微积分是什么？

  要计算一个图形的面积，如果这个图形是比较简单的直线图形（由直线围成的图形），那么用中学或小学的知识就足够了。

  比如要计算一个矩形的面积，我们有公式：矩形的面积等于它的长乘以它的宽。（这其实是一个公理。）

  而对于更复杂的直线图形，我们可以把它们分解成矩形（或三角形）之和。比如下图中深色部分梯形的面积。

  你不需要知道梯形的面积公式是什么，只需要把梯形分解成一个矩形和一个三角形的和。

  而这个矩形的长是x₂-x₁，宽是a，所以其面积是a(x₂-x₁)；而三角形的底是x₂-x₁，高是(b-a)，由于一个三角形的面积是与它等底（长）等高（宽）的矩形的一半，所以三角形的面积等于(x₂-x₁)(b-a)/2。所以梯形的面积=a(x₂-x₁)+(x₂-x₁)(b-a)/2=(x₂-x₁)(b+a)/2。

  基于同样的思想，无论多复杂的直线图形，我们只需要把它们分解成多个矩形和三角形之和，分别求出这些矩形和三角形的面积，再把所有这些面积相加就可求出原图形的面积了。

  但是如果要计算的是弯曲图形的面积呢？比如下图，图中深色部分是由曲线y=x²和3条直线y=0,x=a,x=b围成，如何求这个深色区域的面积（我们以F表示这个深色区域的面积）？

我们还是可以通过把图形分解成一系列矩形之和来求F，如图所示：

图中一系列位于x=a和x=b之间的矩形，假设有n个，每个的宽都相等，那么它们的宽h就是h=(b-a)/n，它们的长分别是(a+h)²,(a+2h)²,...,b=(a+nh)²。那么所有这n个矩形的面积之和（记为F＇）就是：

对于(1+2+3+...+n)和(1²+2²+...+n²)，我们有公式：

    

把这两个公式和h=(b-a)/n代入得到F＇为：

  现在我们得到了这n个矩形的面积之和F＇，它并不是我们要求的弯曲图形的面积F，而是多出了一部分（图中虚线部分）。但是如果我们进一步分解，越分越细，分解出的矩形越来越多，那么得到的所有矩形之和就越接近弯曲图形。当分解的矩形个数n“趋于”无穷大时，矩形的宽h趋于0，F＇比F多出的部分也趋于0，所以F＇无限趋近于弯曲图形的面积，这时我们可以认为F＇就等于F。

当n趋于无穷大时，1/n趋于0，于是有

  对于其它的弯曲图形，也可以用相同的思想来求它们的面积、长度或体积。即：把要求的弯曲图形，分割成一系列直线图形之和，当这些直线图形的大小趋于0时，所有直线图形之和的极限就是要求的弯曲图形。这种用直线图形无限逼近弯曲图形以计算弯曲图形的方法，是微积分的基本原理，在本质上，这也是人类想要计算任何弯曲图形、计算任何连续的变化、连续运动的唯一方法。但光有这个原理还不是微积分。

  对于每个不同的图形，我们都需要一套具体的技巧或公式来计算，在很多情况下这些计算都十分复杂繁琐。

  微积分诞生的标志，就在于认识到，我们可以跳过那些繁琐的级数计算，直接由函数来计算弯曲图形。

  比如前面例子的图形，是由函数（曲线）y=x²和函数（直线）y=0,x=a,x=b围成的，我们可以直接由这几个函数来直接计算这个弯曲图形的面积。

  这里面最主要的函数是y=x²，它是图形的弯曲部分，也是计算的主要难点。而函数y=0,x=a,x=b虽然对图形的面积也有影响，但相对次要。实际上我们可以固定y=0,x=a,x=b这三条直线，这时候曲线下方的图形面积就只和这条曲线有关，这条曲线如果不是y=x²而换成其它函数，那么其下方图形的面积就不一样了。

  微积分的基本内容就是在学习如何对已有的函数求积分，或对已有的函数求导。所以微积分研究的对象是函数，而不是具体的数字。研究对象由具体的数抽象成函数，这大概就是“高等数学”与“初等数学”最主要的差别了。

  既然微积分研究的是函数，那么我们就要好好说一下函数，虽然我们前面已经在使用函数了，但我们仍要重新解释一下函数的意义。

  什么是函数？函数就是把一些量变化成另一些量的规则、法则、规律。自然界充满了各种各样的变化。每一种变化都是把一些量变成另一些量，所以每一种变化都可以看作是把一些量变成另一些量的规则。不同的变化规则会把同一些量变成不同的另一些量，我们可以以此来区分不同的变化。换句话说，把那些被改变的量称为自变量，变化后的量称为因变量，每一个变化规则都会把一组自变量变成一组特定的因变量，我们把变化规则称为函数，每一个函数都可以看作是：一组自变量到与之相对应的因变量的一一对应。如果我们以x表示某个自变量，y表示与x相对应的因变量，f表示把x保持y的函数，那么有，或者用更常用的表示方法：y=f(x)。通常我们为了方便会说因变量是自变量的函数，这并没有什么本质的不同，而y=f(x)的表示方法无疑更适合这种说法。

  比如一个物体在空间中运动时，它的位置会随着时间而变化，我们把时间作为自变量，那么位置就是以时间为变量的因变量。位置随时间而变化的规则就是一个函数。我们通常会简单的说，位置是时间的函数。

  同样的若物体在空间中做变速运动，那么它的速度会随着时间而改变，那么它的速度就是时间的一个函数（时间是自变量，速度是因变量）。

  我们可以用图形来表示函数。最常用的是使用笛卡尔直角坐标系，用一个坐标轴上的值来表示自变量，另一个坐标轴上的值表示因变量，那么因变量随着自变量的连续变化而变化，会在平面上形成一条曲线。

  比如下面两个图就分别表示，一个物体运动时速度和位置的（以时间为自变量）函数：

  左边的图显示，在每一个时间t时，物体的速度v都等于t，即函数v=t，它表示物体在运动过程中其速度随着时间的增大而以固定的比例（1）增大。

  右边的图表示同一个物体的位置函数。一个物体如果它的速度是左边的图所表示的那样满足v=t，那么它在空间中的位置函数就是r=t²/2（r表示位置），如右图所示，是一条抛物线，它描述了位置如何随时间改变而变化。从图中可以看出，随着时间的增大，物体的位置随时间改变的变化率（速度）也越来越大。时间越大，单位时间内位置的改变也越大。

  对于一个给定的曲线，我们也可以把它看作是随着某个自变量而变化的因变量的轨迹，因此，（在大多数常见的情况下）我们可以把（一元）函数和曲线看作同一个概念。

  接下来我们来看看最常见的函数有哪几种。

  最简单的函数是常数函数：y=c（c是某个常数），也就是无论自变量怎么变，因变量都是一个固定的数。

  稍微复杂点的是加法函数和乘法函数，即把自变量加上一个常数或乘以一个常数的函数：y=x+a,y=bx（a,b都是常数）。

  如果一个函数y=f(x)的因变量y是某个函数z=f₁(y)的自变量，那么随着x的变化，y也会变化，于是z也会变化，所以z也是x的因变量，z=f₁(y)=f₁(f(x))也是一个函数，它是由函数y=f(x)与函数z=f₁(y)复合而成。

  比如，若y=x+a,z=y+b，则z=(x+a)+b=x+(a+b)。所以两个加法函数的复合仍是一个加法函数。类似的两个乘法函数的复合仍是一个乘法函数：若y=ax,z=by,则z=ba(x)。

  自然界的函数是多种多样纷繁复杂的，但大多数常用的函数都可以分解成几种简单的函数的复合，所以我们需要先研究最简单的那几种函数，再通过最简单的那几种函数来研究更复杂的函数。

  前面所说的3中函数：常数函数，加法函数和乘法函数是最简单的3种函数，由任意多个常数函数，加法函数或乘法函数复合而成的函数，统称为线性函数（它们的图形都是直线），每个线性函数都可以写成y=ax+b（a,b都是常数）的形式。实际上若y=x+a,z=by，则z=b(x+a)=bx+ab，所以加法函数与乘法函数的复合是：因变量=自变量乘以一个常数再加一个常数的形式，所以是线性函数。若y=ax+b,z=cy+d，则z=c(ax+b)+d=cax+cb+d，所以两个线性函数的复合仍是一个线性函数。

几个常用的幂函数图形：

（2）、指数函数。还是把一个数a乘以自身n次，但是我们不是把a看作自变量，而是把次数n看作自变量。随着n的增大，aⁿ会迅速增大，增大速度远远超过加法和乘法。

  首先最简单的数是自然数：1,2,3，...它们的意义简单直观，是其它一切数学概念的基础，我们不需要对它们进行解释。（有很多数学家和哲学家并不把自然数看作是最基本的概念，而是用某些他们认为更基本的概念来定义自然数，相关的理论就是所谓的“数学基础”的主要内容之一，然而这些理论无论是对于微积分，还是对于数学中其它真正深刻的内容的理解，都没有任何帮助，所以我们不会去理会这些内容。）

  从有理数到无理数的扩张，与之前从自然数到有理数的扩张，有本质的不同，它不能只通过代数方法扩张，而需要某种更深刻的概念。

  仔细思考一下，对于一个无理数，我们如何“知道”它？比如像π，我们知道它是圆的周长与直径之比，但光有这个定义，我们并不知道它究竟“是”多少，不知道π位于数轴上的“哪个”位置。更进一步地，我们知道π可以展开成无限不循环小数：π=3.1415926...。在有了这个展开后，我们知道π大于3且小于4；更精确地，我们知道π大于3.1且小于3.2；更精确地，π大于3.14小于3.15，...。这样，我们就大概“知道”了π“是”多少，“知道”了π有多大。在这个过程中，我们实际上是以一系列有理数（有限位小数）来逼近π：3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,...。同样的如果我们把π看作是数轴上的一点，那么这个点位于3和4之间；更精确地，位于3.1和3.2之间；更精确地，位于3.14和3.15之间；...。由于π是无理数（无限不循环小数），我们无法直接精确地“知道”π在数轴上“是”什么位置，而是通过一系列有理数点来逼近π。

  同样的对于数轴上任意一个无理数点，我们也可以通过用一系列无穷多个有理数逐步逼近的方法来“知道”它（本质上，我们也只有这个方法来“知道”无理数），换句话说，我们可以把无理数定义为：有理数的无穷序列的极限。这里我不打算解释极限的严格意义，只给出几个例子让大家从直觉上理解就好了：

  每一个有理数显然也是无穷多个有理数的序列的极限，比如1.4=1.400000...，所以1.4是1.4,1.4,1.4,...的极限。因此，数轴上所有的点，包括有理数和无理数（统称为实数），都可以看作是有理数的无穷序列的极限。

这里有几点需要注意：

1、上面对实数的定义是不严格的，更严格的定义是：收敛的有理数的无穷序列的极限。我们这里只介绍里面的思想，不包括技术性的细节，所以收敛的定义、极限的定义，以及实数的一些基本性质等，都不再介绍，你可以在任何一本正经的微积分教材上找到这些内容。

2、定义实数的方法并不只有上面一种。比如前面我们说π在数轴上位于3和4之间；3.1和3.2之间；3.14和3.15之间；...。由此可以抽象出一种思想，就是把一个实数看作是位于数轴上两个集合之间，其中一个集合中的点都小于这个实数，另一个集合中的点都大于这个无理数，每个实数都由两个这样的集合确定。按照这种思想得到的实数定义方法称为戴德金分割。除了无穷序列和戴德金分割，还有其它定义实数的方法，但无论这些方法在技术细节上有多差异，最终得到的结构都是一样的，这个结构称为完备有序域。完备有序域的意思是：它是一个集合，这个集合中任意两个数做加减乘除后得到的数仍属于这个集合（域）；这个集合中任意两个数都可以比较大小（有序）；这个集合中任意两个数之间的数都属于这个集合（完备）。完备有序域是实数集的本质特征，通过任何方法定义出来的结构如果是完备有序域的话，那么这个结构本质上就是实数集，它里面的元素本质上都是实数。

（4）、三角函数。三角函数有6种，通常只需要知道正弦函数和余弦函数两种，其它几种都可以通过正弦与余弦函数定义。

  一个直角三角形，α是它的任意一个锐角，那么α的对边和直角三角形的斜边之比a/c称为（以角α的大小x为自变量的）正弦函数，以sin(x)表示；α的邻边和直角三角形的斜边之比b/c称为（以角α的大小x为自变量的）余弦函数，以cos(x)表示。

  三角函数最特别的地方是，它们的自变量是角度（的大小），所以自然界中凡是有涉及角度的变化、规律，对它们的研究几乎都会用到三角函数。而角度是一个周期变化的量（大小为x的角和大小为x+2π的角，表示的是同一个角），所以三角函数都是周期函数（sin(x)=sin(x+2π)，cos(x)=cos(x+2π)），因此自然界中那些有周期性的变化、规律，对它们的研究也需要三角函数。

  上面我们简单介绍了幂函数、指数函数、对数函数和几种三角函数。我们只是简单介绍了它们的直观定义，并没有介绍它们的一些基本性质，对于从未学过这几种函数的人来说，上面的介绍应该不足以让ta们理解。初学者想要理解这些函数及其性质，需要更详细的介绍和更多的例子，应该以正规的教材为主，本文篇幅有限只能到此为止。

  初等函数除了上面介绍的几种函数，还有反三角函数，有时候还包括双曲函数和反双曲函数，但它们不像上面那几种那么常用，这里限于篇幅就不介绍了。

  现在回到微积分的主要内容——求函数的微分或积分。通常求微分比求积分容易，所以我们（和大多数教材一样）先来看怎么求微分。

  我们前面说过从一个函数f(x)求它的原函数F(x)的过程称为积分，从原函数F(x)求出f(x)的过程称为微分。（或称为求导）这个说法并不能让你对微分的意义有所理解，我们需要重新解释微分的意义。我们回到一开始的例子。我们知道，深色图形的面积F由曲线y=x²和3条直线y=0,x=a,x=b决定。在固定3条直线y=0,x=a,x=b的情况下，深色图形的面积F由曲线y=x²决定，F会随着x=a和x=b的变化而变化，所以F是以x为自变量的函数。

（细心的读者可能会想到，直线y=0也是围成深色图形的一部分，如果把直线y=0替换成某个y=c（c≠0）的直线那深色图形的面积也会改变，所以为什么不把F看作是以y为自变量的函数？实际上如果把y=0替换成某个y=c，比如y=-1，如图所示，那么深色图形会比原理y=0时多出一个矩形，这个矩形的面积=(b-a)c。也就是说，多出来的矩形面积只与x=a、x=b和y=c有关，与y=x²无关，它对我们真正关心的图形的弯曲部分没有影响。

我们这里所说的F(x)准确来说是指在固定直线y=0而可以变化x=a和x=b时，y=x²下方图形的面积。这个面积F(x)与固定y=c时y=x²下方图形的面积（在取相同的x=a和x=b值时）只相差一个常数C=(b-a)c，稍后我们会看到，F(x)和F(x)+C（C是某个常数）的导数是一样的。因此，y=c的c具体取什么值，对于我们讨论F(x)的导数是没有影响的。）

对数函数：log_a(x)，a是任意实数。

  由于

所以有

指数函数：a^x，a是任意实数。

  由于指数函数是对数函数的反函数，即若a^x=y，则x=log_a(y)，由于

  把x看作是以y为自变量的函数，y₀=y(x₀)，那么

因此，

  特别的，若a=e，则d(e^x)=e^x/log_ee=e^x。因此以e为底的指数函数的导数是它自己，这也是常数e的另一个特殊之处。而函数e^x也因为这个性质在微积分中处于非常基本的地位，在很多计算过程中都会出现它。

三角函数：sin(x);cos(x)。

  对于正弦函数sin(x)，由于：

（可以证明）

所以

所以有d(sin(x))=cos(x)。

类似的对于余弦函数，可以得到d(cos(x))=-sin(x)。

  现在我们简单谈谈积分。

  在我们最初的例子中，由函数f(x)与x=a,x=b（以及y=0）围成的深色部分的面积，称为f(x)的原函数，由f(x)求出F(x)的过程称为积分。我们可以以另一种比较直观的方式理解积分。

  图中深色部分，可以看作是由一个垂直于x轴的直线段，其端点分别位于y=0和y=f(x)上，沿着x轴从x=a到x=b扫过的区域。

  如果f(x)是一个常数c，那么扫过的区域就是一个矩形，其面积可以由c与(b-a)相乘得到。

  而在更一般的情况下，y=f(x)是个曲线，y=f(x)的值处处变化，我们不能直接用某个y的值乘以(b-a)来得到深色部分的面积。但我们可以把深色部分用一系列矩形之和逼近，当这些矩形的宽h无限趋近于0时，矩形面积之和无限趋近于深色部分的面积。

  给定一个函数f(x)，如何求出它的积分，是数学中很大的一个课题。

  前面我们求出了一些初等函数的微分，通过这些初等函数的微分，我们可以直接得到一些函数的积分。

  比如：前面我们已经知道，若y=c，c是一个常数，则d(y)=0。由此可知，∫0dx=c，c可以是任何一个常数。

  若y=a(x+b)，则d(y)=d(a(x+b))=a。由此可知，∫adx=ax+b，b可以是任何一个常数。

  以上就是微积分的一些基本内容。当然我们只讲了单（自）变量函数的微积分，没讲多（自）变量函数的微积分，后者包括了相当多的内容，当然不可能在这里讲。

  微积分有很多应用，据说90%以上的物理学都需要用到微积分（大部分都是多元微积分所以这里就不举例了）。但我想强调的是，微积分并不只是一种用于解决实际问题的工具，它更是一种能力，一种更深刻地理解自然的能力。自然界中绝大多数事物、现象，我们都不可能观察到它们的整体信息（比如一个物体的运动轨迹），我们只能通过它们的局部信息（比如运动物体在某个时刻的受力状态）来获得它们的整体信息以及那些未被观察到的局部信息，而微积分就是连接事物整体信息与局部信息的根本方法。物理学家通过分析事物的局部信息，获得描述事物变化的方程（微分方程），再通过微积分和其它数学知识从这些方程获得未被观察到的信息（解微分方程），这才是物理学家做研究的主要方式。如果不懂得微积分，那么你对自然的理解就只能停留在那些表面的现象上，无法真正理解那些现象背后更深刻的规律，无法知道科学家是如何获知自然中更深层次的规律的。那可不是光靠什么哲学或思想实验之类的就能获得，数学是必不可少的。没有数学的物理不是物理，而只是自然哲学，有了数学的物理才能是物理。而微积分正是其中最关键的一步。懂得微积分之前和之后完全是两个不同的世界，懂得微积分之前你只能认识一个静态的、没有变化的世界；懂得微积分之后才能理解一个更大更广阔的、变化的、动态的世界。

  另外，微积分尽管诞生于解决自然科学中的问题，但它有自己独立的研究对象，有自己需要解决而且只能通过数学解决的问题，并不依附于任何一个个自然科学（大多数数学分支也是这样）。

  微积分的研究对象，我们前面已经说过，是函数。微积分的一大主要内容，就是在研究各种函数的性质、各种函数之间的关系、以及推广函数的概念发现新的函数等。由于有了微分和积分这两个强大的工具，数学家们发现了大量微积分诞生之前无法发现，甚至无法想象的函数性质、关系。比如前面说过的，d(ln(x))=1/x，就把对数函数与幂函数联系起来。又比如前面说过的椭圆积分，其表示的原函数就不是任何之前知道的函数，而是通过积分定义出来的新函数。

参考文献

R·柯朗，F·约翰，微积分和数学分析引论.

John F·Randolph,Calculus and Analytic Geometry, 2nd Edition.

维基百科：Euler's formula.