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张量取一个实有限维度的向量空间，在这个篇章里，被称为原空间，它的元素被称为原向量； 上的线性函数（泛函）被称为的对偶向量，全体对偶向量的集合被称为的对偶空间，记做； 在有限维度的情况下，对偶空间的对偶空间典范（canonical）【注】同构于原空间本身，因此原函数也可以视作对偶空间上的泛函； 【注】：指存在一个唯一确定，令人信服的同构映射，因此很多时候我们把它们视作“同一个”空间。 上的型张量是一个-多线性函数： 全体型张量的集合被称为型张量空间，记作。 的维度是，其中是的维度，感兴趣的的读者可以去附录里看看的一组基。 特别的，原向量本身是的型张量，对偶向量是的型张量。 由于当是有限维度的时候，对偶空间的对偶空间就是原空间，就足以表示所有的张量类型了。我们不需要使用，甚至是。 数学里定义张量的时候，我们一般就把个对偶空间放在左侧，个原空间放在右测；但在物理或者计算机里，（据说）为追求“物理意义”，参数可以有特定的顺序，甚至有具体的名字，比如 我们把它称为有序的张量。 柯里化（Currying）对于高阶的张量，有一个有趣而又简单的角度去理解它，计算机里称为柯里化。 首先考虑一个型张量（更一般的型张量都成立）， 取一个原向量，我们定义 有些数学家会把这个张量记作，它是一个对偶向量。 我们发现，需要输入两个原向量，而当我们只输入一个原向量的时候，我们可以得到一个对偶向量，即 实际上在这个过程中，我们对一个高阶的张量（型）输入部分的参数，得到了一个低阶的张量（型）。 （定义，我们有 严格来说和wiki上定义的是相反顺序的，wiki上是，为了后文的方便我选择了逆序的版本。） 我们可以对一个型张量，重复至多次柯里化。取个原向量，按照的顺序进行柯里化，得到 这个定义看起来有点复杂，不过它满足 类似的，对于型张量，我们可以输入一个对偶向量来得到一个型张量；对于型张量，它至多可以柯里化个对偶向量，个原向量。 如果我们在意柯里化的顺序，我们可以考虑有序的张量。 张量间的映射类似柯里化的思想，我们可以把“从一个张量空间到另一个张量空间的线性映射”理解成一个新的张量。 举个例子，考虑线性映射 我们可以把定义成一个（有序）的型张量 事实上，对的后三项做柯里化我们就能得到 更一般的，线性映射 是一个的张量。 张量的张量积另外一个方法从低阶张量得到高阶张量是张量的张量积。考虑张量，我们定义它们的张量积，记做，满足 例如，我们有两个张量，它们的张量积为 对称性和反对称性对于型张量，如果它满足对任意的原向量， 那么就被称为对称的（symmetric）；如果满足 那么就被称为反对称的（anti-symmetric）。 我们可以把这个概念推广到型或者型张量上；而对于一般的型张量，由于原向量和对偶向量不能替换，我们需要声明具体的交换规则。 两类特别的张量虽然我洋洋洒洒的写了那么多，但未来实际在微分几何中用到的可能只有两种，分别是型张量和型张量，它们的特别之处在于，定义它们不需要用到对偶空间。 所以你就算看不懂上面关于张量的定义，你只学会这一个小节的内容也足够了。 首先是型张量， 即输入个原向量得到一个实数。 之后我们会学到，-形式（-form）是反对称型张量场，黎曼度规（Riemannian metric）是对称型张量场。 特别的，型张量是 即一个实数； 型张量是 即一个对偶向量。 第二类特殊的张量是型张量， 在我们利用柯里化输入了个原向量后，我们得到了 即，它是一个原向量，那么我们就能把这个型张量改写成， 即输入个原向量得到一个新的原向量。 之后我们会学到，仿射联络（affine connection）是型场张量（不是张量场），黎曼曲率（Riemannian curvature）是型张量场（它还有另一个型的变体）， 特别的，型张量是 即一个原向量； 型张量是 即一个原空间上的线性变换。 向量空间的张量积另外一个定义张量的思路是，先利用张量积定义张量空间，再取其中的元素称为张量。 直觉上说，就是个和个的“张量积”。 对于有限维度实向量空间来说，张量积的定义很简单。 我们定义和的张量积为 这个定义可以推广到任意有限个（有限维度）向量空间，甚至是无限个向量空间，它和笛卡尔积的定义类似。 因此型张量空间可以被定义为 对于无限维度向量空间来说，由于对偶对偶空间不再同构于原空间，上述定义不再成立了；由于在微分几何中只会用到有限维度的情况，我不打算多谈这个话题。 向量的张量积对于，，我们可以定义，的张量积，记做，定义为 换言之它定义了双线性映射 这个映射是单射，但不是满射，换言之，不是所有的的元素都是形如的，它还有可能是这些张量积的线性组合。 我们在上文中提过的张量的张量积就是向量的张量积的一种特殊情况，毕竟“张量都是向量”嘛。 对称幂和反对称幂在这里我们只考虑型张量空间，也可以记做，我们可以把其中所有的对称张量的子空间称为阶对称幂，记做；所有反对称张量的子空间称为阶反对称幂（或者外幂），记做，我们有 比方说，对于，它等于 附录指标记号当原空间是的时候（即我们考虑局部微分几何的时候），原空间和对偶空间存在典范的对应关系（可以从欧几里得内积得到），所以我们取原空间的一组基（basis）后，能在对偶空间中找到它们的对偶向量，记作。 因此我们能找到型张量空间的一组基 对于一个型张量，可以分解成， 其中 更新日志
作者的话我重写这篇文章的时候才发现，之前写的是有多么混……怪不得我的几个物理朋友都给出了不高的评价。实话实说，重写了之后感觉还是不大行。 这篇文章是本意是为下一篇《微分形式与de Rham上同调》准备的，不过我决定把外幂单独讲一篇。 |
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