《數理精藴》多邊形之“六宗三要”說上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 Ho Sai Keung提要：《
數理精藴》有所謂“六宗三要”之說，其“六宗”乃指圓內接正六邊、四邊、十邊、三邊、五邊及十五邊形；“三要”乃指圓內接正多邊形一邊之圓
心角之正弦餘弦，半圓心角之正弦餘弦及倍圓心角之正弦餘弦；此說現代不流行。關鍵詞：六宗 六種形 三要 割圜八線“六宗三要說”說
見之於清?《御製數理精藴?下編?卷十六?面部》﹝簡稱為《數理精藴》﹞分題為“割圜”。《數理精藴》有所謂“六宗三要”之說，其“六宗”
則作如下之定義：西洋厯算家作“割圜八線表”，始自圜內容六邊、四邊、十邊、三邊、五邊、十五邊，名曰“六宗”。筆者已有文談及《數理精藴
》之“割圜八線”，現再簡述一次。“圜”即圓，“割圜八線”即“割圓八線”，而“割圜八線表”即今之所謂“三角函數表”。“八線”即以下之
“八線”：正弦 (sin θ)、餘弦 (cos θ)、正矢 (versine θ = 1 – cos θ）、餘矢 (coversi
ne θ = 1 – sin θ）、正切 (tan θ)、餘切 (cot θ)、正割 (sec θ)、餘割 (csc θ)。以下之
〈割圜八線圖〉源自《數理精藴》，戊是圓心，半徑為 1，為方便起見，今設∠癸戊丁為 θ，戊癸射線交圓周於己，甲子為切線平行戊丁，癸丁
亦為切線平行甲戊，自己點畫己壬平行丁戊，又自己點畫己庚平行甲戊，從圖可知∠癸戊丁 = ∠戊己壬 = ∠戊子甲 = θ。注意甲戊 =
戊己 = 戊丁 = 1。以下為八線：正弦 (sin θ = = 己庚) ，餘弦 (cos θ = = 戊庚)，正矢 (ver
sine θ = 1 – cos θ = 戊丁 – 戊庚 = 庚丁），餘矢 (coversine θ = 1 – sin θ =
戊甲 – 戊壬 = 壬甲），正切 (tan θ = = 癸丁)，餘切 (cot θ = = 甲子)，正割 (sec θ =
= 戊癸)，餘割 (csc θ = = 戊子)。注意以上之分母皆為半徑 1。以下為《數理精藴》之〈割圜八線圖〉：θ1θ《數理精藴
》所云之“六宗”如下：圓內容正六邊形圓內容正四邊形圓內容正十邊形圓內容正三邊形圓內容正五邊形圓內容正十五邊形以上“六宗”之正多邊形
又稱為“六種形”。《數理精藴》曰：至於三邊形則出於六邊，五邊形則出於十邊，十五邊形則又出於三邊及五邊，非别自立一法也。既得此六種形
之一邊，各半之即得六種弧之各正弦，爰命此六種弧為“本弧”，按法可求本弧之餘弦，可求倍本弧之正弦餘弦，亦可求半本弧之正弦餘弦，是為“
三要”。以上引文提及三邊形、五邊形、六邊形、十邊形及十五邊形，共五種形，不足六種，欠缺四邊形﹝見“六宗”之說﹞，可能因正四邊形獨立
而不涉他形，故無提及。圓內之正多邊形一邊可稱為“通弦”，“通弦”與圓心形成一圓心角，又含一弧，等弦對等弧，又等弦所對之圓心角相等。
﹝一﹞三邊形出於六邊形圖：正六邊形隔一頂點連線即得一正三邊形。﹝二﹞五邊形出於十邊形圖：正十邊形隔一頂點連線即得一正五邊形。﹝三﹞
十五邊形出於三邊及五邊形圖：正三邊形一邊所佔之弧分成五等份連線後即得一正十五邊形。又正五邊形一邊所佔之弧分成三等份連線後亦得一正十
五邊形。以下為圖內接正四邊形：“六種形”之一邊所佔之弧是為“本弧”。若圓半徑為1，“本弧”形成一圓心角度θ，則“三要”指：圓心角之
sin θ，cos θ，半圓心角之正弦及餘弦，即sin ?θ，cos ?θ，倍圓心角之正弦及餘弦，即sin 2θ，cos 2θ。《
數理精藴》所云之“三要”相信指重要之數字，但不涉及負數，若所得之值為負則不合用。另外《數理精藴》所云之半角或倍角，相信指簡單之特別
角，例如 60o 或 90o 等，但筆者所云之半角或倍角則包括所有“六宗”之角，因此正十五邊形之三角函數非常複雜。以下為“六宗”之
“三要”：﹝一﹞正三邊形，圓心角θ = = 120o，sin 120o = sin 60o = = 0.866025403，c
os 120o = – = – 0.5 ﹝此值不合用﹞，(b) sin 60o = = 0.866025403，cos 60o
= = 0.5，(c) sin 240o = – sin 60o = – = – 0.866025403﹝此值不合用﹞，co
s 240o = – = – 0.5﹝此值亦不合用﹞。﹝二﹞正四邊形，圓心角θ = = 90o，sin 90o = 1，cos
90o = 0，sin 45o = = = 0.707106781，cos 45o = = = 0.707106781，
sin 180o = 0，cos 180o = – 1﹝此值不合用﹞。﹝三﹞正五邊形，圓心角θ = = 72o，sin 72o
= = 0.951056516﹝見下式﹞，cos 72o = = 0.309016994，sin2 72o = 1 – cos
2 72o = 1 – = ，sin 72o = 。(b) sin 36o = = 0.587785252，因為cos2 3
6o = 1 – sin2 36o = 1 – = ，所以cos 36o = = = 0.809016994。以上各數之來源
，可參閱筆者另文〈《數理精藴》十邊形之理分中末線﹝黃金比﹞說〉。(c) sin 144o = sin 36o = = 0.587
785252，cos 144o = – cos 36o = – = – 0.809016994﹝此值不合用﹞。﹝四﹞正六邊形，圓
心角θ = = 60o，sin 60o = = 0.866025403，cos 60o = = 0.5，sin 30o =
= 0.5，cos 30o = = 0.866025403，sin 120o = sin 60o = = 0.8660254
03，cos 120o = – = – 0.5﹝此值不合用﹞。﹝五﹞正十邊形，圓心角θ = = 36o，sin 36o =
= 0.587785252，cos 36o = = 0.809016994，可參閱筆者另文〈《數理精藴》十邊形之理分中末線﹝黃金
比﹞說〉。因為cos 36o = = 1 – 2sin2 18o，2sin2 18o = 1 – = ，sin2 18o =
。sin 18o = = = = 0.309016994，因為sin 18o = ，所以cos2 18o = 1 – sin
2 18o = 1 – = = ，cos 18o = = 0.951056516。sin 72o = cos 18o =
= 0.951056516，cos 72o = sin 18o = = 0.309016994。﹝六﹞正十五邊形，圓心角θ =
= 24o，從以上資料可知：sin 36o = ，cos 36o = ，sin 60o = ，cos 60o = 。又根據三角
差角公式可知：(a) sin 24o = sin (60o ? 36o)= sin 60o cos 36o – cos 60o s
in 36o= × – × = – = – = [√3 (1 + √5) – √2 √(5 – √5)] = 0.40
6736643。cos 24o = cos (60o ? 36o)= cos 60o cos 36o + sin 60o sin
36o= × + × = + = + = [1 + √5 + √6 √(5 – √5)]= 0.913545457。從
以上資料可知：sin 72o = ，cos 72o = ，sin 60o = ，cos 60o = 。亦根據三角差角公式可知：(b
) sin 12o = sin (72o ? 60o)= sin 72o cos 60o – cos 72o sin 60o=
× – × = – = – = [√2 √(5 + √5) – √3 (– 1 + √5)]= 0.20791169。
cos 12o = cos (72o ? 60o)= cos 72o cos 60o + sin 72o sin 60o= ×
+ × = + = 0.9781476。又根據三角差角公式可知：(c) sin 48o = sin (60o ? 12o)
= sin 60o cos 12o – cos 60o sin 12o= × [ + ] – × [ – ]= + – = + = 0.743144825。cos 48o = cos (60o ? 12o)= cos 60o cos 12o + sin 60o sin 12o= × [ + ] + × [ – ]= – + + = – + = 0.669130606。《數理精藴》之“六宗三要”說，現代不流行。以下為《數理精藴》之原文：(1) |
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