一元二次方程根的判别式
重点：如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况；
难点：根的判别式的变式应用。
复习引入
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数a、b、c满足条件b2－4ac_ __0时才有实数根
观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：
当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）
②当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根
x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
③当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
精讲点拨
这里的b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方程x2－x＋1＝0，可由b2－4ac＝＿＿＿＿＿0直接判断它＿＿＿＿实数根；
合作交流
方程根的判别式应用
1、不解方程，判断方程根的情况。
（1）x2＋2x－8＝0； （2）3x2＝4x－1；
（3）x（3x－2）－6x2＝0； （4）x2＋(＋1)x＝0；
（5）x（x＋8）＝16； （6）（x＋2）（x－5）＝1；
2．说明不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实数根.
解：把化为一般形式得＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
Δ＝b2－4ac＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
拓展提高
应用判别式来确定方程中的待定系数。
m取什么值时，关于x的方程x2-2x＋m－2＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
（2）m取什么值时，关于x的方程x2-(2m＋2)x＋m2-2m－2＝0没有实数根？
达标测评
（A）1、方程x2-4x＋4＝0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；
C.有一个实数根； D.没有实数根.
2、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．x2＋1＝0 B. x2+x-1＝0 C. x2+2x＋3＝0 D. 4x2-4x＋1＝0
3、若关于x的方程x2-x＋k＝0没有实数根，则（ ）
A.k＜ B.k ＞ C. k≤ D. k≥
4、关于x的一元二次方程x2-2x＋2k＝0有实数根，则k得范围是（ ）
A.k＜ B.k ＞ C. k≤ D. k≥
（B）5、ｋ取什么值时，关于x的方程4x2-(ｋ＋2)x＋ｋ－１＝0
有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
6、说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.
一元二次方程的根的判别式练习
1、方程2x2+3x－k=0根的判别式是 ；当k 时，方程有实根。
2、关于x的方程kx2+(2k+1)x－k+1=0的实根的情况是 。
3、方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。
4、关于x的方程(k2+1)x2－2kx+(k2+4)=0的根的情况是 。
5、当m 时，关于x的方程3x2－2(3m+1)x+3m2－1=0有两个不相等的实数根。
6、如果关于x的一元二次方程2x(ax－4)－x2+6=0没有实数根，那么a的最小整数值是 。
7、关于x的一元二次方程mx2+(2m－1)x－2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。
8、已知一元二次方程x2－6x+5－k=0的根的判别式=4，则这个方程的根为 。
9、若关于x的方程x2－2(k+1)x+k2－1=0有实数根，则k的取值范围是( )
A.k≥－1 B.k＞－1 C.k≤－1 D.k＜-1
10、不解方程，判断下列关于x的方程根的情况：
(1)(a+1)x2－2a2x+a3=0(a>0)
(2)(k2+1)x2－2kx+(k2+4)=0
11、m、n为何值时，方程x2+2(m+1)x+3m2+4mn+4n2+2=0有实根?
12、求证：关于x的方程(m2+1)x2－2mx+(m2+4)=0没有实数根。
13、已知关于x的方程(m2－1)x2+2(m+1)x+1=0，试问：m为何实数值时，方程有实数根?
14、 已知关于x的方程x2－2x－m=0无实根(m为实数)，证明关于x的方程x2+2mx+1+2(m2－1)(x2+1)=0也无实根。
15、m为何值时，方程2(m+1)x2+4mx+2m－1=0。
(1)有两个不相等的实数根；
(2)有两个实数根；
(3)有两个相等的实数根；
(4)无实数根。
16、当一元二次方程(2k－1)x2－4x－6=0无实根时，k应取何值?
17、不解方程判别根的情况(1)、.
（2）、x2－0.4+0.6=0；（3）、(x－4)(x+3)+14=0；
18、已知关于x的方程(m+1)x2+(1－2x)m=2。m为什么值时：(1)方程有两个不相等的实数根?(2 )方程有两个相等的实数根?(3)方程没有实数根?
19、分别根据下面的条件求m的值：
(1)方程x2－(m+2)x+4=0有一个根为－1；
(2)方程x2－(m+2)x+4=0有两个相等的实数根；
(3)方程mx2－3x+1=0有两个不相等的实数根；
(4)方程mx2+4x+2=0没有实数根；
方程x2－2x－m=0有实数根。
一元二次方程根与系数的关系
一、学习目标：
1．理解并掌握根与系数关系：，；
2会用根的判别式及根与系数关系解题.
一元二次方程的一般式：
⑵一元二次方程的解法：
⑶一元二次方程的求根公式：
四、展示交流
1.探究1：完成下列表格
方 程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-5x+6=0 2 5 x2+3x-10=0 -3 问题：你发现什么规律？
x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律. .
2.探究2：完成下列表格
方 程 x1 x2 x1+x2 x1x2 2x2-3x-2=0 2 -1 3x2-4x+1=0 1 问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；
ax2+bx+c=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律. .
3.利用求根公式推导根与系数的关系（韦达定理）
ax2+bx+c=0的两根x1= , x2= (前提条件是 )
x1+x2 x1x2
4.练习：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：
⑴x2-3x-1=0 ⑵2x2+3x-5=0 ⑶
五、达标拓展
1.例1：不解方程，求下列方程的两根和与两根积：
⑴x2-6x-15=0 ⑵3x2+7x-9=0 ⑶5x-1=4x2
2.例2：已知方程2x2+kx-9=0的一个根是 -3 ，求另一根及k的值。
4.拓展应用
⑴已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值
（1） （2） （3）
⑵已知关于x的方程3x2-5x-2=0,且关于y的方程的两根是x方程的两根的平方,则关于y的方程是___ __ .
六、巩固提高
1.方程2x2-3x-1=0，则x1+x2= ，x1x2= _ _
2.若方程x2+px+2=0的一个根2，则它的另一个根为_ _ __ p=__ __
3.若0和-3是方程的x2+px+q=0两根，则p+q= __ __
4.在解方程x2+px+q=0时，甲同学看错了p，解得方程根为x=1与x=-3；乙同学看错了q，解得方程的根为x=4与x=-2，你认为方程中的p= ，q= .
5.两根均为负数的一元二次方程是 （ ）
A. 7x2-12x+5=0 B. 6x2-13x-5=0 C. 4x2+21x+5=0 D. x2+15x-8=0
6.若方程x2+px+q=0的两根中只有一个为0，那么 （ ）
A p=q=0 B P=0,q≠0 C p≠0,q=0 D p≠0, q≠0
不解方程，求下列方程的两根和与两根积：
⑴x2-5x-10=0 ⑵2x2+7x+1=0
⑶3x2-1=2x+5 ⑷x（x-1）,x2是方程x2-2x-1=0的两根,则(x1+1)(x2+1)的值为 .
9.若实数a、b满足a2-7a+2=0和b2-7b+2=0,则式子的值是 .
10. 已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1x2是原方程的两根，且，求m的值，并求出此时方程的两根．(8分)．
①审题，②设出未知数. ③找等量关系. ④列方程， ⑤解方程， ⑥答.
二、探索新知
上面这道题大家都做得很好，这是一种利用一元一次方程的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题．
（学生活动）探究1: 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析: 1第一轮传染 第二轮传染后
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮后共有 人患了流感,第二轮后共有 人患了流感.
列方程得 1+x+x(x+1)=121
x2+2x-120=0
解方程,得 x1=-12, x2=10
根据问题的实际意义,x=10
答:每轮传染中平均一个人传染了10个人.
思考:按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?
通过对这个问题的探究,你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗?
四.巩固练习.
1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
解:设每个支干长出x个小分支,
2.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
五、归纳小结
本节课应掌握：
利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．
列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤（1）审（2）设（3）列（4）解（5）验——检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去。（6）答
10、实际问题与一元二次方程
掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。
重难点关键
1．重点：如何解决增长率与降低率问题。
2．难点与关键：解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x增长（或降低）率,n为增长（或降低）的次数,b为增长（或降低）后的量。
教学过程
探究2 两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
分析:甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为 (6000-3600)÷2=1200(元)
乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为 元,两年后甲种药品成本为 元,依题意得
5000（1-x）
答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少? 比较:两种药品成本的年平均下降率。
思考：经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗 ?应怎样全面地比较对象的变化状况?
（经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.）
小结：类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(中增长取+,降低取－)
二、巩固练习（列出方程）
1某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?
2某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________．
3公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
4. 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？
三、应用拓展
例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
四、课堂检测
一、选择题
1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（ ）．
A．100（1+x）2=250 B．100（1+x）+100（1+x）2）22
2．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）．
A．（1+25%）（1+70%）a元 B．70%（1+25%）a元
C．（1+25%）（1-70%）a元 D．（1+25%+70%）a元
3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（ ）．
A． B．p C． D．
二、填空题
1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2004年的产量将是________．
3．我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是__________．
五、体验中考
（1）为落实“两免一补”政策，某市2011年投入教育经费2500万元，预计2013年要投入教育经费3600万元，已知2011年至2013年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2012年要投入的
教育经费为 万元.（
（2）某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒。设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是
Ａ．36（1－x）2＝36－25 Ｂ．36（1－2x）＝25
Ｃ．36（1－x）2＝25 Ｄ．36（1－x2）＝25
（3）甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m元的商品，甲超市连续两次降价20％；乙超市一次性降价40％；丙超市第一次降价30％，第二次降价10％，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是 ．据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：
（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？
m2，48m3， （）你有几种解法？
解法一：设上下边衬宽均为9xcm,左右边衬宽均为7xcm,则有：
解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm。
三、课堂检测
（一）、选择题
1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ）．
A． B．5 C． D．7
2．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，cm2，m2 D．64cm2
图22-10
（二）、综合提高题
1．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为多少？．
2．在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?
3．谁能量出道路的宽度:
如图22-10，有矩形地ABCD一块，要在中央修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?
五、体验中考
（1）如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为 .
（2）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 多少?（可利用的围墙长度超过6m）．
(3)、如图所示某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD求该矩形草坪BC边的长．
12 实际问题与一元二次方程的根分别为,,根据根与系数的关系有：特别，一元二次方程的根分别为,,根据根与系数的关系有：
例如：方程2x2+3x —2=0的两个根分别为x1，x2 则x1+x2= ；x1 ·x2= _________
典例精析
例1：已知关于x的一元二次方程（m－2）x2＋3x＋m2－4=0有一个解是0，求m的值.
例2：解下列方程:
(1)2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2；
(3)5x2－4x－12＝0； (4)4x2＋4x＋10＝1－8x.
（5）（x＋1）（x－1）＝ （6）
例3：已知关于x的一元二次方程（m—1）x2 —（2m+1）x+m=0,当m取何值时：
（1）它没有实数根。
（2）它有两个相等的实数根，并求出它的根。
（3）它有两个不相等的实数根。
巩固练习
1．关于x的方程mx2－3x=x2－mx+2是一元二次方程的条件是
2．已知关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和?q的值。
3．m取什么值时，关于x的方程2x2-(m＋2)x＋2m－2＝0
有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
4．解下列方程：
（1） x2＋(＋1)x＝0； （2） ；
（3）
5.说明不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实数根。
6、已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值.(请用两种方法来解)
接触中考
1、用配方法解方程3x2－6x＋1＝0，则方程可变形为（ ）
A．(x－3)2＝ B．3(x－1)2＝
C．(3x－1)2＝1 D．(x－1)2＝
2、方程(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)的根是 ．
3、已知：是一元二次方程的两根，且，则的值分别是 （ ）
A. B.
C. D.
4、一元二次方程的解是
5. 一元二次方程的解为___________；
x(x-2)+x-2=0的解是（ ）
A．２－２,１－１ ２，－１7、解方程： x2－4x+2=0
8、已知一元二次方程：的两个根分别是、则的值为（ ）
A. B. C. D.
9、如果关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是
A．k＜B．k＜C．≤k＜D．≤k＜关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．x－k=0有两个相等的实数根，则k的值为 。
12、若关于x的方程有实数解，那么实数a的取值范围是_____________．的两根，则代数式的值为
A． 9 B． C． 3 D．5
14、设，是方程的两个不相等的实数根，的值 ．有两个实数根，则k的取值范围是（ ）．
A． k≥1 B． k≤1 C． k>1 D． k<1
16、某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒。设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是
Ａ．36（1－x）2＝36－25 Ｂ．36（1－2x）＝25
Ｃ．36（1－x）2＝25 Ｄ．36（1－x2）＝25
17、如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为 .
18、滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．
解：设应邀请x支球队参赛，则每对共打 场比赛，比赛总场数用代数式表示为 ．根据题意，可列出方程 ．
整理，得 ．
解这个方程，得 ．
合乎实际意义的解为
答：应邀请 支球队参
A
B
C
D
16米
草坪
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