关于BP对称，且C′在抛物线的对称轴上，即在y轴上，
∴∠PBC=∠PBC′，∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，在Rt△OBC中，OB= ，则BC=1∴OC= ，即P点的横
坐标为 ，代入抛物线解析式可得y=（ ）2+ =1，∴P点坐标为（ ，1）．13．【答案】（1）BC＝DC＋EC（2）解：
BD2＋CD2＝2AD2. 证明如下：连接CE，如解图1所示.∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠
ACB＝45°.∵∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE(SA
S)，∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°.∵∠EAD＝90°，AE＝AD，∴ED＝
AD.在Rt△ECD中，由勾股定理，得ED2＝CE2＋CD2，∴BD2＋CD2＝2AD2.（3）解：将线段AD绕点A顺时针旋转9
0°得到AE，连接CE，BE， 如解图2所示，则AE＝AD，∠EAD＝90°，∴△EAD是等腰直角三角形，∴DE＝ AD，∠A
ED＝45°.∵∠ABC＝∠ACB＝ADC＝45°，∴∠BAC＝90°，AB＝AC.同(2)的方法，可证得△ABE≌△ACD，∴B
E＝CD，∠AEB＝∠ADC＝45°，∴∠BEC＝∠AEB＋∠AED＝90°.在Rt△BED中，由勾股定理，得DE2＝BD2－BE
2，∴2AD2＝BD2－CD2.∵BD＝9，CD＝3，∴2AD2＝92－32＝72，∴AD＝6(负值已舍去).14．【答案】（1）
解：∵点Q沿着直线l以3厘米/秒的速度由点A向右运动，运动时间为t秒．∴AQ=3t，∵∠BAQ=90°，tan∠ABQ= =
，∴AB=4t，∴BQ= =5t，作OM⊥AQ于M，则AM=QM= AQ=1.5t，CD=OM，∴OM是△ABQ的中位线，∴C
D=OM= AB=2t，∴DF= CD= t（2）解：设矩形DEGF的面积为S，∵OE=OB= BQ= t，OD=QM+
CQ= t+1，∴DE=OD﹣OE= t+1﹣ t=1﹣t，∴ ，∴当t= 时，矩形DEGF的最大面积为 （3）解：当矩形
DEGF为正方形时，则DE=DF，分两种情况：①当0＜t＜1时，如图1所示：DE=1﹣t，∴1﹣t= t，解得：t= ；②当t
≥1时，如图2所示：DE=t﹣1，∴t﹣1= t，解得：t=3；综上所述：当矩形DEGF为正方形时，t的值为 或3．15．【答
案】（1）证明：如图，过点 作 于点 ，∵ 平分 ， ， ，∴ ，∴ 是 的半径，∵ 过点 ， ，∴ 是 的切
线（2）解：如图，连接 ，∵ 是 的直径，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴（3
）解：由（2）可知： ，设 ， ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，解得： 或 （不合题意，舍去），∴ ， ，由（1）可知：
， ，∵ ，∴ ，∴ ，设 ，∴ ，∴ ，在 中， ，∴ ，解得： 或 （不合题意，舍去），∴16．【答案】（1）①证明：
∵四边形ABCD是正方形， ∴OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，∴∠AOB=∠COD=90°，∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，∴OC1=OD1，∠AOC1=∠BOD1，在△AOC1和△BOD1中， ，∴△AOC1≌△BOD1（SAS）②解：AC1⊥BD1，理由如下：∵△AOC1≌△BOD1，∴ ，∵ ，∴ ，即 ，∴AC1⊥BD1（2）解：AC1⊥BD1，理由如下： ∵四边形ABCD是菱形，∴OC=OA= AC，OD=OB= BD，AC⊥BD，∴∠AOB=∠COD=90°，∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，∴OC1=OA，OD1=OB，∠AOC1=∠BOD1，∴ ，∴△AOC1∽△BOD1，∴∠OAC1=∠OBD1，又∵∠AOB=90°，∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，∴∠APB=90°，∴AC1⊥BD1，∵△AOC1∽△BOD1，∴ = ，∴k= ；（3）解：与（2）一样可证明△AOC1∽△BOD1， ∴ ，∴k= ；∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，∴OD1=OD，而OD=OB，∴OD1=OB=OD，∴△BDD1为直角三角形，即 ，在Rt△BDD1中，BD12+DD12=BD2=100，∴(2AC1)2+DD12=100，∴AC12+(kDD1)2=25 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 37 页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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