决定性公理通常被用于形式化逻辑或数学中，例如在欧几里德几何学中，“任意两点之间可以画出一条直线”和“所有直角都相等”这样的命题被认为是决定性公理。决定性公理的选择通常取决于逻辑或数学体系的目的和性质，不同的公理选择可能导致不同的体系。考虑以下的“无限博弈”。有两个局中人A和B，依次各给出一个自然数，例如设A为先手。这样，他们就会作出一个自然数的无限序列。如果这个序列是"最终周期的"、则 A 胜、否则 B 胜（一个最终周期序列就是像 1、56、4、5、8、3、5、8、3、5、8，3，5，8、3、…这样的序列，经过一定步数以后就会停留在一个反复的模式上。不难看到，B有一个致胜策略，因为最终周期序列是很特殊的。然而，在博弈的任意阶段，A仍然可以制胜（只要B玩得足够糟糕），因为每一个有限序列都是许多最终周期序列的开始的一段。
更一般地说，自然数的无限序列的任意集合S都会给出一个无限博弈：A的目标是使得所得的序列是S的一个元素，B的目标则相反。如果两个局中人之一有一个制胜策略，就说这个博弈是决定性的。我们已经看到，如果S是所有最终周期序列的集合，这个博弈一定是决定性的，而实际上，对于我们不论怎样来写出的S，相应的博弈也一定是决定性的。但是结果是确有不是决定性的博弈存在。不难作出非决定性的博弈，但是构造这个博弈要用到选择公理如下：粗略地说，可以把所有可能的策略的集合良序化（良序原理是等价于选择公理的），所以每一个前面的策略即前置元（predecessor）的个数总少于无限序列的个数、把这样的序列放进S或其余集，就使得每一个策略都不能成为任一个局中人的制胜策略，决定性公理宣称，每一个博弈都是决定性的。它与选择公理矛盾，但是如果把它加进没有选择公理的策墨罗-弗朗克尔公理系统。它就是一个很有趣的公理。例如，它事实上蕴含了许多实数集合具有惊人的好性质，例如所有的实数集合都是勒贝格可测集合。决定性公理与大基数理论有密切关系。 大基数理论是数学中一个分支领域，主要研究无限集合的大小比较问题。在大基数理论中，把一个无限集合的大小称为它的基数，常用符号为 ℵ（阿列夫零），ℵ1，ℵ2 等。在大基数理论中，最著名的结论是康托尔-伯恩斯坦定理，该定理说明任意两个无限集合的基数要么相等，要么存在一个比另一个更大的基数。另一个重要的概念是连续统假设，它是指不存在一个介于 ℵ0 和 ℵ1 之间的基数。这个假设目前还没有被证明或证伪，是大基数理论中的一个重要问题。
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