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ECNU202001 设 求所有的值,使得是幂零矩阵. { 解} 计算可知的特征多项式为而是幂零矩阵意味着,由Cayley-Hamilton定理得.于是解得. ECNU202002 设是个向量.已知对任意的以及,都有线性相关当且仅当线性相关.证明:向量组与向量组的秩相同. 证明 由题意可知,同理可得.故向量组与向量组的秩相同. ECNU202003 已知, ,求阶行列式 解 将第行乘以加到第列得到 ECNU202004 设矩阵 (1)求一个正交矩阵,使得为对角矩阵. (2)求 在单位球面 上能够取到最大值,并求出能取到最大值的所有. 解 (1)计算可知,进一步计算特征向量可知 此时. (2)作正交变换,得到当时,即最大值为. ECNU202005 已知矩阵满足 证明: 可对角化.证明 设, 则 于是由于故无重根,即的零化多项式没有重根,否则推出矛盾,于是的极小多项式也没有重根,即可对角化. ECNU202006 设,令 (1)验证的线性子空间. (2)设,求.(结果用表示) 证明 (1)对于任意, ,有 故,验证完成. (2)注意到线性变换在全体阶基础矩阵为基下的表示矩阵为,故 ECNU202007 设是阶复方阵,且在中线性无关,证明:存在复数使得是非异阵. 证明 考虑的一组基.不妨设不能被线性表示,从而线性无关,故存在不全为零的复数使得 此时有非异阵ECNU202008 (1)设,证明:若存在非异阵,使得,则. (2)设非异阵满足,证明:存在非异阵 使得. 证明 (1)注意到. (2)设,由(1)可知,于是,即 故.设,又因为为非异阵,此时,即,同时不能是的共轭矩阵的任一特征值,存在性得证.ECNU202009 设为奇数, 且,证明: 不可逆. 证明 由第四版复旦高代白皮书例3.66可知,即,又是奇数,故.于是 故不可逆. |
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