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线性方程组解的理论和求解方法是线性代数学的核心内容
线性方程组解有3种可能：（1）仅有唯一解；（2）有无穷多解；（3）无解一般通过秩判断相容性。
矩阵A中的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记做秩（A）或r（A）
求矩阵秩的方法：只要对矩阵进行初等行变换，使其化为阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵的非零行的行数即为该矩阵的秩线性方程组（3.1）有解（相容）的充分必要条件是r（A）=r（[A︙B]）
齐次线性方程组 矩阵形式为AX=0  （1）当A为m×n矩阵时，只有唯一零解的充分必要条件为：r（A）=n；
（2）当A为m×n矩阵时，有非零解的充分必要条件为：r（A）＜n； （3）当A为m×n矩阵，r（A）=r时，有n-r个自由元。 非齐次线性方程组 矩阵形式为AX=β 
（1）AX=B有解的充分必要条件为r（[A︙B]）=r（A）
（2）当A为m×n矩阵时，若r（[A︙B]）=r（A）=n，AX=B的解唯一；（3）当A为m×n矩阵时，若r（[A︙B]）=r（A）=r＜n，AX=B有无穷多组解，也有n-r个自由元。 利用r（A），r（[A︙B]）与未知元个数n之间的关系，在不解线性方程组的情况下，可以判断线性方程组有解还是无解；若有解的话，是有唯一解，还是无穷多解，具体方法如下：
第1步，写出线性方程组的增广矩阵[A︙B]。
第2步，用初等行变换法，将增广矩阵[A︙B]化为阶梯形矩阵。
第3步，根据相容性定理中的r（A），r（[A︙B]）与n之间关系判断解的情况，
即（1）若r（A）≠r（[A︙B]），则AX=B无解；
（2）若r（A）=r（[A︙B]）=n，则AX=B唯有一解；
（3）若r（A）=r（[A︙B]）=r＜n，则AX=B有无穷多解。 应用举例：应用举例来自：线性代数（Steven J. Leon） 城市交叉路口如下图： 
求交叉路口车辆数量：
进入的车辆数与离开数量相等，列下列方程组：
x1+450=x2+610(路口1）
x2+520=x3+480(路口2）
x3+390=x4+600(路口3）
x4+640=x1+310(路口4）
此方程增广矩阵： 1 -1 0 0 160 0 1 -1 0 -40 0 0 1 -1 210 -1 0 0 1 -330
通过初等变换化简为：
1 0 0 -1 330 0 1 0 -1 170 0 0 1 -1 210 0 0 0 0 0 矩阵与他的扩展矩阵的秩都为3，有4个向量;所以该方程有无究多解组：
x1=x4+330
x2=x4+170
x3=x4+210
假设x4=200;就能求出相应的解
以下为Matlab求解非线性齐次方程
%解非线性齐次方程 Nonlinear homogeneous equation
clear ; clc; A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8];
b=[1 4 0]'; %转向矩阵
B=[A b]; %扩搌矩阵
C=rref(B) %高斯肖元法化为最简行[m,n]=size(A);
RA=rank(A) %矩阵A秩
RB=rank(B) %扩展矩阵的秩 format rat %分数形式
if RA~=RB
X='无解 ' %判断无解
elseif RA==RB && RA==n %唯有一解
X=A\b
else RA==RB && RA<n %判断有任意解
X=A\b %求特解
=null(A,'r') %求AX=0的基础解系
end 输出： B = 1 -1 0 0 160 0 1 -1 0 -40 0 0 1 -1 210 -1 0 0 1 -330 C = 1 0 0 -1 330 0 1 0 -1 170 0 0 1 -1 210 0 0 0 0 0 RA = 3 RB = 3 ans = logical 1 Warning: Matrix is singular to working precision. > In untitled (line 16) X = 0/0 0/0 0/0 0/0 D = 1 1 1 1 >>
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