为什么折纸可以解决尺规作图难题？

你是否有一个疑惑，为什么偏偏折纸可以解决尺规作图无法解决的作图难题？今天大小吴就和大家进一步探讨其背后蕴含的数学原理.

1 折纸公理

我们知道，在欧几里得几何学中，尺规作图基于的是欧氏几何的五条公理.而在折纸过程中，纸被折一次就可以得到一条直线（折痕）.因此从数学的角度来说，折纸操作意味着构造了一条直线将平面的一半映射到另一半.基于此，1991年日裔意大利数学家藤田文章（Humiaki Huzita）创立了折纸公理（共6条，后完善为7条）：

“

公理1：给定两定点，存在唯一一条折痕连接这两点.

这相当于尺规作图中作过两定点的直线.

公理1

“

公理2：给定两定点，存在唯一一条折痕使映射到上.

这相当于尺规作图中作线段的垂直平分线.

公理2

“

公理3：给定两定直线，存在唯一一条折痕使映射到上.

这相当于尺规作图中作和所夹角的角平分线（如果两直线平行，折痕是夹在和间等距离的平行线）.

公理3

“

公理4：给定一定点和一定直线，存在唯一一条折痕通过点且垂直于.

这相当于尺规作图中从直线外一点引该直线的垂线.

公理4

“

公理5：给定两定点和定直线，存在一条折痕通过点并且将映射到上.

这相当于尺规作图中的如下操作：以为圆心为半径画弧与交于一点，得到同时过该点与的直线，最后过作该直线的垂线.

公理5

“

公理6：给定两定点和两定直线，存在唯一一条折痕使映射到上且使映射到上.

实际上，这条公理在尺规作图中没有对应操作.下面我们将说明，它等价于解三次方程问题，正因为此它成为了解决古希腊作图问题的关键.

公理6

2 折纸与抛物线

在解释公理6之前，我们先来讨论一种比较熟悉的二次曲线——抛物线.

根据公理5，我们可以将抛物线的焦点通过折纸操作映射到准线上的点，且折痕过抛物线上的一点.

可以证明，折痕必然是抛物线上过的切线，且垂直平分.改变的位置，使其取遍抛物线上的点，可以得到无数条折痕，而所有的折痕构成了抛物线的包络线.

所有折痕形成“包络”

反过来，我们也可以运用这个原理巧妙地通过折纸折出一条抛物线（如图，通过折纸将与重合，得到一系列点，再用一条光滑的曲线将它们连接）.

我们都知道抛物线是二次曲线，换句话说，公理5为我们提供了如何求解二次方程问题的方法依据，这同样也是尺规作图可以办到的.

3 公理6的特殊之处

如果你理解了上述内容，你就可以理解公理6中的折痕实际上就是两条抛物线的公切线（其中是以为焦点，为准线；是以为焦点，为准线）.

接下来我们将要说明：这条公切线的斜率实际上是满足某个三次方程的解.换句话说：公理6等价于解决三次方程问题.而这正是尺规作图所做不到的.

为方便起见，设，直线，直线.

则焦点为，准线为的抛物线满足方程：

焦点为，准线为的抛物线满足方程：

设在某点切线为，又可根据求导得知切线满足方程

由此可得

注意到满足，因此

同理，在某点切线满足方程

得到

根据得到

联立两个关于的式子可得（此处有误，第二项为2t平方）

可以看到，这个方程是一个三次方程，其实数解恰好对应两条抛物线公切线的斜率.

而我们知道，古希腊三大作图问题中的倍立方体和三等分角都等价于求解三次方程（这件事你如果忘了，可以点击下方卡片进行复习），而公理6保证了我们可以通过折纸做到这一点.

尺规作图与古希腊三大作图问题

参考资料[1]张贺佳.折纸与尺规作图[J].数学通报,2007(10):57-59.

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来源：大小吴的数学课堂