《數理精藴》之相連比例四率法與十八邊形題上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 Ho Sai Keung提
要：《數理精藴》有所謂“相連比例四率”之說，而“相連比例四率”又與正十八邊形有關，正十八邊形又與一元三次方程式有關，此一元三次方程
式又與正弦10o有關。關鍵詞：相連比例四率 十八邊形 比例四率 正弦10o“相連比例四率”說見之於《御製數理精藴?下編?卷十
六?面部》﹝簡稱為《數理精藴》﹞分題為“割圜”。清代數學界流行“比例四率”算法，《數理精藴》有載此法，其形式如下：一率：二率 =
三率：四率即一率 × 四率 = 二率 × 三率以上乃重要等式。一般情況下，《數理精藴》以第四率為未知數，即：四率 = × 二率
× 三率。清代數學界認為很多數學題均可化成“比例四率”算之。《數理精藴?下編?卷十六?面部》亦有所謂“相連比例四率”﹝或稱為“連比
例四率”﹞，其定義如下：一率：二率 = 二率 ：三率 = 三率：四率。寫成分數式：即 = = 。《數理精藴?下編?卷十六?面
部》有以下之重要關係式曰：而連比例四率之理，一率自乘用四率再乘與二率自乘再乘之數等。即“相連比例四率”有以下之等式：一率2 × 四
率 = 二率3。証明：若 = = = k，則一率 = k二率，二率 = k三率，三率 = k四率。代入得：二率 = k2四率
，一率 = k3四率。所以等式左方 一率2 × 四率 = k6四率2 × 四率 = k6四率3。等式右方 二率3 = (k2四
率)3 = k6四率3。左右方相等，所以一率2 × 四率 = 二率3 等式成立。“比例四率”與“相連比例四率”相似但絶不相同，“比
例四率”之例子甚多，但“相連比例四率”之例則鳳毛麟角。《數理精藴》解“相連比例四率”之四率法亦以先解第四率為主，與解“比例四率”之
先解第四率相同﹝即以第四率為未知數﹞。宜注意“相連比例四率”與正十八邊形有關。《數理精藴》有以下相關之題：﹝第一題﹞設如以十萬為一
率，作相連比例四率，使一率與四率相加與二率三倍等。問：二率、三率、四率各幾何？解：依以上之定義得一率：二率 = 二率 ：三率 =
三率：四率，即 = = 。已知一率 = 100000，又設二率 = x，四率 = z，依題意可知：100000 + z =
3x，即 x = 。從上文公式可知：一率2 × 四率 = 二率3。即 1000002 × z = ()310000000000z
= (z3 + 300000z2 + 30000000000z + 1000000000000000)270000000000z
= z3 + 300000z2 + 30000000000z + 1000000000000000z3 + 300000z2 –
240000000000z + 1000000000000000 = 0依逐位求法得 z = 4187﹝近似值﹞，即四率 = 41
87﹝詳細解法略去﹞。二率 = (z + 100000) = (4187 + 100000) = = 34729。三率 = √(
二率 × 四率) = √(34729 × 4187) = 12064。答：二率 = 34729，三率 = 12064，四率 = 4
187。﹝第二題﹞設如圜徑二十萬，求：內容十八邊形之一邊幾何？解：Oθ100000ACB一圓之直徑為 200000，內接一正十八邊
形。正十八邊形其中一邊為AB，C為中點，OA、OB為圓半徑，AB之圓心角∠AOB為 2θ，OC垂直AB，∠AOC = ∠BOC =
θ。從圓內接正十八邊形可知，θ = = 10o，因此十八邊形之一邊之半 = 100000 sin 10o = 100000 ×
0.173648177 = 17364.8。十八邊形一邊之長 = 17364.8 × 2 = 34729.6﹝此即為二率，見上題
之“相連比例四率”﹞。《數理精藴》曰：法：用連比例四率，有一率求二率，使一率與四率相加與二率三倍等之法。“相連比例四率”之法見上題
。本題乃“相連比例四率”之精闢題，本題與上題其實完全相同，唯顯出其實用性。《數理精藴》解曰：以圜徑二十萬折半得十萬 (100000
) 為一率，自乘再乘得一千兆 (1000003) 為實。又以半徑十萬自乘，三因之，得三百億 (30000000000) 為法，按益
實歸除之法除實得三萬四千七百二十九﹝小餘六三五五三三四﹞為二率，即圜內十八邊形之每一邊也。以下為《數理精藴》之原圖：從上圖宜注意“
相連比例四率”之形成。上圖為一十八邊形，有一外接之圓，以甲為圓心。甲乙、甲丙、甲辛及甲庚均為圓半徑，乙丙、丙辛及辛庚均為十八邊形其
中三邊，∠乙甲丙 = 20o，∠丙甲辛及∠辛甲庚同為20o。畫乙庚線，其圓心角為60o，即∠乙甲庚。自丙點畫∠戊丙丁 = 20o，
即丙丁平行甲庚。Δ甲乙丙、Δ甲丙辛、Δ甲辛庚三個三角形全等。從圖又可知Δ甲乙丙內有三個相似三角形，即Δ甲乙丙本身，Δ乙丙戊及Δ丙丁
戊。從相似三角形對應邊成比例可知：甲乙：乙丙 = 乙丙：丙戊 = 丙戊：戊丁。寫成“相連比例四率”可得：一率：二率 = 二率 ：三
率 = 三率：四率。即以甲乙為一率，乙丙為二率，丙戊為三率，戊丁為四率。以上比例即為上題之“相連比例四率”形式。又甲乙庚為正三角形
三邊相等，甲乙 = 乙庚，乙戊 = 丁己 = 己庚，即乙庚 = 3 × 乙戊 – 丁戊，因乙庚 = 甲乙，移項得 甲乙 + 四率
= 3 × 乙戊 = 3 × 乙丙。若一率為圓半徑，二率為十八邊形之一邊，則：一率 + 四率 = 3 × 二率一率：甲乙為圓半徑為
100000二率：乙丙為十八邊形每一邊之長三率：丙戊四率：戊丁從上文公式可知：一率2 × 四率 = 二率3。即 1000002 ×
z = ()3展開步驟同上題。依逐位求法得 z = 4187，即四率 = 4187。二率 = (z + 100000) = (4
187 + 100000) = = 34729。三率 = √(二率 × 四率) = √(34729 × 4187) = 1206
4。答：二率 = 乙丙 = 34729，即為十八邊形之一邊。三率 = 丙戊 = 12064，四率 = 戊丁 = 4187。《數理精
藴》之原文說明曰：如甲圜內容十八邊形，每邊之弧得圜周十八分之一，皆二十度，其通弦即圜內十八邊形之一邊，試自圜心至圜界乙丙，作甲乙、
甲丙二半徑線，遂成甲乙丙三角形。復自圜界乙至圜界庚作一乙庚線，則截甲丙線於戊，又成乙丙戊三角形，而乙庚為六十度之通弦。復自圜界丙按
丙戊線度至乙庚線之丁作一丙丁線，則又成丙丁戊三角形，此三三角形皆為同式形，乙丙戊三角形之乙角當庚丙弧為乙丙弧之倍，則乙丙戊三角形之
乙角與甲乙丙三角形之甲角等，又與甲乙丙三角形同，用丙角丙丁戊三角形之丁丙線與甲辛半徑平行，則丙丁戊三角形之丙角與甲丙辛三角形之甲角
為相對錯角亦必等，又與乙丙戊三角形同用戊角是此三三角形之各角互相等而為同式形也。其相當各邊俱成相連比例，故甲乙與乙丙之比同於乙丙與
丙戊之比，乙丙與丙戊之比又同於丙戊與戊丁之比，為相連比例四率，而甲乙為一率，乙丙為二率，丙戊為三率，戊丁為四率也。又乙庚為六十度之
通弦，與甲乙一率等，而乙戊丁己己庚三段皆與乙丙二率等，是乙庚一率中有乙丙二率之三倍而少一丁戊四率也。必以乙庚一率與丁戊四率相加方與
乙丙二率之三倍等，故用連比例四率有一率求二率法算之，得二率為十八邊形之一邊也。乙丙弧既為二十度，乙丙邊三萬四千七百二十九﹝小餘六三
五五三三四﹞為二十度之通弦，折半得一萬七千三百六十四﹝小餘八一七七六六七﹞即十度之正弦也。“同式形”即相似三角形。以上末段文意指乙
丙 = 34729，對圓心角 20o，乙丙之半為 17364.5，即可知正弦 10o = sin 10o = = 0.17364
5，較精確之sin 10o = 0.173648177。以下為《數理精藴》之原文：以下為本題之補充。﹝第一題﹞試以三角倍角公式証
z = 6sin 10o – 1 乃 z3 + 3z2 – 24z + 1 = 0之根。若圓半徑為 1，則十八邊形之一邊長為二率，
而二率 = 2sin 10o = 0.347296355。從上文可知2sin 10o = ，即z = 6sin 10o – 1 =
1.041889066 – 1 = 0.041889066。又從上文可知一率2 × 四率 = 二率3。即 12 × z = ()
3z = (z3 + 3z2 + 3z + 1)27z = z3 + 3z2 + 3z + 1z3 + 3z2 – 24z + 1
= 0。今以三角倍角公式証明 z = 6sin 10o – 1 乃 z3 + 3z2 – 24z + 1 = 0之根。証：將z
= 6sin 10o – 1 代入方程式左方，即：z3 + 3z2 – 24z + 1= (6sin 10o – 1)3 + 3(
6sin 10o – 1)2 – 24(6sin 10o – 1) + 1= 216 sin3 10o – 108 sin2 10
o + 18 sin 10o – 1 + 108 sin2 10o – 36 sin 10o + 3 – 144 sin 10o
+ 24 + 1= 216 sin3 10o – 162 sin 10o + 27= 27(8sin3 10o – 6 sin 1
0o + 1)= 27[– 2(3 sin 10o – 4 sin3 10o) + 1]= 27[– 2(sin 30o) + 1
]= 27[– 2 × ? + 1]= 0。所以 z = 6sin 10o – 1 乃 z3 + 3z2 – 24z + 1 =
0之根。注意 sin 30o = 3 sin 10o – 4 sin3 10o，乃基於恒等式sin 3θ = 3 sin θ –
4 sin3θ。﹝第二題﹞試從本題証明倍角公式sin 20o = 2sin 10o cos 10o 及cos 20o = 1 –
2sin2 10o。証：依舊用上圖。AECDB從圖可知 ∠CAB = 20o ，BE 垂直AE。又從圖可知 AB sin 20o
= BE。故 BE = sin 20o 若AB = 1。又從圖可知∠BAD =∠CBE = 10o 。BD = AB sin 10
o，2BD = 2AB sin 10o = BC，即 BC = 2sin 10o。在ΔBCE 中，BC cos 10o = BE。將 BC = 2sin 10o 代入得：2sin 10o cos 10o = BE。所以 sin 20o = 2sin 10o cos 10o。証畢。又從圖可知 AB cos 20o = AE = AC – CE。CE = CB sin 10o = 2sin 10o sin 10o = 2sin2 10o故 AB cos 20o = AE = 1 – 2sin2 10o。即 cos 20o = 1 – 2sin2 10o。証畢。本題倍角公式可推廣至其他角度。(1) |
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