两例平方差公式探究规律题平方差公式和完全平方公式在数学的计算中用处很大。下面请大家看两道中考中出现过的，有关平方差公式的两道探索题.例1
老师在黑板上写出三个算式：，，，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：，，（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式
；（2）用文字写出反映上述算式的规律；（3）证明这个规律的正确性。分析：这是一道规律探索性试题。仔细观察，这些等式的左边是两个奇数
的平方差，右边是8的倍数，很容易用含有字母的代数式表示规律。运用因式分解和奇数的性质不难证明该规律。解：（1）72-32=8×5，
112-72=8×9。（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数。（3）证明：设为整数，两个奇数可表示为和，则。当同是奇数或偶数
时，一定为偶数，所以一定是8的倍数；当一奇一偶时，则一定为偶数，所以一定是8的倍数。所以，任意两奇数的平方差是8的倍数。例2 如
果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。如：，，，因此，，这三个数都是神秘数。（1）和这两个数是神
秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平
方差（取正数）是神秘数吗？为什么？分析：这是一道与平方差有关系研究性试题，对“神秘数”定义的理解是解决该题的关键。而后用字母来验证
“神秘数”的特征以及进一步去判断。解：（1）找规律：，， ，……，所以和都是神秘数。（2）。因此由这两个连续偶数和构造的神秘数是的
倍数。（3）由（2）知，神秘数可以表示成，因为是奇数，因此神秘数是的倍数，但一定不是的倍数。另一方面，设两个连续奇数为和，则，即两
个连续奇数的平方差是的倍数。因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数。说明：以上都是与平方差有关系的探索题，解决这类问题的关键是从特殊
情况入手，发现规律，用含字母的代数式表示规律，而后再取特殊值验证规律的正确性。这两道题重在考查同学们的阅读理解、规律探索、规律归纳
的能力。紫妍数学堂——为你提供学习平台 为你学习保驾护航紫妍数学堂——为你提供学习平台 为你学习保驾护航 |
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